close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Распределение концентрации диффундирующего элемента в трехслойной системе и оценка коэффициента диффузии на основе решения обратной задачи.

код для вставкиСкачать
Бутов В.Г., Губарьков Д.В., Князева А.Г. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 105–112
105
Распределение концентрации диффундирующего элемента
в трехслойной системе и оценка коэффициента диффузии
на основе решения обратной задачи
В.Г. Бутов, Д.В. Губарьков, А.Г. Князева
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе представлены точные аналитические решения задач диффузии в трехслойной системе в условиях пайки разнородных
материалов без учета и с учетом пределов растворимости диффундирующего элемента в материалах покрытия и основы, проведено
сравнение с численным счетом. Дана оценка распределения концентраций с учетом конечных размеров образцов. Предложен
способ оценки коэффициентов диффузии по данным эксперимента о распределении концентраций в диффузионной системе на
основе решения обратной задачи.
1. Введение
Важной проблемой в области разработки, создания
и применения новых конструкционных и инструментальных керамических материалов является получение
надежных соединений керамик с основой, как правило
с металлами и твердыми сплавами. К наиболее передовым и вместе с тем малоизученным способам получения
соединений разнородных материалов относится пайка
под воздействием концентрированных потоков энергии.
В условиях эксперимента [1] характер соединения в значительной степени определяется диффузией элементов
припоя (прежде всего, Ag и Ti) в кубический нитрид
бора (материал покрытия) и в сплав W и Co (материал
основы) и образованием промежуточных фаз, причем
эксплуатационные свойства материала зависят от толщины диффузионного слоя (от глубины проникновения
элементов припоя в материал покрытия). Для того чтобы
получить покрытие с нужными свойствами, нужно дать
прогноз, как зависит толщина диффузионного слоя от
условий эксперимента (состава и толщины припоя, температуры, времени выдержки при данной температуре,
условий охлаждения и др.), а при построении и анализе
математической модели, соответствующей этому эксперименту, неизбежно возникает проблема оценки или поиска в литературе данных о физических свойствах ис© Бутов В.Г., Губарьков Д.В., Князева А.Г., 2000
пользуемых материалов. Одну из таких проблем — определение коэффициентов диффузии на основе пространственных распределений концентраций диффундирующих элементов, полученных экспериментально [1],
может решить предложенная ниже модельная задача.
2. Модельная задача
Пусть C i — это концентрация элемента, определяющего свойства соединения (или переходного слоя),
например Ti; индекс i = 1 соответствует диффузии в
материале покрытия, i = 2 — в припое, i = 3 — в материале основы. Предположим, что температура, при которой происходит образование соединения, является
постоянной, а концентрация титана в припое в начальный момент времени C 0 такова, что можно говорить
об идеальном растворе и не учитывать зависимости потока этого элемента от других возможных диффузионных потоков. По этой же причине считаем, что пределы
растворимости Ti в материалах покрытия и основы, а
также условия выделения новых фаз в этих материалах
не достигаются. Пренебрегаем стадиями нагрева системы “покрытие – припой – основа”, плавления припоя,
смачивания расплавом соединяемых поверхностей и
адсорбции. Процесс охлаждения также не рассматриваем. В условиях постоянства температуры и отсутст-
106
Бутов В.Г., Губарьков Д.В., Князева А.Г. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 105–112
A2 = ?Z ?1
Рис. 1. Иллюстрация к математической формулировке диффузионной
задачи
вия стоков для диффундирующего элемента с торцевых
и боковых поверхностей соединяемых образцов процесс можно считать одномерным (что можно легко продемонстрировать). В рамках сделанных предположений
математическая формулировка представляет собой
трехслойную сопряженную диффузионную задачу
(рис. 1):
?C i
? 2Ci
, i = 1, 2, 3,
= Di
?t
?x 2
(1)
?C1
x = ? h1 :
= 0;
?x
(2)
x = 0 : D1
?C 2
?C1
, C1 = C 2 ;
= D2
?x
?x
(3)
x = ?: D2
?C 2
?C
= D3 3 , C 2 = C3 ;
?x
?x
(4)
x = ? + h3 :
?C 3
= 0;
?x
(5)
(6)
Для h1 ? ?, h3 ? ?, что и представляет интерес с точки зрения эксперимента, задача решается точно операционным методом, который весьма удобен для сопряженных задач [2, 3], и по-видимому, решена в теории
теплопроводности. Выпишем решение в пространстве
изображений по Лапласу (t ч p, C i ч Ci ), так как оно
пригодится в дальнейшем:
? p
C i (0 , x)
+ Ai exp?
? Di
p
?
?
?
p
x ? + Bi exp? ?
?
?
D
i
?
?
?
x ? , (7)
?
?
B1 ? 0, A3 ? 0;
A1 = Z
+
?1
? B
?
?
p ???
?
+
? ?,
exp? ?
?
?
D2 ????
?? (1 + B? ) 1 + K ?
?
? ?B
? p ??
1
?
?
?? ,
exp?
?
? D ???
?? (1 + B? ) 1 + K ?
2 ??
?
B2 = Z ?1
C0
p
B3 = Z ?1
?
C0 ? 1
p ??
?
exp? 2
?
? +
?
?
?
p ? 1 + B?
? D2 ? 1 + B?
?
?
? p ??
2
exp?
? ?? ,
? D ??
(1 + K ? )(1 + B? )
2 ??
?
? p ?
?
p ??
Z = exp?
? ? + ?? exp? ?
? ,
? D ?
?
D2 ??
2 ?
?
?
?=
1 ? K?
1 ? B?
, ?=
, K? =
1+ K?
1 + B?
D2
, B? =
D1
D3
.
D2
По аналогии с сопряженными задачами теплопроводности назовем параметры K ? и B? коэффициентами
диффузионной активности одной среды по отношению
к другой. Подобные коэффициенты, очевидно, имеют
место для каждого из диффундирующих компонентов.
Так как параметры ? и ? по модулю всегда меньше
единицы, то справедливо разложение
Z ?1 = exp( ? p D2 ?) Ч
t = 0 : C1 = 0, C 2 = C 0 , C 3 = 0.
Ci =
C0
p
C0 ?
2 K ? B?
+
??
p ? (1 + K ? )(1 + B? )
?
? p ? K ??
K?
p ???
exp?
exp? ?
? ?,
?? ?
?
? D ? 1+ K
D2 ???
1 + K?
?
2 ?
?
?
?
?
[
]
Ч ? ( ??) n (?1) n exp(?2 p D2 ?n) .
n =0
(8)
Следовательно, окончательное решение в каждой из областей в пространстве изображений может быть представлено в виде бесконечных сходящихся рядов. Переходя к оригиналам, найдем
?
C1 = C 0 ? (??) n (?1) n Ч
n=0
?
? ?(2n + 1) ? xK ?
?
2 K ? B?
?
Ч ??
?+
erfc ?
2 D2 t
??
??
?? (1 + K ? )(1 + B? )
+
? 2n? ? xK ?
K?
?
erfc?
??
1 + K?
2
D
t
??
2
??
?
? 2?(n + 1) ? xK ? ??
K ??
?
erfc?
? ? , x < 0,
1 + K?
2 D2 t
??
?? ??
Бутов В.Г., Губарьков Д.В., Князева А.Г. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 105–112
?
? ?+x ?
? ?B?
??
C 2 ? C0 + C0 ?
erfc?
?? 2 D2t ??
?? (1 + B? )
?
C 2 = C0 + C 0 ? (??) n (?1) n Ч
n=0
?
? ?(2n + 1) + x ?
? ?B?
Ч?
??
erfc?
?? 2 D2 t ??
?? (1 + B? )
?
? 2?n + x ?
1
erfc?
??
(1 + K ? )
?? 2 D2 t ??
?
? (2 n + 1)? ? x ?
B?
erfc?
??
1 + B?
?? 2 D2 t ??
?
? 2?(n + 1) ? x ? ??
?
erfc?
? ? , 0 < x < ?,
1 + K?
?? 2 D2 t ?? ??
?
C 3 = C0 ? ( ??) n (?1) n Ч
n=0
? 2(n + 1)?B + x ? ? ?
?
?
erfc?
??
1 + B?
2 D3t
??
??
?
? ?(2n + 1) B + x ? ? ? ??
2
?
? ?,
erfc?
(1 + K ? )(1 + B? )
D
2
3t
??
?? ??
(10)
?
? x ?
? ??x ?
B
1
erfc?
? ? ? erfc?
??
(1 + K ? )
?? 2 D2t ?? 1 + B?
?? 2 D2t ??
?
? 2? ? x ? ??
?
erfc?
? ?,
1 + K?
?? 2 D2 t ?? ??
?
? x?? ?
? 1
?+
C3 ? C0 ?
erfc?
?? 2 D3t ??
?? (1 + B? )
+
? 2?B + x ? ? ?
?
?
erfc?
??
1 + B?
2
D3t ??
??
?
? ?B + x ? ? ? ??
2
? ?.
erfc? ?
(1 + K ? )(1 + B? )
?? 2 D3t ?? ??
(9)
?
? 2?nB + x ? ? ?
? 1
?
Ч?
?+
erfc?
?? 2 D3t
??
?? (1 + B? )
+
107
Пример расчета распределения концентрации C i в
пространстве в различные моменты времени ? =
= D2t ? 2 представлен на рис. 2, где введено обозначение ? = x ? . В расчетах принято, что ? = 100 мкм, D1 =
= 10–11 м2/с, D2 = 10–10 м2/с, D3 = 10–9 м2/с, что дает K ? =
= 3.1623, B? = 3.1623, ? = –0.5195, ? = –0.5195. На этом
рисунке пунктиром построены кривые, полученные при
x > ?,
где erfc( y ) =
2
?
?
?e
y
? z2
dz. Полученное решение являет-
ся точным.
Так как диффузия весьма медленный процесс, то для
реальных значений коэффициента D2 и реального времени наблюдения можно принять D2 t << 1. В этом
случае ряды в найденном решении быстро сходящиеся,
и мы можем ограничить качественный анализ задачи
рассмотрением нулевого приближения (n = 0). Имеем
?
? ? ? xK ?
2 K ? B?
?
?
C1 ? C 0 ??
erfc?
?+
(
1
)(
1
)
+
+
K
B
2
D
t
?
?
?
??
2 ?
?
?
+
?
? xK ?
K?
?
erfc??
??
1 + K?
2
D
??
?
2t ?
? 2? ? xK ? ??
K ??
?
erfc?
?? ,
1 + K?
?? 2 D2 t ?? ??
Рис. 2. Распределение концентрации диффундирующего элемента в
различные моменты времени для задачи без учета пределов растворимости. Сплошная линия — аналитическое решение задачи, пунктирная линия — численный расчет. Значения параметров приведены
в тексте
108
Бутов В.Г., Губарьков Д.В., Князева А.Г. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 105–112
3. Оценка коэффициентов диффузии
Для оценки коэффициентов диффузии по данным
экспериментов с помощью (9) или (10) следует принять,
что изложенные выше предположения в первом приближении вполне соответствуют условиям [1]. (В дальнейшем при уточнении модели можно будет учесть и
более сложные физические и химические эффекты.)
Для оценки коэффициентов диффузии титана в основу и в кубический нитрид бора использовались результаты экспериментального определения его концентрации после проведения пайки при температуре T ~
~ 1 400 °C в течение 120 с [1]. Восстановление коэффициентов диффузии проводилось следующим образом.
Запишем функционал
[
n
m
i =1
j =1
]
2
J = ? ?i ? Cij ? Ci j ,
Рис. 3. Зависимость толщин диффузионных слоев в покрытии ?s и
в основном материале ? b от времени. Сплошная линия — задача
без учета пределов растворимости, пунктирная линия — задача с
учетом конечных значений пределов растворимости элемента в материалах покрытия и основы. Значения параметров приведены в тексте
численном решении задачи (1)–(6). Решение проведено
с использованием явной разностной схемы, имеющей
первый порядок точности по времени и второй — по
пространству. Сетка выбиралась таким образом, что границы раздела “припой – кубический нитрид бора” и
“припой – основа” являлись координатными линиями,
что позволяло корректно учесть условия (2)–(5). Достоверность численных расчетов проверялась сравнением
результатов, полученных на различных сетках, и сравнением с полученным выше точным решением задачи
(1)–(6).
Анализ результатов показывает, что учет в аналитическом решении двух, а иногда и одного, членов ряда
вполне достаточен для быстрых количественных оценок.
Примем за ширину диффузионного слоя расстояние,
на котором концентрация диффундирующего элемента
уменьшается в e раз по сравнению с ее значением на
исходных границах раздела “покрытие – припой” xs и
“припой – материал основы” x b соответственно. Зависимость этих величин, отнесенных к толщине материала припоя ? (имеем соответственно ? s = xs ? и
? b = xb ?), от времени ? представлена на рис. 3 сплошной линией. Видим, что толщина диффузионного слоя
ведет себя как ? , что и следовало ожидать. Расчеты
показывают, что величины ? s и ? b существенно зависят от значений параметров K? и B? . Так, к моменту
времени ? = 0.8 для K ? = 20, B? = 0.3 значения ? s и ? b
равны соответственно 2.8 и 0.09, а для K ? = 10, B? = 0.1
имеем ? s = ? b = 1.17.
(11)
где Ci j рассчитываются по формулам (9); Ci j — экспериментальные значения концентрации Ti, полученные в [1]; n и m — число расчетных областей и экспериментальных точек соответственно; ? i — весовые коэффициенты. Значение функционала J зависит от выбора коэффициентов диффузии D1 , D2 , D3 . Выбирая для
них начальное приближение Di0 , рассчитываем по (9)
концентрации Ci j и по (11) — J ( Di0 ). Далее, используя
метод покоординатного спуска [4], находим минимум
функционала J.
На рис. 4 представлено распределение концентрации
Ti, полученное в результате минимизации функционала
J (сплошная кривая), а точками отмечены экспериментальные данные [1]. Разница между расчетными и экспериментальными данными связана с упрощением мо-
Рис. 4. Распределение концентрации элемента, полученное в результате минимизации функционала (11) — сплошная линия. Точки —
данные, снятые с экспериментальной кривой, представленной в [1]
Бутов В.Г., Губарьков Д.В., Князева А.Г. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 105–112
дели, не учитывающей диффузию других компонентов,
температурную зависимость коэффициентов диффузии
и пр., а также точностью экспериментального определения концентрации. Восстановленные коэффициенты диффузии Di имеют следующие значения D1 =
= 1.4?10–12 м2/с, D2 = 1.28?10–11 м2/с, D3 = 4.1?10–10 м 2/с.
В целом же восстановленные значения коэффициентов
диффузии Di позволяют делать предварительные оценки параметров процесса пайки кубического нитрида бора к твердому сплаву и могут быть использованы в качестве первого приближения при построении более
сложных моделей.
Отметим, что использование асимптотических зависимостей (10) или точного решения (9) является принципиальным для минимизации функционала J. Вычисление значений C i по аналитическим зависимостям
(10) позволяет избежать накопления ошибок округления, являющегося следствием некорректности минимизации функционалов типа (11).
Для более аккуратного определения коэффициентов
диффузии требуется знание экспериментальных концентрационных кривых в различные моменты времени,
а в дальнейших исследованиях — учет в математической модели более тонких эффектов.
4. Влияние пределов растворимости на характер
распределения концентраций
Пусть C10 и C30 — пределы растворимости диффундирующего элемента в материалах покрытия и основы, и C 0 > C10 , C 0 > C 30 . Тогда вместо условия равенства концентраций на границах контакта исходных
материалов в (2) и (4) имеем
C1 = C10 и C 3 = C 30 .
По-прежнему считаем, что h1 ? ?, h3 ? ?. Такая
формулировка задачи имеет место до тех пор, пока
C 2 ( x, t ) > C10 и C 2 ( x, t ) > C30 . Как только одно из этих
условий перестает выполняться, условие на соответствующей границе раздела принимает прежний вид.
В математическом отношении для C 2 ( x, t ) > C10 и
C 2 ( x, t ) > C 30 эта задача проще предыдущей, так как
существует возможность ее разделения на три части:
распределение концентрации в припое может быть найдено после того, как будет построено решение для x < 0
и x > ?. Операционный метод здесь также весьма полезен.
Точное аналитическое решение задачи для t, таких
что C 2 ( x, t ) > C10 и C 2 ( x, t ) > C 30 , имеет вид
? x ?
?;
C1 = C10 erfc?
?2 Dt ?
1 ?
?
? ( x ? ?) ?
?;
C 3 = C30 erfc?
?2 D t ?
3 ?
?
109
Рис. 5. Качественное распределение концентрации диффундирующего элемента в различные моменты времени для задачи с учетом
конечных значений пределов растворимости. Аналитическое решение
C2 = C0 ?
(12)
?
?
? ?(2 n + 1) ? x ?
?
?+
? ? ?C30 B? ?erfc?
? 2 Dt ?
?
n = 0?
2
?
?
?
?
?
? ?(2 n + 1) + x ??
?? +
+ erfc?
? 2 D t ??
2
?
??
+
? 2?(n + 1) ? x ?
?
?? ?
C10 ?
? + erfc? 2 n? + x ?? ??.
?erfc?
? 2 Dt ?
? 2 D t ?? ?
K? ?
2
2 ?? ?
?
?
?
?
Характер распределения концентраций для различных моментов времени и тех же параметров задачи в
соответствии с аналитическим решением представлен
на рис. 5, а толщины диффузионных слоев ? s и ? b —
на рис. 3 пунктиром. Видно, что наличие предела растворимости уменьшает глубину проникновения диффундирующего элемента в материалы покрытия и основы.
5. Конечные размеры покрытия и подложки
Пусть размеры h1 и h3 — конечны. В этом случае
точное аналитическое решение задачи (1)–(6) весьма
громоздко и его не удается записать в приемлемой форме. Основываясь на уже известном факте быстрой сходимости рядов, представляющих решение сопряженных
задач, для реального времени наблюдения, можно воспользоваться приближенным решением задачи, корректным для малых t или больших значений комплексной переменной p в пространстве изображений.
Решение задачи в пространстве изображений по
Лапласу, по-прежнему, имеет вид (7), где
110
Бутов В.Г., Губарьков Д.В., Князева А.Г. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 105–112
A1 =
K?
1? e
? 2 h1 p D1
? 2 h3
??
???? ? + e
? (1 + ? )
Ч ??1 ? e
?
B1 = A1e
? ? p D2
B? e
1 + B?
? 2 h1 p D1
p D2
+
A3 = B3 e
B3 =
B?
1 + B?
p D3
? e ??
?
?
p D3
? 1? ? ?
?2 h
Ч ??
?1 ? e 1
1
?
? + K?
+ ?? ? ? e
?
p D1
p D2
? ?? + e
??
??
p D1
? 2 h3 p D3
?Ч
?
?
+ ?? ? + e
?
p D1
?2 h3 p D3
?e
(14)
p D1
?2 h
+ ??? e 3
?
Ч
(15)
? ?1 ? e ?2 h3
??
??
p D1
p D3
?Ч
?
?
+
?2 h
??
? ?1 ? e 3
??
p D3
? ? ? ? e ?2 h1
??
??
p D1
? 2?k p D2
?+
?
?
? e ?2 ?
?
?
(16)
p D2
.
?e
??
?
?
?Ч
??
Ч
?e
? 2 h1 p D1
?2? p D2 ? 2 h1 p D1
?2 h1 p D1 ? 2 h3 p D3
?+
?
?
??
?
?
?
?2 ? p D2 ? 2 h1 p D1 ? 2 h3 p D3
?Ч
??
?
+ ...?,
k =0
?
где отброшены члены ряда, начиная с третьего. В сумме,
стоящей в фигурных скобках, также могут быть оставлены лишь два члена ряда. В результате найдем
?
Ч ? (? ??) e
k ? 2?k p D2
?
?? ,
??
??
?+
?
?
?
p D2 ? 2 h3 p D3
p D3
Z ?1 ? ? (???) k e
p D3
? 2 h1 p D1
?2 ?n p D2
? ?
? 2?
Ч ?1 ? ? ??? e
?
? ?
?Ч
?
?
?e
?2 h1 p D1 ?2 ? p D2
?2 h1 p D1 ? 2 h3 p D3 ? 2? p D2
? ??e
? ?1 + ? e ?2 h3
??
??
?e
k =0
?
?? ,
p D2
p D3 ? 2 ? p D2
?2 h1 p D1 ? 2 h3 p D3
Z ?1 ? ? (???) k e
?Ч
?
?
?Ч
?
?
?
?.
n =0
?
Тогда, так как по условию задачи h1 >> ?, h3 >> ?, то
справедливо разложение
?e
? e ? 2?
?
?
p D3
Ч ? (???) n e
где
?2 h
Z = ?? 1 ? ?e 1
?
?2 h
+ ??? e 3
?
?
p D1
p D2
p D1
?2 ? p D2
?
?Ч
?
?
?
?? ,
B? ?
?2 h
?1 ? ?e 1
1 + B? ?
? 2 h1 p D1
Z = ??1 + ??e
?
? ?
?2 h
Ч ?1 + ???? e 3
?
? ?
,
? p D3
Полагая в (13)–(16) h1 ? ?, h3 ? ?, получим прежний результат — решение первой модельной задачи в
пространстве изображений.
По определению, ? < 1, ? < 1, следовательно,
представим знаменатель в виде
? ??e
? + B? ? ? ? e ?2 h1
?
?
? 1 + B? ?
p D3
+
?Ч
?
?
p D3
?1 ? ?e ?2 h1
?
?
? e ??
?
?
?2( ?+ h3 ) p D3
?? p D2
?? ?
??
??
,
C0 1 e
pB? Z 1 ? e 2 h3
Чe
? 2 h3 p D3
(13)
1 ?
C ?
?2 h
B2 = 0 ? ?
?1 ? e 1
pZ ? 1 + K ? ?
?2 h
Ч ??1 ? e 3
?
Ч
?? ,
??
??
? 2 h3 p D3
?2 h
Ч ??1 + ?e 3
?
D1
? ??1 + ?e
?
?1 ? e ?2 h3
?
?
? 1 ?
?2 h
?1 ? e 1
?1
? + K? ?
? 2 ? p D2
Ч ??1 ? e
?
?? 1 ? e ?2 h1 p
??
1 + K?
??
? e ? 2?
?
?
p D1
?2 h1 p D1
C
A2 = ? 0
pZ
Чe
C0
pZ
? 2?k p D2
k =0
?
? 2?
Ч ?1 ? ??? e
?
?
?2 h
? ??? e 3
?
+ ? 2? e
Ч
p D2 ? 2 h3 p D3
p D3
?2? p D2
?e
?e
? 2 h1 p D1
?2? p D2 ? 2 h1 p D1
? e ?2 ?
?
?
p D2 ? 2 h3 p D3
?+
?
?
?
??
?
?
111
Бутов В.Г., Губарьков Д.В., Князева А.Г. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 105–112
?e
?2 h1 p D1
? + ??2 e ?2?
?
?
p D2
Ч
? 2 h p D3
? 2 ? p D2 ? 2 h1 p D1 ? ?
Ч ?? e 3
?e
??.
?
??
В результате решение задачи может быть получено
аналогично предыдущему (хотя решение получается
весьма громоздким).
В частном случае h1 ? ? и h3 ? ? решение упрощается. Имеем
?
Z ?1 ? ? (???) k e
? 2?k p D2
k =0
Ч ??1 + ?e
?
?2 h1 p D1
? ( ? 2 ? + ??2 )e
и
?2 h
p D
1
1? e 1
?
?2 h p
? 1? e 1
Ч ??
1+ K?
??
1+ ?
??
?
B? e
1 + B?
B1 = A1e
A2 = ?
+
?2 h1 p D1
?2 ? p D2 ? 2 h1 p D1
C0
Ч
pZ
D1
?e
p D2
? 2 ? p D2
?1 ? e
?
?
B
??
+ ? e
1 + B?
C0 ?
e
pZB?
B?
1 + B?
A3 = 0.
? ?,
??
??
,
p D2
?1 ? ?e ?2 h1
?
?
p D2
p D2
p D1
?+
?
?
? ?,
??
??
p D1
p D1
? ? ? e ?2 h1
?
?
?+
?
?
p D1
?
?2 ?
??1 + e
?
C1 = C1 +
C 0 ?2 h1
e
p
?
?? ? x
Ч ? (???) k ?e
??
k =0
p D1
Ч
p D1
? K ? (1 + ?) ?2 ?k
e
?
? 1 + K?
?
(1 + ?) B? K ? ? ?? ( 2 k +1)
e
1 + B?
+
(1 ? ?) K ? ? ?2 ?( k +1)
e
1 + K?
?
(1 + ?) K ? B? ? ?? ( 2 k +3)
e
1 + B?
?
(? 2 + ? 2? + ??2 ) K ? ?2 ?(k +2 )
e
1 + K?
+
(1 + ?) B? K ? ??( ? + ?) ?? ( 2 k +5)
e
1 + B?
+
??2 K ? ( ? + ?) ?2 ?( k +3)
e
1+ K?
?e
x
p D1
p D2
p D2
K ? ?2?k
e
1 + K?
+
(1 + ?) B? K ? ??( 2 k +1)
e
1 + B?
p D2
?
+
?
p D2
p D2
? K ? ? ?2? ( k +1)
e
?1
? + K?
?
p D2
?
p D2
+
p D2
+
?
??
??
p D2
?
+
p D2
? ??
? ?,
? ??
?h1 < x < 0,
? ?,
??
??
?
где C1 — соответствующее решение в пространстве
изображений для h1 = ?. После перехода к оригиналам
имеем
Ч
?
C1 = C1? + C0 ? ( ? ??) k Ч
? 1? ? ?
?2 h
Ч ??
?1 ? e 1
1
? + K? ?
+
1
?
1+ K?
? 2 h1 p D1
1 ?
C ?
?2 h
B2 = 0 ? ?
?1 ? e 1
pZ ? 1 + K ? ?
B3 =
+
? ?2 ? p D2
C0 ? e
?2h
???1 ? e 1
?
?
pZ ? 1 + K ?
?
B? ??
e
1 + B?
?
?
?
?
?4 ? p D2 ? 2 h1 p D1
K?
A1 =
+? e
Ч
Далее, подставляя найденные коэффициенты в (7),
отбрасывая малые слагаемые порядка O ((1 p ) Ч
?4 h p D1
Чe 1
) и менее и собирая подобные слагаемые,
найдем, например, для концентрации в покрытии
p D2
p D1
? e ??
?
?
? ? ? e ?2 h1
?
?
k =0
p D2
+
p D1
?? ? ,
?? ?
?? ?
? K (1 + ? )
? (2h + x )K ? + 2?k ?
??
erfc? 1
Ч? ?
?
?
2
D
t
?? 1 + K ?
2
?
?
?
? (2 h1 + x )K ? + ?( 2 k + 1) ?
(1 + ?) B? K ? ?
?+
erfc?
?
?
1 + B?
2
D
t
2
?
?
112
Бутов В.Г., Губарьков Д.В., Князева А.Г. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 105–112
?
? (2h + x )K ? + 2?(k + 1) ?
(1 ? ? ) K ??
??
erfc? 1
?
?
1 + K?
2
D
t
2
?
?
?
? (2 h1 + x )K ? + ?( 2 k + 3) ?
(1 + ?) K ? B? ?
??
erfc?
?
?
1 + B?
2
D
t
2
?
?
?
(? 2 + ? 2? + ??2 ) K ?
Ч
1 + K?
? (2h1 + x )K ? + 2?( k + 2) ?
?+
Ч erfc?
?
?
2
D
t
2
?
?
+
(1 + ? ) B? K ? ??( ? + ?)
Ч
1 + B?
? (2h1 + x )K ? + ?( 2k + 5) ?
?+
Ч erfc?
?
?
2
D
t
2
?
?
+
? (2h + x )K ? + 2?(k + 3) ?
??2 K ? (? + ?)
??
erfc? 1
?
?
1 + K?
2
D
t
2
?
?
?
? (2h ? x )K ? + 2?(k + 1) ?
K ??
?+
erfc? 1
?
?
1 + K?
2
D
t
2
?
?
+
? (2h ? x )K ? + 2?k ?
K?
??
erfc? 1
?
?
1 + K?
2
D
t
2
?
?
?
? (2h ? x )K ? + ?(2k + 1) ??
(1 + ?) B? K ?
?? .
erfc? 1
?
??
1 + B?
D
t
2
2
?
??
Очевидно, что “добавочное” слагаемое будет малой
?
величиной по сравнению с решением задачи C1 (9),
если выполнится условие
2h1 ± x >> 2 D1t ?
?
( 2k + i ), где k, i = 0, 1, 2, ? .
K?
В этом случае, используя асимптотическое преставление функции erfc(z ) для больших значений аргумента,
найдем
C1 = C1? + C0
D1t 4 K ?
Ч
? 1 + K?
?
? (2h + x )2 ?
1
?
1
?
Ч ?(1 + ?) exp ??
+
4
2
D
t
h
?
?
1
1+ x
?
?
?
?
? (2h ? x
1
+ exp ??
4 D1t
?
?
)2 ??
?
1
?
? + ... ,
? 2h1 ? x ?
?
?
где отброшены слагаемые более высокого порядка малости.
Практически достаточно выполнения неравенства
h1 >> 2 D1t ,
где t — реальное время наблюдения. Принимая D1 =
= 10–12ч10–8 см2/с, найдем, что в опытах [1] это условие
всегда выполняется.
Решения задачи для концентрации в припое и подложке имеют такую же структуру, что и C1 , но в силу
громоздкости здесь не приведены.
6. Заключение
Таким образом, в работе предложена простейшая
диффузионная модель процесса пайки разнородных материалов, представлены точные аналитические решения
задач диффузии в трехслойной системе без учета и с
учетом пределов растворимости диффундирующего
элемента в материалах покрытия и основы, проведено
сравнение с численным счетом. Показано, что наличие
пределов растворимости приводит к уменьшению толщин диффузионных слоев. Дана оценка распределения
концентраций с учетом конечных размеров образцов и
показано, что при построении модели процесса вполне
корректно приближение бесконечных пределов. Предложен способ оценки коэффициентов диффузии по данным эксперимента о распределении концентраций в
диффузионной системе на основе решения обратной задачи. При дальнейшем исследовании процесса учет в
модели более тонких физических и химических явлений, а также неизотермических эффектов позволит дать
более точные количественные оценки коэффициентов
диффузии и свойств образующегося покрытия.
Работа выполнена при финансовой поддержке
РФФИ, гранты № 00-01-81128 Бел 2000_а и № 00-1599278 (грант Президента РФ “Молодые доктора наук”).
Литература
1. Поболь И.Л., Нестерук И.Г., Вольфарт Х. и др. Электронно-лучевая пайка кубического нитрида бора к основе из твердого сплава
// Сварка и родственные технологии. – 1999. – № 2. – С. 43–46.
2. Князева А.Г., Савицкий А.П. Об оценке объемных изменений в
диффузионной зоне. 1. Диффузия компонентов в составной пластине конечной толщины // Изв. вузов. Физика. – 1997. – Т. 40. –
№ 6. – С. 48–55.
3. Князева А.Г. О распределении температуры, напряжений и деформаций в системе “материал – покрытие” при условии неидеальности теплового контакта между веществами // Физ. мезомех. –
2000. – Т. 3. – № 1. – С. 39–51.
4. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и
алгоритмы. – М.: Мир, 1982. – 583 с.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа