close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сведение решения внутренней обратной краевой задачи к интегральному уравнению в случае угловых точек на искомом и на известном контурах.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (460)
УДК 517.544
Е.А. ШИРОКОВА
СВЕДЕНИЕ
РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
К ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ В СЛУЧАЕ УГЛОВЫХ ТОЧЕК НА
ИСКОМОМ И НА ИЗВЕСТНОМ КОНТУРАХ
В [1] решение внутренней обратной краевой задачи для параметра s сводилось к решению
интегрального уравнения Фредгольма для случаев классической постановки [2], [3], когда известные граничные значения w(s) являются функцией с гельдеровой производной, а также для
обобщенной постановки той же задачи | в случае, когда w0 (s) и ее обратная величина являются интегрируемыми по Лебегу. В классической постановке предусматривалось также отличие
w0 (s) от нуля, таким образом, искомый контур получался гладким. В обобщенной постановке
указанные ограничения частично снимались, однако получаемое решение принадлежало более
широкому классу функций и не выявляло поведения решения в окрестности точек, где происходят нарушения классических условий. В первой части данной статьи допускается обращение
в 0 или в 1 функции w0 (s) в отдельных точках и приводится решение задачи сведением к
интегральному уравнению. Во второй части статьи получено ослабление условий на исходные
данные для обобщенной постановки. Кроме того, в отличие от [1], допускается угловая точка
на известном контуре. Приведены ограничения, когда задача может быть сведена к решению
интегрального уравнения.
1. Пусть условия, наложенные на w (s) в [1] в случае классической постановки задачи, нарушаются: в то время как известный контур ;w остается гладким, искомый контур ;z в точке,
соответствующей параметру s0 , образует угол, равный . Согласно [3], [4] это означает, что
w(s) = w(s0 ) + sgn(s ; s0)js ; s0 j [u1 (s) + iv1 (s)]; 1=2; s 2 [0; l];
(1)
где u21 (s0 ) + v12 (s0 ) 6= 0, u01 (s); v10 (s) 2 C [0; l], 2 (0; 1]: Будем предполагать, что контур ;w
обладает единственной точкой с таким свойством. В остальном ограничения на w(s) те же,
что и в [1]: контур ;w простой и замкнутый, w0 (s) 6= 0, s 2 [0; l] n fs0 g. Будем обозначать для
2 C [0; l]
kkH = sup j(t1 ) ; (t2 )j jt1 ; t2j;; kkC = tmax
j(t)j:
2[0;l]
t1 ;t2 2[0;l]
Введем новый параметр для кривой ;w : = sgn(s ; s0 )js ; s0j : Тогда s = s0 + sgn jj1= , и
после введения нового параметра получим
we() w(s()) = w(s0) + [u1 (s0 + sgn jj1= ) + iv1 (s0 + sgn jj1= )];
dwe = u (s + sgn jj1= ) + iv (s + sgn jj1= ) + jj1= [u0 (s + sgn jj1= ) + iv0 (s + sgn jj1= )] 1 :
1 0
1 0
1 0
d 1 0
Следовательно,
dwe ; dwe = Z s(2 ) [u0 (t) + iv0 (t)]dt + [j j1= ; j j1= ][u0 (s( )) + iv0 (s( ))] 1 +
2
1
2
2 1
1
1
d 2 d 1 s(1 ) 1
+ j1 j1= [u01 (s(2 )) + iv10 (s(2 )) ; u01 (s(1 )) ; iv10 (s(1 ))] 1 ;
74
где s() = s0 + sgn jj1= : Если we() ue() + ive(), то
jue0 (2) ; ue0(1)j ku01 kC sgn 2j2 j1= ; sgn 1j1j1= + ku01 kC j2j1= ; j1j1= 1 +
+ lku01 kH sgn 2 j2 j1= ; sgn 1 j1 j1= 1 K1 j2 ; 1 j ;
где
8
>
< 1;
<;
= >
: ;
> 1:
Аналогично,
jve(2) ; ve(1)j K2 j2 ; 1j :
Если контур ;w простой, то т. к. при новой параметризации we0 () 6= 0, легко показать, что
существует константа m > 0 такая, что jwe (1 ) ; we(2 )j j1 ; 2 j;1 m > 0, j1 ; 2 j [(l ;
s0 ) + s0 ]=2: Теперь для функции we() выполняются все условия, наложенные на функцию w(s)
в [1] при постановке классической обратной краевой задачи. Таким образом, решение задачи
сведется к решению интегрального уравнения с ядром farg[we( ) ; we()]g0 , удовлетворяющим
неравенству [1]
(
0 Z l e ( ) ; w
e (1 )
j1 ; 2j ; < 1;
w
d K
arg
we( ) ; we(2 ) j1 ; 2j1;; > 0; = 1:
0
Рассмотрим функцию
dz
1
(w) = ln dw (w ; w(s ))1= ;1 ;
0
аналитическую в Dw . Обозначим
1
1
0
2
0
2
p() = ; 2 ln[u (s()) + v (s())] ; ; 1 ln jwe() ; we (0)j Re (we());
dz
1
q() = arg ; ; 1 arg[we() ; we(0)] Im (we()):
dw w=we() Нетрудно видеть, что p() 2 C [;s0 ; (l ; s0 ) ]. Так как
1 Z (we( ))dwe ( ) ;
(we ()) = i
e ( ) ; w
e ( )
;w w
то, отделяя мнимые части последнего равенства, получим
Z (l;s )
Z (l;s )
0
0
1
1
0
q ( ) =
q( )farg[we( ) ; we ()]g d ;
p( )fln jwe( ) ; we ()jg0 d:
;l0
;l0
(2)
Решение q() этого уравнения согласно [1] удовлетворяет условию q() 2 C [;s0 ; (l ; s0 ) ].
Теперь , если решение интегрального уравнения найдено, может быть восстановлена функция
Z (l;s0 )
1
(w) = 2i p(we()+) ;iq(w) we0 ()d + i0 :
;s0
Следовательно,
dz = (w ; w(s ))1=;1 exp (w); z(w) = Z w (w ; w(s ))1= ;1 exp (w)dw + C:
0
0
dw
w0
Искомый контур получается при отображении ;w с помощью функции z (w). В случае, когда
угловых точек на искомом контуре несколько, следует проводить указанную перепараметризацию контура соответственное число раз | так, чтобы для полученного уравнения контура
w = we() = w(s(1 ( (n;1 ()) )))
75
функция farg[we( ) ; we ()]g0 была гельдеровой, а затем рассматривать аналитическую в Dw
функцию
dz (w ; w(s ))1;1=1 (w ; w(s ))1;1=n :
(w) = ln dw
1
n
При обобщенной постановке задачи в [1] предполагалось, что w(s) = u(s) + iv(s), s 2 [0; l],
будучи продолженной с [0; l] l-периодически, удовлетворяет следующим ограничениям: u(s) и
v(s) абсолютно непрерывны, s 2 [a; a + l], jw0 (s)j 2 L1+[0; l], > 0, jw0 (s)j;1 2 L1 [0; l], w(0) = w(l),
jw(s1 ) ; w(s2 )j js1 ; s2j;1 > 0, 0 < js1 ; s2j < l=2; и для почти всех s1; s2 2 [a; a + l] справедливо
неравенство
Z s
2
0
0
0
j arg w (s1 ) ; arg w (s2)j K jw (s)jds ; 0 < 1:
2.
s1
0
;
Покажем, что приведенное ограничение на jw (s)j 1 можно ослабить, а именно, условие jw0 (s)j;1 2
L1 [0; l] заменить на условие jw0 (s)j;1 2 L [0; l], > 0. Действительно, в [1] указанное ограниче-
ние используется дважды: при применении теоремы Зарецкого и при доказательстве того, что
ln jw0 (s)j 2 L [0; l] 8 > 1. Для применения теоремы Зарецкого ([5], с. 238) следует обеспечить
выполнение условия mesfs 2 [0; l] j 0 (s) = 0g = 0, и ограничение 0 (s);1 = jw0 (s)j;1 2 L [0; l],
> 0, является для этого достаточным. Рассмотрим приведенное в [1] доказательство включения ln jw0 (s)j 2 L [0; l] 8 > 1, заменяя в нем jw0 (s)j на jw0 (s)j , 0 < < 1. При этом
из выпуклости вниз функции
exp y1= по y при y > ( ; 1) следует, что для множества
A = fs 2 [0; l] j ln jw0 (s)j > ( ; 1) g в случае, если mes A > 0, справедливо
s
Z
Z
1
1
0
exp mes A ln jw (s)j ds mes A exp ln jw0 (s)j ds [kw0 kL + kw0;1 kL ] mes;1 A:
A
A
Следовательно,
Z l
1 Z l ln jw0 (s)j ds ln jw 0 (s)jds =
0
0
1 f(l ; mes A)( ; 1) + mes A ln [(kw0 (s)kL + kw0;1kL ) mes;1 A]g < 1:
Таким образом, указанное ослабление ограничения на w0 (s);1 , расширяя класс исходных данных, позволяет решать внутреннюю обратную краевую задачу в обобщенной постановке так же,
как в [1], путем сведения к интегральному уравнению.
Нетрудно заметить, что ограничения на w(s) в (1) в первой части при 1=2 удовлетворяют условиям обобщенной постановки. При решении внутренней обратной краевой задачи, даже
в обобщенной постановке, предполагалось, что известный контур ;w является гладким. Предположим теперь, что известный контур в точке w(s0 ) образует угол , 2 (0; 1) [ (1; 2). Это
означает согласно [3], [4], что w(s) = w(s0 )+ js ; s0j [u1 (s)+ iv1 (s)], > 0, u1 (s), v1 (s) ограничены
в окрестности s0 и
u1 (s0 ; 0) ; v1 (s0 ; 0)u1 (s0 + 0) :
tg = uv1 ((ss0 ++ 0)
(3)
1 0 0)u1 (s0 ; 0) + v1 (s0 + 0)v1 (s0 ; 0)
Теорема. Пусть заданная на отрезке [0; l ] и l -периодически продолженная на [s0 ; s0 + l ]
функция w(s) такова, что w(0) = w(l), jw(s1 ) ; w(s2 )j js1 ; s2 j;1 > 0, 0 < js1 ; s2 j l=2; w(s) =
w(s0 )+ js ; s0 j w1 (s), w1(s0 0) 6= 0; 1; w1 (s) = u1 (s)+ iv1 (s), u1 (s), v1 (s) абсолютно непрерывны
на [s0 ; s0 + l], w10 (s) 2 L1+ [s0 ; s0 + l]; имеет место (3), причем > 1, , jw0 (s)j;1 js ; s0 j (1;1=) 2
s2
R
L [s0 ; s0 + l], > 0 и j arg w0 (s2 ) ; arg w0 (s1 )j K jw0 (s)jds , 2 (0; 1] для почти всех s1 , s2 из
s1
(s0 ; s0 + l). Тогда w(s) | граничные значения некоторой функции, аналитической в области с
границей длины l, и параметр
s является дуговой абсциссой этой границы.
76
Доказательство. Как и раньше, функция w (s) задает простой замкнутый контур ;w , теперь уже кусочно гладкий. Будем обозначать неизвестный контур ;z . Воспользуемся аналитической функцией, переводящей негладкий контур ;w в гладкий контур ; . Функция (w) =
(w ; w(s0 ))1= , w 2 Dw , переводит простой замкнутый контур ;w в простой замкнутый гладкий
контур ; . Обозначим h(s) = (w(s)) = js ; s0 j= [w1 (s)]1= , тогда
h0 (s) = js ; s0j(=;1)[ sgn(s ; s0 )w11= + js ; s0 jw10 (s)w1(1=;1) ]=:
Покажем, что h(s) удовлетворяет всем условиям, накладываемым на контур из предыдущего
пункта. Заметим сначала, что благодаря простоте контура ;w и непрерывности w1 (s) имеем
min jw (s)j c > 0: Следовательно,
s2[s ;s +l] 1
0
0
jw1(s2
)1=
; w1(s1
)1=
Z
w1 (s2 )
1
(1
=
;
1)
j=
w
dw;
w1 (s1 )
где интеграл взят по дуге контура ;w , и, значит,
jw1 (s2)1= ; w1(s1)1= j 1 c(1=;1) jw1 (s2) ; w1 (s1)j:
Таким образом,
n
X
k=1
j Re[w1(sk+1 )1= ] ; Re[w1(sk )1= ]j n
X
k=1
n
jw1 (sk+1 )1= ; w1(sk )1= j M
n
X
k=1
X
k=1
jw1(sk+1 ) ; w1 (sk )j ju1 (sk+1 ) ; u1(sk )j +
n
X
k=1
jv1(sk+1 ) ; v1(sk )j:
Так как js;s0j= липшицева на [s0 ; s0 +l] при = 1, то Re h(s) и Im h(s) абсолютно непрерывны
на [s0 ; s0 + l]. Благодаря отмеченной ограниченности jw1 (s)j;1 на [0; l] имеем h0 2 L1+[s0 ; s0 + l]
при . Далее имеем jh0 j(;1) = jw0;1 j js ; s0 j (1;1=) jw1 j(1;1=) 2 L [s0 ; s0 + l], > 0. Остается
показать, что контур ; будет контуром Ляпунова. Действительно,
j arg h0 j = j(1= ; 1) arg(w ; w(s0 )) + arg w0j (1 ; 1=)j arg(w ; w(s0 ))j + K
Так как h0 (s) = w0 (s)[w(s) ; w(s0 )](1=;1) , имеем
s2
Z
s1
jw0 (s)jds Z
(1;1=) sup jw(s) ; w(s0 )j
s2[0;l]
R
s2
s2
s1
Z
s2
s1
jw0 (s)jds
:
jh0 (s)jds:
Кроме того, j arg(w(s) ; w(s0 ))j K1 jw0 (s)jds согласно ([6], с. 29), что совместно с преs1
дыдущим неравенством доказывает принадлежность нового контура классу Ляпунова. Таким образом, аналитическая функция, отображающая область, ограниченную контуром ; ,
на неизвестную область Dz , может быть найдена по схеме, приведенной в [1]. Обозначим
Rs
Rl
p() = ; ln jh0 (s())j, где (s) = jh0 (s)jds, k = jh0 (s)jds, p() 2 L [0; k ] 8 > 1. Найдем
0
0
из уравнения Фредгольма, аналогичного (2),
Z Z k
k
1
1
0
e
e
q() =
q( )farg[h( ) ; h()]g d ;
p( )fln jhe ( ) ; eh()jg0 d;
0
77
0
решение q() 2 L [0; k ] 8 > 1; здесь he () h(s()). Теперь
z( ) = ei0
где
Z
0
exp F ( )d + C;
Z
1
F ( ) = 2i p(e ) + iq( ) dhe ( ):
; h( ) ; Таким образом, функция z ( ) отобразит контур ; на неизвестный контур ;z . Далее сама аналитическая функция, граничные значения которой | известная функция w(s), s 2 [0; l], |
восстанавливается с использованием интегральной формулы Коши.
Литература
1. Широкова Е.А. О сведении решения обратной краевой задачи к решению уравнения Фредгольма // Изв. вузов. Математика. { 1994. { Є 8. { C. 72{80.
2. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. { Казань: Изд-во
Казанск. ун-та, 1965. { 333 с.
3. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах // Учен. зап. Казанск. ун-та. { 1953. { T. 113. {
Є 10. { C. 9{20.
4. Гахов Ф.Д., Мельник И.М. Особые точки контура в обратной краевой задаче теории аналитических функций // Укр. матем. журн. { 1959. { T. 11. { Є 1. { C. 25{37.
5. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. { М.{Л.: Гостехиздат, 1950. { 399 с.
6. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. { M.: Наука, 1968. { 512 с.
Казанский государственный университет
Поступила
23.02.1999
78
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа