close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Рецензия на монографию Н. В. Гуцко Ю. В. Луценко «Обобщенно квазинормальные подгруппы в теории конечных групп»

код для вставкиСкачать
ВЕСНІК МДПУ імя І. П. ШАМЯКІНА
118
===========================================================================
РЭЦЭНЗІЯ
Рецензия
на монографию Н. В. Гуцко, Ю. В. Луценко
«Обобщенно квазинормальные подгруппы в теории конечных групп»
Подгруппы А и В группы G называются
перестановочными, если АВ = ВА. Важность этого понятия
для теории групп связана, прежде всего, с тем, что для
перестановочных подгрупп А и В их произведение АВ само
является подгруппой в G. Особое место в исследованиях по
теории перестановочных подгрупп заняли квазинормальные
подгруппы (Оре, 1939), т. е. подгруппы, перестановочные
со всеми подгруппами основной группы, и различные их
обобщения, в частности S-квазинормальные подгруппы,
т. е. подгруппы, перестановочные со всеми силовскими
подгруппами. Оказалось, что S-квазинормальные подгруппы
образуют подрешётку решётки всех подгрупп (Кегель, 1962).
Это важное свойство S-квазинормальных подгрупп лежит
в основе их многочисленных применений и, в частности,
это позволяет ввести следующее понятие: пусть Н –
подгруппа группы G и HSG – подгруппа из Н, порождённая
всеми
теми
подгруппами
группы
Н,
которые
S-квазинормальны в G. Тогда HSG называется s-ядром
подгруппы Н в группе G (А. Н. Скиба, 2007). На основе
этого понятия в монографии введено
Определение. Пусть Н – подгруппа конечной группы G. Тогда Н называется Q-вложенной
в G, если в G существует такая квазинормальная подгруппа Т, что HT = G и T I H £ HSG.
Заметим, что если Н – S-квазинормальная подгруппа группы G, то HSG = H, и поэтому
Н Q-вложена в G. Таким образом, каждая S-квазинормальная подгруппа Q-вложена.
Ещё один важный подкласс класса Q-вложенных подгрупп составляют так называемые
с-нормальные подгруппы. Напомним, что подгруппа Н группы G называется с-нормальной в G,
если в G существует такая нормальная подгруппа Т, что G = HT и T I H £ НС (Оре, 1939;
Ванг, 1995).
Хотя понятия S-квазинормальной подгруппы и с-нормальной подгруппы являются
вполне различными обобщениями нормальности, в последние годы появилось большое число
аналогичных теорем, доказанных независимо для S-квазинормальных и с-нормальных подгрупп.
Понятие Q-вложенной подгруппы позволяет с единой точки зрения посмотреть на все результаты
такого рода, что и явилось главной целью данной монографии.
Книга состоит из перечня условных обозначений, введения, трёх глав, заключения
и библиографического списка в алфавитном порядке.
В главе 1 приведён аналитический обзор литературы по развитию квазинормальных
подгрупп и различных их обобщений.
Основными результатами главы 2 являются теорема 2.3.1, доказанная в разделе 2.3,
и теорема 2.3.2, являющаяся одним из главных этапов в доказательстве теоремы 3.3.1.
Следствиями этих двух теорем являются многие известные результаты, т. е. соответствующие
результаты о нормальных, с-нормальных и S-квазинормальных подгруппах, полученных
в разное время Бакли (1970), Сринивазаном (1980), Шааланом (1990), Асаадом и Рамаданом
(1991), Вангом (1996), А. Баллестером-Болинше и М. С. Педразой-Агуилерой (1996), Асаадом
(1998), А. Баллестером-Болинше и Вангом (2000), Го Шуином и К. П. Шамом (2003),
РЭЦЭНЗІЯ
119
===========================================================================
Аль-Шейкахмадом (2004), Радаманом и Хелиел (2005), А. Н. Скибой (2005), А. Н. Скибой
и О. В. Титовым (2007) и др., что свидетельствует об актуальности данной работы.
В связи с возросшим в последнее время интересом к исследованию групп в зависимости
от свойств их вторых максимальных подгрупп естественной является задача описания наиболее
важных классов конечных групп по свойствам их 2-максимальных подгрупп. Отметим, что первое
описание разрешимых групп в терминах 2-максимальных подгрупп получено Го Шуином
и К. П. Шамом (2003). Описание сверхразрешимых групп в терминах 2-максимальных подгрупп
было получено Го Веньбинем, К. П. Шамом и А. Н. Скибой (2007). Существенным дополнением
к этим результатам является теорема 2.7.1, доказанная в разделе 2.7. Отметим, что следствиями
теоремы 2.7.1 являются соответствующие результаты работ Хупперта (1954) и Аграваля (1976).
Кроме этих результатов, в главе 2 представлены новые интересные критерии р-нильпотентности
и р-сверхразрешимости групп в терминах Q-вложенных подгрупп (теоремы 2.5.1, 2.5.6,
2.6.1 и 2.6.2).
В заключительной третьей главе книги исследуются группы, факторизуемые холловыми,
субнормальными, нильпотентными и дисперсивными по Оре подгруппами. В частности,
в разделе 3.1 доказана теорема 3.1.1, дающая необходимые и достаточные условия
метанильпотентности факторизуемых групп в терминах Q-вложенных подгрупп. Используя эту
теорему, получен новый критерий метанильпотентности (следствие 3.1.4). В разделе 3.2 доказана
разрешимость факторизуемой группы на основе условия Q-вложенности максимальных подгрупп
её факторов (теорема 3.2.1). Используя теорему 3.2.1, получен новый критерий разрешимости
в терминах Q-вложенных подгрупп (следствие 3.2.3).
Результаты монографии Н. В. Гуцко имеют теоретическое значение и могут быть
использованы в исследованиях, проводимых специалистами в университетах и вузах Витебска,
Полоцка, Могилёва, Минска, Киева, Новосибирска, Москвы, а также научных алгебраических
центрах дальнего зарубежья (США, Германия, Англия, Испания, Китай, Австралия).
Отдельные результаты могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов
для студентов математических специальностей, написании курсовых и дипломных работ.
Рецензент
В. Н. Семенчук,
доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой высшей математики
УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
188 Кб
Теги
подгруппа, гуцко, конечный, квазинормальных, группы, обобщенные, рецензия, монография, луценко, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа