close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Разностные методы решения краевых задач для волнового уравнения с дробной производной По времени.

код для вставкиСкачать
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2008. — № 2 (17). — С. 13–20
УДК 519.633
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНОЙ
ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ
А. А. Алиханов
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова,
360004 Нальчик, ул. Чернышевского, 173.
E-mail: alikhanov-tom@yandex.ru
Исследуются краевые задачи для волнового уравнения с дробной производной по
времени. Получены априорные оценки для решения краевых задач первого и третьего родов в дифференциальной форме. Для рассматриваемых задач построены
разностные схемы второго порядка аппроксимации. Для разностной схемы, аппроксимирующей первую краевую задачу, получена априорная оценка в разностной форме.
Ключевые слова: краевые задачи, априорная оценка, разностная схема, устойчивость и сходимость разностных схем, регуляризованная дробная производная.
Важным классом неклассических уравнений являются дифференциальные уравнения дробного порядка. Подобные уравнения возникают при изучении фильтрации жидкости в сильно пористой (фрактальной) среде [1–3]. При
этом следует заметить, что порядок дробной производной связан с размерностью фрактала. Одними из ранних работ, посвящённых дифференциальным
уравнениям дробного порядка, являются [4–6]. Разностным методам решения
дифференциальных уравнений дробного порядка посвящены работы [7–9].
В прямоугольнике Q̄T = {(x, t) : 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T } рассмотрим первую
краевую задачу:
∂
∂u
∂2u
α
=
k(x, t)
−β(x, t)∂0t
u−q(x, t)u+f (x, t), 0 < x < l, 0 < t 6 T, (1)
∂t2
∂x
∂x
u(0, t) = 0,
u(x, 0) = u0 (x),
u(l, t) = 0,
0 6 t 6 T,
ut (x, 0) = u1 (x),
0 6 x 6 l,
(2)
(3)
где 0 < c1 6 k(x, t) 6 c2 ; q(x, t) > m > 0; |kt (x, t)|, q(x, t), |qt (x, t)|, |β(x, t)| 6 c3 ,
Z t
1
uτ (x, τ )
α
∂0t u(x, t) =
dτ
Γ(1 − α) 0 (t − τ )α
— регуляризованная дробная производная Капуто (0 < α < 1).
В дальнейшем будем предполагать существование решения u(x, t) ∈
∈ C 4,4 (Q̄T ) задачи (1)–(3) и считать, что коэффициенты уравнения (1) и функции f (x, t), u0 (x), u1 (x) удовлетворяют условиям гладкости, необходимым для
построения разностных схем второго порядка аппроксимации.
Алиханов Анатолий Алиевич — старший преподаватель кафедры вычислительной математики Кабардино-Балкарского государственного университета.
13
А л и х а н о в А. А.
Для того чтобы получить априорную оценку, умножим уравнение (1) на
ut (x, t) и проинтегрируем по x от 0 до l:
Z
l
Z
l
utt (x, t)ut (x, t)dx −
(k(x, t)ux (x, t))x ut (x, t)dx+
0
Z l
Z l
α
β(x, t)ut (x, t)∂0t u(x, τ )dx +
q(x, t)u(x, t)ut (x, t)dx =
+
0
0
Z l
=
f (x, t)ut (x, t). (4)
0
0
Преобразуем интегралы, входящие в тождество (4):
Z l
Z l
1 ∂
1 ∂
utt (x, t)ut (x, t)dx =
u2t (x, t)dx =
kut k20 ,
2
∂t
2
∂t
0
0
−
Z
l
(k(x, t)ux (x, t))x ut (x, t)dx =
0
Z
l
= −k(l, t)ux (l, t)ut (l, t) + k(0, t)ux (0, t)ut (0, t) +
k(x, t)ux (x, t)uxt (x, t)dx =
0
Z l
Z
1 ∂
1 l
=
k(x, t)u2x (x, t)dx −
kt (x, t)u2x (x, t)dx, (5)
2 ∂t 0
2 0
Z
l
q(x, t)u(x, t)ut (x, t)dx =
0
1 ∂
2 ∂t
Z
l
q(x, t)u2 (x, t)dx −
0
1
2
Z
l
qt (x, t)u2 (x, t)dx,
0
Z l
Z
Z l
1 l 2
1
1
1
f (x, t)ut (x, t)dx 6
f (x, t)dx +
u2 (x, t)dx = kf k20 + kut k20 .
2
2 0
2
2
0
0
Подставляя (5) в тождество (4), приходим к неравенству
Z l
Z l
1 ∂
kut k20 +
k(x, t)u2x (x, t)dx +
q(x, t)u2 (x, t)dx +
2 ∂t
0
0
Z l
1
1
c3
c3
α
+
β(x, t)ut (x, t)∂0t
u(x, τ )dx 6 kf k20 + kut k20 + kux k20 + kuk20 . (6)
2
2
2
2
0
Проинтегрировав неравенство (6) по τ от 0 до t, приходим к неравенству
Z t Z l
α
kut k20 + c1 kux k20 + mkuk20 +
dτ
β(x, τ )uτ (x, τ )∂0τ
u(x, τ1 )dx 6
0
0
Z t
Z t
Z t
Z t
2
2
2
6
ku(x, τ )k0 dτ +
kf (x, τ )k0 dτ + c3
ku(x, τ )k0 dτ + c3
kf (x, τ )k20 dτ +
0
0
0
+
14
ku1 (x)k20
0
+
′
c2 ku0 (x)k20
+ c3 ku0 (x)k20 . (7)
Разностные методы решения краевых задач . . .
Справедливы неравенства
Z t Z l
Z τ
1
uτ1 (x, τ1 )
6
dτ
β(x,
τ
)u
(x,
τ
)
dτ
dx
τ
1
Γ(1 − α)
α
0
0
0 (τ − τ1 )
2
Z
Z t Z l Z τ
c3 t
c3
uτ1 (x, τ1 )
2
6
kuτ (x, τ )k0 dτ + 2
dτ
dx
dτ1 6
α
2 0
2Γ (1 − α) 0
0
0 (τ − τ1 )
Z
Z l Z t Z τ 2
uτ1 (x, τ1 )
c3 t
c3
6
kuτ (x, τ )k20 dτ + 2
dx
dτ τ 1−α
dτ
1 6
α
2 0
2Γ (2 − α) 0
0
0 (τ − τ1 )
Z
Z l Z t
t1−α c3
c3 t
kuτ (x, τ )k20 dτ + 2
dx (t − τ )1−α u2τ (x, τ )dτ 6
6
2 0
2Γ (1 − α) 0
0
Z t
c3
t2−2α c3
6
+ 2
kuτ (x, τ )k20 dτ. (8)
2
2Γ (2 − α)
0
Из (7) с учётом (8) приходим к неравенству
kut k20
+
kux k20
+
kuk20
Z
t
6 M1
(kuτ k20 + kux k20 + kuk20 )dτ +
0
Z t
2
2
2
+
kf (x, τ )k0 dτ + ku1 (x)k0 + ku0 (x)kW 1 (0,l) , (9)
0
2
где M1 > 0 — известное число.
Применив к неравенству (9) лемму 5.5 (см. [10, c. 112]), получим
Z t
2
2
2
2
2
2
kut k0 +kux k0 +kuk0 6 M2
kf (x, τ )k0 dτ + ku1 (x)k0 + ku0 (x)kW 1 (0,l) , (10)
0
2
где M2 > 0 — известное число.
Из априорной оценки (10) следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (1)–(3) от входных данных.
Построение разностных схем. Устойчивость и сходимость. В прямоугольнике Q̄T введём сетку ω̄hτ = ω̄h ×ω̄τ , где ω̄h = {xi = ih, i = 0, 1, . . . , N, hN = l},
ω̄τ = {tj = jτ, j = 0, 1, . . . , j0 , τ j0 = T }.
Прежде чем перейти к разностной аппроксимации задачи (1)–(3), найдём дискретный аналог регуляризованной дробной производной порядка α
(0 < α < 1):
j Z ts
′
′
X
u (η)dη
1
u (η)dη
=
=
α
Γ(1 − α)
(tj − η)α
0 (tj − η)
s=1 ts−1
′′
′′′
j Z ts ′
X
u (ts−1/2 ) + u (ts−1/2 )(η − ts−1/2 ) + u (ξ1 )(η − ts−1/2 )2 /2
1
=
dη =
Γ(1 − α) s=1 ts−1
(tj − η)α
′
′′
′′′
j Z ts
X
u (ts−1/2 ) + u (ts )(η − ts−1/2 ) + u (ξ1 )(η − ts−1/2 )2 /2
1
=
dη+
Γ(1 − α)
(tj − η)α
ts−1
1
Γ(1 − α)
Z
tj
s=1
15
А л и х а н о в А. А.
j
′′′
ts
u (ξ2 )(η − ts−1/2 )(ts − ts−1/2 )
dη =
(tj − η)α
ts−1
Z ts
Z ts
j
j
X
X
η − ts−1/2
1
dη
1
′′
′
u (ts−1/2 )
+
u (ts )
dη+
=
α
α
Γ(1 − α)
Γ(1 − α)
ts−1 (tj − η)
ts−1 (tj − η)
s=1
s=1
′′′
′′′
j Z ts
X
u (ξ1 )(η − ts−1/2 )2 /2 + u (ξ2 )(η − ts−1/2 )(ts − ts−1/2 )
1
dη =
+
Γ(1 − α)
(tj − η)α
ts−1
+
X
1
Γ(1 − α) s=1
Z
s=1
j
= O(τ 2 ) +
X
1
1−α
(t1−α
j−s+1 − tj−s )ut̄,s +
Γ(2 − α)
s=1
+
1
+
Γ(1 − α)
1
Γ(3 − α)
j Z ts
X
s=1
ts−1
j
X
2−α
(t2−α
j−s+1 − tj−s −
s=1
(2 − α)τ 1−α
(tj−s+1 + t1−α
j−s ))ut̄t,s +
2
′′′
′′′
u (ξ1 )(η − ts−1/2 )2 /2 + u (ξ2 )(η − ts−1/2 )(ts − ts−1/2 )
dη,
(tj − η)α
где min(η, ts−1/2 ) 6 ξ1 6 max(η, ts−1/2 ), ts−1/2 6 ξ2 6 ts .
Так как
′′′
j Z ts ′′′
X
u (ξ1 )(η − ts−1/2 )2 /2 + u (ξ2 )(η − ts−1/2 )(ts − ts−1/2 ) 1
dη 6
Γ(1 − α)
(tj − η)α
t
s−1
s=1
Z tj
3M̄ t1−α
τ2
3M̄ τ 2
dη
j
6
=
= O(τ 2 ),
8Γ(1 − α) 0 (tj − η)α
8Γ(1 − α)
′′′
где |u (t)| 6 M̄ при всех t ∈ [0, T ], то
α
∂0t
u = ∆α◦ u + O(τ 2 ),
j
0tj
(11)
при этом
j
∆α◦ u
0tj
X
1
1−α
=
(t1−α
j−s+1 − tj−s )ut̄,s +
Γ(2 − α)
s=1
j
+
X
1
(2 − α)τ 1−α
2−α
(t2−α
(tj−s+1 + t1−α
j−s+1 − tj−s −
j−s ))ut̄t,s . (12)
Γ(3 − α)
2
s=1
Учитывая равенство ut̄,s = u◦ − τ2 ut̄t,s , преобразуем (12) к виду
t,s
j
∆α◦ u
0tj
X
1
=
(t1−α − t1−α
j−s )u◦t,s +
Γ(2 − α) s=1 j−s+1
j
X
1
2−α
1−α
+
(t2−α
j−s+1 − tj−s − (2 − α)τ tj−s+1 )ut̄t,s . (13)
Γ(3 − α)
s=1
16
Разностные методы решения краевых задач . . .
Задаче (1)–(3) поставим в соответствие следующую разностную схему:
1
yt̄t = Λ(σ ŷ + (1 − 2σ)y + σ y̌) − b∆α◦ y − d(ŷ + y̌) + ϕ,
0t
2
1 6 i 6 N − 1, 1 6 j 6 j0 − 1;
y(0, t) = 0, y(l, t) = 0, 0 6 t 6 T,
y(x, 0) = u0 (x), yt (x, 0) = ū1 (x), 0 6 x 6 l,
(14)
(15)
(16)
где Λy = (ayx̄ )x , a = k(x, tj ), b = β(x, tj ), d = q(x, tj ), ϕ = f (x, tj ), ū1 (x) =
= u1 (x) + 12 τ (Λu0 (x) − q(x, 0)u0 (x) + f (x, 0)).
Погрешность аппроксимации разностной схемы (14)–(16) на решении
u = u(x, t) дифференциальной задачи (1)–(3) при любом значении постоянной σ, не зависящей от h и τ , имеет порядок O(τ 2 + h2 ).
Исследование устойчивости разностной схемы (14)–(16) будем проводить
методом энергетических неравенств (см. [11, c. 341]), для чего преобразуем
уравнение (14) к виду
1
(E − στ 2 Λ)yt̄t = Λy − b∆α◦ y − d(ŷ + y̌) + ϕ.
0t
2
Умножив уравнение (17) скалярно на y◦ =
t
ŷt̄ +yt̄
2 ,
(17)
получим
1
(E − στ 2 Λ)yt̄t , y◦ − Λy, y◦ + b∆α◦ y, y◦ + d(ŷ + y̌), y◦ = ϕ, y◦ . (18)
t
t
t
t
t
0t
2
Преобразуем слагаемые равенства (18):
1
1
2
2
(E − στ 2 Λ)yt̄t , y◦ =
kyt̄ k20 + στ 2 (a(−1) , yt̄x̄
] − στ 2 at̄ , yt̄x̄
,
t
2
2
t
1
τ2 2 2
− Λy, y◦ = ayx̄ , y ◦ = a, ((yx̄ + y̌x̄ ) )t −
y
=
x̄ t
t
8
8 x̄t̄ t
i
i
2
2
1 (−1)
1
=
a
, yx̄ + y̌x̄ − τ 2 yx̄2t̄ −
at̄ , yx̄ + y̌x̄ − τ 2 yx̄2t̄ , (19)
8
t
8
b∆α◦ y, y◦
t
0t
1
=
Γ(2 − α)
1
+
Γ(3 − α)
b(x, tj )
j
X
t1−α
j−s+1
−
1−α
tj−s
s=1
b(x, tj )
j
X
t2−α
j−s+1
s=1
1
1
d(ŷ + y̌), y◦ = d, (y 2 + y̌ 2 )t =
t
2
4
1
ϕ, y◦ 6 kϕk20 +
t
2
−
2−α
tj−s
y◦ , y◦
t,s
− (2 −
t
!
+
1−α
α)τ tj−s+1
yt̄t,s , y◦
t
!
,
1 (−1) 2
1
d
, y + y̌ 2 t − (dt̄ , y 2 + y̌ 2 ),
4
4
1
1
kŷ k2 + ky k2 ,
4 t̄ 0 4 t̄ 0
17
А л и х а н о в А. А.
где a(−1) = a(x, tj−1 ), d(−1) = d(x, tj−1 ).
Подставляя (19) в равенство (17), приходим к неравенству
1
2
i
1 2 (−1) 2 i 1 (−1)
kyt̄ k20 + σ −
τ a
, yt̄x̄ +
a
, (yx̄ + y̌x̄ )2 +
4
4
1
1 (−1) 2
1 2
2
+
d
, y + y̌ 2
6 − b∆α◦ y, y◦ +
σ−
τ at̄ , yt̄x̄
+
t
0t
2
2
4
t
1
1
1
1
1
+
at̄ , (yx̄ + y̌x̄ )2 +
dt̄ , y 2 + y̌ 2 + kϕk20 + kŷt̄ k20 + kyt̄ k20 . (20)
8
4
2
4
4
Оценивая теперь выражение b∆α◦ y, y◦ , имеем
t
0t
j
2
X
c3
1−α
1−α
t
−
t
y
◦ +
j−s+1
j−s
2
t,s
t
0t
2Γ (2 − α) s=1
0
j
2
!
X t2−α − t2−α
c3
j−s+1
j−s
2
+ 2
− (2 − α)t1−α
ŷ
−
y
t̄,s
t̄,s + c3 ky◦ k0 6
j−s+1
t
2Γ (3 − α) τ
(b∆α◦ y, y◦ ) 6
s=1
6 c3 ky◦ k20 +
t
+
c3 t1−α
j
2
2Γ (2 − α)
0
j
X
s=1
1−α
2
t1−α
j−s+1 − tj−s ky◦ k0 +
t,s
j j X
X
c3
1−α
1−α
1−α 1−α 2
t
−
t
t
−
t
j−s+θs
j−s+θs
j−s+1 j−s+1 kŷt̄,s − yt̄,s k0 6
2Γ2 (2 − α)
s=1
6
c3
c3
kŷt̄ k20 + kyt̄ k20 +
2
4
s=1
5c3 t1−α
j
4Γ2 (2 − α)
j
X
1−α
t1−α
j−s+1 − tj−s
s=1
kŷt̄,s k20 + kyt̄,s k20 , (21)
где θs ∈ (0, 1), s = 1, 2, . . . , j, tj−s+θs = tj−s + θs τ .
Подставляя (21) в (20), находим
i 1
1 2 (−1) 2 i 1 (−1)
2
(−1) 2
2
+ σ−
τ a
, yt̄x̄ +
a
, (yx̄ + y̌x̄ ) +
d
, y + y̌
6
4
4
2
t
j
5c3 tj1−α X
1
1 2
1−α
1−α
2
2
2
6
t
−
t
kŷ
k
+
ky
k
+
σ
−
τ
a
,
y
+
t̄,s
t̄,s
t̄
0
0
j−s+1
j−s
t̄x̄
4Γ2 (2 − α)
2
4
s=1
1
2c3 + 1
1
+
at̄ , (yx̄ + y̌x̄ )2 +
dt̄ , y 2 + y̌ 2 +
kŷt̄ k20 +
8
4
4
2c3 + 1
1
+
kyt̄ k20 + kϕk20 . (22)
4
2
18
kyt̄ k20
Разностные методы решения краевых задач . . .
Умножим неравенство (22) на τ и просуммируем по j ′ от 0 до j:
′
ky j+1 k2∗
6 M3
j
j
X
X
1−α
t1−α
j ′ −s+1 −tj ′ −s
s=0
j ′ =0
kŷt̄,s k20
+
kyt̄,s k20
!
1 2 j 2
+ σ− τ ||yt̄x̄ ]|0 τ +
4
j X
+ M3
||yx̄j + yx̄j−1 ]|20 + ky j k20 + ky j−1 k20 + kyt̄j+1 k20 + kyt̄j k20 + kϕj k20 τ, (23)
j ′ =0
где
1 2
kyk2∗ = kyt̄ k20 + σ −
τ ||yt̄x̄ ]|20 + kyx̄ + y̌x̄ ]|20 + kyk20 + ky̌k20 ,
4
M3 > 0 — известное число, не зависящее от h и τ , σ > 14 .
В силу неравенства
′
j X
j
X
1−α
tj1−α
′ −s+1 − tj ′ −s
j ′ =0 s=0
kŷt̄,s k20 + kyt̄,s k20 τ =
j
j
X
X
2
2
1−α
=
(kŷt̄,s k0 + kyt̄,s k0 )τ
(t1−α
j ′ −s+1 − tj ′ −s ) 6
s=0
6
j
X
kŷt̄,s k20
+
j ′ =s
kyt̄,s k20
s=0
τ
j
X
t1−α
j ′ −s+1
−
j ′ =0
t1−α
j ′ −s
=
t1−α
j
j
X
s=0
kŷt̄,s k20 + kyt̄,s k20 τ
)) приходим
из (23), на основании леммы 4 из [12], при τ 6 τ0 = 1/(2M3 (1+t1−α
j
к неравенству
!
j
X
ky j+1 k2∗ 6 M4
kϕj k20 τ + ky 0 k2∗ ,
(24)
j ′ =0
где M4 > 0 — известное число, не зависящее от h и τ .
Из оценки (24) следует устойчивость разностной схемы (14)–(16) и сходимость к решению дифференциальной задачи (1)–(3) со скоростью O(τ 2 + h2 ),
при σ > 41 , в смысле нормы
kyk∗ =
kyt̄ k20
1 2
+ σ−
τ kyt̄x̄ k20 + kyx̄ + y̌x̄ ]|20 + kyk20 + ky̌ 2 k0
4
1
2
.
Аналогично рассмотрена третья краевая задача для уравнения (1) с начальным условием (3), для которой методом энергетических неравенств получена априорная оценка, a также построена разностная схема второго порядка
аппроксимации.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нигматуллин, Р. Р. Особенности релаксации системы с «остаточной» памятью [Текст] /
Р. Р. Нигматуллин // Физ. твёрдого тела. — 1985. — T. 27, № 5. — C. 1583–1585.
19
А л и х а н о в А. А.
2. Чукбар, К. В. Стохастический перенос и дробные производные [Текст] / К. В. Чукбар //
ЖЭТФ. — 1995. — T. 108, № 5(11). — C. 1875–1884.
3. Шогенов, В. Х. Обобщённое уравнение переноса и дробные производные [Текст] / В. Х.
Шогенов, С. К. Кумыкова, М. Х. Шхануков—Лафишев // Докл. Адыгской (Черкесской)
Международной Академии Наук. — 1996. — T. 1, № 3. — C. 43–45.
4. Pitcher, E. Existence theorems for solution of differential equations of non-integral order
[Text] / E. Pitcher // Ibit. — 1938. — Vol. 44, No. 2. — P. 100–107.
5. Mandelbrojt, S. Sulla generalizzazione del calcolo delle variazione [Text] / S. Mandelbrojt //
Atti. Reale Accad. Naz. Lincei. Rend Cl. Fis. mat. netur. Ser. 6. — 1925. — Vol. 1. — H. 151–
156.
6. Бабенко, Ю. А. Тепломассообмен. Метод расчёта тепловых и диффузных потоков [Текст] /
Ю. А. Бабенко. — Л.: Химия, 1986. — 144 с.
7. Шхануков, М. Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений
с дробной производной [Текст] / М. Х. Шхануков // Докл. РАН. — 1996. — T. 348, № 6. —
C. 746–748.
8. Шхануков—Лафишев, М. Х. Локально-одномерная схема первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в младших членах [Текст] /
М. Х. Шхануков—Лафишев, Ф. М. Нахушева, М. Х. Абрегов // Вестн. КБНЦ РАН. —
1998. — T. 1, № 1. — C. 35–40.
9. Дигурова, А. М. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи
для дифференциального уравнения на фракталах [Текст] / А. М. Дигурова, М. Х. Шхануков / Сб. научн. тр. IV Всерос. симп. «Математическое моделирование и компьютерные технологии». — Кисловодск, 2000. — T. 2. — C. 14–15.
10. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа
[Текст] / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. — М.: Наука, 1967. —
736 с.
11. Самарский, А. А. Теория разностных схем [Текст] / А. А. Самарский. — М.: Наука,
1977. — 656 c.
12. Самарский, А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа [Текст] / А. А. Самарский // Ж. вычисл. матем. и мат.
физ. — 1963. — Т. 3, № 2. — С. 266–298.
Поступила в редакцию 19/VII/2008;
в окончательном варианте — 25/IX/2008.
MSC: 35L05, 35L35
DIFFERENCE METHODS OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS
SOLUTION FOR WAVE EQUATION EQUIPPED WITH
FRACTIONAL TIME DERIVATIVE
A. A. Alikhanov
H. M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University,
360004 Nal’chik, Chernyshevskogo str., 173.
E-mail: alikhanov-tom@yandex.ru
Boundary value problems for wave equation with fractional time derivative are studied.
priori estimates for solution of boundary value problems of the first and third kind in
differential form are obtained. Difference schemes of the second order approximation
are constructed for the mentioned problems. A priori estimate in difference form is
obtained for difference scheme approximating the boundary value problem of the first
kind.
Key words: boundary-value problem, prior estimate, difference scheme, firmness and
convergence difference scheme, regularized fractional derivative.
Original article submitted 19/VII/2008;
revision submitted 25/IX/2008.
Alikhanov Anatoly Alievich, Senior Lecturer, Dept. of Calculus Mathematics of Kabardino-Balkarian State University.
20
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
22
Размер файла
164 Кб
Теги
времени, решение, уравнения, метод, разностные, волнового, производной, задачи, краевых, дробной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа