close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение периодическиx краевых задач методом подобластей.

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (507)
УДК 517.968:519.6
Л.Б. ЕРМОЛАЕВА
РЕШЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИX КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ
ПОДОБЛАСТЕЙ
Данная заметка, являющаяся продолжением [1], [2], посвящена теоретическому обоснованию
метода подобластей решения периодических краевых задач для операторно-дифференциальных
уравнений с периодическими коэффициентами. При этом основное внимание уделено доказательству сходимости метода в пространствах С.Л. Соболева и установлению эффективных (в
том числе неулучшаемых по порядку) оценок погрешности в ряде функциональных пространств,
учитывающих структурные свойства коэффициентов исследуемых уравнений.
Рассмотрим периодическую краевую задачу для уравнения
Ax x(m)(s) + Bx(s) = y(s); ;1 < s < 1;
(1)
(2)
x(k)(0) = x(k) (2); k = 0; m ; 1;
где y 2 L1 = L1 (0; 2), B | некоторый линейный (напр., интегродифференциальный) оператор
с областью значений в пространстве L1 , а m | целое неотрицательное число, причем при m = 0
условия (2) отсутствуют.
Приближенное решение задачи (1){(2) ищем в виде полинома
xn (s) = a2 +
0
n
X
k=1
ak cos ks + bk sin ks коэффициенты которого определим из условий
sj+1
Z
где
sj
n
X
k=;n
ck eiks ;
(Axn ; y)(s)ds = 0; j = 0; 2n;
sk = 2n2k
+ 1 ; k = 0; 2n; n 2 N:
(3)
(4)
(5)
Ясно, что условия (4), (5) эквивалентны системе линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) порядка 2n + 1 относительно коэффициентов полинома (3):
n
X
где
k=;n
jk =
Z
sj+1
sj
jk ck = yj ; j = 0; 2n;
(Aeiks )(s)ds;
Теорема 1. Пусть выполнены условия
yj =
sj+1
Z
sj
(6)
y(s)ds:
а) y(s) 2 L2 , а оператор B : W2m ! L2 вполне непрерывен;
б) задача (1){(2) при y(s) 0 имеет лишь тривиальное решение.
39
(6) имеет единственное решение fck gn;n .
m
Приближенные решения xn (s) (т. е. (3) при ck = ck , k = ;n; n) сходятся в пространстве W2
к точному решению x (s) задачи (1){(2) со скоростью
kx ; xnkW2m = OfEnT (x(m))2g;
(7)
T
где En ()2 | наилучшее среднеквадратическое приближение функции (s) 2 L2 тригономеТогда при всех
n,
начиная с некоторого, СЛАУ
трическими полиномами порядка не выше
Доказательство.
болева X
n.
Введем функциональные пространства Лебега Y = L2 (0; 2) L2 и Со2 с нормами соответственно
= W m(0; 2) W m
2
=
kykY = 21 jy(s)j ds kyk ; y 2 L ;
m
kxkX = kx i (s)k ; x 2 W m (W L );
1 2
Z 2
2
2
0
X
( )
2
i=0
2
2
0
2
2
где элементы x 2 X удовлетворяют условиям (2). Тогда задачу (1){(2) можно записать в виде
эквивалентного ей линейного операторного уравнения
Ax Ux + Bx = y (x 2 X; y 2 Y );
(8)
где Ux = x(m) при условиях (2). Обозначим через Xn и Yn подпространства тригонометрических
полиномов вида (3) с нормами пространств X и Y соответственно. Пусть Pn : L2 ! Yn L2
| оператор метода подобластей по тригонометрической системе функций с узлами (5). Тогда
Pn Uxn = Uxn для любых xn 2 Xn, и поэтому условия (4), а потому и СЛАУ (6), эквивалентны
линейному операторному уравнению
An xn Uxn + Pn Bxn = Pn y (xn 2 Xn ; Pn y 2 Yn ):
(9)
В силу условий теоремы оператор A : W2m ! L2 линейно обратим и обратный оператор
;
1
A : L2 ! W2m ограничен. Покажем, что операторы An : Xn ! Yn также линейно обратимы
(хотя бы при всех достаточно больших n), а обратные операторы A;n 1 : Yn ! Xn ограничены по
норме в совокупности:
kA;n 1 k = O(1):
(10)
С этой целью из (8) и (9) для 8xn 2 Xn , xn 6= 0, находим
kAxn ; AnxnkY = kBxn ; PnBxnkY kxn kX sup kBx ; Pn BxkY =
x2X; kxkX =1
= n kxn kX ; n
supfkz ; PnzkY : z 2 BS (0; 1)g; (11)
где S (0; 1) { единичный шар пространства X . Будем существенно опираться на следующие неравенства ([1]; [2], гл. 1, x 1):
EnT (') k' ; Pn 'k 2 EnT (') ; ' 2 L ; n 2 N ;
1 kPn kL2 !L2 kPn k < 2 ; n 2 N :
2
2
2
2
2
(12)
(13)
В силу (12), (13), условия а) теоремы 1 и известной теоремы И.М. Гельфанда (напр., [3],
с. 274{275) в (11) имеем n ! 0 при n ! 1. Поэтому для всех n n0 выполняется неравенство
qn = kA;1 kn < 1=2;
40
а тогда для таких n в силу теоремы 7 ([4], гл. 1) операторы An линейно обратимы и
kA;n k kA; k(1 ; qn); 2kA; k; n n ;
1
1
1
1
0
т. е. соотношение (10) доказано. Поэтому в силу теоремы 6 ([4], гл. 1) имеем
kx ; xn kX = kA; y ; A;n Pn ykX kE ; A;n PnAk kx ; xnkX ;
1
1
1
где xn 2 Xn | произвольный элемент. Отсюда с учетом (10){(13) находим
kx ; xn kX = Ofkx ; xn kX g:
(14)
Для любой функции x(s) 2 W2m легко доказываются следующие неравенства:
kx k (s)k kx k (s)kC d kx m (s)k ; k = 0; m ; 1; m 1;
( )
( )
2
(
0
)
2
(15)
где d0 | положительная постоянная, не зависящая от x(s). Из (14) и (15) получаем оценку
kx ; xn kX = O(kx m (s) ; xnm (s)kL2 ):
(16)
Выберем xn 2 Xn так, чтобы элемент xnm 2 Yn был полиномом наилучшего среднеквадратического приближения для функции x m 2 Y . Тогда из (16) следует оценка (7).
(
(
(
)
(
)
)
)
В условиях теоремы 1 метод (1){(6) сходится в пространствах C2k = C k (C 0 =
C = C2 ), k = 0; m ; 1, со скоростью
Следствие 1.
kx ; xnkCk =
k
X
i=0
kx i ; xn i kC = OfEnT (x m ) g:
( )
( )
(
)
2
(17)
Если же y 2 C2 , а оператор B : W2m ! C2 ограничен, то справедлива оценка
kx ; x kCm
n
m
X
i=0
kx i ; xn i kC = OfEnT (x m )C ln ng;
( )
( )
(
)
(18)
где EnT (')C | наилучшее равномерное приближение функции '(s) 2 C тригонометрическими
полиномами порядка не выше n (n + 1 2 N ).
Если оператор B и правая часть y(s) уравнения (1) таковы, что x(m) (s) 2
H2r+ , то приближенные решения сходятся в пространствах W2m, C k , k = 0; m ; 1, и C m со
скоростями соответственно
Следствие 2.
kx ; xnkW2m = O nr1 ;
kx ; xnkCk = O nr1 ;
r + > 0;
(19)
k = 0; m ; 1; r + > 0;
(20)
+
+
kx ; xnkCm = O nr 1; = ;
r + > 12 :
(21)
Если же x m (s) 2 H1r W r H , то метод (1){(6) сходится в пространстве C m со скоростью
+
(
)
1 2
+
kx ; xnkCm = O nlnr n ; r + > 0:
+
41
(22)
Из соотношений (7) и (15) получаем оценку (17). Теперь
докажем оценку (18). Из очевидных тождеств
x(m) (s) y(s) ; (Bx )(s); xn(m) Pn y(s) ; (Pn Bxn )(s)
и оценки (7) последовательно находим
kx(m) ; xn(m)kC kx(m) ; Pn x(m)kC + kPn B (x ; xn )kC 2kPn kC EnT (x(m))C + kPn kC kB kW2m !C kx ; xnkW2m =
= OfkPn kC (EnT (x(m) )C + kx ; xn kW2m )g =
= OfkPn kC (EnT (x(m) )C + EnT (x(m) )2 )g = OfEnT (x(m) )C kPn kC g: (23)
Далее существенно используются неравенства ([2], с. 41{43)
kSnkC!C kPn kC!C (1 + )kLn kC!C ; n 2 N ;
(24)
kPn kC!C kPn kC ln n; n ! 1;
(25)
где для любой ' 2 C
Z 2
sin 2n2+1 (s ; )
Sn ('; s) = 21
sin s;2 '()d;
0
2n
X
sin 2k2+1 (s ; sk )
1
Ln('; s) = 2n + 1
sin s;2sk '(sk );
k=0
а узлы sk определены в (5).
Из соотношений (23){(25) получаем
kx(m) ; xn(m)kC = OfEnT (x(m))C ln ng:
Отсюда и из (17) находим оценку (18):
kx ; xnkCm = kx(m) ; xn(m)kC + kx ; xnkCm;1 =
= OfEnT (x(m) )C ln ng + OfEnT (x(m) )C g = OfEnT (x(m) )C ln ng: Доказательство следствия 2. Оценки (19), (20) следуют из теоремы Джексона в L2 (напр.,
[5]{[7]) и оценок соответственно (7), (17). Так как H2r+ H r+;1=2 = W r1 H , где 0 < 1,
r1 = [r + ; 1=2], r1 + = r + ; 1=2 (напр., [8]), то из теоремы Джексона в C2 и оценки (18)
следует оценка (21). Оценка (22) следует из (18) и теоремы Джексона в C2 (напр., [5]{[7]). Замечание 1. Доказанная теорема является довольно общей. Здесь в качестве B можно
взять любой линейный вполне непрерывный оператор из W2m в L2 , например, интегродифференциальный оператор вида
Доказательство следствия 1.
Bx =
где
mX
;1
k=0
ak
(s)x k
( )
(s) +
X
m
Z 2
i=0
0
(10 )
hi (s; )x i ()d;
( )
hk (s; ) = h k (s; ) ctg ;2 s (k = 0; m ; 1); hm (s; ) = h m (s; ) ctg ;2 s (0 < 1);
0
причем
0
ak (s) 2 L (0; 2) (k = 0; m ; 1); h k (s; ) 2 C [0; 2] (k = 0; m):
0
2
42
2
;
Здесь возможен также случай m = 0 (тогда полагаем 0). Поэтому из теоремы 1 следует
k=0
также сходимость метода подобластей для интегральных, дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
1
P
В частном случае теорема 1 несколько упрощается и усиливается, что показывает
Теорема 2. Пусть y (s) 2 L2 , а оператор B таков, что вполне непрерывен оператор T :
m
W2 ;1 ! C2 , где m 1 и
Z s
Tx (Bx)()d ; 2 (Bx)()d; x 2 W m; :
Если задача (1){(2) при y (s) = 0 имеет в L лишь тривиальное решение, то метод подобластей
(1){(6) сходится в пространстве W m; со скоростью
s
Z
2
0
2
0
2
1
2
1
kx ; xnkW2m;1 = OfEnT (x m; )C g:
(
(26)
1)
Следуя [9], [10], можно показать, что задача (1){(2) и СЛАУ (6) эквивалентны уравнениям соответственно
Доказательство.
Kx x m; (s) ; x m; (0) +
(
1)
(
Kn xn xnm; (s) ; xnm; (0) + Ln
(
1)
(
где
y(s) =
s
Z
1)
0
Z
(Bx)()d ; 2s
s
1)
Z
0
s
0
Z 2
0
(Bxn )()d ; 2s
(Bx)()d = y(s);
Z 2
0
(Bxn )()d = yn (s);
(27)
(28)
Z y()d ; 2s
y()d; yn (s) = Ln y(s);
2
0
а Ln | определенный выше оператор Лагранжа по узлам (5).
Уравнение (27) будем рассматривать как операторное в пространстве
X = fx(s) 2 C m; : x k (0) = x k (2); k = 0; m ; 1g
2
с нормой
kxkX =
mX
;1
k=0
1
( )
( )
kx k (s)kL2 = kxkW2m;1 ; x 2 X:
( )
Ясно, что в условиях теоремы K есть аддитивный и однородный оператор из X в Y = fy(s) 2
C2 g с нормой L2 . Пусть X n X и Y n Y | подпространства всех тригонометрических
полиномов порядка не выше n с нормами соответственно X и Y . Тогда (28) можно рассматривать
как операторное уравнение в пространстве X n ; ясно, что Kn есть линейный оператор из X n в
Y n при каждом фиксированном натуральном n.
Далее важно подчеркнуть, что (28) есть уравнение метода коллокации для уравнения (27).
С учетом этого факта в дальнейшем будем пользоваться способом исследования метода коллокации, предложенным в [11].
В силу (27) и (28) для любого xn 2 X n , xn 6= 0, с учетом аппроксимативных свойств оператора
Лагранжа Ln в L2 (напр., [4], гл. 3) находим
kKxn ; Knxnk = kTxn ; LnTxnk = kxn k kTzn ; LnTznk 2kxn kX n EnT (Tzn )C ;
zn = xn=kxn k; C = C :
2
2
2
2
43
Отсюда и из теоремы Джексона [5]{[7] в C2 следует
kKxn ; KnxnkY 6kxn kX w(Tzn ; n ) 6kxn kX n ; xn 2 X n;
n = supfw(z; n ) : z 2 TS (0; 1) Y g;
где w('; ) | модуль непрерывности функции ' 2 C с шагом 2 (0; ), а S (0; 1) X .
1
1
2
В силу условия теоремы множество TS (0; 1) является компактным в C2 , а тогда из теоремы
3.1 книги [7] следует n ! 0 при n ! 1. Поэтому
"n kK ; Kn kX n !Y = O(n ) ! 0; n ! 1:
(29)
Теперь, применяя теорему 7 ([4], гл. 1) к уравнениям (27) и (28), в силу (29) находим, что
операторы Kn : X n ! Y n , n > n0 , линейно обратимы (следовательно, система (6) однозначно
разрешима), и обратные операторы Kn;1 ограничены по норме в совокупности:
kKn; k = O(1):
(30)
Для получения оценки погрешности воспользуемся теоремой 6 ([4], гл. 1) применительно к
уравнениям (27) и (28):
1
kx ; xnkX = kK ; y ; Kn; ynkX k(E ; Kn; LnK )(x ; xn)k kxn ; xnkX + kKn; k kLn K (x ; xn)kY ; (31)
где xn | произвольный элемент из X n . Так как kLn kC !L2 = 1 (напр., [4], гл. 3), то в силу (30),
1
1
1
1
(31) и (27) последовательно находим
kx ; xnkW2m;1 kx ; xnkW2m;1 + d kK (x ; xn)kC kx ; xnkW2m;1 + d k[x m; (s) ; xnm; (s)] ;
1
(
1
1)
(
1)
Z s
B
(
x
;
x
)
d
C+
n
n
2
C
kx ; xn kW2m;1 + d f2kx m; (s) ; xnm; (s)kC + kT (x ; xn)kC g (1 + d d )kx ; xnkW2m;1 + 2d kx m; ; xnm; kC : (32)
; [x(m;1) (0) ; x(m;1)(0)]k
1
s
Z
0
(
1)
(
1
Поскольку
0
1)
(
1
2
1)
(
1)
kx ; xnkW2m;1 d kx m; ; xnm; kC ;
3
то в силу (32)
2
B (x ; xn)d ;
(
1)
(
1)
kx ; xnkW2m;1 d kx m; ; xnm; kC :
(33)
kx ; xn kCk = OfEnT (x m; )C g; k = 0; m ; 2;
kx ; xn kCm;1 = OfEnT (x m; )C kLnkC g = OfEnT (x m; )C ln ng:
(34)
(35)
4
(
1)
(
1)
Выбирая полином xn (s) так, чтобы x(nm;1) (s) был полиномом наилучшего равномерного приближения для x(m;1)(s) 2 C , из (33) находим (26).
Из теоремы 2 выводятся следующие утверждения.
k
Следствие 3. В условиях теоремы 2 метод (1){(6) сходится в пространствах C , k =
0; m ; 1, со скоростями соответственно
(
1)
(
1)
(
44
1)
Пусть, кроме того, y(s) 2 C , а оператор B : Z ! C ограничен, где Z | одно из пространств
W2m;1, C m;1 ; тогда в пространстве C m справедливы оценки
kx ; xnkCm = OfkPn kC (EnT (x m )C + kx ; xnkZ )g = OfEnT (x m )C ln ng:
(
)
(
)
(36)
Пусть оператор B и функция y(s) таковы, что x(m) (s) 2 Hpr+, где r 0 целое,
0 < 1, 1 p 1. Тогда в условиях теоремы 2 метод (1){(6) сходится в пространствах W2m,
C k (k = 0; m) со скоростями соответственно
Следствие 4.
kx ; xn kW2m;1
1
ln n
= O nr++1=q ; r + + 1=q > 0;
kx ; xnkCk = O nr+1+1=q ; r + + 1=q > 0; k = 0; m ; 2;
kx ; x kCm;1
= O nr++1=q ; r + + 1=q > 0;
kx ; xnkCm = O nr+ln;n1=p ; r + ; 1=p > 0;
n
где q | сопряженный с p показатель: 1=p + 1=q = 1, 1 p 1.
Доказательство следствия 3. Оценка (34) есть следствие неравенств (26) и (15). Докажем
(35) при условии x(m;1) (0) = xn(m;1)(0). Положим n (s) = x(m;1) (s) ; xn(m;1) (s). Тогда из (27)
при x = x (s) и из (28) при xn = xn (s) в узлах (5) находим
n (sj ) = ;
sj
Z
0
B (x ; x ; )d + sj
n
Z 2
2
0
B (x ; xn ; )d:
Поэтому
max j (s )j = 0max
jT (x ; xn; sj )j kT (x ; xn)kC
j2n n j
j 2n
0
d kx ; xn kW2m;1 :
2
Тогда
kn (s)kC = kx m; (s) ; xn m; (s)kC kx m; (s) ; Lnx m; (s)kC +
+ kLn n (s)kC 2kLn kC EnT (x m; )C + kLn kC max
j (s )j =
j n n j
= OfkLn kC (EnT (x m; )C + kx ; xn kW2m;1 )g: (37)
(
1)
(
1)
(
1)
(
(
1)
1)
0
2
(
1)
Из (37) и (26) с учетом известной оценки kLn kC = O(ln n) находим
kn(s)kC = kx m; ; xn m; kC = OfEnT (x m; )C ln ng:
(
1)
(
1)
(
(38)
1)
Теперь из (38) и (34) получаем оценку (35)
kx ; xnkCm;1 = kx ; xnkCm;2 + kx m; ; xn m; kC = OfEnT (x m; )C ln ng:
(
1)
(
1)
Для доказательства (36) воспользуемся тождествами
x m y ; Bx; xn m Pny ; Pn Bxn:
(
)
(
45
)
(
1)
Отсюда последовательно находим
kx m ; xn m kC kx m ; Pn x m kC + kPn B (x ; xn )kC 2kPn kC EnT (x m )C + kPn kC kB (x ; xn )kC kPn kC f2EnT (x m )C + kB kZ!C kx ; xnkZ g =
= OfkPn kC !C (EnT (x m )C + kx ; xn kZ )g: (39)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
В силу (26) и (35)
kx ; xn kW2m;1
= OfEnT (x(m;1) )C g = O
kx ; xnkCm;1 = O EnT (x m )C lnnn :
(
EnT (x m )C ;
n
(
)
)
(40)
(41)
Поэтому kx ; xn kZ = ofEnT (x(m) )C g. Тогда из (39) с учетом (24), (25) получаем оценку
kx(m) ; xn(m)kC = OfkPn kC EnT (x(m))C g = OfEnT (x(m) )C ln ng:
Отсюда и из (39){(41) следует оценка (36). Следствие 4 доказывается аналогично следствию 2 теоремы 1 с применением теорем типа
Джексона в C2 (напр., [5]{[8]).
Замечание 2. В теореме 2 в качестве оператора B можно взять интегродифференциальный
оператор (10 ) лишь при hm (s; ) 0; в этом и состоит недостаток теоремы 2 по сравнению с
теоремой 1. В то же время при выполнении этого дополнительного условия теорема 2 имеет и
ряд преимуществ перед теоремой 1.
Следует также отметить, что при выборе в качестве B дифференциального оператора
Bx mX
;1
k=0
ak (s)x k (s); m 1; ak (s) 2 Lp ; p > 1;
( )
где правая часть (1) | функция y(s) 2 Lp при p > 1, менее общий результат, чем теорема 2, но
другим (на наш взгляд, более сложным) способом получен в [9], [10].
Литература
1. Габдулхаев Б.Г., Ермолаева Л.Б. Один новый полиномиальный оператор и его приложения
// Теория прибл. функций. { М.: Наука, 1987. { С. 98{100.
2. Ермолаева Л.Б. Аппроксимативные свойства полиномиальных операторов и решение интегральных и интегродифференциальных уравнений методом подобластей. { Дис. : : : канд.
физ.-матем. наук. { Казань, 1987. { 154 с.
3. Канторович Л.В., Акилов Т.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.
{ М.: Наука, 1977. { 684 с.
4. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. { Казань: Изд-во
Казанск. ун-та, 1980. { 232 с.
5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. { М.: Наука, 1965. { 407 с.
6. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. { Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. { 184 с.
7. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. { М.: Физматгиз,
1960. { 624 с.
46
8. Андриенко В.А. Теоремы вложения для функций одного переменного // Итоги науки и техники. Матем. анализ. { М.: ВИНИТИ, 1971. { С. 203{262.
9. Керге Р.М. Метод подобластей для периодической задачи // Учен. зап. Тартуск. ун-та. {
1979. { Є 500. { С. 53{68.
10. Керге Р.М. О сходимости и устойчивости метода подобластей: Автореф. дис. : : : канд.
физ.-матем. наук. { Тарту, 1979. { 10 с.
11. Лучка А.Ю., Каспшицкая М.Ф. О методе коллокации // Журн. вычисл. матем. и матем.
физ. { 1968. { Т. 8. { Є 5. { С. 950{964.
Казанская государственная
Поступила
11.03.2003
архитектурно-строительная академия
47
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
168 Кб
Теги
решение, методов, подобласти, задачи, краевых, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа