close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение задач Коши для системы уравнений описывающей одномерный поток гранулированного материала.

код для вставкиСкачать
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
УДК 517.758
О. Н. Жданов
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ,
ОПИСЫВАЮЩЕЙ ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ГРАНУЛИРОВАННОГО МАТЕРИАЛА
Получено решение задачи Коши для системы уравнений, описывающей одномерный поток гранулированного
материала, с использованием законов сохранения специального вида.
Положим
В работе [1] описана математическая модель потока
частиц гранулированного материала, уравнения которой
содержали высоту и среднюю скорость в глубине потока
как функцию времени и тангенса угла наклона направления потока к вертикальной оси. В [2] были выведены уравнения в более общей форме для одномерного потока гранул в движущимся цилиндре. В [3] было проведено подробное исследование таких уравнений, найдены их инвариантные решения. Ниже представлено решение задачи
Коши для системы, полученной в [2], с использованием
законов сохранения специального вида.
Будем искать функции u(x, t) и h(x, t) , удовлетворяющие системе
(1)
ht + uhx + u x h = 0, ut + uu x + ? hx = 0
и условиям
h( x, 0) = h0 ( x ), u ( x, 0) ? 0 ,
(2)
где h – толщина; u – средняя скорость частиц в глубине
потока; t – время; x – пространственная координата;
h0 ( x) – непрерывная финитная функция, ? = const .
Введем следующие обозначения: [a, b] – носитель
тогда
? ? Adx + Bdt =
NP
? ? Adx + Bdt =
PM
A ?h + B) ,
P
? t P (? Au ?
(
B=
A ?h + B)
P
)
1
1
1/ 3
1/ 3
( z ? k0 ) ( z + 3k0 ) ? (k ? z0 ) (k + 3 z0 ) ,
4
4
где z0 = 2 ? h0 (l1 ), k0 = ?2 ? h0 (l2 ) .
По формуле (8) окончательно получим:
tP = ?
Ч
(
?1/ 2
(
h0 (l1 ) + h0 (l2 )
h0 (l1 ) + h0 (l2 )
)
?4 / 3
)
?1
(l1 ? l2 ) + ?
l2 ?
? ? ?? h0 ( x) + h0 (l1 )
l1 ?
(
)
?1/ 2
1/ 3
Ч
+
?
(9)
? dx.
?
Вернемся к интегралу (5). Рассуждая подобно тому,
как описано выше, можем записать:
?
B ??dx =
? ? Adx + Bdt =
? ?? ? A+
u ? ? h ??
NP
{k = k0} ?
+
u ± 2 ?h = const .
Сделаем замену z = u + 2 ?h , k = u ? 2 ?h . Тогда
система (3) в новых переменных имеет вид
(4)
z ? Az = Bz , k ? Ak = Bk .
Запишем закон сохранения в эквивалентной форме:
(5)
? ? Adx + Bdt = 0 .
(
h0 ( x) + h0 (l2 )
)
1/ 3
P
?
?
B ?
B ??dz ,
=??A +
x?? z ? ? A+
?
?x ?
?
u ? ? h ??
u ? ?h ? N {k = k0 } ?
?
MNP
Проведем из точек M и N две характеристики различных семейств и обозначим точку пересечения P. Используя законы сохранения для однородных квазилинейных
гиперболических систем [4], найдем координаты точки P
и значение функций u и h в ней.
Представим интеграл по криволинейному треугольнику
MNP в виде суммы трех слагаемых, учтем уравнения характеристик системы (1) и проинтегрируем по частям:
P
? ? Adx + Bdt = ? ( ? Au + A ?h + B ) dt = t ( ? Au + A ? h + B ) N ?
NP
=
k
k
{
0}
?
(6)
?
?
? k ? (? Au ? A ?h + B)
(7)
? = 0.
=
z
z
0 ?
?
Теперь равенство (5) примет вид
l2
(8)
? Adx = 2 t P A ?h P .
l1
Функции А, В должны удовлетворять системе (4) и
краевым условиям (6), (7). Наиболее простое решение
этой задачи такое:
1/ 3
1/ 3
1/ 3
A = ( z ? k0 ) ? (k ? z 0 ) ? ( z 0 ? k 0 ) ,
dx = (u ± ?h )dt , u ± 2 ?h = const
Законы сохранения для системы (1) можно записать в виде
At + Bx = 0 , где А и В – функции, зависящие только от u и h.
Следствия законов сохранения имеют вид
? h ? Ah ? u ? Au + Bu = 0, ? u ? Ah ? ? ? Au + Bh = 0. (3)
Характеристики системы (3) таковы, что
{k = k0 }
t P (? Au +
?
?=0,
?
при условии
функции h0 ( x), M = (l1 , 0), N = (l2 , 0), a ? l1 ? l2 ? b.
Уравнения характеристик системы (1) и их соотношения следующие:
?
?
? z ? (? Au + A ?h + B )
k = k0
?
? ? Adx + Bdt =
PM
M
?
?
B ?
B ??dk .
=??A +
? x ? ? x?? k ?? ? A+
u + ?h ??
u + ?h ? P {z = z0 } ?
?
Будем искать функции А и В, удовлетворяющие системе (4) и условиям
t ?? z ( ? Au + A ?h + B ) dz.
5
Математика, механика, информатика
Значения функций в точке Р следующие:
u ( xP , t p ) = ? h0 (l1 ) ? h0 (l2 ) ,
??
?
?
? = 0,
? z ? ?? ? A+ B ??
??
u ? ?h ? k = k ?
?
0 ?
(
(10)
??
?
?
? = 0.
? k ? ?? ? A+ B ??
??
u + ?h ? z = z ?
?
0 ?
Системы (4), (10) имеют следующие решения:
1/ 3
A=
4 ( k ? z0 )
?
1/ 3
1/ 3
( z0 ? k0 ) ( z0 + 3k0 ) ( z0 ? k0 ) (k0 + 3z0 )
( z ? k0 ) ( z + 3k0 )
1/ 3
,
?
1/ 3
( z0 ? k0 ) ( z0 + 3k0 ) ( z0 ? k0 ) (k0 + 3z0 )
? 1.
)(
)
P
(11)
Au ? A ?h ? B
Au + A ?h ? B
+ l2
? l1
.
u ? ?h
u + ?h
(l2 ,0)
(l1 ,0)
Учитывая выражения для t0 , k0 , после упрощений
получим:
xP =
?
(
4 h0 (l1 ) h0 (l2 ) (l1 ? l2 )
h0 (l1 ) ? 3 h0 (l2 )
4 h0 (l1 ) h0 (l2 )
(
h0 (l1 ) + h0 (l2 )
+
(
(3
)
4/3
)(
l2 ?
?
??
l1 ?
?
h0 (l1 ) + h0 (l2 )
)
?
( h ( x) + h (l ) ) +
( h (l ) ? 3 h (l ) )
(13)
2
.
1. Savag, S. B. The motion of a finite mass of granular
material down a rough incline / S. B. Savag, K. Hutter //
J. Fluid. 1989. P. 177–215.
2. Gray, N. Rapid Granular Avalanches / N. Gray // Lecture
Notes in Applied and Computational Mechanics. Vol. II.
Dynamic Response of Granular and Porous Materials under
Large and Catastrophic Deformations. Berlin ; Heidelberg :
Springer-Verlag, 2003. P. 3–42.
3. Chugunov, V. Group Theoretic Methods and
Computational Mechanics / V. Chugunov, N. Gray, K. Hutter
// Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics.
Vol. II. Dynamic Response of Granular and Porous Materials
under Large and Catastrophic Deformations. Berlin ;
Heidelberg : Springer-Verlag, 2003. P. 251–261.
Отсюда равенство (5) примет вид
l2
B ?h
+
? Adx = 2 xP
u + ?h u ? ?h
l1
(
)
Библиографический список
1/ 3
(k ? z0 ) (k + 3 z0 )
h0 (l1 ) + h0 (l2 )
4
Таким образом, формулы (9), (12), (13) определяют
функции u(x, t) и h(x, t) в криволинейном треугольнике,
ограниченном отрезкам [a, b] оси Х и характеристиками,
проведенными из точек (а, 0) и (b, 0)
1/ 3
4 ( z ? k0 )
1/ 3
B=
h ( xP , t p
(
)=
)
1/ 3
0
0
0
1
2
0
2
(12)
?
?
? dx.
h0 (l1 ) ? h0 (l2 ) ?
?
h0 ( x) + h0 (l1 )
)
1/ 3
)
O. N. Zhdanov
THE SOLUTION OF CAUCHY PROBLEM FOR SYSTEM,
DESCRIBING ONE-DIMENSIONAL FLOWS OF GRANULAR MATERIAL
In this article we obtained the solution of Cauchy problem for system, using be the special class of loch conservation.
6
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
114 Кб
Теги
решение, уравнения, описывающих, кошик, гранулированного, система, материалы, одномерных, задачи, поток
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа