close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Резные гиперповерхности в евклидовом пространстве.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (466)
УДК 514.75
2001
М.А. ЧЕШКОВА
РЕЗНЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрим резную гиперповерхность M в евклидовом пространстве E | гиперповерхность, у которой одна линия кривизны геодезическая ([1], с.374). Гиперповерхность M является
(n ; 2)-каналовой, если она есть огибающая 1-параметрического семейства гиперсфер.
E (n ; 2)
1)
2)
. Рассмотрим гладкую гиперповерхность M в евклидовом пространстве E . Пусть F (M ) | R-алгебра дифференцируемых на M функций, T (M ) | F (M )-модуль
дифференцируемых на M тензорных полей типа (q; s), (M ) | алгебра Ли векторных полей
на M , @ | оператор дифференцирования в E и h ; i | скалярное произведение в E .
Формулы Гаусса{Вейнгартена гиперповерхности M имеют вид ([2], с. 36)
@ Y = r Y + (X; Y )n; @ n = ;AX;
где A 2 T11(M ), X; Y 2 (M ), 2 T20(M ), (X; Y ) | вторая фундаментальная форма, A |
оператор Вейнгартена, r | связность Леви-Чивита метрики g(X; Y ) = hX; Y i.
Выполняются уравнения Гаусса{Кодацци
R(X; Y )Z = (Y; Z )AX ; (X; Z )AY;
(1)
dA(X; Y ) = 0;
где R(X; Y )Z = r r Z ; r r Z ; r[ ]Z | тензор кривизны связности r, dA(X; Y ) =
r AY ; r AX ; A[X; Y ] | внешний дифференциал поля A в связности r.
. Обозначим через X , i = 1; : : : ; n ; 2; U | орты главных направлений оператора A; k , k | соответствующие главные кривизны гиперповерхности, причем
линия кривизны, соответствующая значению k, | геодезическая. Имеем r U = 0. Дифференцируя равенства hU; U i = 1, hX ; U i = 0, получим
hr X ; U i = 0; hr U; U i = 0:
(2)
Рассмотрим
dA(X ; U ) = r AU ; r AX ; A[X ; U ] =
= (X k)U + kr U ; (Uk )X ; k r X ; A(r U ; r X ) = 0: (3)
Используя (2) и приравнивая нулю составляющую при U , получим
X k = 0; i = 1; : : : ; n ; 2:
(4)
Если гиперповерхность M (n ; 2)-каналовая, то оператор A имеет собственное значение
кратности n ; 2 [3]. Возможны следующие случаи.
n
Теорема. Если резная гиперповерхность в
n
-каналовая, то она локально
либо гиперповерхность вращения,
либо трубчатая.
1. Основные формулы
n
q
s
n
n
X
X
X
Y
X
Y
X
X
X;Y
Y
2. Доказательство теоремы
i
i
U
i
U
i
Xi
U
i
i
Xi
i
i
Xi
i
i
73
i
i
U
i
Xi
U
i
1. k1 = = k ;2 = k 6= 0, k 6= k. Из dA(X ; X ) = 0 следует X k = 0, i = 1; : : : ; n ; 2.
Определены два распределения: (p) = f>X 2 ?T M> : AX =? kX g?, ?(p) = fU 2 T : AU =
kU g. Тогда для Z 2 T M имеем Z = Z + Z , Z 2 , Z 2 . Гиперповерхность M есть
огибающая однопараметрического семейства гиперсфер радиуса j 1 j, центры которых имеют вид
C = r + k1 n;
где r | радиус-вектор точки p 2 M . Покажем, что если выполняется (4), то линия центров (C )
| прямая, гиперповерхность M | гиперповерхность вращения. Из (3) имеем r U = hX; h =
Uk=(k ; k), X 2 . Рассмотрим R(X; U )U = r r U ; r r U ; r[ ] U: Имеем
[X; U ] = r U ; r X = hX ; (r X )>; r[ ]U = h2 X ; h(r X )> :
Итак, получим R(X; U )U = ;(Uh + h2)X . С другой стороны, в силу (1) R(X; U )U = kkX . Отсюда
Uh = ;kk ; h2 :
(5)
Рассмотрим линию центров (C ). Дифференцируем вдоль U
@ C = U + U k1 n ; kk U = k k;2 k t;
где t = kU + hn | касательный вектор линии центров. Дифференцируем t вдоль U и, используя
(5), получим
@ t = (Uk)Y + kkn + (Uh)n ; hkU = ;ht:
Это означает, что линия центров | прямая, а каналовая гиперповерхность | гиперповерхность
вращения.
2. k1 = k, k2 = = k ;2 = k 6= 0: Гиперповерхность M есть огибающая однопараметрического семейства гиперсфер радиуса 1 . Имеем X k = 0, j = 2; : : : ; n ; 2, Uk = 0. Используя (4),
получим k = const. Таким образом, гиперповерхность M есть огибающая однопараметрического
семейства гиперсфер постоянного радиуса, т. е. трубчатая.
n
i
p
p
p
p
p
p
j
p
p
i
p
p
p
p
p
p
p
k
X
X
X
U
U
U
U
X
X;U
X;U
U
U
U
n
1.
2.
3.
k
j
Литература
Шуликовский В.И.
.{
М.: ГИФМЛ, 1963. { 540 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К.
. { T.2. { М.: Наука, 1981. {
414 с.
Ведерников В.И.
m
// Волжск. матем. сб. { 1966. { Bып.4. { С.8{13.
Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении
Основы дифференциальной геометрии
Гиперповерхности пространства Евклида, огибающие
-параметрическое
семейство гиперсфер
Алтайский государственный
Поступила
12.05.1998
университет
74
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
97 Кб
Теги
пространство, евклидовой, резные, гиперповерхности
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа