close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение одной начально-краевой задачи теории фильтрации с нелокальными краевыми условиями.

код для вставкиСкачать
УДК 517.956.6
Л.И. Сербина
РЕШЕНИЕ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
Приведено решение начально – краевой задачи фильтрации неустановившегося одномерного движения грунтовых вод, описываемой уравнением Буссинеска. Исследованы различные частные случаи
основного уравнения, в частности сводящиеся к уравнению Лаврентьева – Бицадзе с нелокальными краевыми условиями. Сформулирован ряд краевых задач и построены их решения.
Аппроксимация обобщенного нелинейного уравнения Буссинеска. В классической теории фильтрации неустановившееся одномерное движение грунтовых вод со слабоизменяющейся свободной поверхностью и с горизонтальным водоупором описывается обобщенным уравнением Буссинеска:
σ
∂h
∂  ∂h  k 0
(h − H 0 ) + w ,
=k
h
−
∂t
∂ξ  ∂ξ  M 0
(1)
где постоянные σ и k означают водоотдачу и коэффициент фильтрации; h = h(ξ , t ) - уровень грунтовой воды в точке ξ ≥ 0 в момент времени t; k0 – коэффициент фильтрации слабопроницаемого водоупора мощности М0; w = w(ξ , t ) - разность между инфильтрацией и испарением; Н0 – напор воды в нижележащем водоносном пласте. Любое регулярное решение уравнения (1) удовлетворяет уравнению
∂2h
∂ 2  ∂h  k 0 ∂h ∂w
.
(2)
=
k
h
−
+
∂t 2
∂ξ 2  ∂t  M 0 ∂t ∂t
Предположим, что ht = ∂h ∂t в среднем прямо пропорционально расходу грунтовой воды
на прогнозируемом участке 0 < ξ < l с постоянным коэффициентом γ :
σ
∂h
∂
≈ γσ ∫ h(ξ , t )dξ .
∂t
∂t 0
l
(3)
Гипотеза (3) позволяет за приближенное решение уравнения (2) принять точное решение
следующего уравнения:
∂2h
∂t
2
= kγδ ′(t )
∂ 2h
∂ξ
2
−
1  k 0 ∂h ∂w 

,
−
σ  M 0 ∂t ∂t 
(4)
l
где δ (t ) = h (ξ , t )dξ .
∫
0
Для широкого класса мелиоративных задач прогнозирования динамики грунтовых вод
можно положить, что
kγδ ′(t ) ≈ c t * − t sign(t * − t ) ,
m
(5)
где m=const>0, c= const>0, t* - экстремальное время, когда расход грунтовой воды в слое
0 < ξ < l достигает максимального значения, а затем падает до значения, не нарушающего
экологию зоны аэрации.
Из (4) в силу (5) получим уравнение
∂2h
k 0 ∂h 1 ∂w
.
(6)
+
∂t 2
∂ξ 2 σ M 0 ∂t σ ∂t
Уравнение (6) на евклидовой плоскости точек (ξ , t ) является уравнением смешанного ти= c t* − t sign (t* − t )
m
∂ 2h
−
па: оно эллиптично при t>t* , гиперболично при t<t* и параболично на критической линии
t* = 0 .
Заменой переменных
y = t − t* , x = ξ
16
(
c , u ( x, y ) = h x c , y + t *
)
(7)
уравнение (6) приведем к виду
∂ 2u
+ sign y y
m
⋅
∂ 2u
∂y
∂x
k0
1 ∂
где b =
, f ( x, y ) =
w x c , y + t* .
σ ⋅M0
σ ∂y
2
(
2
+b
∂u
= f ( x, y ) ,
∂y
(8)
)
Для уравнения (8) на основании (3) и (5) получим нелокальное условие
r
∂
m
u (x, y )dx = A y sign y .
∫
∂y 0
(9)
Здесь использованы обозначения r = l c , A = − c kγ .
Итак, уравнение (8) смешанного эллиптико-гиперболического типа является линейной математической моделью динамики грунтовых вод, адекватно отражающей явление конечности
скорости распространения любого возмущения в пористых средах.
Введение новой независимой переменной υ = u ⋅ exp (by 2 ) позволяет записать уравнение
(8) и условие (9) в виде
( )
sign y y υ xx + υ yy − b 2 4 υ = f ( x , y ) exp (by 2 ) ;
m
(10)
r
by
∂
m
exp( − )∫ υ (x, y )dx = A y sign y .
∂y
2 0
(11)
В случае горизонтального непроницаемого водоупора (k0=0) в (8)-(11) можно положить
b=0. Тогда условие (11) совпадает с (9), а уравнение (10) примет вид
sign y y
m
⋅υ xx + υ yy = f ( x, y ) , 0 < x < r .
(12)
Нелокальная начально-краевая задача для уравнения Лаврентьева–Бицадзе.
Рассмотрим уравнение (12) в случае, когда m=0, f(x,y)=0 в прямоугольной области
Ω n = {(x , y ) : 0 < x < a ,− na < y < β }, где a и β – заданные положительные числа, n = 1,2,3…
Уравнение Лаврентьева–Бицадзе
sign y ⋅ u xx + u yy = 0
(13)
описывает динамику грунтовых вод, при отсутствии внешнего воздействия на поток.
Введем
Ω −n
обозначения:
Ω + = {( x, y ) : 0 < x < a,0 < y < β }
-
эллиптическая,
а
= {( x, y ) : 0 < x < a , − na < y < 0} - гиперболическая части области Ω n ; ∆ 1 - треугольная
0 ≤ x ≤ a прямой y = 0 , характеристиками
АС: x + y = 0 и ВС: x − y = a уравнения (13); Ω = Ω + ∪ ∆ 1 ∪ AB ; Ω n - замыкание области Ω n .
В дальнейшем под решением u ( x, y ) уравнения (13) в области Ω n будем понимать такое
область,
ограниченная
отрезком
AB :
решение, которое обладает следующими свойствами:
1) u ( x, y ) ∈ C 2 Ω + ∩ C 1 (Ω ) ∩ C Ω n ;
( )
( )
2) u ( x, y ) в замыкании Ω n представимо в виде u ( x, y ) = f 1 ( x − y ) + f 2 ( x + y ) , где f1 и f2 –
непрерывные функции.
В работе исследуется следующая смешанная задача S.
З а д а ч а S. Найти решение u ( x, y ) уравнения (13), удовлетворяющее условиям
∂
u ( x, y )dx = µ ( y ) , 0 < y < β ;
∂y ∫0
a
u ( x,− na ) = hn ( x ) , u ( x, b ) = h( x ) , 0 ≤ x ≤ a ;
u (a, y ) = Φ a ( y ) , − an ≤ y ≤ β ;
u (0, y ) = Φ 0 ( y ) , − an ≤ y ≤ 0 ,
(14)
(15)
(16)
(17)
17
µ ( y ) , hn ( x ) , h (x ) , Φ 0 ( y ) , Φ a ( y ) - заданные функции,
Φ a ( y ) ∈ C [− an, β ] , Φ 0 ( y ) ∈ C [− an,0], hn (x ) , h(x )∈ C [0, a ] .
где
µ ( y ) ∈ C 1 [0, β ] ,
Краевые условия (15)-(17) являются локальными, а условие (14) представляет собой нелокальное условие типа условия А.А. Самарского.
Л е м м а 1 . Пусть существует решение u ( x, y ) задачи S. Тогда для любой точки
x ∈ [0, a ] справедливо
n
u( x,0) = ∑{α k [Φ a (x − ka ) + Φ 0 (− x − (k − 1)a )] −
k =1
− α k +1 [Φ a (− x − (k − 1)a ) + Φ 0 ( x − ka )]} + H n ( x ) ,
−
1, k ≡ 1 (mod 2 );
 hn ( a − x ) ,
αk = 
Hn = 
 hn ( x ),
0, k ≡ 0 (mod 2 ),
где
n ≡1
(18)
( mod 2 ) ;
( mod 2 ) .
n≡0
Доказательство леммы 1 можно провести методом математической индукции, опираясь на
теорему о среднем значении для одномерного волнового уравнения.
С помощью леммы 1 и равенства
∂ 2
∂
u x − u y2 + 2 (u x u y ) = 0 , справедливого для любой
∂x
∂y
(
)
гармонической в области Ω + функции u ( x, y ) , можно доказать следующую теорему единственности решения задачи S.
Т е о р е м а 1. Пусть u ( x, y ) - решение однородной задачи, соответствующей задачи S, которое непрерывно дифференцируемо всюду в Ω + , за исключением угловых точек границы
Ω + , и обладает тем свойством, что u x (0, y ), u x (a , y ) ∈ L2 (0, β ) . Тогда u ( x, y ) ≡ 0 .
Решение смешанной задачи S будем искать в классе функций, обладающих тем свойством,
что u xx ( x, y ) ∈ L[0, a ] для любого y ∈ (0, β ) .
Пусть u = u ( x, y ) - решение задачи S. Тогда для любого y ∈ (0, β ) в силу условия (14)
имеем
a
∫ u xx (x, y )dx = −
0
∂2
∂y 2
a
∫ u(x, y )dx = − µ ′( y ) .
0
Отсюда следует, что искомое решение удовлетворяет краевому условию с локальным смещением [1]:
u x (a, y ) − u x (0, y ) = − µ ′( y ) , 0 < y < b .
(19)
Через τ ( x ) обозначим правую часть равенства (18). Решение u ( x, y ) задачи S, согласно
(15), (16) и (19), должно быть решением в области Ω + следующей краевой задачи для уравнения Лапласа:
u xx + u yy = 0 .
(20)
+
З а д а ч а S1. Найти регулярное в области Ω решение u ( x, y ) уравнения (13) из класса
( )
С Ω + , которое удовлетворяет условию гладкости u x ( x, y ) ∈ C (0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b ) и краевым
условиям:
u( x,0) = τ ( x ) ,
u( x, β ) = h ( x ) ,
u (a, y ) = Φ a ( y ) ,
0≤ x≤a;
u x (a, y ) − u x (0, y ) = µ 1 ( y ) , 0 < y < β , где µ 1 ( y ) = − µ ′( y ) .
При достаточно гладких входных данных τ ( x ) , h( x ) , Φ a ( y ) и µ 1 ( y ) существование решения задачи S1 доказывается методом редукции к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, ядро которого однозначно определяется функцией Грина задачи Дирихле для уравнения (20) в области Ω + .
Решение задачи S в области Ω n− строится как гладкое продолжение решения задачи S1 из
области Ω + в решение смешанной задачи для одномерного волнового уравнения.
Прикладные задачи, приводящие к задачам с нелокальным условием (14), требуют разработки приближенных методов решения этих задач. Поэтому мы остановимся на демонстрации
18
метода Фурье решения задачи S1, ограничиваясь случаем, когда a = β = 1 , h( x ) = 0 ,
Φ a ( y ) ≡ 0 , µ1 ( y ) ≡ 0 , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .
Пусть требуется найти регулярное в области Ω + = {(x , y ) : 0 < x < 1, 0 < y < 1} решение
( )
u ( x, y ) уравнения (20) из класса C Ω + , такое, что u x ∈ C (0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y < 1) и
u ( x,0 ) = τ ( x ) , 0 ≤ x ≤ 1 ;
u (1, y ) = 0 , 0 ≤ y ≤ 1 ;
u x (0, y ) − u x (1, y ) = 0 , 0 < y < 1 ;
u ( x,1) = 0 , 0 ≤ x ≤ 1 ,
2
где τ ( x ) ∈ C [0,1] ∩ C ]0,1[ .
(21)
(22)
(23)
(24)
Найдем класс нетривиальных решений задачи (21)–(24) для уравнения (20), представимых
в виде
u( x, y ) = U ( x )V ( y ) .
(25)
Подставляя (25) в (20) и принимая во внимание (21)-(24), получим
(26)
U ′′( x ) + λU ( x ) = 0 , 0 < x < 1 ;
U (1) = 0 ;
U ′(0 ) = U ′(1) ;
V ′′( y ) − λV ( y ) = 0 ;
V (1) = 0 .
(27)
(28)
(29)
(30)
В уравнении (26) введем новые независимые переменные:
X (t ) = U ( x ) , x = 1 − t .
Тогда в силу (26)-(28) получаем
X ′′(t ) + λX (t ) = 0 , 0 ≤ t ≤ 1 ;
(31)
(32)
X (0 ) = 0 , X ′(0) = X ′(1) .
(33)
Известно [2,3], что числа λ k = (2πk ) , k=0,1,…, и функции
2
X 0 (t ) = t , X 2 k −1 (t ) = t cos(2πkt ) , X 2 k (t ) = sin (2πkt )
соответственно являются собственными значениями, собственными и присоединенными функциями задачи (32)-(33).
Следовательно, связь (31) позволяет утверждать, что система собственных и присоединенных функций задачи (26)-(28) задается следующим образом:
U 0 ( x ) = 1 − x , U 2 k −1 ( x ) = (1 − x ) cos(2πkx ) , U 2 k ( x ) = − sin (2πkt ) .
(34)
Пусть Y0 (t ) = 2 , Y2 k −1 (t ) = 4 cos(2πkt ) , Y2 k (t ) = 4(1 − t ) sin (2πkt ) , k = 1,2,... - система собственных и присоединенных функций задачи
Y ′′(t ) + λY (t ) = 0 , Y (0 ) = Y (1) , Y ′(1) = 0 .
Отсюда после замены t = 1 − x получаем систему собственных и присоединенных функций:
υ 0 ( x) = 2 , υ 2 k −1 ( x) = 4 cos(2πkx) , υ 2 k ( x) = −4 x sin( 2πkx) , к = 1,2,… задачи, сопряженной задаче (26) – (28).
По условию τ ( x ) ∈ C [0,1] . Из базисной системы (34) следует, что функцию τ (x ) можно
разложить в биортогональный ряд [2, 3]
∞
τ ( x ) = τ 0U 0 ( x ) + ∑ [τ 2 k U 2 k ( x) + τ 2 k −1U 2 k −1 ( x )],
(35)
k =1
где τ 0 = (τ ,υ 0 ) 0 ; τ 2 k = (τ ,υ 2 k ) 0 ; τ 2 k −1 = (τ ,υ 2 k −1 ) 0 . Здесь ( ⋅ , ⋅ ) означает скалярное произведение в L2 [0,1] .
При λ > 0 общее решение уравнения (29) имеет вид
(
)
(
)
V ( y ) = C1ch λ y + C 2 sh λ y ,
(36)
где C1 и C 2 – произвольные постоянные.
Удовлетворив (36) условию (30) и дополнительному условию V (0) = 1 , получим
19
(
)
( ) (
)
V ( y ) = sh λ y − cth λ ch λ y .
(37)
2
Из (37) при λ = λ k = (2πk ) , к = 0,1,… приходим к следующей системе функций, удовлетворяющих (29) и (30):
V0 ( y ) = 1 − y , Vk ( y ) = sh (2πky ) − cth (2πk )ch (2πky ) , к = 1, 2, …
(38)
Решение задачи (21) – (24) для уравнения (20) будем искать в виде ряда
∞
u( x, y ) = τ 0U 0 ( x )V0 ( y ) + ∑ [τ 2 k U 2 k ( x )Vk ( y ) + τ 2 k −1vk ( x , y )] ,
(39)
k =1
где v k ( x, y ) = U 2k −1 ( x )Vk ( y ) − 2 λk U 2 k ( x ) z k ( y ) .
Непосредственным вычислением, как и в случае уравнения теплопроводности [2, 3], можно
убедиться, что функция u ( x, y ) , задаваемая формулой (39), будет решением уравнения (20) и
будет удовлетворять условиям (21), (22) тогда и только тогда, когда
z k (0) = 0 , z k (1) = 0 , z k′′ ( y ) − λk z k ( y ) = −Vk ( y ) .
(40)
Действительно, пусть uk ( x, y ) = τ 2 k U 2 k ( x ) Vk ( y ) + τ 2 k −1v k ( x , y ) . Легко видеть, что
∆u k = τ 2 k [U 2′′k ( x )Vk ( y ) + U 2 k ( x )Vk′′( y )] + τ 2 k −1 [U 2′′k −1 ( x )Vk ( y ) −
]
− 2 λk U 2′′k ( x ) z k ( y ) + U 2k −1 ( x ) Vk′′( y ) − 2 λk U 2k ( x ) z k′′ ( y ) .
Отсюда в силу свойств систем функций (34) и (38) получаем
[
]
∆u k ( x, y ) = τ 2k −1 Vk (U 2′′k −1 + λk U 2k −1 ) − 2 λk U 2k ( z k′′ − λk z k ) ,
U 2′′k −1 + λkU 2k −1 = −2 λk U 2k .
(41)
Поэтому ∆u k = −2τ 2 k −1 λk U 2k [Vk + z k′′ + λk z k ] = 0 . Из (41) следует (40).
Поскольку функция τ ( x ) ∈ C [0,1] ∩ C 2 ]0,1[ и представима в виде (35), то легко видеть, что
(39) удовлетворяет условиям (21)-(24). Из (39) имеем
∞
{
}
lim u y = v (x ) = −τ 0U 0 ( x ) + ∑ Vk′ (0 ) [τ 2 k U 2 k ( x ) + τ 2 k −1U 2 k −1 (x )] − 2 λk τ 2 k −1U 2 k (x )z k′ (0) .
y → +0
k =1
После того как найдены τ ( x ) , v( x ) , решение u ( x, y ) задачи S в области Ω −n определяется
как решение смешанной задачи
u ( x,0 ) = τ ( x ) , u y ( x,0) = v ( x ) , 0 < x < 1 ;
(42)
u (0, y ) = 0 , u (a, y ) = 0 , − an ≤ y ≤ 0
(43)
для одномерного волнового уравнения
u yy = u xx .
(44)
В случае, когда n=1, функция τ ( x ) = − h1 (1 − x ) и решение задачи S в области ∆1 находится
как решение задачи Коши (42) для уравнения (44). Оно имеет вид
x+ y
− h (1 − x − y ) − h1 (1 − x + y ) 1
u( x, y ) = 1
+ ∫ v (t )dt .
2
2 x− y
(45)
x x
1 + x x −1
u  , −  = Ψ0 ( x ) , u 
,
 = Ψ1 ( x ) , 0 ≤ x ≤ 1 ,
2 
2 2
 2
(46)
Из (45) в силу (44), принимая во внимание, что τ (0) = − h1 (1) = 0 , τ (1) = − h1 (0) = 0 , легко видеть, что
x
где
x
2 Ψ0 (x ) = − h1 (1 − x ) − ∫ v (t )dt , 2 Ψ1 ( x ) = −h1 (1 − x ) + ∫ v (t )dt .
0
1
Решение задачи S в любой точке ( x, y ) ∈ Ω , лежащей вне области ∆1, определяется с помощью формулы (46) и теоремы о среднем значении для уравнения (44).
−
1
20
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.
2. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием //
Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294-304.
3. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями //
Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1284-1295.
Поступила 3.06.2003 г.
21
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
137 Кб
Теги
начальной, решение, фильтрация, одной, условиями, краевой, краевыми, задачи, нелокальные, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа