close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение обыкновенных интегродифференциальных уравнений методом осциллирующих функций.

код для вставкиСкачать
2005
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (515)
УДК 517.968:519.6
Л.Б. ЕРМОЛАЕВА
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ
Введение
Данная статья, являющаяся естественным продолжением работ [1]{[3], посвящена теоретическому обоснованию в смысле ([4], гл. 14; [5], гл. 1) метода осциллирующих функций (подобластей) для обыкновенных интегродифференциальных уравнений и некоторых их обобщений. В
частности, доказывается сходимость метода при минимальных (к настоящему времени) предположениях относительно исходных данных и устанавливаются эффективные (в том числе неулучшаемые по порядку) оценки погрешности в зависимости от структурных свойств исходных
данных. При этом существенным образом используются как результаты, так и обозначения из
[2], [3].
1. Постановка задачи
Рассматривается линейное операторное уравнение
Ax x m (t) + B (x; t) = y(t); ;1 6 t 6 1;
(
)
(1.1)
при краевых условиях
Rl (x) = 0; l = 0; m ; 1;
(1.2)
здесь B | линейный (в том числе интегродифференциальный) оператор с областью значений в
пространстве L1 (;1; 1), y 2 L1 (;1; 1), а Rl | линейно независимые функционалы в пространстве
C m;1[;1; 1], m | целое неотрицательное число, причем условия (1.2) при m = 0 отсутствуют.
Приближенное решение задачи (1.1){(1.2) ищется в виде многочлена
xn(t) =
nX
+m
k=1
k tk; ; t 2 [;1; 1]; n 2 N ;
1
(1.3)
коэффициенты k = k;n которого определяются по методу подобластей из системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ)
nX
+m
k=1
k
Z ti
ti;1
n
X
k=1
A(tk;1 ; t)dt =
Z ti
ti;1
y(t)dt; i = 1; n;
k Rl(tk; ) = 0; l = 0; m ; 1;
1
(1.4)
(1.5)
здесь ftk = tk;n gn0 | некоторая система узлов из [;1; 1], выбор которых имеет, как будет показано
ниже, существенное значение для обоснования сходимости и оценки погрешности метода.
38
Исследование метода (1.1){(1.5) будем проводить в парах функциональных пространств
(W2m (); L2 ()) и (C m; C ), где C = C [;1; 1], L2 () = L2 (; [;1; 1]) | хорошо известные пространства с обычными нормами, а C m = C (m)[;1; 1] | пространство m раз непрерывно дифференцируемых на [;1; 1] функций с нормой
kxkCm =
m
X
i=0
kx i (t)kC ; x 2 C m;
( )
W m () = W m (; [;1; 1]) = fx(t) 2 C m; : 9 x m (t) 2 L ()g | весовое пространство Соболева с
2
нормой
(
2
)
1
kxkW m =
m
X
2 ( )
i=0
(
)
2
kx i (t)kL ; x 2 W m();
( )
2( )
2
причем выбор весовой функции = (t) = (1 ; t2 )1=2 продиктован, как и в [1], [2], свойствами
используемых ниже многочленов Чебышева Tn (t) = cos n arccos t (n + 1 2 N , t 2 [;1; 1]) и их
производных.
2. Основные результаты
Ниже за узлы tk = tk;n (k = 0; n) возьмем корни многочлена Чебышева Tn+1 (t) и соответственно экстремальные точки многочлена Чебышева Tn (t):
1 ; k = 0; n; n 2 N ;
tk = cos 22nk +
(2.1)
+2
tk = cos k
k = 0; n; n 2 N :
(2.2)
n;
Для вычислительной схемы (1.1){(1.5), (2.1){(2.2) справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть выполнены условия
B : W m() ! L () вполне непрерывен;
m (t) = 0 при условиях (1:2) имеет лишь тривиальное решение;
уравнение x
m
задача (1:1){(1:2) имеет единственное решение x (t) 2 W () при любой правой части
y(t) 2 L ().
Тогда при всех n > n (n 2 N определяется свойствами оператора B ) СЛАУ (1:4){(1:5),
(2:1){(2:2) имеет единственное решение ; ; : : : ; n m . Приближенные решения
а)
б)
в)
оператор
(
)
2
2
2
2
0
0
1
xn (t) =
сходятся при
где символ
2
+
nX
+m
k tk;1 ;
k=1
;1 6 t 6 1;
(1.3 )
n ! 1 к точному решению x (t) со скоростью, определяемой соотношениями
En; (x m )L2 kx ; xnkW2m En m; (x )W2m ;
(2.3)
1
(
)
( )
( )
+
1
( )
означает знак слабой эквивалентности.
Здесь и далее En+m;1 (')W2m () | наилучшее приближение функции ' 2 W2m () всевозможными алгебраическими многочленами вида (1.3) в метрике пространства W2m (), а En;1 (f )L2 ()
| наилучшее приближение в пространстве L2 () функции f 2 L2 () алгебраическими многочленами степени не выше n ; 1.
m
Доказательство. Положим X = fx 2 W2 () : Rl (x) = 0, l = 0; m ; 1g и Y = L2 () с
нормами соответственно
kxkX =
m
X
i=0
kx i
( )
(t)kY ; x 2 X ; kykY =
39
Z
+1
;1
(t)jy(t)j dt
2
1=2
; y 2 Y:
Тогда задача (1.1){(1.2) может быть записана в виде эквивалентного ей линейного операторного
уравнения
Ax Ux + Bx = y (x 2 X; y 2 Y );
(2.4)
где Ux = x(m) (t), при краевых условиях (1.2). В силу условий теоремы операторы A : X ! Y и
U : X ! Y имеют непрерывные обратные A;1 : Y ! X и U ;1 : Y ! X .
Введем подпространства
Yn =
X
n
tk;1
k
k=1
Xn = fxn 2 H n+m;1
H n; ; k 2 R;
1
: Rl (xn ) = 0; l = 0; m ; 1g:
Ясно, что Xn X , Yn Y и dim Xn = dim Yn = n 2 N .
Обозначим через n : Y ! Yn оператор метода подобластей по любой из систем узлов (2.1) и
(2.2). В силу следствий лемм 2 и 3 из [3], леммы 1.1 и ее следствия работы [2] для любой f 2 Y
имеем
En;1 (f )Y 6 kf ; nf kY 6 2 En;1 (f )Y ; n 2 N ;
(2.5)
(2.6)
1 6 kn kY !Y 6 2 ; n 2 N :
Запишем СЛАУ (1.4){(1.5) в виде эквивалентного ей линейного операторного уравнения
Anxn Uxn + n Bxn = ny (xn 2 Xn; yn 2 Yn)
(2.7)
и покажем, что операторы An : Xn ! Yn при всех n > n0 линейно обратимы, а обратные
операторы ограничены по норме в совокупности:
kA;n 1 kYn!Xn = O(1); n ! 1:
(2.8)
С этой целью к уравнениям (2.4) и (2.8) применим теорему 7 из ([5], гл. 1). Для любых xn 2 Xn ,
xn 6= 0, из (2.4) и (2.8) находим
kAxn ; AnxnkY = kBxn ; n BxnkY = kxnkX kBzn ; n BznkY 6 "0nkxn kX ;
"0n = sup kBzn ; n Bzn kY 6 sup kBz ; nBz kY = sup kf ; n f kY ;
zn 2Xn ;
kznkXn =1
z2X;
kzkX 61
f 2BS (0;1)
где zn = xn =kxn k, S (0; 1) = fx 2 X : kxkX 6 1g. Поскольку в силу условия a) теоремы множество
BS (0; 1) компактно в пространстве Y , то из (2.5) и теоремы Гельфанда (напр., [4], с. 274{276)
0
следует nlim
!1 "n = 0. Поэтому
"n kA ; An kXn !Y 6 "0n ! 0; n ! 1:
Кроме того, в силу (2.5) для правых частей уравнений (2.4) и(2.7) имеем
(2.9)
n ky ; n ykY 6 2 En; (y)L2 ! 0; n ! 1:
(2.10)
Поэтому в силу теоремы 7 ([5], гл. 1) для всех n 2 N таких, что
qn "n kA; kY !X < 1 (n > n );
(2.11)
операторы An : Xn ! Yn непрерывно обратимы и для A;n : Yn ! Xn справедливы оценки (2.8);
кроме того, приближенные решения xn = A;n n y, определяемые по формуле (1.3 ), сходятся к
точному решению x = A; y в пространстве X со скоростью
kx ; xnkX = O("n + n );
(2.12)
где "n и n определены в (2.9) и (2.10).
1
( )
1
0
1
1
1
40
Теперь с помощью теоремы 6 из ([5], гл. 1) и соотношений (2.5){(2.12) находим
kx ; xnkX 6 kE ; A;n 1 nAkX !X kx ; xenkX ;
(2.13)
;
1
;
1
kx ; xnkX 6 kE ; An nB kX !X kU kY !X kUx ; nUx kY ;
(2.14)
где xen | произвольный элемент из Xn . Выбирая его соответствующим образом, из (2.13), (2.4),
(2.6) получаем оценку
kx ; xnkX = OfEn+m;1 (x)X g:
(2.15)
Аналогично, из (2.14), (2.4){(2.6) и условия б) теоремы находим
kx ; xn kX = OfEn;1 (x(m))Y g:
(2.16)
Нетрудно показать, что
kx ; xnkX > En+m;1(x)X > En;1(x (m))Y :
(2.17)
Из неравенств (2.15){(2.17) следуют соотношения (2.3).
Теорема 2. В условиях теоремы 1 приближенные решения (1:3 ) сходятся в пространk
ствах C (k = 0; m ; 1, m > 1) со скоростью
kx ; xnkCk =
k
X
i=0
kx i (t) ; xn i (t)kC = OfEn; (x m )L g:
( )
( )
1
(
)
2( )
y 2 C , а оператор B : X ! C ограничен, то справедлива порядковая оценка
kx ; xnkCm = OfEn; (x m )C ln ng;
если же y 2 C и
kn B kX !C = O(1); n ! 1;
(2.18)
Если
(
1
)
(2.19)
(2.20)
то справедлива асимптотическая оценка
kx ; xn kCm kx m ; nx m kC ; n ! 1;
'2C
n ; 1 (n 2 N )
(
где
En; (')C
1
)
(
)
| наилучшее равномерное приближение функции
членами степени не выше
, а символ
(2.21)
алгебраическими много-
означает знак сильной эквивалентности.
Доказательство. Оценка (2.18) является следствием теоремы 1 и того известного факта,
что пространство W2m () непрерывно вложено в любое из пространств C k при k = 0; 1; : : : ; m ; 1
(m > 1, C 0 = C ). Переходя к доказательству (2.19), отметим, что
kx ; xnkCm = kx ; xnkCm;1 + kx(m) ; xn (m)kC ;
(2.22)
где первое слагаемое оценено в (2.18), а для оценки второго слагаемого воспользуемся тождествами
x (m) y(t) ; B (x; t); xn(m) n (y; t) ; (n B )(xn ; t);
(2.23)
где ;1 6 t 6 1.
Из (2.23) следует тождество
x (m) ; xn (m) = (x (m) ; nx (m) ) ; (n B )(x ; xn ):
(2.24)
В силу теоремы 1 и ограниченности оператора B : X ! C из (2.24) находим неравенства
kx (m) ; xn(m)kC 6 kx (m) ; nx(m)kC + kn kC!C kB kX !C kx ; xnkX 6
6 2kn kC!C En;1(x(m))C + kn kC!C kB kX !C OfEn;1 (x(m))L2() g =
= kn kC !C OfEn;1 (x (m) )C + En;1 (x (m) )L2 () g = OfkkC !C En;1 (x (m))C g: (2.25)
41
Поскольку в силу (2.18)
kx ; xnkCm; = OfEn; (x m )L g = OfEn; (x m )C g;
(2.26)
kx ; xnkCm = Ofkn kC!C En; (x m )C g:
(2.27)
1
(
1
то с учетом (2.22), (2.25) и (2.26) имеем
)
2( )
1
(
1
(
)
)
Известно [6], [7], [2], что для узлов (2.1) и (2.2) справедлива оценка
kn kC!C = O(ln n); n ! 1:
(2.28)
Из (2.27) и (2.28) следует оценка (2.19).
Далее, из (2.24) с учетом (2.20) и теоремы 1 последовательно находим
kx (m) ; xn(m)kC 6 kx(m) ; n x(m)kC + kn B kX !C kx ; xn kX 6
6 kx(m) ; n x(m)kC + OfEn;1 (x(m))L2 ()g kx(m) ; n x(m)kC ; n ! 1;
kx(m) ; xn (m)kC > kx (m) ; nx(m)kC ; knB kX !C kx ; xnkX kx (m) ; nx(m)kC ; n ! 1;
поэтому
kx (m) ; xn(m)kC kx(m) ; n x(m)kC ; n ! 1:
(2.29)
Из соотношений (2.22), (2.26), (2.28) и (2.29) следует оценка (2.21).
Из теоремы 2 и прямых теорем теории равномерных приближений функций (напр., [8]{[10])
получаем
(m) (t) удовлетворяСледствие. Пусть функция y (t) и оператор B таковы, что функция x
ет условию Дини{Липшица на сегменте [;1; 1]. Тогда метод (1.1){(1.5), (2.1){(2.2) сходится в
пространстве C m со скоростью (2.19); если же
x(m)(t) 2 W r H [;1; 1] (r + 1 2 N ; 0 < 6 1);
(2.30)
то и со скоростью
kx ; x k m = O ln n :
(2.31)
n C
nr
+
3. Некоторые замечания и дополнения
1 . Отметим, что утверждения, аналогичные теореме 2 и ее следствию, могут быть получены
также самостоятельно, но при более жестких, чем выше, условиях; напр., как и в ([5], гл. 4), с
использованием оценки (2.28), доказывается
1
m удовлетвоТеорема 3. Пусть функции y (t) и B (x; t) равномерно относительно x 2 C
ряют на [;1; 1] условию Дини{Липшица. Тогда СЛАУ (1:4){(1:5), (2:1){(2:2) однозначно разре
m со
шима при всех n > n1 2 N и приближенные решения (1:3 ) сходятся в пространстве C
скоростью
kx ; xnkCm kx m ; nx m kC = OfEn; (x m )C ln ng; n ! 1;
(
)
(
)
1
(
)
(2:30), то и со скоростью (2:31).
2 . С помощью результатов работы [11] и приведенных выше теорем доказывается
Теорема 4. Метод осциллирующих функций (1:1){(1:5), (2:1){(2:2) обладает следующими
оптимальными свойствами:
1
Это означает, что supf! (Bx; ) : x 2 C m , kxkC m = 1g = o j ln1 j , ! +0, где ! ('; ) | модуль
непрерывности функции ' 2 C [;1; 1] с шагом 2 (0; 2].
если же выполняется условие
42
а)
б)
в условиях любой из теорем
1
и
2
метод оптимален по порядку среди всевозможных
(1:1){(1:2);
2, а также теоремы 3 метод является асимптоти-
полиномиальных методов решения задачи
в условиях второй части теоремы
чески оптимальным среди всевозможных методов осциллирующих функций, основанных на аппроксимации полиномами.
3 . Приведенные выше результаты остаются справедливыми и в том случае, когда в соболевском пространстве X = W2m() вводится другая, но эквивалентная предыдущей, норма.
Например, в силу условия б) теоремы 1 можно положить
kx(t)kW m = kx m (t)kL
= kUxkL2 () ; x 2 X ;
(3.1)
в некоторых случаях норма (3.1) удобнее, чем использованная выше. Это видно хотя бы из
следующего простого результата.
(m)
Теорема 5. Пусть уравнение x
(t) = 0 при краевых условиях (1:2) имеет лишь триви(
2 ( )
)
2( )
альное решение и выполнено неравенство
Тогда как задача
(1:1){(1:2),
q = 2 kB kX !Y < 1:
так и СЛАУ
;
но разрешимы при любых правых частях
(3.2)
(1:4){(1:5), (2:1){(2:2)
для любых
приближенные решения
n2
N
(1:3 ) сходятся
однознач-
к точному
x(t) в пространстве X с нормой (3:1), при этом для любых n 2 N справедлива оценка
kx ; xnkW2m 6 2 ; kB k En; (x m )L2 :
(3.3)
X !Y
Доказательство. Из (3.1) и первого условия теоремы следует, что оператор U : X ! Y
решению
( )
1
(
)
( )
непрерывно обратим и
kU kX !Y = kU ; kY !X = 1:
(3.4)
1
Поэтому уравнения (2.4) и (2.7) эквивалентны соответственно уравнениям
Kx x + U ;1 Bx = U ;1 y (x; U ;1 y 2 X );
(3.5)
;
1
;
1
;
1
Kn xn xn + U n Bxn = U n y (xn ; U n y 2 Xn );
(3.6)
при этом операторы A и K (а также An и Kn ) обратимы (или необратимы) одновременно и в
случае их обратимости справедливы соотношения
kA; kY !X = kK ; kX !X ; kA;n kYn!Xn = kKn; kXn !Xn :
(3.7)
В силу (3.2), (3.4), (3.7) и полноты пространства X с нормой (3.1) оператор K : X ! X (следовательно, и A : X ! Y ) непрерывно обратим и
6 ; 2 < 1;
(3.8)
kA;1kY !X 6 1 ; kU ;11 B k
X !X
аналогично, в силу (2.6), (3.2), (3.4), (3.7) и полноты пространства Xn операторы Kn : Xn ! Xn
(следовательно, и An : Xn ! Yn ) непрерывно обратимы при любых n 2 N и
kA;n 1 kYn!Xn 6 1 ; kU ;1 1 B k
6 1 ;1 q :
(3.9)
n X !X
В силу (3.5){(3.9) первая часть теоремы доказана. Для доказательства второй части воспользуемся соотношениями (2.5), (2.6), (2.14), (3.1), (3.2), (3.4), (3.8) и (3.9), из которых при
1
1
1
43
1
любых n 2 N находим
kx ; xnkX 6 (1 + kA;n kYn!Xn kn kY !Yn kB kX !Y )kU ; kY !X kUx ; n UxkY 6
1
6 1 + 1 ; q 2 kB kX !Y 2 En; (Ux )Y 6 1 ;1 q 2 En; (Ux )Y 6 2 ; kB k En; (x m )Y : 1
1
1
1
X !Y
1
(
)
Литература
1. Ермолаева Л.Б. Решение линейных уравнений методом осциллирующих функций // Тр.
Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Актуальные проблемы математики и механики. {
Казань: Унипресс, 2000. { Т. 5. { С. 83{84.
2. Ермолаева Л.Б. Решение интегральных уравнений методом подобластей // Изв. вузов.
Математика. { 2002. { Є 9. { С. 37{49.
3. Габдулхаев Б.Г., Ермолаева Л.Б. Интерполяционные полиномы Лагранжа в пространствах
Соболева // Изв. вузов. Математика. { 1997. { Є 5. { С. 7{19.
4. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.
{ М.: Физматгиз, 1959. { 684 с.
5. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. { Казань: Изд-во
Казанск. ун-та, 1980. { 232 с.
6. Нагих В.В. Оценка нормы некоторого полиномиального оператора в пространстве непрерывных функций // Методы вычислений. Вып. 10. { Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. { С. 99{102.
7. Керге Р.М. О сходимости и устойчивости метода подобластей: Автореф. дис. : : : канд.
физ.-матем. наук. { Тарту, 1979. { 10 с.
8. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. { М.: Физматгиз,
1960. { 624 с.
9. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. { Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. { 184 с.
10. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. { М.:
Наука, 1977. { 490 с.
11. Габдулхаев Б.Г. Оптимизация прямых и проекционных методов решения операторных
уравнений // Изв. вузов. Математика. { 1999. { Є 12. { С. 3{18.
Казанская государственная
Поступила
26.06.2002
архитектурно-строительная академия
44
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
178 Кб
Теги
обыкновенное, решение, методов, уравнения, функции, осциллирующая, интегродифференциальных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа