close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Прохождение дискретного белого шума через цифровой полосовой фильтр.

код для вставкиСкачать
УДК 621.372.542
И.Н. Липатов
Пермский национальный исследовательский
политехнический университет
ПРОХОЖДЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО БЕЛОГО ШУМА
ЧЕРЕЗ ЦИФРОВОЙ ПОЛОСОВОЙ ФИЛЬТР
Рассматривается прохождение дискретного белого шума
через цифровой полосовой фильтр 4-го порядка. Выполнен синтез
цифрового полосового фильтра. Приведен график АЧХ полосового
фильтра. Определено значение дисперсии D2 процесса на выходе
фильтра при условии, что процесс на входе фильтра – это дискретный белый шум с дисперсией D1 .
Рассматривается задача прохождения дискретного белого шума
через цифровой полосовой фильтр. Эта задача решается в три этапа.
На 1-м этапе производится синтез цифрового полосового фильтра по
данным аналогового фильтра с применением билинейного преобразования. На 2-м этапе производятся расчет АЧХ и построение графика
АЧХ полосового фильтра. На 3-м этапе определяется значение дисперсии D2 процесса на выходе цифрового полосового фильтра при
условии, что процесс на входе полосового фильтра есть дискретный
белый шум с дисперсией D1 .
Рассмотрим первоначально задачу построения цифрового полосового фильтра по данным аналогового фильтра с применением билинейного преобразования. В качестве аналогового фильтра используется фильтр вида [1]
H ( s 2 + c1 )
N (s) = 2
,
s + a1s + b1
(1)
где c1 = 7,464102; a1 = 0,998942; b1 = 1,170077; s – переменная преобразования Лапласа; H , c1 , a1 , b1 – коэффициенты передаточной
функции N(s) фильтра; H = b1 / c1 .
136
Билинейное преобразование определяется формулой [2]:
k ( z −2 − 2αz −1 + 1)
,
1 − z −2
(2)


ω2 + ω1
cos(
)T 
2
α=
; 
ω2 − ω1

cos(
)T 
2

ω2 − ω1 
k = Ω c ctg (
)T ;
2

Ωс = 1 рад/с,

(3)
s=
где
где ω1, ω2 – соответственно нижняя и верхняя частота полосового
фильтра; Ω с – частота среза аналогового фильтра; T – период дискретизации; z −1 – задержка в области z; α, k – коэффициенты билинейного
преобразования.
Определим переменные s, s 2 :
s=
s2 =
k ( z −2 − 2αz −1 + 1)
;
1 − z −2
k 2 [ z −4 − 4αz −3 + (2 + 4α 2 ) z −2 − 4αz −1 + 1]
.
z −4 − 2z −2 + 1
(4)
(5)
Из (4) имеем
a1k (− z −4 + 2αz −3 − 2αz −1 + 1)
a1s =
z −4 − 2z −2 + 1
или
a1s =
− a1kz −4 + 2αa1kz −3 − 2αa1kz −1 + a1k
.
z −4 − 2z −2 + 1
(6)
Имеем
b1 =
b1 ( z −4 − 2 z −2 + 1)
z −4 − 2z −2 + 1
или
b1 z −4 − 2b1 z −2 + b1
b1 =
.
z − 4 − 2 z −2 + 1
(7)
137
Из (5) получим
k 2 z −4 − 4αk 2 z −3 + (2 + 4α 2 )k 2 z −2 − 4αk 2 z −1 + k 2
.
z −4 − 2 z −2 + 1
Введем обозначения:

h4 = k 2 − a1k + b1 ,

h3 = 2αa1k − 4αk 2 ,


2
2
h2 = (2 + 4α )k − 2b1 , 

h1 = (−1)(2αa1k + 4αk 2 ),

h0 = k 2 + b1 + a1k .

s2 =
(8)
(9)
С учетом принятых обозначений соотношение s 2 + a1s + b1 принимает вид
h0 + h1 z −1 + h2 z −2 + h3 z −3 + h4 z −4
.
z −4 − 2z −2 + 1
(10)
Из (8) получим
Hk 2 z −4 − 4αk 2 Hz −3 + (2 + 4α 2 )k 2 Hz −2 − 4αk 2 Hz −1 + Hk 2
.
z −4 − 2 z − 2 + 1
Имеем
Hc ( z −4 − 2 z −2 + 1)
Hc1 = 1 − 4
z − 2 z −2 + 1
Hs 2 =
(11)
или
Hc1 z −4 − 2 Hc1 z −2 + Hc1
Hc1 =
.
z −4 − 2 z −2 + 1
(12)
Введем обозначения:
g 4 = H (k 2 + c1 ),


g 3 = − 4α k 2 H ,


2
2
g 2 = (2 + 4α )k H − 2 Hc1 ,

g1 = −4αk 2 H ,

2

g 0 = H (k + c1 ).

(13)
С учетом принятых обозначений соотношение H ( s 2 + c1 ) примет вид
g 0 + g1 z −1 + g 2 z −2 + g 3 z −3 + g 4 z −4
.
z −4 − 2 z −2 + 1
138
(14)
Из (1) с учетом (10), (14) получим
M ( z) =
Y ( z ) g 0 + g1 z −1 + g 2 z −2 + g 3 z −3 + g 4 z −4
=
.
X ( z ) h0 + h1 z −1 + h2 z − 2 + h3 z −3 + h4 z −4
(15)
Соотношение (15) есть передаточная функция цифрового полосового фильтра 4-го порядка.
Найдем АЧХ цифрового полосового фильтра. Имеем
M (e jωk ) =
M 1 (e jωk ) g 0 + g1e − jωk + ... + g 4 e − j 4ωk
=
,
M 2 (e jωk ) h0 + h1e − jωk + ... + h4 e − j 4 ωk
где ωk = ω*kT ; ω*k = 2πf k ;
(16)
f k = k∆f ; k = 0, m.
Из (16) получим:
M 1 (e jωk ) = A1 (ωk ) − jB1 (ωk ), 

M 2 (e jωk ) = A2 (ωk ) − jB2 (ωk ),
(17)
где
A1 (ωk ) = g 0 + g1 cos ωk + ... + g 4 cos 4ωk ,


B1 (ωk ) = g1 sin ωk + g 2 sin 2ωk + ... + g 4 sin 4ωk ,
A2 (ωk ) = h0 + h1 cos ωk + ... + h4 cos 4ωk ,
(18)


B2 (ωk ) = h1 sin ωk + h2 sin 2ωk + ... + h4 sin 4ωk ,
(19)
A(ωk ) = M (e jωk ) == A02 (ωk ) + B02 (ωk ),
(20)
где
A0 (ωk ) =
A0* (ωk )
,
A22 (ωk ) + B22 (ωk )
B0 (ωk ) =
B0* (ωk )
,
A22 (ωk ) + B22 (ωk )
A0* (ωk ) = A1 (ωk ) A2 (ωk ) + B1 (ωk ) B2 (ωk ),
B0* (ωk ) = A1 (ωk ) B2 (ωk ) − A2 (ωk ) B1 (ωk ).
139
Расчет АЧХ полосового фильтра производится для следующих
значений параметров: f 0 = 3000 Гц; f1 = 2970 Гц; f 2 = 3030 Гц;
T = 1/8000; m = 2000; ∆f = 2 Гц.
На рисунке приведена АЧХ A( f k ) полосового фильтра.
A( f k )
fk , Гц
Рис. АЧХ цифрового полосового фильтра
Если процесс на входе полосового фильтра есть дискретный белый шум с дисперсией D1 , то значение дисперсии D2 процесса на выходе полосового цифрового фильтра определяется соотношением [3]:
π
2
T T
jω*T
D2 = D1 ⋅
M
(
e
)
dω* ,
∫
2π − π
(21)
T
где ω = ω T ; ω = 2πf .
Поскольку
*
*
2
M (e jω ) == A2 (ω),
(22)
то соотношение (21) примет вид
π
T T 2
D2 = D1 ⋅
A (ω)dω* ,
∫
2π − π
(23)
T
где A(ω) определяется выражением (20), в котором ωk заменено на ω .
140
Для вычисления определенного интеграла используется метод
численного интегрирования – метод трапеций. Имеем
π
T
A2 (1) + A2 ( N + 1) N 2
+ ∑ A (i )]∆ω* ,
2
i=2
(24)
A2 (i ) = A2 (ωi ); ωi = (i − 1)∆ω* ⋅ T , i = 1, N + 1;


π/T
N=
; T = 1 / Fd .

*
∆ω

(25)
I = ∫ A2 (ω)dω* ≈ [
0
где
Здесь Fd – частота дискретизации.
При Fd = 8000, ∆ω* = 5,024 имеем N = 5000.
Соотношение (23) с учетом (24), (25) примет вид
D2 = D1 ⋅ 2 ⋅ I ⋅
T
.
2π
(26)
По формулам (26), (24), (25) была вычислена дисперсия D2 при
D1 = 1, Fd = 8000, ∆ω* = 5,024, N = 5000, которая имеет значение
D2 = 0,0438.
(27)
Среднеквадратичное значение σ 2 процесса на выходе цифрового полосового фильтра при условии, что среднеквадратичное значение процесса на входе полосового фильтра σ1 = D1 = 1 , имеет следующее значение:
σ 2 = D1 = 0,2092.
(28)
Определим отношение
r0 =
σ1
.
σ2
(29)
Имеем
r0 = 4,7793.
(30)
141
Таким образом, в статье определены дисперсия D2 и среднеквадратическое значение σ 2 процесса на выходе цифрового полосового фильтра при условии, что на вход фильтра воздействует дискретный белый шум с дисперсией D1 = 1.
Библиографический список
1. Хьюлсман Л.П., Ален Ф.Е. Введение в теорию и расчет активных фильтров. – М.: Радио и связь, 1984.
2. Введение в цифровую фильтрацию. – М.: Мир, 1976.
3. Основы цифровой обработки сигналов: курс лекций /
А.И. Солонина, Д.А. Улахович, С.М. Арбузов, Е.Б. Соловьев,
И.И. Гук. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003.
Получено 05.09.2011
142
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
69 Кб
Теги
белого, шума, полосовой, дискретное, прохождения, через, фильтра, цифровой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа