close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Разрешимость задачи термовязкоупругости для одной модели Осколкова.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2014, № 9, c. 69–74
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
Краткое сообщение, представленное В.Г. Звягиным
А.В. ЗВЯГИН, В.П. ОРЛОВ
РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ
ДЛЯ ОДНОЙ МОДЕЛИ ОСКОЛКОВА
Аннотация. В статье исследуется проблема существования слабого решения для начальнокраевой задачи термовязкоупругости одной математической модели Осколкова, описывающей течение линейно упруго-запаздывающей жидкости Фойгта.
Ключевые слова: слабые решения, теоремы существования, термовязкоупругость, модель
Осколкова.
УДК: 517.958
1. Введение
Пусть Ω ⊂ Rn , n = 2, 3, — ограниченная область с границей ∂Ω класса C 2 . В QT =
[0, T ] × Ω рассматривается начально-краевая задача
∂v/∂t +
n
vi ∂v/∂xi − ν0 ∆v − 2 Div(ν(θ)E(v)) − κ∂∆v/∂t + grad p = f в QT ;
(1)
i=1
div v = 0 в QT ;
∂θ/∂t +
n
v|t=0 = v0 в Ω,
v|[0,T ]×∂Ω = 0;
vi ∂θ/∂xi − χ∆ θ = 2(ν0 + ν(θ))E(v) : E(v) + 2κ∂E(v)/∂t : E(v) + g в QT ;
(2)
(3)
i=1
θ|t=0 = θ0 в Ω,
θ|[0,T ]×∂Ω = 0.
(4)
Здесь v = (v1 (t, x), . . . , vn (t, x)), n = 2, 3, θ(t, x) и p(t, x) — вектор-функция скорости, функции температуры и давления среды соответственно, f — плотность внешних сил, g — источник внешнего тепла, κ > 0 — время ретардации (запаздывания), χ > 0 — коэффициент теплопроводности, ν0 > 0 — начальная вязкость жидкости, 0 ≤ ν(s) ≤ M , ν(s) ∈ C 2 (−∞, +∞)
— вязкость жидкости, где M = const; E(v) = {Eij }, Eij = 12 (∂vi /∂xj + ∂vj /∂xi ) — тензор
Поступила 07.04.2014
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 13-01-00041, 14-01-31228) и Министерства образования и науки России в рамках
государственного задания вузам в сфере научной деятельности на 2014–2016 годы (проект № 772).
69
70
А.В. ЗВЯГИН, В.П. ОРЛОВ
скоростей деформаций. Далее, символ A : B равен
n
aij bij для произвольных квадрат-
i,j=1
ных матриц A = (aij ) и B = (bij ); Div C — дивергенция тензора C = (cij (t, x)), т. е. вектор
n
n
∂c1j (t, x)/∂xj , . . . ,
∂cnj (t, x)/∂xj .
Div C =
j=1
j=1
При θ = 0 задача (1)–(4) является начально-краевой задачей для модели Осколкова (которая в некоторой литературе называется моделью Фойгта), описывающей течение линейно
упруго-запаздывающей жидкости Фойгта [1], [2]. Добавление в этой модели температуры θ
в коэффициент вязкости приводит к появлению уравнения (3) (уравнение баланса энергии
[3]).
2. Формулировка основного результата
Через C0∞ (Ω)n будем обозначать пространство вектор-функций на Ω со значениями в
класса C ∞ с компактным носителем, содержащимся в Ω. Пусть V = {v : v ∈ C0∞ (Ω)n ,
div v = 0} — подмножество соленоидальных вектор-функций; H — замыкание V по норме
пространства L2 (Ω)n ; V — замыкание V по норме пространства W 21 (Ω)n .
Введем пространства E1 = {v : v ∈ C([0, T ], V ), v ∈ L2 (0, T ; V )}, E2 = {v : v ∈
1−2/p
(Ω)), v ∈ L1 (0, T ; Wp−1 (Ω)), 1 < p < +∞}. Здесь Cω (0, T ; E)
Lp (0, T ; Wp1 (Ω))∩Cω (0, T ; Wp
— пространство слабо непрерывных функций со значениями в банаховом пространстве E.
Через f, ϕ будем обозначать действие функционала f ∈ E ∗ на элемент x ∈ E.
Rn
Определение. Слабым решением задачи (1)–(4) называется пара (v, θ), где v ∈ E1 и θ ∈
E2 , удовлетворяющая соотношениям
n
∂v/∂t ϕ dx −
vi vj ∂ϕj /∂xi dx + ν0
E(v) : E(ϕ) dx + 2 ν(θ)E(v) : E(ϕ) dx+
Ω
Ω i,j=1
Ω
Ω
E(∂v/∂t) : E(ϕ) dx = f (t), ϕ при всех ϕ ∈ V и п. в. t ∈ [0, T ], (5)
+κ
Ω
∂θ/∂tφ dx −
Ω
n
Ω i,j=1
+ 2κ
E(θ) : E(φ) dx = 2
vi θj ∂φj /∂xi dx + χ
Ω
ν(θ)E(v) : E(v) : φ dx+
Ω
∂E(v)/∂t : E(v) : φ dx + g, φ при всех φ ∈ C0∞ (Ω) и п. в. t ∈ [0, T ], (6)
Ω
где ν(θ) = ν0 + ν(θ), и начальным условиям v|t=0 = v0 и θ|t=0 = θ0 .
Теорема 1. Пусть функция ν(θ) ∈ C 2 (−∞, +∞) является монотонно возрастающей и
−2(1−1/p)
1−2/p
(Ω)), v0 ∈ V , θ0 ∈ Wp
(Ω). Тогда
0 ≤ ν(θ) ≤ M , f ∈ Lp (0, T ; V ∗ ), g ∈ L1 (0, T ; Hp
при 1 < p < 4/3 для n = 2 и при 1 < p < 5/4 для n = 3 существует слабое решение задачи
(1)–(4).
Доказательство теоремы 1 проводится поэтапно. На первом этапе устанавливается разрешимость задачи (1), (2) с известной θ ∈ E2 (раздел 3). Затем доказывается разрешимость
задачи (3), (4) с заданной ν ∈ E1 (раздел 4). Далее описывается итерационный процесс
(раздел 5), состоящий в последовательном решении вышеприведенных задач, и, наконец,
доказывается сходимость последовательных приближений к решению задачи (1)–(4) (раздел 6).
РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ
71
3. Доказательство разрешимости начально-краевой задачи (1), (2)
Рассмотрим начально-краевую задачу (1), (2) при фиксированной θ ∈ E2 .
Слабое решение задачи (1), (2) определим как функцию v ∈ E1 , удовлетворяющую (5) и
начальному условию v|t=0 = v0 . Для данной задачи справедлива
Теорема 2. Пусть функция ν(θ) ∈ C 2 (−∞, +∞) является монотонно возрастающей и
0 ≤ ν(θ) ≤ M , f ∈ L2 (0, T ; V ∗ ), v0 ∈ V , θ ∈ E2 . Тогда задача (1), (2) имеет по крайней
мере одно слабое решение v ∈ E1 , для которого справедлива оценка
vE1 R1 ,
R1 = R1 (T, f L2 (0,T ;V ∗ ) , v0 V ).
(7)
Доказательство данной теоремы [4], [5] осуществляется на основе теории топологической
степени Лере–Шаудера для вполне непрерывных векторных полей. Вначале доказывается априорная оценка решений рассматриваемой задачи. Далее дается операторная интерпретация рассматриваемой начально–краевой задачи. В силу априорной оценки решений
определена степень Лере–Шаудера для соответствующего вполне непрерывного векторного
поля. На основе свойств топологической степени показывается, что операторное уравнение имеет по крайней мере одно решение. Следовательно, начально-краевая задача (1), (2)
имеет по крайней мере одно слабое решение v ∈ E1 .
4. Разрешимость уравнения баланса энергии
Рассмотрим следующую начально-краевую задачу при фиксированных θ ∈ E2 и v ∈ E1 :
n
vi ∂θ/∂xi − χθ = ν(θ)E(v)
: E(v) + 2κ∂E(v)/∂t : E(v) + g в QT ;
(8)
∂θ/∂t +
i=1
θ|t=0 = θ0 в Ω,
(9)
θ|[0,T ]×∂Ω = 0.
Слабое решение задачи (8), (9) определим как функцию θ ∈ E2 , удовлетворяющую (6) и
начальному условию θ|t=0 = θ0 .
Для начально-краевой задачи (8), (9) справедлива
−2(1−1/p)
1−2/p
(Ω)), θ0 ∈ Wp
(Ω), θ ∈ E2 , v ∈ E1 . Тогда при
Теорема 3. Пусть g ∈ L1 (0, T ; Hp
1 < p < 4/3 для n = 2 и при 1 < p < 5/4 для n = 3 задача (8), (9) имеет по крайней мере
одно слабое решение и справедлива оценка
θE2 ≤ R2 gL (0,T ;H −2(1−1/p) (Ω)) + ∂v/∂t2L2 (0,T ;H) + θ0 W 1−2/p (Ω) .
1
p
p
Доказательство данной теоремы вытекает из результатов, приведенных в [6] и [7]. Отметим, что при исследовании слабой разрешимости задачи (8), (9) в правой части (8) появляются слагаемые из L1 (QT ), что вызывает существенные трудности (например, [8], [9]).
5. Построение последовательных приближений
Рассмотрим последовательность (v n , θ n ), n = 0, 1, 2, . . . , определяемую следующим образом. Пусть v 0 и θ 0 означают начальные значения v0 и θ0 для v и θ из (2) и (4). Пусть (v n , θ n )
известны. Тогда сначала находится v n+1 как слабое решение задачи
∂v
n+1
/∂t +
n
vin+1 ∂v n+1 /∂xi − ν0 ∆v n+1 − 2 Div(ν(θ n )E(v n+1 ))−
i=1
− κ∂∆v n+1 /∂t + grad p = f в QT ; (10)
72
А.В. ЗВЯГИН, В.П. ОРЛОВ
div v n+1 = 0 в QT ;
v n+1 |t=0 = v0 в Ω;
v n+1 |[0,T ]×∂Ω = 0,
(11)
затем, при найденном v n+1 находится θ n+1 как слабое решение задачи
∂θ
n+1
/∂t +
n
vin+1 ∂θ n+1 /∂xi − χ θ n+1 = 2(ν0 + ν(θ n ))E(v n+1 ) : E(v n+1 )+
i=1
+ 2κ∂E(v n+1 )/∂t : E(v n+1 ) + g в QT ; (12)
θ n+1 |t=0 = θ0 в Ω;
θ n+1 |[0,T ]×∂Ω = 0.
(13)
Отметим, что слабым решением задачи (10), (11) называется функция v n+1 ∈ E1 , удовлетворяющая соотношению (5) и начальному условию v n+1 |t=0 = v0 , а слабым решением
задачи (12), (13) называется функция θ n+1 ∈ E2 , удовлетворяющая соотношению (6) и
начальному условию θ n+1 |t=0 = θ0 .
Разрешимость задачи (10), (11) вытекает из теоремы 2. При найденной функции v n+1
выполнены все требования теоремы 3. Отсюда следует, что задача (12), (13) также разрешима.
6. Предельный переход
Рассмотрим теперь последовательность (v n , θ n ), n = 1, 2, . . . , где v n — решение задачи
(10), (11), а θ n — решение задачи (12), (13). Изучим вопрос о сходимости последовательности
(v n , θ n ).
Лемма 1. Последовательность {θ n } относительно компактна в Lp (0, T ; Lp (Ω)), где p
удовлетворяет условиям теоремы 1.
Рассмотрим теперь v n . В силу оценки (7) можно считать (без ограничения общности),
что v n слабо сходится в L2 (0, T ; V ), а ∂v n /∂t слабо сходится в L2 (0, T ; V ). Покажем, что
подпоследовательность v n сходится к v, где v — решение задачи (10), (11) при θ ∈ E2 и
θ = lim θ n .
Так как v n — решение задачи (10), (11), следовательно, справедливо равенство
T
∂v /∂t ϕ dx dt −
n
0
0
Ω
T
n
vin vjn ∂ϕj /∂xi
Ω i,j=1
Ω
T
E(v n ) : E(ϕ) dx dt+
dx dt + ν0
0
ν(θ n )E(v n ) : E(ϕ) dx dt + κ
+2
0
T
0
T
Ω
E(∂v n /∂t) : E(ϕ) dx dt = f, ϕ. (14)
Ω
В силу теоремы Симона [10] (при необходимости переходя к подпоследовательностям)
→ v сильно в C([0, T ], L4 (Ω)). Таким образом, v n сходится к v сильно в C([0, T ], L4 (Ω)n ),
а ∇(v n ) сходится к ∇v слабо в L2 (0, T ; L2 (Ω)). Тогда произведение этих последовательностей
сходится слабо к произведению пределов. Следовательно, в равенстве (14) в каждом слагаемом можно перейти к пределу. Продифференцировав полученное равенство по t ∈ [0, T ],
получим, что предельная функция v ∈ E1 будет удовлетворять равенству (5), и, следовательно, будет являться слабым решением задачи (10), (11).
Для того чтобы обосновать предельный переход в задаче (12), (13), нам понадобится
более сильный результат о сходимости v n .
vn
Лемма 2. Последовательность v n сильно сходится в L2 (0, T ; V ) к v ∈ E1 .
РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ
73
Покажем, что полученное при предельном переходе θ ∈ E2 , является слабым решением
задачи (1)–(4). Так как θ n является решением задачи (12), (13), то для него справедливо
равенство (6). Рассмотрим бесконечно дифференцируемую по t и x на QT функцию ψ(t, x),
удовлетворяющую условиям ψ(0, ·) = ψ(T, ·) = 0 и ψ|[0,T ]×∂Ω = 0. Умножим (6) на ψ(t, x),
проинтегрируем на [0,T] и упростим:
−
T
T
(θ , φ)∂ψ/∂t dt −
n
0
0
T
=
0
g, φψ dt + 2ν0
n
(vin θ n , ∂φ/∂xi )ψ dt
+χ
i=1
T
0
T
0
n
(∂θ n /∂xi , ∂φ/∂xi ) ψ dt =
i=1
T
(E(v n ) : E(v n ), φ)ψ dt + 2
(ν(θ n−1 )E(v n ) : E(v n ), φ)ψ dt+
0
T
((∂E(v n )/∂t : E(v n )), E(φ)) ψ dt, φ ∈ C0∞ (Ω).
+ 2κ
0
vn
в L2 (0, T ; V ) и θ n в Lp (0, T ; Lp (Ω)) и слабой сходимости θ n к
Из сильной сходимости
1
θ в Lp (0, T ; Wp (Ω)), где p удовлетворяет условиям теоремы 1, вытекает возможность предельного перехода во всех слагаемых. Из последнего равенства в силу произвольности ψ
вытекает справедливость соотношения (6). Это и завершает доказательство теоремы 1.
Литература
[1] Осколков А.П. О единственности и разрешимости в целом краевых задач для уравнений движения
водных растворов полимеров, Зап. научн. семин. ЛОМИ 38, 98–136 (1973).
[2] Осколков А.П. О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах, встречающихся
при изучении движения вязких жидкостей, Зап. научн. семин. ЛОМИ 59, 133–177 (1976).
[3] Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей (Наука, Новосибирск, 1983).
[4] Звягин В.Г., Турбин М.В. Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред (КРАСАНД
(URSS), М., 2012).
[5] Zvyagin A.V. Solvability for equations of motion of weak aqueous polymer solutions with objective derivative,
Nonlinear Anal. 90, 70–85 (2013).
[6] Звягин В.Г., Орлов В.П. Разрешимость в слабом смысле системы термовязкоупругости для модели
Джеффриса, Изв. вузов. Матем., № 9, 64–69 (2013).
[7] Орлов В.П., Паршин М.И. Об одной задаче динамики термовязкоупругой среды типа Олдройда, Изв.
вузов. Матем., № 5, 68–74 (2014).
[8] Blanchard D., Bruyere N., Guibe O. Existence and uniqueness of the solution of a Boussinesq system with
nonlinear dissipation, Commun. Pure Appl. Anal. 12 (5), 2213–2227 (2013).
[9] Blanchard D. A few result on coupled systems of thermomechanics, in: “On the notions of solution to nonlinear
elliptic problems: results and developments”, Quaderni di Matematica 23, 145–182 (2008).
[10] Simon J. Compact sets in the space Lp (0, T ; B), Ann. Mat. Pura Appl. 146, 65–96 (1987).
А.В. Звягин
младший научный сотрудник НИИ математики,
Воронежский государственный университет,
Университетская пл., д. 1, г. Воронеж, 394006, Россия,
e-mail: zvyagin.a@mail.ru
В.П. Орлов
профессор, кафедра математического моделирования,
Воронежский государственный университет,
Университетская пл., д. 1, г. Воронеж, 394006, Россия,
e-mail: orlov@math.vsu.ru
74
А.В. ЗВЯГИН, В.П. ОРЛОВ
A.V. Zvyagin and V.P. Orlov
Solvability of thermoviscoelastic problem for one Oskolkov’s model
Abstract. We study a problem of existence of weak solution to initial boundary-value problem of
thermoviscoelasticity of one mathematical Oskolkov’s model which describes a motion of linearly
elastic-delayed Voigt fluid.
Keywords: weak solutions, theorems of existence, thermoviscoelasticity, Oskolkov’s model.
A.V. Zvyagin
Junior Researcher, Research Institute of Mathematics,
Voronezh State University,
1 Universitetskaya Sq., Voronezh, 394006 Russia,
e-mail: zvyagin.a@mail.ru
V.P. Orlov
Professor, Chair of Mathematical Modelling,
Voronezh State University,
1 Universitetskaya Sq., Voronezh, 394006 Russia,
e-mail: orlov@math.vsu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
186 Кб
Теги
осколкова, разрешимости, одной, задачи, модель, термовязкоупругости
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа