close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях.

код для вставкиСкачать
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 1 (30). С. 90–96
УДК 517.956.25
РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Л. М. Кожевникова, А. А. Хаджи
Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал,
Россия, 453103, Стерлитамак, ул. Ленина, 47 a.
E-mails: kosul@mail.ru, anna_5955@mail.ru
В неограниченной области рассматривается некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второго порядка. Для решений задачи Дирихле получены
оценки сверху и доказана их точность в изотропном случае.
Ключевые слова: задача Дирихле, анизотропное уравнение, квазилинейное эллиптическое уравнение, обобщённое решение, неограниченная область, убывание
решения, существование и единственность решения, неравенство Харнака, область вращения.
Введение. Пусть Ω — произвольная неограниченная область пространства
Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn )}, Ω ⊆ Rn , n > 2. Для анизотропного квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка рассматривается задача
Дирихле
n
X
α=1
(aα (x, ∇u))xα =
n
X
(Φα (x))xα ,
(1)
x ∈ Ω,
α=1
u∂Ω = 0.
(2)
Предполагается, что функции aα (x, ξ), α = 1, n, измеримы по x ∈ Ω
для ξ ∈ Rn и непрерывны по ξ ∈ Rn для почти всех x ∈ Ω. Пусть p =
= (p1 , p2 , . . . , pn ), будем считать, что 1 < p1 6 p2 6 . . . 6 pn и существуют
положительные числа a, b
a такие, что для любых ξ, η ∈ Rn при почти всех
x ∈ Ω выполняются условия
n
X
(aα (x, ξ) − aα (x, η)) (ξα − ηα ) > a
α=1
|aα (x, ξ) − aα (x, η)| 6 b
a|ξα −
n
X
|ξα − ηα |pα ;
α=1
ηα | (|ξα | + |ηα |)pα −2 ,
aα (x, 0) = 0,
α = 1, n.
α = 1, n;
(3)
(4)
(5)
В работе получена оценка, характеризующая скорость убывания решения
задачи Дирихле для уравнения (1) с финитной правой частью, и доказана её
точность для p1 = p2 = . . . = pn .
Изучением поведения на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений занимались О. А. Олейник, Г. А. Иосифьян, Е. М. Ландис,
Г. П. Панасенко, В. А. Кондратьев, И. Копачек, Д. М. Леквеишвили и другие
(подробный обзор результатов приведён в [1]). В работе [2] Л. М. Кожевниковой, Р. Х. Каримовым для некоторого класса квазилинейных эллиптических
Лариса Михайловна Кожевникова (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. математического
анализа. Анна Александровна Хаджи, аспирант, каф. математического анализа.
90
Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях
уравнений второго порядка установлены оценки сверху решения задачи Дирихле. Анизотропный случай до настоящего времени оставался неизученным.
Будем рассматривать области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs ,
s ∈ 2, n (область Ω лежит в полупространстве xs > 0 и сечение γr = {x ∈ Ω |
xs = r} не пусто при любом r > 0).
Введём обозначения: Ωba = {x ∈ Ω | a < xs < b}, значение b = ∞ опускается, k · kp,Q — норма в пространстве Lp (Q), значение Q = Ω не пишется.
Определим геометрическую характеристику неограниченной области Ω:
ν(r) = inf {kgx1 kp1 ,γr | g(x) ∈ C0∞ (Ω), kgkp1 ,γr = 1} ,
Пусть область Ω удовлетворяет условию
Z ∞
ν p1 /ps (ρ)dρ = ∞.
r > 0.
(6)
(7)
1
Будем полагать, что носители функций Φα , α = 1, n, ограничены, а именно
suppΦα (x) ⊂ ΩR0 ,
R0 > 0,
α = 1, n.
(8)
Теорема 1. Если выполнены условия (7), (8), то существуют положительные числа κ, M такие, что для ограниченного обобщённого решения
u(x) задачи (1), (2) при r > 2R0 справедлива оценка
n
X
α=1
Z
kuxα kppαα ,Ωr 6 M exp −κ
r
1
ν p1 /ps (ρ)dρ .
(9)
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 1 в работе [3].
Рассмотрим область вращения
Ω(f )[s] = x ∈ Rn | xs > 0, |x′ s | < f (xs ) , s ∈ 2, n,
x′s = (x1 , . . . , xs−1 , xs+1 , . . . , xn ), с положительной функцией f (xs ) < ∞. От
функции f требуется только, чтобы множество Ω(f )[s] было областью.
Для таких областей справедливо соотношение
ν(r) =
c
,
f (r)
поэтому условие (7) принимает вид
Z ∞
1
dρ
f p1 /ps (ρ)
r > 0,
(10)
= ∞.
Пусть выполнено условие
f p1 /ps (r)
= 0,
r→∞
r
lim
(11)
91
Л. М. К о ж е в н и к о в а, А. А. Х а д ж и
тогда следствием оценки (9) для ограниченного решения u(x) задачи (1), (2)
в области вращения является следующая оценка:
Z r
dρ
f
e
kukp1 ,Ωr+1
κ
, r>R
(12)
(f ) 6 M exp −e
p1 /ps (ρ)
r
1 f
(см. следствие 1).
В области Ω(f1 )[s] с функцией f1 (x) = xa , 0 6 a < ps /p1 , x > 0, для
решения задачи (1), (2) оценка (12) принимает вид
1−ap1 /ps
e1 .
f1 exp −e
, r>R
kukp1 ,Ωr+1
6
M
κ
r
1
(f1 )
r
В области Ω(f2 )[s] с функцией f2 (x) = xps /p1 (ln x)−1 , x > e, для решения
задачи (1), (2) оценка (12) принимает вид
p1 /ps +1
e2 .
f2 exp −e
, r>R
kukp1 ,Ωr+1
6
M
κ
(ln
r)
2
(f2 )
r
Полагаем, что существует постоянная ω > 1 такая, что для функции f (x)
справедливо неравенство
sup{f (z)|z ∈ [x − f (x), x + f (x)]} 6 ωf (x),
x > 1.
(13)
Теорема 2. Пусть положительная функция f (x), x > 0 удовлетворяет
e µ
условию (13). Тогда существуют положительные числа K,
e такие, что
для неотрицательного решения u(x) задачи (1), (2) с p1 = p2 = . . . = pn = p
в области вращения Ω(f ) справедлива оценка
Z r
dx
kukp,Ωr+1
, r > re.
(14)
(f ) > µ exp −K
r
1 f (x)
Таким образом, доказана точность оценки (12). В частности, для неотрицательных решений задачи (1), (2) в областях Ω(f1 ), Ω(f2 ) справедливы
неравенства
1−a
kukp,Ωr+1
, r > re1 ,
(f1 ) > µ1 exp −K1 r
r
2
kukp,Ωr+1
r > re2 .
(f2 ) > µ2 exp −K2 ln r ,
r
◦
1. Вспомогательные сведения. Определим пространство H 1p (Ω) как поP
полнение пространства C0∞ (Ω) по норме kvk ◦1 (Ω) = nα=1 kvxα kpα .
Hp
Определение. Обобщённым решением задачи (1), (2), в которой Φα (x) ∈
◦
Lpα /(pα −1) (Ω), α = 1, n, назовём функцию u(x) ∈H 1p (Ω), удовлетворяющую
интегральному тождеству
n Z
X
α=1 Ω
92
(aα (x, ∇u) − Φα ) vxα dx = 0
(15)
Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях
◦
для любой функции v(x) ∈H 1p (Ω).
Определение обобщённого решения корректно, поскольку входящие в (15)
интегралы конечны. Действительно, используя неравенство Юнга и интегральное неравенство Гёльдера, применяя условия (4), (5), для функций u(x),
◦
v(x) ∈H 1p (Ω) выводим
Z
Z
akuxα kppαα −1 kvxα kpα .
|aα (x, ∇u)||vxα |dx 6 b
a |uxα |pα −1 |vxα |dx 6 b
Ω
Ω
Теорема 3. Пусть выполнены условия (3)–(5), тогда существует единственное обобщенное решение u(x) задачи (1), (2) с функциями Φα (x) ∈
Lpα /(pα −1) (Ω), α = 1, n, и справедлива оценка
n
X
kuxα kpα 6 C1
α=1
n
X
p /(p −1)
kΦα kpαα /(pαα −1) .
α=1
Д о к а з а т е л ь с т в о существования проводится методом галёркинских
приближений аналогично доказательству соответствующего утверждения для
изотропного уравнения в случае ограниченной области Ω (см. [4, гл.4, §9]).
Следствие 1. Если выполнено условие (11), то для ограниченного решения u(x) задачи (1), (2) в области вращения справедлива оценка (12).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия (11) следует неравенство
f p1 (ρ) 6 ρps ,
(16)
ρ > R1 .
Пользуясь (6), (10), (16), получаем
cp1
kukpp1 ,Ωr+1(f ) 6 cp1
1
r
(r + 1)ps
Z
r+1
r
Z r+1
1
p1
ν p1 (ρ)kukpp11 ,γρ dρ 6
kukp1 ,γρ dρ 6
ρps
r
Z r+1
kux1 kpp11 ,γρ dρ = kux1 kp1 r+1 . (17)
6
p1 ,Ωr
r
Из условия (11) для любого ε > 0 имеем
Z r
dρ
dρ ,
r 6 exp ε
p1 /ps (ρ)
1 f
(18)
r > R2 .
e получаем
Соединяя (17), (9), (10), (18), для r > max(R1 , R2 ,1) = R
kukpp1 ,Ωr+1(f )
1
r
Выбирая ε <
ps −p1
6 (2r) c
κcp1 /ps
2ps ,
p1 /ps
M exp −κc
Z
r
dρ
6
f p1 /ps (ρ)
1
Z
p1 /ps
f
)
6 M exp (εps − κc
e=
выводим (12) с κ
κcp1 /ps
2p1 .
r
1
dρ
f p1 /ps (ρ)
.
93
Л. М. К о ж е в н и к о в а, А. А. Х а д ж и
2. Оценка снизу. Пусть {zJ }∞
J=0 — неограниченная возрастающая последовательность положительных чисел, для которой справедливы равенства
z0 = R0 , zJ = sup r| inf f (x) > r − zJ−1 , J = 1, 2, . . . .
[zJ −1 ,r)
Утверждение 1. Если выполнено условие (13), то для последовательности {zN }∞
N =0 верны соотношения
Z zN
dx
N 6 w2
, N = 1, 2, . . . ,
(19)
f (x)
1
zN +1 − zN
w−1 6
(20)
6 w, w = w3 , N = 1, 2, . . . .
zN − zN −1
(см. [1], формулы (0.31), (0.32)).
Получение оценки снизу основано на неравенстве Гарнака [5] для квазилинейных эллиптических уравнений. Следующая лемма является следствием
этого неравенства.
b > 1
Лемма 1. Пусть ρ 6 1/2, ∆ = b − a, тогда существует число H
такое, что неотрицательное решение u(x) уравнения (1) c Φα (x) = 0, α =
b a,b,ρ , где
= 1, n, в Q
b a,b,ρ = Qa,b,∆ ∪ B(2ρ∆, (a, 0′ )) ∪ B(2ρ∆, (b, 0′ )),
Q
′
∆ = b − a,
′
Qa,b,∆ = {(x1 , x ) ∈ Rn | a < x < b, | x |< ∆},
удовлетворяет неравенству
b inf u(x)
u(a, 0′ ) 6 H
Qa,b,ρ∆
(см. [1], лемма 5).
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2. Условие (13) для функции f (x) достаточно для выполнения неравенств (19), (20) (см. утверждение 1). Положим
ρ = (2ω)−1 , тогда ввиду неравенств (20) и определения последовательности
{zN }∞
N =0 имеем включения
bz ,z ,ρ ⊂ Ω(f ),
Q
J −1 J
J = 2, 3, . . . .
По лемме 1 для пар (zJ−1 , 0′ ), (zJ , 0′ ), J = 2, 3, . . . справедливы неравенства
b
u(zJ−1 , 0′ ) 6 H
inf
Qz
J −1 ,zJ ,ρ∆J
′
b
u(x) 6 Hu(z
J , 0 ),
∆J = zJ − zJ−1 .
(21)
Применяя неравенство (21) N раз, получаем соотношения
bN
u(z1 , 0′ ) 6 H
94
inf
Qz
N ,zN+1 ,ρ∆N+1
b N u(zN +1 , 0′ ),
u(x) 6 H
N > 1.
(22)
Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях
Применяя (20), находим
ω −N ∆1 6 ∆N +1 6 ω N ∆1 ,
N > 0.
(23)
Выберем произвольное r > z1 и зафиксируем N > 1 такое, что r ∈
e N +1 = min(∆N +1 , ∆N +2 ).
[zN , zN +1 ). Пусть сначала r + 1 < zN +2 . Положим ∆
Пользуясь (22), выводим соотношения
Z
Z
e n−1 ρn−1 >
up (x)∆
up (x)dx > C1
inf
up (x)dx >
N +1
Ωr+1
(f )
r
Qr,r+1,ρ∆
e
> C1
Qr,r+1,ρ∆
e
N+1
inf
Qz
N ,zN+1 ,∆N+1
ρ ∪Qz
N+1 ,zN+2 ,∆N+2 ρ
N+1
e n−1 ρn−1 >
up (x)∆
N +1
b −p(N +1) up (z1 , 0′ )ρn−1 ∆
e n−1 .
> C1 H
N +1
Пусть теперь r + 1 > zN +2 . Применяя неравенства (22), (23), несложно
установить
Z
Z
up (x)dx >
up (x)dx >
(f )
Ωr+1
r
QzN+1 ,zN+2 ,∆N+2 ρ
> C1
inf
Qz
up (x)ρn−1 ∆nN +2 >
N+1 ,zN+2 ,∆N+2 ρ
b −p(N +1) ω −(N +1) up (z1 , 0′ )ρn−1 ∆n−1 .
> C2 H
N +2
Для обоих случаев, пользуясь (23), получаем неравенства
Z
b −(N +1)p ω −(N +1) up (z1 , 0′ ) min{∆N +2 , ∆N +1 }n−1 >
up (x)dx > C3 H
Ωr+1
(f )
r
b p )).
> C4 exp(−N ln(ω n H
Применяя (19), из последнего находим оценку (14). БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Л. М. Кожевникова, “Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях” // Матем. сб., 2008. Т. 199,
№ 8. С. 61–94; англ. пер.: L. M. Kozhevnikova, “Behaviour at infinity of solutions of
pseudodifferential elliptic equations in unbounded domains” // Sb. Math., 2008. Vol. 199,
no. 8. Pp. 1169–1200.
2. Р. Х. Каримов, Л. М. Кожевникова, “Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях” // Уфимск.
матем. журн., 2010. Т. 2, № 2. С. 53–66. [R. Kh. Karimov, L. M. Kozhevnikova, “Behavior
on infinity of decision quasilinear elliptical equations in unbounded domain” // Ufimsk. Mat.
Zh., 2010. Vol. 2, no. 2. Pp. 53–66].
3. Л. М. Кожевникова, А. А. Хаджи, “Оценка решения задачи Дирихле для анизотропного квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка” // Сб. трудов междунар. школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых, 2011. Т. 1.
С. 55–63. [L. M. Kozhevnikova, A. A. Khadzhi, “Estimate of Dirichlet problem solution
for anisotropic quasilinear second-order elliptic equations” // Sb. trudov mezhdunar. shkolykonferentsii dlya studentov, aspirantov i molodykh uchenykh, 2011. Vol. 1. Pp. 55–63].
95
Л. М. К о ж е в н и к о в а, А. А. Х а д ж и
4. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с. [O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Uraltseva, Linear and
quasilinear equations of elliptic type. Moscow: Nauka, 1973. 576 pp.]
5. J. Serrin, “Local behaviour of solutions of quasilinear equations” // Acta Math., 1964.
Vol. 111. Pp. 247–302.
Поступила в редакцию 14/XI/2012;
в окончательном варианте — 17/I/2013.
MSC: 35J62; 35J25, 35J15
SOLUTIONS OF ANISOTROPIC ELLIPTIC EQUATIONS
IN UNBOUNDED DOMAINS
L. M. Kozhevnikova, A. A. Khadzhi
Sterlitamak Branch of Bashkir State University,
47 a, Lenin st., Sterlitamak, 453103, Russia.
E-mails: kosul@mail.ru, anna_5955@mail.ru
In the paper the Dirichlet problem for an anisotropic quasilinear elliptic equations of
the second order is considered. The upper estimates for the generalized solution of this
Dirichlet problem are received, the closeness is proved for the isotropic case.
Key words: Dirichlet problem, anisotropic equation, quasilinear elliptic equation, generalized solution, unbounded domain, decrease of the solution, existence of solution,
uniqueness of the solution, Harnack inequality, domain of rotation.
Original article submitted 14/XI/2012;
revision submitted 17/I/2013.
Larisa M. Kozhevnikova (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Mathematical Analysis. Anna A. Khadzhi, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
163 Кб
Теги
областям, решение, уравнения, неограниченных, эллиптическая, анизотропные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа