close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Свойства нечувствительности и предельной нечувствительности для динамических систем.

код для вставкиСкачать
УДК 517.9
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 1
О. А. Тараканов
СВОЙСТВА НЕЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛЬНОЙ
НЕЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ∗
Введение. В теории динамических систем и ее приложениях большую роль играют
методы, позволяющие получать приближенные траектории как результат численного
моделирования, а также выяснять, как они связаны с реальными траекториями системы. В последние годы интенсивно разрабатывается теория отслеживания для динамических систем [3], которая дает ответы на многие возникающие при решении указанных задач вопросы. Динамическая система обладает свойством отслеживания, если ее
приближенные решения в том или ином смысле близки к точным решениям. Введенное
М. Бернардесом [1] свойство нечувствительности является одним из вариантов свойств
отслеживания. В настоящей работе вводится определение свойства предельной нечувствительности, являющегося одним из предельных свойств отслеживания, связанных
с поведением приближенной траектории в случае, когда погрешность вычислений стремится к нулю при увеличении времени.
1. Постановка задачи, основные определения и формулировки результатов. Пусть M — замкнутое гладкое многообразие с римановой метрикой ρ. Обозначим
через C0 (M ) множество гомеоморфизмов на M с метрикой ρ0 , индуцируемой метрикой ρ:
ρ0 (ϕ, ψ) = max{max(ρ(ϕ(a), ψ(a)), ρ(ϕ−1 (a), ψ −1 (a))) : a ∈ M }.
Для ϕ ∈ C0 (M ), ε > 0, определим модуль непрерывности:
Δ(ϕ, ε) =
sup
{ρ(ϕ(a), ϕ(b))}.
a,b∈M:ρ(a,b)<ε
Введем следующие обозначения: Per(ϕ) — множество периодических точек ϕ; ω(ϕ, x) —
множество ω-предельных точек траектории точки x в системе ϕ. Обозначим для точки
x ∈ M ее ε-окрестность N (ε, x); аналогично будем обозначать ε-окрестность гомеоморфизма ϕ через N (ε, ϕ).
Пусть X — топологическое пространство. Множество A ⊂ X называется множеством второй категории (по Бэру), если A содержит пересечение счетного числа открытых всюду плотных множеств.
Свойство P элементов x ∈ X называется типичным, если множество {x ∈ X : P (x)}
второй категории по Бэру. В этом случае будем также говорить, что типичное x ∈ X
обладает свойством P .
Фиксируем ϕ ∈ C0 (M ).
Определение 1. Множество N S(ϕ) ⊂ M — множество всех таких точек a ∈ M ,
для каждой из которых выполнено следующее условие: для любого ε > 0 существует
такое δ > 0, что для любой последовательности точек {xk }k≥0 из того, что
ρ(x0 , a) < δ
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-01-00675), РФФИ ГФЕН (грант
02-01-39001) и Министерства образования РФ (грант Е02-1.0-65).
c О. А. Тараканов, 2005
48
и
ρ(ϕ(xk ), xk+1 ) < δ при k ≥ 0
следует, что
ρ(ϕk (a), xk ) < ε при k ≥ 0.
Определение 2. Множество LN S(ϕ) ⊂ M — множество всех таких точек a ∈ M ,
для каждой из которых выполнено следующее условие: для любого ε > 0 существует
такое δ > 0, что для любой последовательности точек {xk }k≥0 из того, что
ρ(x0 , a) < δ,
ρ(ϕ(xk ), xk+1 ) < δ при k ≥ 0,
ρ(ϕ(xk ), xk+1 ) → 0 при k → ∞,
следует, что
ρ(ϕk (a), xk ) < ε при k ≥ 0,
ρ(ϕk (a), xk ) → 0 при k → ∞.
Замечание. Если a ∈ N S(ϕ) (соответственно, a ∈ LN S(ϕ)), будем говорить, что
гомеоморфизм ϕ нечувствителен (соответственно, предельно нечувствителен) в точке a.
Было доказано, что для типичного гомеоморфизма ϕ ∈ C0 (M ) существует множество второй категории D(ϕ) ⊂ N S(ϕ) [1].
Основным результатом данной работы являются две следующие теоремы.
Теорема 1. Если dim M ≥ 2, то для типичного ϕ ∈ C0 (M ) существует множество второй категории D(ϕ) ⊂ N S(ϕ)\LN S(ϕ).
Теорема 2. Если dim M = 1, то для типичного ϕ ∈ C0 (M ) существует множество второй категории D(ϕ) ⊂ N S(ϕ) ∩ LN S(ϕ).
2. Доказательство теоремы 1. Сначала докажем лемму.
Лемма 1. Фиксируем гомеоморфизм ϕ ∈ C0 (M ) и точку x ∈ M . Тогда для любого
ε > 0 найдется гомеоморфизм f ∈ N (ε, ϕ) со следующими свойствами:
x ∈ Per(f ); существует такая точка z ∈ ω(f, x), что z = x.
Доказательство. Рассмотрим множества
Ak = {f ∈ C0 (M ) : f k (x) = x} ⊂ C0 (M ).
Ясно, что Ak открыты; если ϕk (x) = x, то сколь угодно малым шевелением ϕ можно
. Это значит, что
добиться, чтобы новый гомеоморфизм f принадлежал множеству Ak5
множества Ak открыты и всюду плотны, поэтому множество A = k≥0 Ak — второй
категории. Следовательно, по теореме Бэра оно всюду плотно, что и доказывает первое
утверждение леммы.
Пусть x ∈ Per(f ). Из-за компактности M существует точка z ∈ ω(f, x). Если z =
x, то вместо z можно взять точку f (z) ∈ ω(f, x); тогда f (z) = f (x) = x, иначе бы
выполнялось включение x ∈ Per(f ), это доказывает второе утверждение леммы.
Фиксируем плотное множество {zk }k∈Z ⊂ M . Для целого k и положительного n
введем множества An,k ⊂ C0 (M ) следующим образом.
49
Гомеоморфизм ϕ ∈ An,k , если существуют числа q ≥ 1, m ≥ 1 и замкнутые шары
W ⊂ M, V ⊂ M со следующими свойствами:
(a)
zk ∈ Int V ;
(b)
ϕq (V ) ⊂ Int W ;
(c)
ϕm (W ) ⊂ Int W ;
(d)
(e)
множества ϕi (V ), ϕj (W ) дизъюнктны при 0 ≤ i < q ≤ j < q + m;
diam ϕi (V ), diam ϕj (W ) < 1/n при 0 ≤ i < q ≤ j < q + m.
Ясно, что An,k открыты при всех n и k.
Утверждение 1. При любых n, k множество An,k всюду плотно.
Доказательство. Фиксируем числа n, k, гомеоморфизм ϕ ∈ C0 (M ) и число ε > 0.
Надо найти f ∈ N (ε, ϕ), q ≥ 1, m ≥ 1, V ⊂ M, W ⊂ M , удовлетворяющие условиям
(a) – (e).
По лемме 1 можно считать, что zk ∈ Per(ϕ) и существует такая точка x∗ = zk , что
∗
x ∈ ω(ϕ, zk ).
Фиксируем
0 < ε1 < min(ε, ρ(zk , x∗ ), Δ(ϕ−1 , ε)).
Обозначим W0 = Cl N (ε1 , x∗ ). Так как траектория O(zk , ϕ) состоит из счетного числа
точек, можно выбрать ε1 так, чтобы
O+ (zk , ϕ) ∩ ∂W0 = ∅.
Так как траектория O(zk , ϕ) пересекает W0 бесконечное число раз, то существуют
такие числа q ≥ 1 и m ≥ 1, что выполняются следующие условия:
(1) ϕi (zk ) ∈ W0 при 0 ≤ i < q;
(2) ϕq (zk ) ∈ Int W0 ;
(3) ϕj (zk ) ∈ W0 при q < j < q + m, если m > 1;
(4) ϕq+m (zk ) ∈ Int W0 .
Обозначим ξ = ϕq (zk ).
Так как ϕm (ξ) ∈ Int W0 , то существует такое ε2 < ε1 , что для W = Cl N (ε2 , ξ) верно
включение
ϕm (W ) ⊂ Int W0 .
Кроме того, так как zk непериодическая, можно выбрать ε2 таким, чтобы
ϕi (zk ) ∈ ϕj (W ) при 0 ≤ i < q, 0 < j < m;
множества ϕj (W ) дизъюнктны при 0 ≤ j < m.
Кроме того, при необходимости уменьшим ε2 так, чтобы выполнялись неравенства
diam ϕj (W ) < 1/n при 0 ≤ j ≤ m.
50
Возьмем γ > 0 со следующими свойствами:
ε1 + γ < min(ε, ρ(zk , x∗ ), Δ(ϕ−1 , ε));
для W1 = Cl N (ε1 + γ, x∗ ) условия (1) − (4) остаются верными при замене W0 на W1 .
Рассмотрим гомеоморфизм h ∈ C0 (M ) со следующими свойствами:
h|M\W1 = Id;
h(W0 ) ⊂ Int W.
Рассмотрим гомеоморфизм f = hϕ. По выбору ε1 имеем оценку ρ0 (f, ϕ) < ε. Проверим, что для (f, W ) выполняется условие (c). Действительно, так как при 0 ≤ j < m
множества ϕj (W ) не пересекаются с W1 , то f j (W ) = ϕj (W ). Верны соотношения
f m (W ) = h(ϕ(f m−1 (W ))) = h(ϕm (W )) ⊂ h(W0 ) ⊂ Int W.
Аналогично, f i (zk ) ∈ W при 0 ≤ i < q и
f q (zk ) = h(ϕq (zk )) = h(ξ) ∈ Int W.
Заметим, что zk ∈ Per(f ), так как при i ≥ q верно включение
6
f i (zk ) ∈
f j (W ).
0≤j<m
Далее, выберем ε3 < ε2 и определим множество V = Cl N (ε3 , zk ) так, чтобы выполнялись следующие условия:
diam f i (V ) < 1/n при 0 ≤ i < q;
f i (V ) ∩ f j (W ) = ∅ при 0 ≤ i < q; 0 ≤ j < m;
f q (V ) ⊂ Int W.
Ясно, что для выбранных таким образом f, W, V (и для чисел q, m) выполняются все
условия из определения множества An,k . В силу произвольности выбора ε мы получаем
требуемое утверждение.
Замечание. Множества W, V из определения An,k будем также обозначать
Wn,k , Vn,k , когда будет важно, к какому An,k они относятся. Так как они зависят также
от гомеоморфизма ϕ, то будем их также обозначать Wn,k (ϕ), Vn,k (ϕ).
Следствие. Для типичного ϕ ∈ C0 (M ) существует множество второй категории D(ϕ) ⊂ N S(ϕ).
Доказательство. Возьмем
7
ϕ∈
An,k
n,k
и
D(ϕ) =
7 6
Int Vn,k .
n≥0 k∈Z
Возьмем точку a ∈ D(ϕ) и фиксируем ε > 0. Надо найти δ > 0, чтобы выполнялось
свойство из определения 1.
По свойству множества D(ϕ) можем найти такие n, k, что ε > n1 и a ∈ Vn,k . По
непрерывности гомеоморфизма ϕ и по свойству множества An,k существует δ > 0 и
51
такие множества V (i) , W (j) , определенные при 0 ≤ i ≤ q и 0 ≤ j ≤ m, что выполняются
следующие включения:
N (δ, Vn,k ) ⊂ Int V (0) ;
ϕ(N (δ, V (i) )) ⊂ Int V (i+1) при 0 ≤ i < q;
N (δ, V (q) ) ⊂ Int Wn,k ;
N (δ, Wn,k ) ⊂ Int W (0) ;
ϕ(N (δ, W (j) )) ⊂ Int W (j+1) при 0 ≤ j < m;
N (δ, W (m) ) ⊂ Int Wn,k .
Возьмем теперь последовательность {xk }k≥0 , удовлетворяющую свойствам из определения 1. Из свойств этой последовательности и из свойств множеств V (i) и W (j) следует,
что выполняются включения
xk ∈ V (k) при 0 ≤ k < q;
xk ∈ W ((k−q)mod(m)) при q ≤ k.
Так как те же самые включения выполняются для точек f k (a) (напомним, что a ∈
Vn,k ⊂ V (0) ) и 1/n < ε, мы получаем требуемое условие из определения 1.
Замечание. Эта конструкция приведена и последнее следствие доказано (см. [1]),
за единственным исключением: в определении множеств An,k требовалось, чтобы число q было неотрицательным. У нас наложено более сильное условие положительности
числа q (на самом деле, лемма 1 дает нам возможность взять q ≥ 1); это условие нам
понадобится в дальнейшем.
Определим теперь множества Bn,k ⊂ An,k следующим образом. Гомеоморфизм
ϕ ∈ An,k лежит в Bn,k , если существуют замкнутые шары V 1 , V 2 , W 1 , W 2 ⊂ M со
свойствами
(a) V i ⊂ Int Vn,k , W i ⊂ Int Wn,k , i = 1, 2;
(b)
zk ∈ Int V 1 ;
(c)
V 1 ∩ V 2 = ∅, W 1 ∩ W 2 = ∅;
(d) ϕq (V i ) ⊂ Int W i , i = 1, 2;
(e)
ϕm (W i ) ⊂ Int W i , i = 1, 2,
где числа q и m те же, что и в определении множества An,k . Ясно, что множество Bn,k
открыто.
Утверждение 2. Пусть dim M ≥ 2. Тогда множество Bn,k всюду плотно.
Доказательство. Фиксируем гомеоморфизм ϕ ∈ An,k , ε > 0. Возьмем δ <
min{ε/2, Δ(ϕ−1 , ε/2)}. Из утверждения 1 следует, что можно взять такой гомеоморфизм ϕ1 ∈ An,k , что
ρ0 (ϕ, ϕ1 ) < ε/2 и
max(diam Vn,k (ϕ1 ), diam Wn,k (ϕ1 )) < δ
(для этого достаточно взять ϕ1 из множества An ,k для некоторого n >
можно считать, что
max(diam Vn,k (ϕ), diam Wn,k (ϕ)) < δ.
Для краткости обозначим W = Wn,k и V = Vn,k .
52
1
δ ).
Поэтому
Фиксируем точку v ∈ V, v = zk . Как уже было замечено, точки zk и v непериодические. Поэтому можно определить следующие четыре различные точки p1 , p2 , w1 , w2 ,
принадлежащие множеству W :
p1 = ϕq (zk ), p2 = ϕm (p1 );
w1 = ϕq (v), w2 = ϕm (w1 ).
Эти точки действительно различны, так как, например, если бы p1 = w2 , то из этого
бы следовало, что zk = ϕm (v), что противоречит условию (d) определения множества
An,k . Остальные случаи разбираются аналогично. Поэтому можно выбрать такое d < δ,
что множества N (d, pi ), N (d, wi ) при i = 1, 2 лежат в Int W и дизъюнктны.
Так как dim M ≥ 2, то по лемме о C 0 -замыкании [2] существует гомеоморфизм h со
следующими свойствами:
(1) ρ0 (h, Id) < 2δ;
(2) h|M\W = Id;
(3) h(p2 ) = p1 , h(w2 ) = w1 ;
(4) h(p1 ) ∈ Int N (d, p1 ), h(w1 ) ∈ Int N (d, w1 ).
Далее, существует гомеоморфизм h2 со следующими свойствами:
(5) ρ0 (h2 , Id) < d < δ;
(6) h2 (h(N (d, p1 ))) ⊂ Int N (d, p1 ), h2 (h(N (d, w1 ))) ⊂ Int N (d, w1 );
(7) h2 (h(ϕm (N (d, p1 ))) ⊂ Int N (d, p1 ), h2 (h(ϕm (N (d, w1 )))) ⊂ Int N (d, w1 ).
Обозначим W 1 = N (d, p1 ), W 2 = N (d, w1 ). По непрерывности выбранных гомеоморфизмов можно взять такое d1 > 0, что множества P1 = N (d1 , p2 ) и P2 = N (d1 , w2 )
обладают следующими свойствами:
h2 (h(P1 )) ⊂ Int W 1 ; (I)
h2 (h(P2 )) ⊂ Int W 2 .
Также по свойству (6) гомеоморфизмов h и h2 имеем
h2 (h(W 1 )) ⊂ Int W 1 ; (II)
h2 (h(W 2 )) ⊂ Int W 2 .
Возьмем теперь гомеоморфизм f = h2 hϕ. Покажем, что f ∈ Bn,k . Действительно, из
(I), (II) следует, что
f q (zk ) = h2 (h(p1 )) ∈ Int W 1 ;
f q (v) = h2 (h(w1 )) ∈ Int W 2 ;
f m (W i ) = h2 (h(ϕm (W i ))) ⊂ Int V1 .
По непрерывности f существуют такие замкнутые окрестности V 1 , V 2 точек zk , v, что
f q (V 1 ) ⊂ Int W 1 ;
f q (V 2 ) ⊂ Int W 2 ,
что и доказывает утверждение.
53
Следствие. Для типичного ϕ ∈ C0 (M ) существует такое множество второй
категории D(ϕ), что D(ϕ) ∩ LN S(ϕ) = ∅.
Доказательство. Возьмем
7
ϕ∈
Bn,k
n,k
и
D(ϕ) =
7 6
n≥0 k∈Z
1
Vn,k
.
1
Возьмем a ∈ D(ϕ). Тогда для любого n > 0 существует такое k = k(n), что a ∈ Vn,k
.
2
Возьмем точку b = b(n) ∈ Vn,k . Из нашего построения следует, что траектории точки
b(n) (рассматриваемые как псевдотраектории) удовлетворяют свойству LN S(ϕ) с δ =
ρ(a, b(n)) < 1/n, но не стремятся к траектории точки a, что и доказывает следствие.
Теорема 1 является прямым следствием утверждений 1 и 2.
3. Доказательство теоремы 2. Теорема 2 следует из утверждения 1 и следующего
утверждения.
Утверждение 3. Пусть dim M = 1. Для типичного ϕ ∈ An,k и точки a ∈ Vn,k
существует такое δ > 0, что выполняется условие определения 2 с константами
ε = 1/n, δ.
Доказательство. Известно, что при dim M = 1 для типичного ϕ ∈ C0 (M ) выполняется свойство предельного отслеживания ([3], с. 181). Будем считать, что выбранный
гомеоморфизм ϕ ∈ An,k удовлетворяет этому свойству. Выберем для этого ϕ такое
d > 0, для которого условия определения множества An,k выполняются с заменой Vn,k
на N (d, Vn,k ). Рассмотрим множество Vi = ϕi (N (d, Vn,k )). Так как множества Vi при
0 ≤ i < q + m дизъюнктны и гомеоморфны отрезку, то и множества Vq+jm при j ≥ 0
также дизъюнктны и
diam (Vq+jm ) = mes (Vq+jm ) → 0 при j → ∞,
так как
⎛
mes ⎝
6
⎞
Vq+jm ⎠ =
j≥0
mes (Vq+jm ) < 1/n.
j≥0
Поэтому существует такое d > 0, что если для некоторой точки b выполняется условие
ρ(a, b) < d, то
lim ρ(ϕk (a), ϕk (b)) = 0.
k→∞
Возьмем такое δ < d/2, что любая δ-псевдотраектория со стремящейся к нулю погрешностью d/2 отслеживается некоторой траекторией со стремящейся к нулю погрешностью. Тогда для такой δ-псевдотраектории {xi }i≥0 , что ρ(a, x0 ) < δ, существует такая
точка b, что ее траектория d/2-отслеживает {xi }, причем ρ(ϕi (b), xi ) → 0 при i → ∞.
Поэтому имеем две траектории с началом в точках a и b, причем ρ(a, b) < δ + d/2 < d
и, значит, ρ(ϕi (a), ϕi (b)) → 0 при i → ∞. Поэтому ρ(ϕi (a), xi ) → 0 при i → ∞, что и
доказывает утверждение.
Таким образом, доказав теоремы 1 и 2, мы установили, что для типичного гомеоморфизма на многообразии размерности большей или равной двум, типичными являются точки, обладающие свойством нечувствительности, но не обладающие свойством
54
предельной нечувствительности; для типичного гомеоморфизма на одномерном многообразии типичными являются точки, обладающие как свойством нечувствительности,
так и свойством предельной нечувствительности.
Summary
O. A. Tarakanov Non-sensitivity and limit-non-sensitivity properties for dynamical systems.
Limit-non-sensitivity property for homeomorphisms is introduced and its correspondence to the
non-sensitivity property introduced by M. C. Bernardes is considered. It is proved that for a generic
homeomorphism on a manifold of dimension 2 or more, there exists a residual set of points such
that the homeomorphism is non-sensitive but is not limit-non-sensitive at any of these points. It is
also proved that for a generic homeomorphism on a manifold of dimension 1, there exists a residual
set of points such that the homeomorphism is non-sensitive and limit-non-sensitive at any of these
points.
Литература
1. Bernardes M. C. On the Predictability of Discrete Dynamical Systems // Proc. Amer. Math.
Soc., 2002. Vol. 130, N 7. P. 1983–1992.
2. Pilyugin S. Yu. The Space of Dynamical Systems with the C 0 -Topology // Lect. Notes in
Math. Vol. 1571. Springer, 1994.
3. Pilyugin S. Yu. Shadowing in Dynamical Systems // Lect. Notes in Math. Vol. 1706. Springer,
1999.
Статья поступила в редакцию 30 марта 2004 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
13
Размер файла
206 Кб
Теги
система, свойства, нечувствительности, динамическое, предельных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа