close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с оператором Бесселя методом теории интегральных уравнений.

код для вставкиСкачать
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2008. — № 2 (17). — С. 29–37
УДК 517.956.6
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
СМЕШАННОГО ТИПА С ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ
МЕТОДОМ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Р. М. Сафина
Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет,
420021, г. Казань, ул. Татарстан, 2.
E-mail: rimma77705@mail.ru
Доказывается существование и единственность решения задачи Трикоми для
уравнения Лаврентьева—Бицадзе с оператором Бесселя
„
«
∂
∂u
∂2u
x−k
xk
+ sign y 2 = 0
∂x
∂x
∂y
в области D, ограниченной спрямляемой жордановой кривой Γ, осью Oy и характеристиками OC : x + y = 0 и BC : x − y = 1, методом линейных интегральных
уравнений.
Ключевые слова: уравнения смешанного типа, задача Трикоми, B-эллиптические уравнения, B-гиперболические уравнения, задача N , задача Коши.
Постановка задачи Трикоми и единственность eё решения. Рассмотрим
уравнение смешанного типа
EB (u) = Bx u + signy
∂2u
= 0,
∂y 2
(1)
∂
∂
где Bx = x−k ∂x
xk ∂x
— оператор Бесселя, 0 < k < 2 — постоянная.
При y > 0 уравнение (1) является B-эллиптическим, а при y < 0 — B-гиперболическим; y = 0 — B-параболическая линия. Уравнение (1) при y < 0
имеет два различных семейства вещественных характеристик, которые определяются уравнениями x − y = C1 , x + y = C2 .
Пусть Γ — спрямляемая жорданова кривая с концами в точках A(0, 1)
и B(1, 0), лежащая в первой четверти E2++ координатной плоскости. Обозначим через D область, ограниченную кривой Γ, осью Oy и характеристиками
OC: x + y = 0 и BC: x − y = 1.
Части области D, в которых y > 0 и y < 0, обозначим соответственно через D+ и D− . Поскольку уравнение (1) B-эллиптично в D+ и B-гиперболично
в D− , то их будем называть соответственно B-эллиптической и B-гиперболической частями области D, а эту последнюю — смешанной областью.
Задача Трикоми. Найти чётную по x функцию u(x, y), удовлетворяю-
щую условиям:
¯ ∩ C 1 (D ∪ OA ∪ OB) ∩ C 2 (D+ ∪ D− );
u(x, y) ∈ C (D)
(2)
EB (u) = 0, (x, y) ∈ (D+ ∪ D− );
(3)
Сафина Римма Марселевна — ассистент кафедры экономической информатики и математики Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета; аспирантка.
29
С а ф и н а Р. М.
u = ϕ(x, y), (x, y) ∈ Γ;
Γ
1
u
= u(x, y)
= u(x, −x) = 0, 0 6 x 6 ,
2
OC
y=−x
где ϕ — заданная достаточно гладкая чётная по x функция.
Из условия (2) следует, что
(4)
(5)
lim u (x, y) = lim u (x, y) , 0 6 x 6 1;
(6)
lim uy (x, y) = lim uy (x, y) , 0 6 x < 1.
(7)
y→0−
y→0+
y→0−
y→0+
Условия (6) и (7) называются условиями склеивания, или сопряжения.
Теорема 1. Задача Трикоми не может иметь более одного решения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u1 (x, y) и u2 (x, y) — два предполагаемых решения задачи Трикоми. Тогда их разность ω(x, y) = u1 (x, y) − u2 (x, y) чётна
по x, удовлетворяет уравнениям
∂2ω
−k ∂
k ∂ω
B ω ≡ x
x
−
= 0, (x, y) ∈ D− ;
(8)
∂x
∂x
∂y 2
∂ω
∂2ω
∂
△B ω ≡ x−k
xk
+
= 0, (x, y) ∈ D+ ,
(9)
∂x
∂x
∂y 2
условиям (2), (3), (6) и (7) задачи Трикоми и однородным граничным условиям:
ω = 0;
(10)
Γ
ω
= ω(x, y)
= ω(x, −x) = 0.
(11)
OC
Положим
y=−x
ω(x, 0 − 0) = ω(x, 0 + 0) = µ(x);
ωy (x, 0 − 0) = ωy (x, 0 + 0) = ν(x).
(12)
(13)
Из условия (2) задачи Трикоми следует, что
µ(x) ∈ C 1 [0, 1] , ν(x) ∈ C [0, 1) .
Предположим, что эти функции также удовлетворяют условию
µ(x) = 0, ν(x) = 0 при x > 1.
Сначала докажем, что
Z
1
µ(x)ν(x)xk dx > 0.
(14)
0
Рассмотрим функцию ω в области D+ . Она в этой области является B-гармонической функцией; в силу известного принципа экстремума для B-гармонических функций функция ω достигает наибольшего
и наименьшего значений на границе Γ ∪ [0, B] области D+ . Так как ω Γ = 0, то при ω 6= 0
30
Решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с оператором Бесселя . . .
эти значения могут достигаться только во внутренних точках отрезка [0, B].
Причём наибольшее значение должно быть положительным, а наименьшее
значение — отрицательным, поэтому µ(0) = µ(1) = 0. Также известно, что
функция ω(x, y) не имеет локальных экстремумов во внутренних точках области D+ . Пусть в точке x1 ∈ (0, B) функция ω достигает наибольшего положительного значения. Тогда существует интервал (α1 , β1 ), содержащий точку
x1 , где µ(x) > 0 и ν(x) > 0, так как когда точка (x, y) ∈ D+ стремится к точке
(x1 , 0), функция ω(x, y), возрастая, стремится к µ(x). Поэтому в этих точках
(15)
µ(x)ν(x) > 0.
Если в точке x2 ∈ (0, B) функция ω(x, y) достигает наименьшего отрицательного значения, то существует интервал (α2 , β2 ), где
(16)
µ(x)ν(x) > 0.
В точках x3 , где µ(x3 ) = 0, выполняется
(17)
µ(x3 )ν(x3 ) = 0.
Из (15), (16) и (17) следует требуемое (14).
Теперь докажем, что ω ≡ 0 в D.
Непосредственным вычислением можно проверить, что имеет место тождество
" 2 2 #
∂
∂ω
∂
∂ω
∂ω
∂ω
xk ω△B ω =
xk ω
+
xk ω
−
+
xk .
∂x
∂x
∂y
∂y
∂x
∂y
Так как △B ω ≡ 0 в D+ , то
∂
∂x
∂ω
xk ω
∂x
∂
+
∂y
∂ω
xk ω
∂y
−
"
∂ω
∂x
2
+
∂ω
∂y
2 #
xk ≡ 0.
(18)
Интегрируя это тождество по области D+ , с учётом ω = 0 получаем
Γ
ZZ
D+
ωx2
+
ωy2
k
x dxdy +
Z1
ω(x, 0)ωy (x, 0)xk dx = 0.
(19)
0
Отсюда и из (14) легко
заключаем, что ωx = 0 и ωy = 0. Таким образом,
ω = C = const. Так как ω Γ = 0, то C = 0 и ω ≡ 0 в D+ . Отсюда также имеем,
что
ω(x, 0) = 0, ωy (x, 0) = 0.
(20)
Теорема единственности будет доказана, если мы установим, что ω ≡ 0
в D− . Возьмём в D− произвольную точку M0 (x0 , y0 ). Через эту точку проведём характеристические линии M0 B0 : x−y = x0 −y0 и M0 A0 : x+y = x0 +y0
до их пересечения с осью абсцисс. Обозначим через D0 область, ограниченную характеристическими линиями M0 B0 , M0 A0 и отрезком оси абсцисс.
31
С а ф и н а Р. М.
Нетрудно проверить, что имеет место тождество
2 2 1 ∂
∂ω
∂ω
∂
k
k ∂ω ∂ω
x ω y B ω =
x
+
−
x
.
2 ∂y
∂y
∂x
∂x
∂y ∂x
k
Проинтегрируем это тождество по области D0 . Интеграл от левой части равен
нулю, так как ω является решением уравнения (8).
Пользуясь формулой Остроградского, с учётом (20) получаем
Z
M0 B0 ∪M0 A0
∂ω
∂y
2
+
∂ω
∂x
2 ∂ω ∂ω
cos (ν, y) − 2
cos (ν, x) xk dS = 0.
∂y ∂x
Умножая обе части последнего равенства на постоянную
и внося её под знак интеграла, получаем
Z
M0 B0 ∪M0 A0
√1
2
= cos(ν, y)
2
∂ω
∂ω
cos(ν, y) −
cos(ν, x) xk dS = 0.
∂y
∂x
Отсюда следует, что на линии M0 B0 выполняется условие
∂ω
∂ω
cos(ν, y) −
cos(ν, x) = 0
∂y
∂x
ω
y
ωx
и, следовательно, cos(ν,x)
= cos(ν,y)
на линии M0 B0 . Это равенство означает,
что на линии M0 B0 вектор grad ω коллинеарен нормали ν и, следователь−
−−−
→
M0 B0
=
Пр
grad
ω
=
0,
где
l
=
но, ортогонален линии M0 B0 . Поэтому ∂ω
−
−
−
−
→ .
l
∂l
|M0 B0 |
Отсюда следует, что ω = const вдоль линии M0 B0 . В частности, значение ω
в точке M0 (x0 , y0 ) совпадет со значением ω в точке B0 . В этой точке в силу
(20) ω = 0. Поэтому ω(x0 , y0 ) = 0 и, так как точка M0 (x0 , y0 ) была взята
произвольно в D− , ω ≡ 0 в D− .
Таким образом, ω ≡ 0 в D и, следовательно, u1 (x, y) ≡ u2 (x, y). Теорема
доказана. Функциональные соотношения между µ(x) и ν(x). Задачу Трикоми будем решать методом интегральных уравнений. Нам потребуются соотношения между µ(x) и ν(x) из обеих подобластей D− и D+ . Для вывода этих
соотношений рассмотрим вспомогательные задачи.
В B-гиперболической подобласти используем решение задачи Коши.
Задача Коши. Найти чётную по x функцию u(x, y), удовлетворяющую
условиям:
u(x, y) ∈ C(D− ) ∩ C 1 (D− ∪ OC) ∩ C 2 (D− );
−
B u(x, y) = 0, (x, y) ∈ D ;
u
= u
= µ(x), 0 6 x 6 1;
OB
y=0
uy = uy = ν(x), 0 6 x 6 1.
OB
32
y=0
(21)
(22)
(23)
Решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с оператором Бесселя . . .
Известно [1], что задача Коши (21)–(23) имеет единственное решение и это
решение может быть представлено в виде
u(x, y) = Ak
Z
1
∞
Z
µ(t) Ttx
cos(ξy)jν (tξ)ξ dξ tk dt+
0
Z ∞
Z 1
x
k−1
k
+
ν(t) Tt
sin(ξy)jν (tξ)ξ
dξ t dt , (24)
0
k
0
0
ν
ν
где Ak = 1/2k−1 Γ2 ( k+1
2 ), jν (t) = 2 Γ(ν + 1)Jν (t)/t , Jν (t) — функция Бесселя,
x
ν = (k − 1)/2, Tt — оператор обобщённого сдвига.
Полагая здесь y = −x, согласно условию (5) имеем
0=
Z
1
"
µ(t)
0
Ttx
Z
∞
#
k
cos(ξx)jν (tξ)ξ dξ tk dt−
0
−
Z
1
0
"
ν(t) Ttx
Z
∞
#
sin(ξx)jν (tξ)ξ k−1 dξ tk dt.
0
Это равенство запишем в виде
0=
Z
0
1
"
∂
µ(t) Ttx
∂x
Z
∞
#
sin(ξx)j k−1 (tξ)ξ k−1 dξ tk dt−
2
0
−
Z
1
0
"
ν(t) Ttx
Z
∞
#
sin(ξx)j k−1 (tξ)ξ k−1 dξ tk dt. (25)
2
0
Вычислим значение внутренного интеграла
Z ∞
I=
sin(ξx)j k−1 (tξ)ξ k−1 dξ.
(26)
2
0
Известно [2], что
sin(ξx) =
πξx
2
1
2
(27)
J 1 (ξx).
2
Заменяя в (26) j k−1 (tξ) на его вышеуказанное значение и sin(ξx) на зна2
чение из (27), получаем
Z ∞
√ k−2
1 1−k
k
k+1
I = π2 2 Γ
x2 t 2
J 1 (xξ)J k−1 (ξt) ξ 2 dξ.
(28)
2
2
2
0
Известно [3], что
Z
0
∞
k
k
2
J 1 (xξ)J k−1 (ξt) ξ dξ =
2
2
22t
k−1
2
x2 − t2
1
x 2 Γ 2−k
2
− k
2
+
,
33
С а ф и н а Р. М.
где
2
x
− k
− t2 + 2
=
−
Отсюда и из (28) следует, что
I=
√
π2k−1 Γ
Γ
при 0 < x < t,
0,
x2
2−k
2
− k
t2 2
k+1
2
(29)
, при 0 < t < x.
x2 − t2
− k2
+
(30)
.
Заменяя внутренние интегралы в (25) на их значения из (30), получаем
0=
Z
1
0
µ(t)Ttx
Z 1
k k
k k
∂
2
2 −2
x
2
2 −2
x − t + t dt −
ν(t)Tt
x − t + t dt.
∂x
0
(31)
В силу (29) это равенство может быть записано в виде
Z x
Z x
− k
− k
∂
0=
µ(t)Ttx
x2 − t2 2 tk dt −
ν(t)Ttx x2 − t2 2 tk dt
∂x
0
0
или
0=k
Z
x
0
µ(t)Ttx
2
x −t
k+2
2 − 2
Z
k
x t dt +
x
0
ν(t)Ttx
2
x −t
k
2 −2
tk dt. (32)
Формула (32) даёт второе функциональное уравнение между µ(x) и ν(x),
которое определяется из того условия, что решение u(x, y) уравнения (1) в области D− должно принимать нулевое значение на характеристике OC.
В B-эллиптической подобласти рассмотрим задачу N .
Задача N . Найти чётную по x функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям:
(33)
u(x, y) ∈ C(D+ ) ∩ C 1 (D+ ∪ OB ∪ OA) ∩ C 2 (D+ );
∆B u(x, y) = 0, (x, y) ∈ D+ ;
u = ϕ(ξ, η), (ξ, η) ∈ Γ;
Γ
∂u = ν(x), 0 < x < 1.
∂y y=0
(34)
(35)
(36)
Нетрудно доказать, что задача N (33)–(36) имеет единственное решение
и оно может быть представлено в виде
u(x, y) = −
Z
1
"Z
ν(t)
0
#
∂
ε(t, 0; ξ, η)
G(ξ, η; x, y)ξ k dΓ − ε(t, 0; x, y) tk dt−
∂np
Γ
Z
∂
− ϕ(ξ, η)
G(ξ, η; x, y)ξ k dΓ, (37)
∂n
p
Γ
где G(ξ, η; x, y) — функция Грина.
34
Решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с оператором Бесселя . . .
где
Полагая здесь y = 0 и принимая во внимание (12), получаем
Z 1
Z
∂
µ(x) = −
ν(t)Q1 (t, x)tk dt − ϕ(ξ, η)
G(ξ, η; x,0)ξ k dΓ,
∂n
p
0
Γ
Q1 (t, x) =
Z
ε(t, 0; ξ, η)
Γ
∂
G(ξ, η; x, 0)ξ k dΓ − ε(t, 0; x, 0).
∂np
(38)
(39)
Формула (38) даёт первое функциональное уравнение между µ(x) и ν(x),
которое определяется из того условия, что решение u(x, y) уравнения (1) в области D+ при y = 0 должно принимать значение µ(x).
Существование решения задачи Трикоми.
Сведение задачи Трикоми к интегральному уравнению. Вопрос о существовании решения задачи Трикоми (2)–(7) эквивалентен вопросу о разрешимости уравнений (38) и (32) относительно µ(t) и ν(t).
В силу (14) равенство (32) имеет место только при условии
k+2
k
x
2
2 − 2
x
2
2 −2
kµ(t)Tt
x −t
x + ν(t)Tt
x −t
=0
при 0 < t < x и 0 < x < 1, откуда
ν(t) = K1 (x, t)µ(t),
(40)
(41)
где
− k+2
2
x2 − t2
x
h
i .
k
Ttx (x2 − t2 )− 2
Ttx
K1 (t, x) = −k
Заменяя в (38) функцию ν(t) на её значение из (40), получаем
Z 1
µ(x) = k
µ(t)K(t, x)dt + F (x),
(42)
0
где
K(t, x) = K2 (t, x)Q1 (t, x),
Z
∂
G(ξ, η; x, 0)ξ k dΓ,
F (x) = − ϕ(ξ, η)
∂np
Γ
(43)
(44)
K2 (t, x) = K1 (t, x)tk .
Исследование интегрального уравнения (42). Сначала исследуем ядро
K(t, x) = K2 (t, x)Q1 (t, x).
Из (39) видно, что функция Q1 (t, x) при t = x имеет интегрируемую особенность. Рассмотрим функцию
− k+2
k
x
2
2
2
t xTt x − t
h
i .
K2 (t, x) = −k
k
Ttx (x2 − t2 )− 2
35
С а ф и н а Р. М.
− k+2
2
> 0 и x2 − t2
> 0, то в силу свойk
− k+2
−2
x
x
2
2
2
ства положительности оператора Tt Tt x − t
> 0 и Ttx x2 − t2
> 0.
Поэтому функцию K2 (t, x) можно записать в виде
Так как при 0 < t < x x2 − t2
− k
2
K2 (t, x) = −k
или
xt
K2 (t, x) = −k
k−2
2
t
− k2
− k+2
tk xTtx x2 − t2 2
k
Ttx |x2 − t2 |− 2
π
Z
|t − 2x cos ϕ|−
Z0 π
−1
x
K2 (x, x) = −k
Z
−k
x
Z0
π
,
k
|1 − 2 cos ϕ|−
π
0
sink−1 ϕdϕ
|t − 2x cos ϕ|− 2 sink−1 ϕdϕ
0
откуда при t = x:
k+2
2
,
|1 − 2 cos ϕ|
k+2
2
− k2
sink−1 ϕdϕ
=
k−1
sin
ϕdϕ
Z π
k+2
xk−1
|1 − 2 cos ϕ|− 2 sink−1 ϕdϕ
Z π0
.
= −k
− k2
k−1
|1 − 2 cos ϕ| sin
ϕdϕ
0
Нетрудно проверить, что при 0 < k < 2 существует число M такое, что
Z π
k+2
|1 − 2 cos ϕ|− 2 sink−1 ϕdϕ
Z0 π
< M.
k
|1 − 2 cos ϕ|− 2 sink−1 ϕdϕ
0
Поэтому функция K2 (t, x) при t = x также имеет интегрируемую особенность.
Таким образом, ядро интегрального уравнения (42) имеет слабую особенность, а функция F (x) непрерывна на отрезке [0; 1]. Поэтому для интегрального уравнения (42) применима теория интегральных уравнений Фредгольма
со слабой особенностью.
При ϕ(ξ, η) = 0 имеем однородное интегральное уравнение
µ(x) = k
Z
1
µ(t)K(t, x)dt,
(45)
0
соответствующее неоднородному интегральному уравнению (42), и задачу
Трикоми с однородными граничными условиями
u = 0, u
= u
= 0.
Γ
36
OC
y=−x
Решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с оператором Бесселя . . .
В силу теоремы единственности задача Трикоми имеет только нулевое
решение. Поэтому
u(x, 0) = µ(x) = 0, uy (x, 0) = ν(x) = 0.
Таким образом, однородное интегральное уравнение (45) имеет только
нулевое решение. В силу теоремы Фредгольма неоднородное интегральное
уравнение (42) однозначно разрешимо, и вместе с ним однозначно разрешима
задача Трикоми. Это приводит к следующей теореме.
Теорема 2. Пусть Γ — кривая Ляпунова, образующая с координатными
осями прямой угол. Тогда для этой кривой при ϕ ∈ C(Γ) разрешима задача
Трикоми, и решение может быть представлено в B-эллиптической области
D+ в виде (37) и в B-гиперболической области D− в виде (24).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мухлисов, Ф. Г. Решение задачи Коши для одного B-гиперболического уравнения методом интеграла Фурье—Бесселя [Текст] / Ф. Г. Мухлисов, С. М. Гафурова // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: Тр. Междунар.
научн. конф. — Стерлитамак, 2003. — Т. 1. — С. 183–187.
2. Неддон, И. С. Преобразования Фурье—Бесселя [Текст] / И. С. Неддон. — М.: Иностр.
лит., 1955. — 667 c.
3. Справочник по специальным функциям [Текст] / под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. — М.: Наука, 1955. — 829 c.
Поступила в редакцию 31/VII/2008;
в окончательном варианте — 18/X/2008.
MSC: 35M10, 35E15
THE SOLUTION OF TRICOMI PROBLEM FOR THE MIXED TYPE
EQUATION WITH BESSEL OPERATOR WITH THE METHOD OF
THE THEORY OF THE INTEGRAL EQUATIONS
R. M. Safina
Tatar State University of Humanities and Education,
420021, Kazan, Tatarstan st., 2.
E-mail: rimma77705@mail.ru
In the given work existence and uniqueness of the solution of a problem of Tricomi for
the equation Lavrentiev–Bizadze with the operator of Bessel:
„
«
∂
∂u
∂2u
x−k
xk
+ sign y 2 = 0
∂x
∂x
∂y
in the area D, limited to the rectifiable curve Γ, axis Oy and characteristics OC:
x + y = 0 and BC: x − y = 1, by a method of the integral equations is proved.
Key words: the equation of mixed type, Tricomi problem, B-elliptic equation, B-hyperbolic equation, N problem, Cauchy problem.
Original article submitted 31/VII/2008;
revision submitted 18/X/2008.
Safina Rimma Marselevna, Postgraduate Student, Dept. of Economic Computer Science and
Mathematics of Tatar State University of Humanities and Education.
37
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
184 Кб
Теги
типа, решение, методов, уравнения, интегральная, смешанной, бессель, оператора, задачи, трикоми, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа