close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решения анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях.

код для вставкиСкачать
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 1 (30). С. 82–89
УДК 517.957
РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ
ОБЛАСТЯХ
Л. М. Кожевникова, А. А. Леонтьев
Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал,
Россия, 453103, Стерлитамак, ул. Ленина, 47 a.
E-mails: kosul@mail.ru, alexey_leontiev@inbox.ru
Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений
высокого порядка с двойной нелинейностью, представителем которого является
модельное уравнение вида
"
#
n
mα
∂ mα u pα −2 ∂ mα u
∂ k−2 X
mα −1 ∂
m (−1)
|u|
u =
,
α
α
∂xα α ∂t
∂xm
∂xm
α
α
α=1
m1 , . . . , mn ∈ N,
pn > . . . > p1 > k,
k > 1.
Для решений первой смешанной задачи в цилиндрической области D = (0, ∞) ×
× Ω с неограниченной областью Ω ⊂ Rn , n > 2, с однородным краевым условием
Дирихле и финитной начальной функцией установлена максимальная скорость
убывания при t → ∞. Ранее авторами были получены оценки сверху для анизотропных уравнений второго порядка и доказана их точность.
Ключевые слова: анизотропное уравнение, параболическое уравнение с двойной
нелинейностью, существование решения, скорость убывания решения.
Введение. Пусть Ω — неограниченная область пространства Rn = {x =
= (x1 , x2 , . . . , xn )}, n > 2. В цилиндрической области D = {t > 0} × Ω для
анизотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка
рассматривается первая смешанная задача
k−2
|u|
mα mα n
mα X
∂ u 2 ∂ u
mα −1 ∂
(−1)
u t=
,
mα aα
α
α
∂xα
∂xm
∂xm
α
α
(t, x) ∈ D,
(1)
α=1
где k > 1, mα ∈ N;
Dxj α u(t, x)S = 0;
u(0, x) = ϕ(x),
j = 1, 2, . . . , mα − 1, S = {t > 0} × ∂Ω;
ϕ(x) ∈ Lk (Ω),
ϕxα (x) ∈ Lpα (Ω).
(2)
(3)
Предполагается, что неотрицательные функции aα (s), s > 0, α = 1, 2, . . . , n,
подчиняются следующим условиям: aα (0) = 0, aα (s) ∈ C 1 (0, ∞),
as(pα −2)/2 6 aα (s) 6 b
as(pα −2)/2 ,
p1
aα (s) 6 aα (s) + a′α (s)s 6 bbaα (s),
2
(4)
Лариса Михайловна Кожевникова (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. математического
анализа. Алексей Александрович Леонтьев, аспирант, каф. математического анализа.
82
Решения анизотропных параболических уравнений . . .
с положительными константами b
a > a, 2bb > p1 > k (p1 6 p2 6 . . . 6 pn ).
(p
α −2)/2 b
Например, aα (s) = s
, b = pn /2.
Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго и высокого порядков при
t → ∞ посвящены работы А. К. Гущина, В. И. Ушакова, Ф. Х. Мукминова, А. Ф. Тедеева, Л. М. Кожевниковой, Р. X. Каримова, В. Ф. Гилимшиной
и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [1–3].
В настоящей работе исследуется допустимая скорость стабилизации решения задачи (1)–(3). Будем рассматривать области, расположенные вдоль
выделенной оси Oxs , s ∈ {1, 2, . . . , n} (область Ω лежит в полупространстве
R+ n [s] = {x ∈ Rn | xs > 0}, сечение γr [s] = {x ∈ Ω | xs = r} не пусто и ограничено при любом r > 0). Ниже будет использовано следующее обозначение:
Ωba [s] = {x ∈ Ω | a < xs < b},
при этом значения a = 0, b = ∞ опускаются.
Предполагается, что начальная функция имеет ограниченный носитель,
так что
supp ϕ ⊂ ΩR0 , R0 > 0.
(5)
Теорема 1. Пусть выполнено условие (5), тогда найдутся положительa) такие, что ограниченное решение u(t, x) заданые числа κ, M(ps , ms , k, a, b
чи (1)–(3) при всех t > 0, r > 2R0 удовлетворяет оценке
h ps ms i
1/(ps ms −1)
r
ku(t)kLk (Ωr ) 6 M exp −κ
kϕkLk (Ω) .
(6)
t
На основе неравенства (6) устанавливается оценка снизу скорости убывания решения задачи (1)–(3) при t → ∞.
Теорема 2. Пусть выполнено условие (5), тогда существует положительное число C(ϕ, k, p1 , b
a, bb) такое, что ограниченное решение u(t, x) задачи
(1)–(3) при всех t > 0 подчиняется оценке
ku(t)kLk (Ω) > kϕkLk (Ω) (C(ϕ)t + 1)−1/(p1 −k) .
Показано, что наилучшая скорость убывания решений достигается в сужающихся неограниченных областях, именно (см. замечание) для решений задачи (1)–(3) в области Ω, удовлетворяющей условию
m1 ∂ g ∞
µ1 = inf m1 | g(x) ∈ C0 (Ω), kgkLk (Ω) = 1 > 0,
(7)
∂x1 Lp1 (Ω)
справедлива оценка
ku(t)kLk (Ω) 6 M t−1/(p1 −k) ,
t > 0.
(8)
1. Вспомогательные утверждения. Пусть k · kp,Q — норма в Lp (Q), p > 1,
причём значение Q = Ω опускается. Через Dab = (a, b)×Ω обозначим цилиндр,
значения a = 0 и b = ∞ могут отсутствовать.
83
Л. М. К о ж е в н и к о в а, А. А. Л е о н т ь е в
◦
m (Ω) определим как пополнение пространства
Банахово пространство W k,p
C0∞ (Ω) по норме
n mα X
∂ u
kukWk,pm (Ω) =
mα + kukk .
∂xα pα
α=1
◦
◦
1,m
T
T
Банаховы пространства W 0,m
k,p (D ), W k,p (D ) определим как пополнения
T +1
), соответственно, по нормам
пространства C0∞ (D−1
kukW 0,m (DT ) = kukk,DT +
k,p
n mα X
∂ u
,
mα ∂xα pα ,DT
α=1
kukW 1,m (DT ) = kukW 0,m (DT ) + kut kk,DT .
k,p
k,p
Определение. Обобщённым решением задачи (1)–(3) назовём функцию
◦
T
u(t, x) такую, что при всех T > 0 u(t, x) ∈ W 0,m
k,p (D ), при k ∈ (1, 2) ut (t, x) ∈
Lk (D T ), а при k > 2 |u|k−2 ut ∈ Lk′ (D T ), k′ = k/(k − 1), и удовлетворяет
интегральному тождеству
Z
DT
∂ mα u ∂ mα v
aα
−|u| uvt +
mα dxdt+
α
∂xm
α ∂xα
α=1
Z
Z
|ϕ(x)|k−2 ϕ(x)v(0, x)dx (9)
|u(T, x)|k−2 u(T, x)v(T, x)dx =
+
n
X
k−2
∂ mα u 2
α
∂xm
α
Ω
Ω
◦ 1,m
T
k,p (D ).
◦
m (Ω),
∈W k,p
для любой функции v(t, x) ∈W
Теорема 3. Пусть ϕ(x)
p1 > k, k > 1, тогда существует
обобщённое решение u(t, x) задачи (1)–(3). При этом справедливы неравенства
n Z t mα
X
∂ u(τ ) pα
k
t > 0, (10)
(k − 1)ku(t)kkk + ka
mα dτ 6 (k − 1)kϕkk ,
∂x
p
α
α
0
α=1
n mα
X
d
∂ u(t) pα
(k − 1) ku(t)kkk + ka
(11)
6 0, t > 0.
α
dt
∂xm
pα
α
α=1
Решение задачи (1)–(3) строится методом галёркинских приближений, который ранее был предложен Ф. Х. Мукминовым, Э. Р. Андрияновой (см. [4])
для модельного изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью и обобщён авторами статьи на некоторый класс анизотропных уравнений (см. [5, 6] ).
+
m
Предложение 1. Для любой функции g(x) ∈ Lp (R+
1 ), D g(x) ∈ Lp (R1 )
справедливо неравенство
j
1−
j
m
m
,
kD j gkp,R+ 6 CkD m gkp,R
+ kgk
p,R+
1
84
1
1
j = 0, 1, . . . , m,
(12)
Решения анизотропных параболических уравнений . . .
где постоянная C зависит от p, m, j.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольной функций h(x) ∈ Lp (R1 ), D m h ∈
Lp (R1 ) справедливо одномерное неравенство Ниренберга—Гальярдо [7], которое запишем в частном случае:
j
1−
j
m
kD j hkp,R1 6 c1 kD m hkp,R
khkp,Rm
,
1
1
j = 0, 1, . . . , m.
Пусть функция h(x) — продолжение функции g(x) такое, что
kD j hkp,R1 6 c2 kD j gkp,R+ ,
j = 0, m.
1
Соединяя эти неравенства, получаем неравенство (12). 2. Доказательство теорем. Будем предполагать, что решение задачи (1)–
(3) ограничено, а именно, справедливо неравенство
(13)
vrai sup | u(t, x) |6 B < ∞.
D
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Пусть θ(x), x > 0 — гладкая неотрицательная функция, равная единице при x > 1, нулю при x 6 0. Тогда для
функции ξ(xs ) = θ((xs − r)/ρ) справедливы соотношения
dj ξ j 6 C1 /ρj ,
dxs
dj ξ
x ∈ (r, r + ρ),
dxjs
= 0,
x 6∈ (r, r + ρ),
j ∈ N.
(14)
Для k ∈ (1, 2) в (9) можно взять v = uξ, тогда, пользуясь равенством
Z
Z
1 d
k
k−2
|u| dx ,
|u| uuτ dx =
k dτ
Ω
Ω
получим тождество
k−1
k
Z
n Z
τ =t
X
|u| ξ dx +
k
Ω
τ =0
α=1
Dt
aα
∂ mα u 2
α
∂xm
α
∂ mα u ∂ mα (uξ)
dxdτ = 0. (15)
α
α
∂xm
∂xm
α
α
Для k > 2 можно выполнить интегрирование по частям в первом интеграле
тождества (9), в результате получим равенство
Z
Dτ
k−2
(|u|
u)τ v +
n
X
α=1
aα
∂ mα u 2
α
∂xm
α
∂ mα u ∂ mα v
mα dxdτ = 0.
α
∂xm
α ∂xα
Положим v = uξ, тогда, ввиду справедливости равенства
Z
Z
k−1 d
k
k−2
|u| dx ,
(|u| u)τ udx =
k dτ
Ω
Ω
выводим соотношение (15).
85
Л. М. К о ж е в н и к о в а, А. А. Л е о н т ь е в
Далее, применяя (4), из (15) получаем (с учётом того, что ξϕ = 0)
k−1
k
Z
n Z
X
∂ mα u pα
ξ mα dxdτ 6
|u(t, x)| ξ(xs )dx + a
∂x
t
α
Ω
α=1 D
Z X
ms ms ∂ u ps −1 j ∂ ms −j u dj ξ Cms ms −j j dxdτ ≡ I t . (16)
6b
a
ms ∂x
t
s
∂xs
dxs
D j=1
k
Используя (14), оценим интеграл
t
I 6
Z Z
ms
X
C2 t
j=1
ρj
0
∂ ms u ps −1 ∂ ms −j u ms ms −j dxdτ.
∂xs
Ωrr+ρ ∂xs
Пусть ε > 0 — произвольное число такое, что ερ > 1. Тогда, последовательно применяя неравенства Гёльдера, неравенство (12) и Юнга, получаем
соотношения
Z Z
ms
X
C2 t
∂ ms −j u ∂ ms u ps −1
dx′s dτ 6
ms −j s
ρj 0 Rn−1 ∂xm
p
,(r,r+ρ)
p
,(r,r+ρ)
s
s
s
∂xs
j=1
Z
Z
m
s
∂ ms u ps −j/ms
t
X
C3
j/ms
6
εj dx′s dτ 6
kukps ,(r,∞)
ms j
j
ρ ε 0 Rn−1 ∂xs ps ,(r,∞)
j=1
Z
Z
m
s
t
X C3
ms p s − j ∂ ms u ps
ps
ms ps j
kukps ,(r,∞) dx′s dτ 6
+ε
6
ms ρj εj 0 Rn−1
ms p s
∂xs ps ,(r,∞)
ms p s
j=1
Z Z ms p
C4 t
∂ u s
ms ps
ps
6
+
ε
|u|
dxdτ,
s
ρε 0 Ωr ∂xm
s
It 6
из которых с учётом (13) имеем
Z t Z ms Z tZ
C4
∂ u ps
t
ms ps ps −k
k
I 6
B
|u| dxdτ .
ms dxdτ + ε
ρε
0
Ωr
0
Ωr ∂xs
(17)
Соединяя (16), (17), выводим неравенство
Z t mα ∂ u pα
dτ 6
mα ∂xα pα ,Ωr+ρ
α=1 0
Z t ms Z t
C5
∂ u ps
k
ms ps
kukk,Ωr dτ . (18)
dτ + ε
6
ms ρε
ps ,Ωr
0
0 ∂xs
n
X
k−1
ku(t)kkk,Ωr+ρ + a
k
Введём обозначение
Fr (t) = ku(t)kkk,Ωr +
n Z t mα X
∂ u pα
dτ,
mα pα ,Ωr
0 ∂xα
α=1
86
Решения анизотропных параболических уравнений . . .
тогда (18) можно переписать в виде
Z t
C6
ps ms
Fr (τ )dτ .
Fr (t) + ε
Fr+ρ (t) 6
ερ
0
(19)
Отметим, что если ερ < 1, то неравенство (19) также выполняется, так
как в этом случае
Z t
C6
1
ps ms
Fr (τ )dτ .
Fr (t) + ε
Fr+ρ (t) 6 Fr (t) 6 Fr 6
ερ
ερ
0
Таким образом, (19) доказано для произвольного ε > 0.
Далее индукцией по l = 0, 1, . . . установим неравенство
−1/(ps ms )
Y
l−1
2C l
6
l/(ps ms )
FR0 +lρ (t) 6 C7
kϕkkk .
(1 + i/(ps ms ))
t
ρ
(20)
i=0
В качестве нулевого шага индукции из неравенства (10) для любого t > 0
имеем неравенство FR0 (t) 6 C7 kϕkkk . Предположим, что (20) справедливо для
некоторого целого l > 0. Подставляя в (19)
1 + l/(ps ms ) 1/(ps ms )
ε=
, r = R0 + lρ,
t
с учётом (20) получаем
l
FR0 +(l+1)ρ (t) 6 C7 2
C l+1
6
ρ
t
1/(ps ms )
Y
l
i=0
−1/(ps ms )
kϕkkk ×
(1 + i/(ps ms ))
Z
1 + l/(ps ms ) t l/(ps ms )
l/(ps ms )
× t
+
τ
dτ =
t
0
−1/(ps ms )
Y
l
2C l+1
6
(l+1)/(ps ms )
= C7
kϕkkk .
(1 + i/(ps ms ))
t
ρ
i=0
Неравенство (20) доказано.
Положим ρ = (r−R0 )/l. Используя неравенство Стирлинга, из (20) нетрудно получить
(r − R0 )ps ms l
ln
(21)
kϕkkk .
Fr (t) 6 C9 exp −
p s ms
C8 tlps ms −1
Полагая l равным целой части выражения
h (r − R )ps ms i1/(ps ms −1)
0
eC8 t
,
из неравенства (21) получим
h (r − R )ps ms i1/(ps ms −1) 0
Fr (t) 6 C11 exp −C10
kϕkkk .
t
(22)
87
Л. М. К о ж е в н и к о в а, А. А. Л е о н т ь е в
В итоге при r > 2R0 из (22) следует оценка (6). Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2 осуществляется аналогично доказательству для случая уравнения второго порядка (подробнее см. [5, 6]).
Замечание. Если выполнено условие (7), то для решения u(t, x) задачи
(1)–(3) справедлива оценка (8).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (11) следует, что
n
ak X
ak ak p1
d
∂ mα u(t) pα
∂ m1 u(t) p1
k
ku(t)kk 6 −
µ1 kukpk1 .
6−
m1 6 −
α
dt
k−1
∂xm
k
−
1
∂x
k
−
1
p
p
α
1
α
1
α=1
Решая это дифференциальное неравенство, получим оценку
(p − k)a
−1/(p1 −k)
1
ku(t)kk 6 t−1/(p1 −k)
µp11
, t > 0,
k−1
из которой следует неравенство (8). Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13–01–0081-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Л. М. Кожевникова, Ф. Х. Мукминов, “Оценки скорости стабилизации при t → ∞
решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических
уравнений второго порядка” // Матем. сб., 2000. Т. 191, № 2. С. 91–131;
англ.
пер.: L. M. Kozhevnikova, F. Kh. Mukminov, “Estimates of the stabilization rate as t → ∞
of solutions of the first mixed problem for a quasilinear system of second-order parabolic
equations” // Sb. Math., 2000. Vol. 191, no. 2. Pp. 235–273.
2. Л. М. Кожевникова, “Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения” // Матем. сб., 2005. Т. 196, № 7. С. 67–100; англ.
пер.: L. M. Kozhevnikova, “Stabilization of a solution of the first mixed problem for a quasielliptic evolution equation” // Sb. Math., 2005. Vol. 196, no. 7. Pp. 999–1032.
3. Р. Х. Каримов, Л. М. Кожевникова, “Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами” // Матем. сб., 2010. Т. 201, № 9. С. 3–26; англ. пер.: R. Kh. Karimov, L. M. Kozhevnikova,
“Stabilization of solutions of quasilinear second order parabolic equations in domains with
non-compact boundaries” // Sb. Math., 2010. Vol. 201, no. 9. Pp. 1249–1271.
4. Э. Р. Андриянова, Ф. Х. Мукминов, “Оценка снизу скорости убывания решения параболического уравнения с двойной нелинейностью” // Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3,
№ 3. С. 3–14. [E. R. Andriyanova, F. Kh. Mukminov, “The lower estimate of decay rate of
solutions for doubly nonlinear parabolic equations” // Ufimsk. Mat. Zh., 2011. Vol. 3, no. 3.
Pp. 3–14].
5. Л. М. Кожевникова, А. А. Леонтьев, “Оценки решения анизотропного параболического
уравнения с двойной нелинейностью” // Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3, № 4. С. 64–
85. [L. M. Kozhevnikova, A. A. Leontiev, “Estimates of solutions of an anisotropic doubly
nonlinear parabolic equation” // Ufimsk. Mat. Zh., 2011. Vol. 3, no. 4. Pp. 64–85].
6. Л. М. Кожевникова, А. А. Леонтьев, “Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях” // Уфимск.
матем. журн., 2013. Т. 5, № 1. С. 65–83. [L. M. Kozhevnikova, A. A. Leontiev, “Decay
of solution of anisotropic doubly nonlinear parabolic equation in unbounded domains” //
Ufimsk. Mat. Zh., 2013. Vol. 5, no. 1. Pp. 65–83].
7. L. Nirenberg, “On elliptic partial differential equations” // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Sci.
Fis. Mat., III. Ser, 1959. Vol. 13. Pp. 115–162.
Поступила в редакцию 15/XI/2012;
в окончательном варианте — 10/III/2013.
88
Solutions of anisotropic parabolic equations with double non-linearity . . .
MSC: 35K35, 35K61
SOLUTIONS OF ANISOTROPIC PARABOLIC EQUATIONS WITH
DOUBLE NON-LINEARITY IN UNBOUNDED DOMAINS
L. M. Kozhevnikova, A. A. Leontiev
Sterlitamak Branch of Bashkir State University,
47 a, Lenin st., Sterlitamak, 453103, Russia.
E-mails: kosul@mail.ru, alexey_leontiev@inbox.ru
This work is devoted to some class of parabolic equations of high order with double
nonlinearity which can be represented by a model equation
"
#
n
mα
X
∂ mα u pα −2 ∂ mα u
∂
k−2
mα −1 ∂
m ,
(|u|
u) =
(−1)
α
α
∂xα α ∂t
∂xm
∂xm
α
α
α=1
m1 , . . . , mn ∈ N,
pn > . . . > p1 > k,
k > 1.
For the solution of the first mixed problem in a cylindrical domain D = (0, ∞) ×
×Ω, Ω ⊂ Rn , n > 2, with homogeneous Dirichlet boundary condition and finite initial
function the highest rate of decay established as t → ∞. Earlier upper estimates were
obtained by the authors for anisotropic equation of the second order and prove their
accuracy.
Key words: anisotropic equation, doubly nonlinear parabolic equations, existence of
strong solution, decay rate of solution.
Original article submitted 15/XI/2012;
revision submitted 10/III/2013.
Larisa M. Kozhevnikova (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Dept. of Mathematical Analysis.
Alexey A. Leontiev, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
178 Кб
Теги
двойной, областям, решение, уравнения, неограниченных, нелинейности, анизотропные, параболические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа