close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение основной краевой задачи для b-бигармонического уравнения методом потенциалов.

код для вставкиСкачать
2001
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (471)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.946
М.Ю. ДЕНИСОВА
РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ
B -БИГАРМОНИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ
Пусть E3+ | полупространство x3 > 0 евклидова пространства E3 точек x = (x1 ; x2 ; x3 ), D
| симметричная относительно координатной плоскости x3 = 0 область, ограниченная поверхностью ;. Через D+ и ;+ обозначим соответственно части D и ;, расположенные в E3+ . Область
D+ ограничена поверхностью ;+ и частью ;(0) координатной плоскости x3 = 0. Поверхность ;+
является поверхностью класса m;B , когда ; 2 m [1].
В области D+ рассматривается уравнение
2B u = 0;
(1)
где B = @x@ 221 + @x@ 222 + Bx3 , Bx3 = @x@ 223 + xk3 @x@ 3 | оператор Бесселя, k | любое положительное
число.
В работe строятся фундаментальные решения и потенциалы для уравнения (1), вычисляются
предельные значения потенциалов на границе ;+ , основная краевая задача для уравнения (1)
сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
1. Потенциалы типа простого и двойного слоев
Известно [2], что фундаментальными решениями уравнения (1)
p с особенностью в начале
;
k
;
1
;
k
+1
координат являются функции q1 (x) = r , q2 (x) = r , где r = x21 + x22 + x23 .
Для получения фундаментальных решений с особенностью в произвольной точке применим
к функциям q1 и q2 оператор обобщенного сдвига
Q1 (x; ) = Tx q1 (x) = Ck
Q2 (x; ) = Tx q2 (x) = Ck
k+1
p;(;(2 k)) .
2
Z
Z
0
0
;
;
;k2;1
sink;1 ' d';
;k2+1
sink;1 ' d';
(x1 ; 1 )2 + (x2 ; 2 )2 + x23 + 32 ; 2x3 3 cos '
(x1 ; 1 )2 + (x2 ; 2 )2 + x23 + 32 ; 2x3 3 cos '
где Ck =
Используя схему, предложенную в работе [3], нетрудно показать, что фундаментальные решения Q1 и Q2 можно представить в виде
;k;1
;k ;1
Ck (x3 3 ) 2 1
Ck (x3 3 ) 2
Q1 (x; ) =
+ 1 (x; ); Q2 (x1 ; ) =
rx + 2 (x; );
2
rx
2
где 1 и 2 | регулярные части решений Q1 и Q2 , rx | расстояние между точками x и .
Так как в точке 0 2 ;+ (30 > 0) фундаментальные решения имеют такие же особенности, что
и их бигармонические аналоги, то аналогично формулам, приведенным в [1], введем потенциалы,
являющиеся решениями уравнения (1)
Z
Z
1
3
k
k
V (x; ) =
(2)
2 ;+ ( )K1 3 d;; W (x; ) = 2 ;+ ( )K2 3 d;;
79
с ядрами
K1 =
1 Q ; 1 @ 2 Q2 ; K = 1 @ 3 Q2 ; 1 @Q1 ;
2
C 1 C @n2
3C @n3 3C @n
k
k
k
k
(3)
где ( ) и ( ) | плотности соответствующих потенциалов, n | внешняя нормаль к границе
;+ в точке 2 ;+ , x | переменная точка полупространства E3+ .
Вычисляя соответствующие производные по внешней нормали, представим ядра (3) потенциалов (2) в виде
(x ) ;k2;1 cos2 (n ; rx ) + ' ; K = (x3 3 ) ;k2;1 cos3 (n ; rx ) + ' ;
K = 3 3
1
1
rx
2
2
2
rx
где '1 (x; ), '2 (x; ) | регулярные части ядер соответствующих потенциалoв.
2. Предельные значения потенциалов типа простого и двойного слоев
Предельные значения потенциала V на ;+ равны его прямому значению. Так как в точке
2 ;+ при 30 > 0 ядра потенциалов V и W имеют такие же особенности, как их бигармонические
аналоги, то для предельных значений потенциала W и нормальных производных V и W имеют
место формулы, аналогичные соотношениям из [1].
+
Теорема 1. Пусть и | непрерывные функции и ; 2 1;B . Тогда справедливы следующие предельные соотношения :
lim W (x; ) = Nk (0 ) + W (0 ; );
(4)
x!0
(x; ) = N ( ) + @V (0 ; ) ;
lim @V@n
k 0
@n
x!0
где
0
k+5
Nk = 3;( k+1
2 ) 8;( 2 ), W (0 ; ) |
прямое значение потенциала
значение нормальной производной потенциала
Теорема 2. Если
;+
2 2;B
и
( )
(5)
0
V (x; ).
W (x; ), @V@n(00;)
| прямое
| один раз непрерывно дифференцируемая функция, то
предельные значения нормальной производной потенциала
W
выражаются формулами
lim @W (x; ) = 1 e( ) ( ) + @W (0 ; ) ;
(6)
x!0 @n0
2 0 0
@n0
3((k+1)2 (0 )+1 (0 ))
+
e(0 ) =
где , 1 (0 ) и 2 (0 ) | мaкcимaльнaя и минимальная кривизны ;
2(k+1)(k+2)
@W (0 ; ) | прямое значение нормальной производной потенциала W (x; ).
точке 0 ,
@n0
в
В теоремах 1 и 2 верхний знак берется для предела изнутри, нижний | для предела извне
относительно поверхности ;+ .
3. Oсновная краевая задача
Рассмотрим следующую краевую задачу: найти решение уравнения
2B u = 0
(7)
в области D+ , один раз непрерывно дифференцируемое в D+ и удовлетворяющее на границе ;+
краевым условиям
uj;+ = f0 ( );
(8)
@u = f1 ( );
@n ;+
80
(9)
где n | внешняя нормаль к границе ;+ в точке .
4 +
1
Теорема 3. Задача (7){(9) в классе C (D ) \ C (D + ) не может иметь более одного решения.
Доказательство проводится с помощью первой формулы Грина для оператора 2B .
Решение задачи (7){(9) ищем в виде
1 Z ( )K k d; + 3 Z ( )K k d;:
u(x) =
(10)
1 3
2 3
2 ;+
2 ;+
Здесь плотности и | пока неопределенные функции. Их найдем из требования, чтобы
функция (10) удовлетворяла краевым условиям (8), (9). Подставляя ее в эти граничные условия
и учитывая формулы (4){(6), получаем
Z
Z
1
3
k
( )K2 3k d;;
Nk (0 ) = f0 (0 ) ;
+
2 ;+ ( )K1 3 d; ;
2
;
Z
Z
1
1
3
k
k
Nk (0 ) = ;f1 (0 ) ; e(0 ) (0 ) +
2
2 + ( )K1 3 d; + 2 + ( )K2 3 d;:
;
;
Система уравнений относительно плотностей и является системой интегральных уравнений
с ядрами со слабой особенностью. Для этой системы справедлива альтернатива Фредгольма,
которая сводит вопрос существования решения к вопросу единственности, т. е. нужно доказать,
что соответствующая однородная система не имеет ненулевых решений.
Литература
1. Панич О.И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка // Матем.
сб. { 1960. { Т. 50. { Є 3. { С. 335{368.
2. Киприянов И.А., Кононенко В.И. Фундаментальные решения B -эллиптических уравнений
// Дифференц. уравнения. { 1967. { Т. 3. { Є 1. { C. 114{129.
3. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory // Trans. Amer. Math. Soc.
{ 1948. { V. 63. { P. 342{354.
Казанский государственный
Поступила
08.06.2000
педагогический университет
81
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
130 Кб
Теги
решение, методов, уравнения, бигармоническим, краевой, основной, потенциал, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа