close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Свойства унимодальных функций принадлежности в операциях с нечеткими множествами.

код для вставкиСкачать
2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (538)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 519.71
И.В. ГЕРМАШЕВ, В.Е. ДЕРБИШЕР
СВОЙСТВА УНИМОДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
В ОПЕРАЦИЯХ С НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ
Математические задачи с нечеткими условиями все чаще возникают в различных областях
науки и техники. Примеры таких задач даны в [1]{[2]. Важнейшая группа задач этого типа связана с ранжированием или классификацией элементов множества с целью поддержки принятия
решения. При предлагаемом ниже подходе ключевым объектом при решении задач с нечеткими
условиями является нечеткое множество, при этом для сравнения нечетких множеств используются индексы схожести [3]. В основе вычисления индексов лежат функции принадлежности.
Рассмотрим унимодальные функции принадлежности.
S
Пусть X | некоторый универсум. Обозначим через Qb = (x; f (x)) нечеткое множество
x2G
над X , где G = supp Qb | носитель Qb , f (x) | функция принадлежности (f : X ! [0; 1]).
Примем ряд ограничений, накладываемых на класс функций принадлежности при решении
выбранного круга задач:
f (q) = sup f (x);
x2G
f (x) h , q ; x q + ; > 0;
h = f (q ; ) = f (q + ):
(1)
Проблема выбора функции принадлежности является опорным теоретическим условием правильного решения задач. Для конкретизации упростим задачу и рассмотрим более узкий класс,
чем функции (1).
Пусть f : X ! [0; 1], X R, f 2 U (X ),
9a; h; 2 R : f (a) = max
f (x) = 1;
x2X
f (x) h , a ; x a + ;
h = f (a ; ) = f (a + );
тогда функцию f (x) назовем регулярной на множестве X , а класс таких функций обозначим
через <(X ). Здесь через U (X ) обозначается класс строго унимодальных функций ([4], с. 13).
Исследуем регулярные функции вида y = g( (x)), где (x) = b2 (x ; a0 )2 + c, для чего ниже
сформулированы и приведены доказательства ряда утверждений о свойствах функций принадлежности.
Теорема 1. Пусть fi 2 <(X ), i = 1; 2; X компактно, i = max min (fi (x)),
x2X i=1;2
x1 = arg max
min
(
f
(
x
))
,
тогда
f
i
1 (x1 ) = f2 (x1 ).
x2X i=1;2
Лемма 1.
Пусть f 2 <(X ), f (x) = g( (x)), где (x) = b2 (x ; a)2 + c, тогда f (a) = max
f (x).
x2X
77
Поскольку a совпадает с точкой q максимума f (x), то далее будем применять запись (x) =
b (x ; q) + c вместо (x) = b (x ; a) + c.
Лемма 2. Пусть f 2 <(X ), f (x) = g ( (x)), где (x) = b (x ; q ) + c, тогда c | инвариант
относительно q и .
Из равенств 1 = f (q) = g(b (q ; q) + c) = g(c) следует, что c зависит только от выбора
функции g(x) и не зависит от q и . d2
Лемма 3. Пусть f 2 <(X ), f (x) = g ( (x)), где (x) = b (x ; q ) + c, тогда b = 2 , где d
| константа, определяемая видом функции g(x) и являющаяся инвариантом относительно q
и .
Пусть f 2 <(X ), f (x) = g( (x)), где (x) = b (x ; q ) + c ; f 2 <(X ), f (x) = q( (x)), где
(x) = b (x ; q ) + c ; f (q + ) = f (q + ) = h, g(b (2q + ; q2 ) + c ) = g(b (q + ; q ) + c ).
В силу леммы 2 c = c , b = b = d , b = d12 , b = d22 , h = f (q + ) = g(b (q + ;
;
q ) + c ) = g d122 + c = g(d + c ). Поскольку c зависит лишь от выбора g и h = const, то d
также зависит только от выбора g и не зависит от выбора q и . Из лемм 2 и 3 следует, что величины d и c являются инвариантами функции f (x) относительно значений q и .
Лемма 4. Пусть f 2 <(X ), f (x) = g ( (x)), где (x) = b (x ; q ) + c, тогда y = f (x) симметрична относительно прямой x ; q = 0.
Лемма 5. Пусть f 2 <(X ), f (x) = g ( (x)), где (x) = b (x ; q ) + c, : X ! , тогда g ( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2 2
1 1
2
2
1
2
1
1
2
2 2
2 2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
монотонно убывает на .
2
2
Теорема 2. Пусть f1 , f2 2 <(X ), fk (x) = g (k (x)), где k (x) = bk (x ; qk ) + c, k = 1; 2, тогда
q2 jb2 j
y = f1 (x) и y = f2 (x) пересекаются не более чем в двух точках, а именно, в x1 = q1 jjbb11 j;
j;jb2j и
x2 = q1 jjbb11jj++jqb22jjb2j .
Найдем все корни уравнения f1(x) = f2 (x). Для выполнения равенства g(b21 (x ; q1 )2 + c) =
2
g(b2 (x ; q2)2 + c) достаточно, чтобы jb1 j(x ; q1) = jb2 j(x ; q2 ) или jb1j(x ; q1 ) = ;jb2 j(x ; q2 ).
q2 jb2 j
q1 jb1 j+q2 jb2 j
Покажем, что кроме x1 = q1 jjbb11 j;
j;jb2 j и x2 = jb1 j+jb2 j больше решений уравнения f1(x) =
f2 (x) нет. Пусть x0 6= xk , k = 1; 2, 1(x0 ) 6= 2 (x0 ). Если 1 (x0 ) > 2 (x0 ), то в силу леммы 5
g(1 (x0 )) < g(2 (x0)), f1(x0 ) < f2 (x0). Если 1 (x0 ) < 2 (x0 ), то в силу леммы 5 g(1 (x0)) >
g(2 (x0 )), f1 (x0 ) > f2(x0 ). Откуда следует f1 (x0 ) 6= f2 (x0). 2
2
Теорема 3. Пусть f1 , f2 2 <(X ), X компактно, fk (x) = g (k (x)), где k (x) = bk (x ; qk ) + c,
q
j
b
j
+
q
j
b
j
k = 1; 2, x = x2 = 1 jb11j+jb22 j 2 , тогда x = arg max
min (f (x)).
x2X k=1;2 k
По условию регулярности 8x0 < x00 < q1 : f1 (x0 ) < f1(x00 ), 8x0 > x00 > q1 : f1 (x0 ) < f1(x00 ).
Учитывая, что f1 (x) | симметричная функция (лемма 4), получим 8x0 ; x00 2 R jq1 ; x0 j >
jq1 ; x00 j : f1(x0 ) < f1(x00). Для завершения доказательства достаточно показать, что jq1 ; x1j jq1 ; x2j:
jq ; x j = q jjbb jj ;; qjb jjb j ; q jjbb jj ;; jqb jjb j = q jjbb jj ;; qjb jjb j = jb j jbq j ;; qjb j q ;q q jb j ; q jb j ; q jb j + q jb j q
j
b
j
+
q
j
b
j
jb j jb j + jb j = =
q
;
jb j + jb j
jb j + jb j = jq ; x j:
Откуда получаем f (x ) f (x ). Значит, x = arg max
min (f (x)). x2X k ; k
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
=1 2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
2
Из теоремы 3 следует, что значение максимина будет достигаться в точке x = q1 21 ++q22 1 ,
которая не зависит от выбора функции, а лишь от значений q и .
Следующая теорема непосредственно касается прикладных исследований и требует определенных пояснений. Пусть есть множество S из n объектов, обладающих m характеристиками
78
(не обязательно числовыми, это могут быть, напр., словесные описания или интервалы значений), иначе говоря, объекту si 2 S сопоставлен набор характеристик (Qi1 ; Qi2 ; : : : ; Qim ), где
i = 1; n | номер объекта. Далее для этих объектов объявлены критерии отбора по каждой
характеристике, т. е. предоставлен некоторый идеальный объект s0 с набором характеристик
(Q01 ; Q02 ; : : : ; Q0m ).
Требуется по каждой из m характеристик ранжировать объекты из S на соответствие предъявленным требованиям согласно s0 . Для этого j -й характеристике сопоставим параметр xj с некоторой областью значений Xj , где j = 1; m, и для каждого i = 0; n и j = 1; m построим над Xj
нечеткое множество Qb ij . В качестве ранга ij объекта si , показывающего величину соответствия
si идеальному объекту s0 по j -й характеристике, возьмем индекс сравнения соответствующих
нечетких множеств
ij = xmax
min(f0j (xj ); fij (xj )); i = 1; n; j = 1; m;
j 2Xj
где fij (xj ) | функция принадлежности нечеткого множества Qb ij .
На вопрос о том, как влияет выбор регулярной функции принадлежности fij (xj ) на ранг ij ,
отвечает следующая
2
2
Теорема 4. Пусть fij , fij 2 <(Xj ), fij (xj ) = g (ij (xj )), где ij (xj ) = bij (xj ; qij ) + c, fij (xj ) =
2
2
g (ij (xj )), где ij (xj ) = bij (xj ; qij ) + c , i = 0; n, j = 1; m, ij = f0j (xij ), ij = f0j (xij ), где
xij = arg xmax
min(f0j (xj ); fij (xj ));
(2)
j 2Xj
j j nj , тогда j j nj .
1
2
1
2
Произведем линейное преобразование
(
(
; ij ) ! (x 0 ; ij );
(
x
0
ij
ij
L: xij = xij ; если xij q0j ;
0
(xij ; ij ) ! (xij ; ij );
2q0j ; xij ; если xij < q0j :
Очевидно, новые точки будут так же, как и старые, лежать на соответствующих кривых y =
f0j (xj ) и y = f0j (xj ), т. к. по лемме 4 эти кривые симметричны относительно прямой xj ; q0j = 0.
Поэтому получим ij = f0j (xij 0 ) = f0j (xij ), ij = f0j (xij 0 ) = f0j (xij ), причем xij 0 q0j 8i = 1; n.
По условию регулярности f0j монотонно убывает при xj > q0j . Поскольку 1j 2j nj , то x1j 0 x2j 0 xnj 0, но по условию регулярности f0j (xj ) тоже монотонно убывает при
xj > q0j . Значит, 1j 2j nj . Далее необходимо иметь в виду, что в условиях теоремы 4 наряду с равенством (2) верно
также и xij = arg xmax
min(f0j (xj ); fij (xj )), т. е. для любой функции из указанного класса точка
j 2Xj
максимина xij будет одной и той же.
Данные рассуждения имеют отношение к проблеме в целом. Рассмотрим некоторые их приложения к реальной задаче ранжирования технических объектов.
Из теоремы 4 следует, что2 любая регулярная функция принадлежности вида y = g( (x)),
где (x) = b2 (x ; q)2 + c, b2 = d2 , расположит ранжируемые объекты в одном и том же порядке в
ряду возрастания соответствия параметра объекта, предъявляемому ему критерию, т. е. выбор
функции принадлежности влияет на значение только в тех пределах, которые не поменяют
местами объекты в данном ряду, что достаточно для относительной оценки и обоснованного
вывода.
Получается, что окончательный выбор функции принадлежности указанного вида сводится
к обеспечению незавышения и незанижения абсолютных оценок (рангов объектов).
79
Таблица
Є Функция принадлежности Интервал значений при ранжировании
п/п
технических объектов
ln 2 (x;q )2
;
1
e 2
0,818{0,999
ln
3
2
2
1 ; th 22 (x ; q)
0,842{0,999
2
3
0,775{0,998
(x ; q)2 + 2
Для примера в таблице приводятся три различных функции, рассмотренных при выборе
функции принадлежности для решения реальной задачи [5]. Для каждой из этих функций проведен численный эксперимент. В ходе данного эксперимента были получены значения функций
принадлежности, интервалы которых и приведены в таблице. Функции принадлежности других
классов, используемые при исследовании, например, химико-технологических систем, рассмотрены в ([6], с. 27{31).
Литература
1. Батыршин И.З. К анализу предпочтений в системах принятия решений // Тр. Моск. энергетич. ин-та. { 1981. { Вып. 533. { С. 56-62.
2. Derbisher V.E., Germashev I.V., Bodrova G.G. Fuzzy-set-based quantitative estimates of the
eciency of thermo- and photostabilizing additives in polymeric compositions // Polymer Sci.
Ser. A. { 1997. { V. 39. { Є 6. { P. 630{633.
3. Нечеткие множества и теория возможностей: последние достижения / Под ред.
Р.Р. Ягера. { М.: Радио и связь, 1986. { 408 с.
4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. { М.: Наука, 1988. { 552 с.
5. Гермашев И.В., Дербишер В.Е. Выбор функции принадлежности при экспертизе объектов
химии и химической технологии с использованием теории нечетких множеств // Матем.
методы в химии и техн. { Владимир, 1998. { Т. 2. { С. 306{308.
6. Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Марков Е.П. Системный анализ процессов химической технологии. Применение метода нечетких множеств. { М.: Наука, 1986. { 360 с.
Волгоградский государственный
технический университет
Поступили
полный текст 20:01:2003
краткое сообщение 10:05:2006
80
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
26
Размер файла
132 Кб
Теги
принадлежности, нечеткими, множества, функции, свойства, унимодальной, операция
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа