close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Риск в бескоалиционной игре при неопределенности.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики. Иевск. 2004. Є2(30)
УДК 519.833
Л.В. Жуковская
molostvisa.as.ru
РИСК В БЕСКОАЛИЦИОННОЙ ИГРЕ
?РИ НЕО?РЕДЕЛЕННОСТИ
Ключевые слова:
1
бескоалиционная игра, неопределенность, функция
выигрыша, гарантированный риск.
Abstrat. There were revealed limitations on elements of mathematial
model the non-ooperative play where risk of eah players equaled to zero.
Введение
Рассматривается бескоалиционная игра
ленности
N {лиц
при неопреде-
= hN, {Xi }i?N , Y {fi (x, y)}i?N i,
(0.1)
где N = {1, ..., N } | мноество порядковых номеров игроков;
кадый i -й игрок (i ? N) независимо от остальных выбираn
ет и использует свою стратегию xi ? Xi ? R
Qi , в результате
образуется ситуация x = (x1 , ..., xN ) ? X = i?N Xi ; независимо от их выбора в игре реализуется какая либо (любая!) неопределенность y ? Y ? Rm ; на мноестве X ╫ Y определена
функция выигрыша i -го игрока fi (x, y ) (i ? N) , значение которой на конкретной паре является выигрышем этого игрока. Цель
участия в игре кадого игрока | выбор такой своей стратегии,
чтобы выигрыш его стал возмоно большим, при этом все игроки ориентируются на возмоность реализации любой неопределенности y ? Y . В [1? было предлоено понятие оптимального
1
Работа поддерана грантом РФФИ (02-01-00612)
79
решения игры , основанное на подходящей модификации принципа Вальда (принципа максиминной полезности). Однако такой
подход ориентирован на реализацию єкатастрофы, вероятность
появления которой, как правило, мала. В настоящей работе предлагается новое понятие гарантированного решения игры , базирующееся уе на подходящей модификации принципа минимаксного соаления [2? .
1.
Формализация гарантированного риска
Используем следующие обозначения: XiY | семейство функций
xi (y ) , определенных на Y со значениями в Xi ; ситуации
(r )
(r )
x = (xN\i , xi ) ; N | вектора столбцы r = (1 , ..., N ) (r = 1, 2) ;
бинарные отношения
(2)
((1) < (2) ) ? ((1)
i < i , i ? N);
??((1) , (2) );
((1) 6< (2) ) Q
XN\i = x?N\i Xi
Далее кадой функции выигрыша
ствие функцию риска i -го игрока
fi (x, y )
поставим в соответ-
i (x, y) = max fi (xN\i , zi , y ) ? fi(x, y) (i ? N),
zi ?Xi
(1.1)
выраающей соаление i -го игрока в том, что при складывающейся в игре паре (x, y) ? X ╫ Y игрок i использовал свою
стратегию xi , а не arg max fi (xN\i , zi , y ) . Естественным предстаzi ?Xi
вляется стремление кадого i -го игрока возмоно уменьшить
свою функцию риска, причем все игроки ориентируются на возмоность реализации любой неопределенности y ? Y , дае той,
которая моет максимально увеличить ( в євекторном смысле)
функции риска всех игроков.
Далее игре поставим в соответствие бескоалиционную игру
N лиц при неопределенности
hN, {Xi }i?N , Y, {i (x, y )}i?N i,
80
(1.2)
где N, Xi и Y те е, что и в (1) , а функции выигрыша i -го
игрока i (x, y) (совпадающие с его функцией риска) имеет вид
(1.1) . Здесь таке следует учитывать, что кадый i -й игрок
стремится за счет выбора xi ? Xi минимизировать свой риск
i (x, y) . Следующее определение леит на стыке понятия равновесия по Нэшу (из теории бескоалиционных игр [3? ) и минимума
по Слейтеру (из теории многокритериальных задач [4? ).
О п р е д е л е н и е 1.1. ?ару (xe , ? ) ? X ╫ RN назовем гарантированным R -решением игры , если существует
такая неопределенность y ? ? Y , для которой ? = (xe , y ? ) и
i(xeN\i , xi , y ? ) > i (xe , y ? ), ?xi ? Xi (i ? N)
(1.3)
(xe , y ? ) 6< (xe , y ), ?y ? Y.
?ри этом xe назовем R -гарантирующим равновесием по Нэшу,
а вектор (xe , y ? ) { R -гарaнтированным риском игры .
З а м е ч а н и е 1.1. Ситуация xe , удовлетворяющая
неравенствам (1.3) , является равновесной по Нэшу для бескоалиционной игры
hN, {Xi }i?N , {i (x, y ? )}i?N i
и, следовательно, єсогласно (1.1) и тому факту, что
maxzi fi(xN\i , zi , y ) от xi не зависит, удовлетворяет привычным
в теории игр условиям
fi (xeN\i , xi , y ? ) 6 fi (xe , y ? ), ?xi ? Xi , (i ? N),
(1.4)
то есть является равновесной по Нэшу ситуацией в игре
hN, {Xi }i?N , {fi (x, y ? )}i?N i,
(1.5)
которою получаем из при фиксированном y = y ? .
З а м е ч а н и е 1.2. Неопределенность y ? , построенная
согласно (1.4), будет максимальной по Слейтеру в многокритериальной задаче
hY, {i (xe , y )}i?N i,
которую получаем из (1.2) при фиксированном x = xe.
81
З а м е ч а н и е 1.3. єИгровой смысл гарантированного R -решения (x? , ? ) : игроки, используя свои стратегии
x?i (i ? N) из R -гарантирующего равновесия по Нэшу, xe єобеспечат себе R -гарантированный риск
? = (1 (xe , y ? ), ..., N (xe , y ? )),
больше которого риски i (xe , y ) одновременно стать не могут (то
есть ? 6< (xe , y )) при реализации любой неопределенности
y?Y .
2.
10 )
Теорема существования
Т е о р е м а 2.1. ?редполоим, что в игре
мноества Xi (i ? N) | выпуклые непустые компакты,
а
Y | непустой компакт;
20 ) функции выигыша fi (xN\i , xi , y ) непрерывны на X╫Y , строго вогнуты по xi при фиксированных (xN\i , y ) ? XN\i ╫ Y .
Тогда гарантированное R -решение игры
есть пара (xe , 0N ) ,
e
где x -равновесная по Нэшу ситуация игры (1.6) (удовлетворяет неравенствам (1.3) ), а 0N есть нуль N -вектор.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим семейство бескоалиционных игр
(y ) = hN, {xi }i?N , {fi (x, y)}i?N i,
(2.1)
породаемых различными неопределенностями y ? Y . Согласно [3. С.90?, для кадого y ? Y существует єсвоя ситуация
равновесия по Нэшу xe (y ) (удовлетворяющая равенствам
e
e
e
max fi(xN
\i (y ), zi , y ) = fi (xN\i (y ), xi (y ), y ),
zi ?Xi
i ? N).
(2.2)
Отметим, что из строгой вогнутости fi(x, y) по xi следует, что
для кадого y ? Y стратегия xei (y ) ? XiY , определяемая (2.2),
будет единственной.
82
Так как функция fi(x, y) непрерывна на произведении компактов X ╫ Y и строго вогнута по xi , то существует лишь одна
реализация xi (xN\i , y ) максимума
max fi (xN\i , zi , y ) = fi(xN\i , xi (xN\i (y ), y ), y ),
zi ?Xi
(2.3)
при кадом (xN\i , y ) ? XN\i ╫ Y . Эта функция xi (xN\i , y ) будет
непрерывной [5. С.54?. Из (2.3) для xj = xej (y ) ? XjY и xej (y ) ,
удовлетворяющих (2.2) , получаем
e
max fi (xeN\i (y ), zi , y ) = fi (xeN\i (y ), xi (xN
\i (y ), y ), y ),
zi ?Xi
(2.4)
при кадом y ? Y . Из равенства левых частей равенств (2.2) и
(2.4) следует равенство правых:
fi (xeN\i (y ), xei (y ), y ) = fi (xeN\i (y ), xi (xeN\i (y ), y ), y ), ?y ? Y.
(2.5)
Наконец, с учетом вида функции риска (1.1) , из (2.3) ? (2.5)
находим, что
i (xe (y ), y ) = 0,
?y ? Y
(i ? N).
(2.6)
З а м е ч а н и е 2.1. Теорема установила следующий
ваный єигровой факт: если игроки нашли для кадой неопределенности y ? Y ситуацию равновесия по Нэшу xe (y ) ? X
игры (2.1) , то использование ими этой ситуации обеспечит всем
игрокам нулевые риски, независимо от неопределенности y ? Y ,
которая только моет реализоваться в игре .
З а м е ч а н и е 2.2. ?рактическое применение теоремы позволяет при построении гарантированного решения (xe , ? )
игры использовать следующий алгоритм:
составить математическую модель задачи в виде упорядоченного
набора ;
построить xe (y ) -ситуацию равновесия по Нэшу этой игры для
83
кадого y ? Y (применяя равенства (2.2) );
тогда пара (xe (y ), 0N ) ? X ╫ RN для кадого y ? Y и является
гарантированным R -решением игры .
Именно при реализации любой неопределенности y ? ? Y
игроки, применяя свои стратегии xei (y ? ) (i ? N) из ситуации
равновесия по Нэшу xe(y ? ) (удовлетворяющую (2.2) ), обеспечивают кадому нулевой риск (єсамый хороший риск, который
только моет появиться в игре ).
Список литературы
1. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: Медународный НИИ проблем управления, 1997.
2. Savage L.Y. The Foundations of Statistis //New York: Wiley, 1954.
3. Воробьев В.В. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука,1984.
4. ?одиновский В.В., Ногин В.Д. ?арето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.
5. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций
в задачах и упранениях М.: Высш. шк., 1986.
84
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
160 Кб
Теги
риски, игре, неопределенность, бескоалиционные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа