close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение одного класса слабосингулярных интегральных уравнений i рода с неопределенными параметрами.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2009, № 6, c. 54–59
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
Л.А. СУРАЙ
РЕШЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА СЛАБОСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ I РОДА С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Аннотация. В данной работе исследуется двумерное слабосингулярное интегральное уравнение I рода с логарифмическим ядром. Предлагается пара пространств искомых элементов и
правых частей, в которых доказывается корректность рассматриваемой задачи и получены
формулы обращения интегрального оператора.
Ключевые слова: двумерное интегральное уравнение I рода, логарифмическое ядро, формулы
обращения интегрального оператора.
УДК: 517.968
Abstract. In this paper we study a two-dimensional weakly singular integral equation of the first
kind with a logarithmic kernel. We construct a pair of spaces of the desired elements and the
right-hand sides, where we prove the correctness of the problem under consideration and obtain
inversion formulas for the integral operator.
Keywords: two-dimensional integral equation of the first kind, logarithmic kernel, inversion formulas for an integral operator.
Введение
Среди интегральных уравнений I рода с логарифмической особенностью в ядре выделяются часто встречающиеся в приложениях (например, [1], [2]) уравнения, содержащие
неопределенные параметры. В данной работе исследование проводится на примере двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения I рода
1 1
1
(1 − t2 )(1 − τ 2 ) ln |t − s| ln |τ − σ|x(t, τ )dt dτ +
Kx ≡ 2
π −1 −1
+ α sin(k1 s) sin(k2 σ) + β cos(k1 s) cos(k2 σ) + γ sin(k1 s) cos(k2 σ)+
+ δ cos(k1 s) sin(k2 σ) + V (x; s, σ) = f (s, σ). (1)
Здесь V — некоторый интегральный оператор, f (s, σ) — известная непрерывная функция в
области [−1, 1; −1, 1] = [−1, 1]2 , x(t, τ ) — искомая функция, α, β, γ и δ — искомые параметры,
а k1 и k2 — известные не равные нулю параметры, такие, что J0 (ki ) = 0, J1 (ki ) = 0 (i = 1, 2),
где Jr (k) — функция Бесселя r-го порядка.
Традиционно задачи решения интегральных уравнений первого рода относятся к некорректно поставленным, что связано с полной непрерывностью интегрального оператора в
Поступила 09.04.2007
54
РЕШЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ
55
известных функциональных пространствах. К тому же вопросы точного и численного решений многомерных интегральных уравнений первого рода исследованы в гораздо меньшей
степени по сравнению с тем, что сделано для одномерных интегральных уравнений.
Далее по методике и схеме исследования из [3], [4] предложена пара пространств искомых элементов X и правых частей Y , в которых задача решения уравнения (1) становится
корректной по Адамару, и получены формулы обращения интегрального оператора с логарифмическим ядром.
1. О разрешимости слабо сингулярного интегрального уравнения
с неопределенными параметрами
Обозначим через X = L2ρ = L2ρ [−1, 1]2 пространство квадратично суммируемых по
Лебегу на [−1, 1]2 функций с весом ρ(t, τ ) = (1 − t2 )(1 − τ 2 ) и с обычной нормой
1 1
1
2
2
ρ(t, τ )|ϕ(t, τ )| dt dτ , ϕ ∈ X.
ϕX = ϕ2ρ =
−1
−1
∈ L
Пусть q(t, τ ) = (ρ(t, τ ))−1 . Введем пространство Y = W21q2 = y(t, τ ) ∈ L2q : ∃ytτ
2q с
нормой
2q .
yY = yW21q2 = y2q + ytτ
Через X обозначим пространство вектор-функций x(t, τ ) = {x(t, τ ), α, β, γ, δ} с компонентами x(t, τ ) ∈ X и α, β, γ, δ ∈ R и с нормой
xX = x2ρ + |α| + |β| + |γ| + |δ|.
Рассмотрим характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (1),
1 1
1
(1 − t2 )(1 − τ 2 ) ln |t − s| ln |τ − σ|x(t, τ )dt dτ + ψ(s, σ) = f (s, σ),
Sx = 2
π −1 −1
где
(2)
ψ(s, σ) = α sin(k1 s) sin(k2 σ) + β cos(k1 s) cos(k2 σ) + γ sin(k1 s) cos(k2 σ) + δ cos(k1 s) sin(k2 σ).
По аналогии с [5] для функции ϕ(t, τ ) ∈ L[−1, 1]2 введем коэффициенты Фурье–Чебышева
1 1
4
ϕ(t, τ )Tj (t)Ti (τ )
TT
dt dτ,
cji (ϕ) = 2
π −1 −1 (1 − t2 )(1 − τ 2 )
1 1
4
UU
(1 − t2 )(1 − τ 2 )ϕ(t, τ ) Uj (t) Ui (τ ) dt dτ,
cj i (ϕ) = 2
π −1 −1
1 1
4
(1 − t2 )
T
ϕ(t, τ ) Uj (t) Ti (τ ) dt dτ,
cU
j i (ϕ) = 2
π −1 −1 (1 − τ 2 )
1 1
4
(1 − τ 2 )
ϕ(t, τ )Tj (t)Ui (τ ) dt dτ,
cTj iU (ϕ) = 2
π −1 −1 (1 − t2 )
j + 1, i + 1 ∈ N, где
Tk (t) = cos k arccos t,
Uk (t) =
sin(k + 1) arccos t
√
,
1 − t2
— полиномы Чебышева соответственно I и II родов степени k.
−1 t 1,
56
Л.А. СУРАЙ
Пусть
1
Iϕ = I(ϕ; s, σ) = 2
π
1
−1
1
−1
ϕ(t, τ )dt dτ
(1 −
t2 )(1
− τ 2 )(t − s)(τ − σ)
— двумерный сингулярный интеграл с ядром Коши, понимаемый в смысле главного значения по Коши.
Теорема. Уравнение (2) однозначно разрешимо при любой правой части y ∈ Y , компоненты решения x(t, τ ) ∈ X могут быть найдены по формулам
x(t, τ ) =
; t, τ )
I(qFsσ
1
α= 2
π k1 k2 J0 (k1 )J0 (k2 )
1
= 2
π
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
(s, σ)ds dσ
Fsσ
,
(1 − s2 )(1 − σ 2 )(s − t)(σ − τ )
(s, σ)ds dσ
fsσ
,
(1 − s2 )(1 − σ 2 )
(4)
1
×
2
ln 2 π4 k1 k2 J1 (k1 )J1 (k2 )
1 1
(s, σ)ds dσ
f (s, σ)ds dσ
sσfsσ
2
− ln 2
,
×
(1 − s2 )(1 − σ 2 )
(1 − s2 )(1 − σ 2 )
−1 −1
−1 −1
1 1
σf (s, σ)ds dσ
1
sσ
,
γ=− 2
π k1 k2 J0 (k1 )J1 (k2 ) −1 −1 (1 − s2 )(1 − σ 2 )
1 1
sf (s, σ)ds dσ
1
sσ
,
δ=− 2
π k1 k2 J1 (k1 )J0 (k2 ) −1 −1 (1 − s2 )(1 − σ 2 )
β=
(3)
π 2 J0 (k1 )J0 (k2 ) −
1 1
2
(5)
(6)
(7)
где F (s, σ) = f (s, σ) − ψ(s, σ).
Следствие 1. В условиях теоремы компоненты решения x ∈ X могут быть представлены
в виде
x(t, τ ) =
∞ ∞
TT
Cji
(ftτ
)Uj−1 (t)Ui−1 (τ )−
j=1 i=1
− αk1 k2
− βk1 k2
+ γk1 k2
∞ ∞
j=1 i=1
∞ ∞
j=1 i=1
∞ ∞
TT
Cij
(cos(k1 t) cos(k2 τ ))Uj−1 (t)Ui−1 (τ )−
TT
Cij
(sin(k1 t) sin(k2 τ ))Uj−1 (t)Ui−1 (τ )+
TT
Cij
(cos(k1 t) sin(k2 τ ))Uj−1 (t)Ui−1 (τ )+
j=1 i=1
+ δk1 k2
∞ ∞
j=1 i=1
TT
Cij
(sin(k1 t) cos(k2 τ )), (8)
РЕШЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ
α=
β=
γ=
δ=
57
T T (f )
C00
tτ
,
T
T
k1 k2 C00 (cos(k1 t) cos(k2 τ ))
T T (f ) − ln2 2C T T (f )
C00
tτ
11
,
2
T
T
T
T
C00 (cos(k1 t) cos(k2 τ )) − k1 k2 ln 2C11 (sin(k1 t) sin(k2 τ ))
T T (f )
C01
tτ
,
−
T
T
k1 k2 C01 (cos(k1 t) sin(k2 τ ))
T T (f )
C10
tτ
.
−
T
T
k1 k2 C10 (sin(k1 t) cos(k2 τ ))
(9)
(10)
(11)
(12)
Следствие 2. В условиях теоремы оператор A : X → Y имеет ограниченный обратный
A−1 : Y → X.
Доказательство теоремы. Интегрируя (2) по переменным s и σ, предварительно умножив
его на q(s, σ), получим уравнение
1 1
2
ln 2
(1 − t2 )(1 − s2 )x(t, τ )dt dτ =
−1
−1
1
1
=
−1
−1
f (t, τ )dt dτ
(1 − t2 )(1 − τ 2 )
− βπ 2 J0 (k1 )J0 (k2 ). (13)
Дифференцируя (2) по s и σ, приходим к уравнению
1 1 (1 − t2 )(1 − τ 2 )x(t, τ )
1
dt dτ = fsσ
(s, σ) − ψs,σ
(s, σ),
π 2 −1 −1
(t − s)(τ − σ)
(14)
= αk1 k2 cos(k1 s) cos(k2 σ) + βk1 k2 sin(k1 s) sin(k2 σ) − γk1 k2 cos(k1 s) sin(k2 σ) −
где ψs,σ
δk1 k2 sin(k1 s) cos(k2 σ).
(s, σ) ∈ L [−1, 1]2 ,
Будем рассматривать правую часть (14) как известную функцию Fsσ
2q
тогда
1 1 (1 − t2 )(1 − τ 2 )x(t, τ )
1
dt dτ = Fsσ
(s, σ).
(15)
π 2 −1 −1
(t − s)(τ − σ)
Уравнения вида (15), содержащие кратные интегралы с ядрами Коши в пространстве
функций, квадратично суммируемых с весом, рассматривались М.А. Шешко и И.К. Лифа (s, σ) ∈ L [−1, 1]2 и решение ищется в классе функций
новым (например, [6], [7]). Если Fsσ
2q
2
L2ρ [−1, 1] , то при выполнении условий
1 1 Fsσ (s, σ)
Fsσ (s, σ)
√
√
ds = 0, −1 σ 1,
dσ = 0, −1 s 1,
(16)
2
1−s
1 − σ2
−1
−1
имеет место формула
1 1
dt dτ
Ftτ (t, τ )
1
.
(17)
x(s, σ) = 2
π −1 −1 (1 − t2 )(1 − τ 2 ) (t − s)(τ − σ)
Подставив x(s, σ) из (17) в уравнение (13), получим уравнение для параметра β
1 1
1 1
dt dτ
1
Ftτ (t, τ )
2
2
2
ds dσ =
(1 − s )(1 − σ ) 2
ln 2
π −1 −1 (1 − t2 )(1 − τ 2 ) (t − s)(τ − σ)
−1 −1
1 1
f (t, τ )dt dτ
− βπ 2 J0 (k1 )J0 (k2 ),
=
2
2
(1 − t )(1 − τ )
−1 −1
58
Л.А. СУРАЙ
из которого и следует (5).
С помощью условий (16), интегрируя их по второй переменной, умножив предварительно
1
σ
s
, на √1−σ
и на √1−s
, получим соответственно формулы (4), (6) и (7). Заметим,
на √1−σ
2
2
2
2
что ln2 2 π4 k1 k2 J1 (k1 )J1 (k2 ) − π 2 J0 (k1 )J0 (k2 ) = 0.
Доказательство следствия 1. Формулы (8)–(12) следуют из (3)–(7), но ниже приведем независимое доказательство. Интегрируя уравнение (15) по переменным s и σ, предварительно
умножив его на q(s, σ)Tj (s)Ti (σ), получим
UU
TT
(x) = Cji
(Fsσ
).
Cj−1i−1
(18)
UU
(x) = 0 (при i = 0 или j = 0) получим
С учетом Cj−1i−1
TT
(Fsσ
) = 0,
C00
TT
C0i
(Fsσ
) = 0,
TT
Cj0
(Fsσ
) = 0, i, j = 1, 2, . . .
Из этих соотношений следуют формулы (9), (11), (12).
Из формулы (13) получаем
UU
TT
TT
(x) + βC00
(cos(k1 s) cos(k2 σ)) = C00
(f ).
ln2 2C00
U U (x) = C T T (f ) − βk k C T T (sin(k s) sin(k σ)), то
Так как C00
1 2 11
1
2
sσ
11
TT
TT
TT
TT
(fsσ
) − ln2 2βk1 k2 C11
(sin(k1 s) sin(k2 σ)) + βC00
(cos(k1 s) cos(k2 σ)) = C00
(f ),
ln2 2C11
откуда следует формула (10).
Первую компоненту x(t, τ ) решения x(t, τ ) можно записать в виде
x(t, τ ) =
∞ ∞
UU
Cj−1i−1
(x)Uj−1 (t)Ui−1 (τ ).
j=1 i=1
Тогда с учетом формулы (18) получаем (8).
Доказательство следствия 2. Воспользуемся формулами (8)–(12). Имеем
2q + |αk1 k2 | cos(k1 t) cos(k2 τ )2q +
x2ρ ftτ
+ |βk1 k2 | sin(k1 t) sin(k2 τ )2q + |γk1 k2 | cos(k1 t) sin(k2 τ )2q +
2q + π|k1 k2 |(|α| + |β| + |γ| + |δ|).
+ |δk1 k2 | sin(k1 t) cos(k2 τ )2q fsσ
В силу (9)–(12)
q
ftτ
4
2
,
T T (cos(k t) cos(k τ ))|
π |k1 k2 C00
1
2
f 2 q + ftτ
4
2q
,
|β| 2
T
T
T T (sin(k t) sin(k τ )))|
π |C00 (cos(k1 t) cos(k2 τ ) − k1 k2 ln 2C11
1
2
ftτ
4
2q
,
|γ| T
T
π |k1 k2 C01 (cos(k1 t) sin(k2 τ ))|
ftτ
4
2q
.
|δ| T T (sin(k t) cos(k τ ))|
π |k1 k2 C10
1
2
|α| Тогда для решения x ∈ X уравнения (2) выполняется соотношение
xX = x2ρ + |α| + |β| + |γ| + |δ| ByY ,
y ∈ Y,
РЕШЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ
где
B = 1 + 16|k1 k2 | max
1
|k1 k2 cT00T (cos(k1 t) cos(k2
τ ))|
59
,
1
,
τ )) − k1 k2 ln2 2cT11T (sin(k1 t) cos(k2 τ ))|
1
1
,
.
|k1 k2 cT01T (cos(k1 t) sin(k2 τ ))| |k1 k2 cT10T (sin(k1 t) cos(k2 τ ))|
|cT00T (cos(k1 t) cos(k2
Литература
[1] Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. – М: Изд-во
МГУ, 1987. – 167 с.
[2] Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. – М.:
Высш. школа, 1991. – 224 с.
[3] Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. – Казань:
Изд-во КГУ, 1995. – 280 с.
[4] Сурай Л.А. Прямые методы решения интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью: Дисс. . . . канд. физ.-матем. наук. – Казань, 1994. – 131 с.
[5] Валеева Р.Т., Габдулхаев Б.Г. Об обращении многомерных сингулярных интегральных уравнений I рода
// Изв. вузов. Математика. – 2003. – № 10. – C. 13–25.
[6] Шешко М.А. Интегральные уравнения, содержащие кратные интегралы с ядрами Коши // Дифференц.
уравнения. –1986. – Т. 22. – № 3. – С. 523–538.
[7] Лифанов И.К. О формулах обращения многомерных сингулярных интегралов // ДАН СССР. – 1979. –
Т. 249. – № 6. – С. 1306–1309.
Л.А. Сурай
доцент, кафедра теоретических основ электротехники,
Казанский государственный энергетический университет,
420066, г. Казань, ул. Красносельская, д. 51,
e-mail: nata_shilova@mail.ru
L.A. Surai
Associate Professor, Chair of Theory of Electrical Engineering,
Kazan State Energy University,
51 Krasnosel’skaya str., Kazan, 420066 Russia,
e-mail: nata_shilova@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
150 Кб
Теги
рода, параметрами, решение, уравнения, интегральная, одного, класс, неопределенн, слабосингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа