close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Синтез стабилизирующего управления по выходу для нелинейных Системс конусоидальным возмущением.

код для вставкиСкачать
УДК 62-501-55
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 3
И. Е. Зубер
СИНТЕЗ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ
ПО ВЫХОДУ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С КОНУСОИДАЛЬНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ∗
1. Введение. Задача стабилизации нелинейных систем остается актуальной и обычно решается посредством того или иного вида линеаризации исходной системы. Начиная с работы [1], для решения задачи стабилизации нелинейных систем используются
преобразования подобия специального вида, переводящие исходную систему к виду,
позволяющему получить явное решение поставленной задачи. Преобразование I, рассмотренное в [1], обеспечивает матрице объекта преобразованной системы вид матрицы Фробениуса [2] с последним функциональным столбцом, а вектору распределения
управления вид первого единичного орта. Преобразование II, условия его существования и явный вид были рассмотрены в [2, 3]. Это преобразование обеспечивает матрице
объекта преобразованной системы вид матрицы Фробениуса с последней функциональной строкой, а вектору распределения управления вид последнего единичного орта, т.е.
матрица замкнутой преобразованной системы также имеет форму Фробениуса. Решение задачи стабилизации нелинейной и нестационарной системы на базе преобразований I и II приведено в [2, 3] при управлении обратной связью по состоянию и в [4] при
управлении по выходу.
В предлагаемой статье рассматривается нелинейная система с конусоидальным возмущением. В работах 50–80-х годов рассматривались аналогичные структуры, т. е. рассматривалась задача стабилизации линейной системы с конусоидальной нелинейностью
[5–9]. В предлагаемой статье решение задачи стабилизации проводится при управлении
по скалярному выходу, которое интерпретируется как управление обратной связью по
экспоненциально устойчивому наблюдателю.
2. Постановка задачи. Рассматривается система
ẋ = A(x)x + b(x)u + ϕ(σ)g,
v = c∗ x,
(1)
где x ∈ Rn — вектор состояния системы, A(x) — n × n-матрица, b(x) ∈ Rn , g ∈ Rn —
векторы распределения управления и возмущения, v(t) — скалярный выход системы,
ϕ(σ) — скалярная функция возмущения σ(t) = c∗ x(t), c ∈ Rn , удовлетворяющая при
всех σ условиям
σ
ϕ(σ)σ > 0,
0
ϕ(τ )dτ < ∞.
(2)
Матрицы A(x), b(x) предполагаются заданными и равномерно ограниченными вместе
со своими частными производными порядка до 2n−1 включительно, c и g — постоянные
векторы. Матрица управляемости пары A(x), b(x)
W (x) = |b(x), L1 (x)b(x), . . . , Ln−1 (x)b(x)|,
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для поддержки
молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ-2257.2003.1), программы «Университеты России» и РФФИ (грант № 02-01-00544).
c И. Е. Зубер, 2004
24
где Li (x) — матрица i-й производной от x в силу системы ẋ = A(x)x, предполагается
равномерно невырожденной, т.е.
∃γ > 0 :
|det W (x)| > γ,
x ∈ Rn .
(3)
Матрица наблюдаемости пары A(x), c
N (x) = |c, L∗1 (x)c, L∗2 (x)c, . . . , L∗n−1 (x)c|
также предполагается равномерно невырожденной, т. е.
∃ γ1 > 0 :
|det N (x)| > γ1 ,
x ∈ Rn .
(4)
Задача: определить управление
u = u(v),
(5)
обеспечивающее экспоненциальную устойчивость в целом замкнутой системе (1), (5).
3. Основные результаты. Решение поставленной задачи проведем в два этапа. На
первом этапе решается задача стабилизации системы (1)–(3) скалярным управлением
обратной связью по состоянию
(6)
u1 = s∗ (x)x,
на втором этапе строится экспоненциально устойчивый наблюдатель x
для системы
x)
x.
(1)–(4) и управление u(v) формируется как управление u = s∗ (
Введем в рассмотрение преобразование подобия II [3]:
x
= T (x)x,
(7)
e∗ B −1 (x)
d ∗ −1 n
dt (en B (x)) + e∗n B −1 (x)L1 (x) T (x) = ..
,
.
n−1 j
dj
∗ −1
C
(x))Ln−1−j (x)
j (e B
j=1
n−1 dt
n
B(x) = b0 (x), . . . , bn−1 (x)
∗ , bk (x) = fk (x) −
k
k−1
j=1
j
d
Cjk dt
j fk−j (x), b0 (x) = b(x), fk (x) =
j
d
(Lk (x) − dt
k )b(x), k = 1, n − 1, Ck — биномиальные коэффициенты.
Согласно [4] выполнение условия (3) обеспечивает равномерную невырожденность
T (x). Тогда система (1) переходит в систему
x)
g (
x),
x
˙ = A(
x + en u1 + ϕ(σ)
u1 = s ∗ (
x)
x,
g(
x) = T (x)g,
(8)
∗
x) = s∗ (x)T −1 (x),
c (
x) = c∗ T −1 (x),
s ∗ (
x) = T (x)A(x)T −1 (x) + Ṫ (x)T −1 (x),
A(
x) — матрица Фрогде Ṫ (x) — производная по времени от T (x(t)) в силу системы (1), A(
∗
бениуса с последней функциональной строкой α (x) = (α1 (x), . . . , αn (x)).
Введем в рассмотрение функцию
σ
∗ −1
+
ϕ(τ )dτ,
(9)
V (
x) = x
H0 x
0
25
H0 = {hij }ni,j=1 ,
1
hii hjj
hij = −
2
hij = 0
при j = i − 1, i + 1,
при j < i − 1, j > i + 1.
x ∗ , ϕ)∗ и сформируем
Очевидно, H0 > 0 при hii > 0, i = 1, n. Рассмотрим вектор z = (
∗
производную функции (9) в силу системы (8): V̇ (z) = z L(z)z, где
Q(
x) q(
x)
L(z) = ∗
,
x) c∗ g q (
1 x),
q(
x) = H0−1 g + c∗ D(
2
x) = A(
x) + en s ∗ (
D(
x),
−1
∗
x).
x)H + H −1 D(
Q(
x) = D (
0
0
Согласно [2], для каждого α > 0 определяются числа hii (α) > 0 и λ(α) такие, что
вектор
(10)
s = λ(α)H0 en
обеспечивает выполнение условия
Q(
x) < −αH0−1 .
(11)
Выпишем условие отрицательной определенности L(z). Согласно [2] это условие
сводится к неравенству
2
c∗ g − q ∗ (
x)Q−1 (
x)q(
x) det Q(
x) < 0,
которое выполняется при достаточно большом α в силу (11). Таким образом определяется число α, и, следовательно, вектор (10), обеспечивающий асимптотическую
устойчивость в целом системы (8), (10). Равномерная невырожденность матрицы T (x)
и равномерная ограниченность матриц T (x) и T −1 (x) позволяют по устойчивости системы (8) сделать вывод об устойчивости системы (1)–(3).
Таким образом, доказана следующая
Теорема 1. Пусть для системы (1)–(3) выполняется условие
c∗ g < 0.
(12)
Тогда существует и определяется в явном виде вектор обратной связи s(x), обеспечивающий асимптотическую устойчивость в целом системе (1)–(3), замкнутой
управлением (6).
Переходим ко второму этапу, вводя дополнительное условие на функцию возмущения ϕ(σ): предполагаем, что ϕ(σ) удовлетворяет условию Липшица
∃M > 0 :
|ϕ(σ1 ) − ϕ(σ2 )| < M |σ1 − σ2 |.
(13)
Сформируем наблюдатель для системы (8), (13) в форме Калмана—Луенбергера
x)
σ )
g (
x) + d
c(
x)(
x−x
),
x
= A(
x + en u1 + ϕ(
26
(14)
где σ
= c ∗ (
x)
x, d — искомый вектор коэффициентов усиления наблюдателя. Полагая
u1 (
x) = s ∗ (
x)
x, u1 (
x) = s ∗ (
x)
x, выбираем вектор s(
x) в виде
s(
x) = −α(
x) + k,
(15)
x) в (8), k — произвольный постоянный векгде α(
x)∗ — последняя строка матрицы A(
тор.
Сформируем уравнения ошибок наблюдателя z = x
−x
, вычитая из уравнения (14)
уравнение (8):
z˙ = D0 z + (ϕ(
σ ) − ϕ(
σ ))
g (
x) + d
c ∗ (
x)
z,
(16)
D0 — постоянная матрица Фробениуса с последней строкой k ∗ . В силу условия Липшица
условие экспоненциальной устойчивости в целом системы (16) следует из экспоненциальной устойчивости в целом системы [10]:
x)
g(
x)
c ∗ (
x)y + d
c ∗ (
x)y,
ẏ = D0 y + M (
где
M (
x) =
M
−M
(17)
c ∗ (
x)
g (
x) > 0,
x)
g (
x) < 0.
c ∗ (
Для того, чтобы определить вектор d, обеспечивающий экспоненциальную устойчивость в целом системе (17), введем в рассмотрение еще одно преобразование подобия
y = P (
x)y,
полагая
y = (
y1 , . . . , yn )∗ ,
(18)
y = (y1 , . . . , yn )∗ ,
∗
c (
x)y,
y1 = d
y2 = y1 ,
dt
..
.
d
yn = yn−1 ,
dt
(19)
берется в силу
где производная от y берется в силу системы ẏ = D0 y, производная от x
x)
однородной системы x
˙ = A(
x.
Равномерная невырожденность этого преобразования обусловлена согласно [10] равномерной невырожденностью матрицы наблюдаемости (4). Тогда преобразованная (18)
система (17) принимает вид
0 (
y )
y + q(
y )e∗1 ,
y˙ = D
q(
y ) = P (
x)(d + g(
x)),
(20)
0 = P (
x)D0 P −1 (
x) + Ṗ (
x)P −1 (
x) — матрица Фробениуса с последней функциогде D
нальной строкой, Ṗ (
x) — производная по t от P (
x(t)) в силу системы (8).
Введем в рассмотрение квадратичную форму
W (
y ) = y ∗ H1 y,
27
где матрица H1 имеет ту же форму, что и матрица H0 в формуле (9), т. е.
H1 = {h1ij }ni,j=1 ,
1 1 1
h1ij = −
hii hjj
2
h1ij = 0
h1ii > 0,
при j = i − 1, i + 1,
при j < i − 1, j > i + 1.
Тогда, согласно теореме 2 [10], вектор q(
y ), обеспечивающий экспоненциальную устойчивость в целом системе (19), определяется формулой
q(
y ) = λ1 H1−1 e1 ,
y ) < −αW (
y)
где скалярный параметр λ1 определяется в соответствии с условием Ẇ (
для заданного произвольного α > 0 соотношением
x)/Δn−1 (
x)),
λ1 < sup (det Ω(
x̃ ∈ R n
(21)
0∗ (
0∗ (
где Ω(
x) = D
x)H1 + H1 D
x) + αI. Здесь Δn−1 (
x) — главный диагональный минор
матрицы Ω(
x) порядка n − 1, отсчитываемый с нижнего конца главной диагонали, при
этом числа h1ii определены соотношениями, обеспечивающими n − 1 перемену знаков в
последовательности главных диагональных миноров матрицы Ω(
x), отсчитываемых с
нижнего конца главной диагонали.
Таким образом, доказана следующая
Теорема 2. Вектор коэффициентов усиления наблюдателя, обеспечивающий экспоненциальную устойчивость в целом системе уравнений ошибок наблюдателя x
, определяется формулой
x)(λ1 H1−1 e1 − M (
x)
q (
x)).
(22)
d(
x) = P −1 (
Возвращаемся к исходной системе (1)–(4) и формируем управление по выходу как
управление обратной связью по наблюдателю
u(v) = s∗ (
x)
x,
(23)
где вектор s(
x) задан соотношениями (10). Согласно теореме 2 [4], управление (23)
обеспечивает экспоненциальную устойчивость в целом замкнутой системе (1)–(4), (23).
Итак, доказана
Теорема 3. Пусть система (1)–(4) равномерно управляема и равномерно наблюдаема,
а конусоидальное возмущение удовлетворяет условиям Липшица. Тогда существует
и определяется в явном виде управление обратной связью по экспоненциально устойчивому в целом наблюдателю, обеспечивающему замкнутой им системе асимптотическую устойчивость в целом.
4. Заключение. Решение задачи стабилизации системы (1)–(4) управлением по
выходу состоит из решения двух задач: 1) стабилизации управлением обратной связью
по состоянию, 2) синтеза экспоненциально устойчивого в целом наблюдателя. Решение
задачи 1) проводится на базе преобразования подобия II, решение задачи 2) проведено
на базе аналога преобразования подобия I. Нетрудно видеть, что и решение задачи 2)
можно осуществлять, используя преобразование II, а именно, преобразованием (7) при
c(
x), т.е. брать за основу преобразования
замене A(x) на D0∗ и вектора b(x) на вектор не матрицу управляемости, а матрицу наблюдаемости рассматриваемой системы.
28
Summary
I. E. Zuber. The synthesis of stabilizing control by output for nonlinear systems with conusoidal
perturbation.
The smooth nonlinear totally controllable and observable system with cone-shaped perturbation
is considered. The function of perturbation complies with the Lipschiz conditions. The stabilizing
control as scalar feedback by state-vector is constructed. The stabilizing control as scalar feedback by
the constructed exponentially stable observer is constructed. The synthesis of control is performed
by two similarity transformations of a special kind.
Литература
1. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg, London, Paris.
1989.
2. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация нелинейных систем на основе специального преобразования подобия // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Cер. 1. Вып. 2 (№ 8). 2000. С. 8–13.
3. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация динамических систем // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 1. 2001. Вып. 1 (№ 1). С. 15–22.
4. Зубер И. Е. Стабилизация нелинейных систем управлением по выходу // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 3 (№ 17). С. 21–31.
5. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.:
Гостехиздат, 1951.
6. Пятницкий Е. С. Абсолютная устойчивость нелинейных нестационарных систем // Автоматика и телемеханика. 1970. № 1. С. 5–15.
7. Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.:
Изд-во АН СССР, 1963.
8. Пятницкий Е. С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования: Обзор // Автоматика и телемеханика. 1968. № 6. С. 5–36.
9. Zames G., Falb P. L. On the Stability of Systems with Monotone and Odd Monotone Nonlinearities // IEEE Trans. Automat. Control. 1967. V.AC-12. N 2. P. 221–223.
10. Зубер И. Е. Синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя для нелинейных систем
с одним выходом // Автоматика и телемеханика. 1998. № 8. С. 37–46.
Статья поступила в редакцию 3 июня 2004 г.
29
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
180 Кб
Теги
нелинейные, синтез, стабилизирующих, конусоидальным, выход, возмущений, система, управления
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа