close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Системная устойчивость и экономические циклы.

код для вставкиСкачать
Гурнович Т. Г.
канд. экон. наук, доцент
Торопцев Е. Л.
Ставропольский государственный аграрный университет
бег по кругу
системная устойчивость и экономические циклы
Окончание. Начало в № 6/2004
Анализ колебательной
устойчивости и темпов
экономического роста может быть
выполнен по спектру собственных
значений матрицы G. При этом для
количественной оценки уровней
демпфирования колебательных
составляющих движения будем
использовать степень устойчивости
системы, которую определим
модулем вещественной части
самой правой пары сопряженных
комплексных корней
характеристического уравнения на
комплексной плоскости.
Аналогично под степенью
экономического роста будем
понимать значение самого правого
вещественного собственного числа.
Для расчетов собственных значе
ний в распоряжении исследовате
ля имеется программная реализа
ция QR алгоритма, реализован
ная в пакетах прикладных про
грамм и вычислительной среде
MATLAB [1].
Обеспечение желаемых или макси
мально возможных демпферных
свойств системы и темпов расшире
62
ния экономики может быть достигну
то численным поиском элементов
вектора конечного спроса или, что
то же самое, величин q i из форму
лы (3), то есть нормированием по
требления. Разумеется, это не един
ственно возможный сигнал управле
ния. Так, система таблиц аналитиче
ских показателей МОБ, разрабаты
ваемая Госкомстатом России, со
держит в матрице коэффициентов
прямых затрат А строку и, соответст
венно, столбец с названием «Услуги
финансовых посредников». Их эле
менты также могут выступать в каче
стве варьируемых параметров при
численной оптимизации динамиче
ских свойств экономической систе
мы. Сама оптимизация выполняется
в соответствии со схемой алгорит
ма, представленного на рис. 1.
Первоначально на основе статисти
ческих данных составляется дина
мическая модель МОБ. В первом
блоке функциональной схемы ис
ходная система приводится к нор
мальной форме Коши. Далее вычис
ляются собственные числа матрицы
состояния замкнутой модели с по
мощью QR – алгоритма. По ним фор
мируется вспомогательная функция
российское предпринимательство
Матрицы
балансовой
модели
y j0
Получение
и коррекция
матрицы
состояния
QR алгоритм
расчета
собственных
значений
Формирование
минимизируемой
функции F
модели
Шаг по
варьируемым
параметрам для
минимизации F
модели
Рис. 1. Функциональная схема численного поиска
F, ориентирующаяся на совокуп
ность доминирующих корней, сме
щение которых на комплексной пло
скости в результате введения управ
ления представляется желательным.
На следующем этапе в соответст
вии с выбранным алгоритмом чис
ленного поиска определяется
стратегия изменения варьируемых
параметров в направлении умень
шения функционала. Для новых зна
чений параметров корректируется
матрица системы, вновь вычисляют
ся характеристические корни и т.д.
Для успешной реализации алгорит
ма численного поиска большое зна
чение имеет минимизируемая вспо
могательная функция F, которая
должна обладать необходимыми
математическими свойствами не
прерывности и дифференцируемос
ти и ориентироваться на совокуп
ность корней характеристического
уравнения матрицы G модели (6), оп
ределяющих динамические свойст
ва системы. Эта функция может быть
построена следующим образом:
(a 0 - a i )n +
F=
a i £a 0
w „0
(l0 - l j )n ,
+
l j £lo
w =0
где li = a i
числа G;
– jw i – собственные
a 0 – параметр, характеризующий
желаемое демпфирование коле
бательных составляющих; a i – ве
щественные части комплексных
корней, взятые с обратным знаком;
l0 – требуемая величина степени
экономического роста; li – зна
чения вещественных корней;
– параметр ( =2,3,4,…).
Введение управления преследует
цель обеспечить смещение на ком
плексной плоскости комплексных
корней до уровня a 0 , веществен
ных – до l0 , а также обеспечить
F =0 .
Таким образом, экономическая си
стема должна быть апериодически
неустойчивой.
Весьма актуальным является обес
печение колебательной устойчиво
сти и приемлемой динамики пере
ходных процессов для моделей,
учитывающих временные зависи
мости элементов матриц А и В из
(1), т.е. для
A(t ), B(t ) , так как,
(7) строго говоря, элементы a ij , bij
можно только условно считать по
63
исследование рынка
стоянными. Если определить урав С вычислительной точки зрения с
нение (1), записанное для момента
(k )
(k )
ростом a 0 и l0 вклад слагае
t
времени k , как модель k – го «ре
жима» экономической системы и мых F (k ) в сумму (8) возрастает.
рассмотреть моменты времени Таким образом, эти показатели яв
t1 , t 2 ,..., t k ,..., t n , соответствующие ляются своеобразными весовыми
изменяющимся технологическим коэффициентами функции качест
условиям функционирования эко ва. При этом, как это уже отмечено
номики, то нетрудно сформулиро выше, каждый «режим» характери
вать задачу обеспечения колеба зуется своей матрицей состояния,
тельной устойчивости для совокуп по которой вычисляются собствен
ности «режимов». Это же меропри ные числа и формируются F (k ) .
ятие позволяет обеспечить получе Существенно, что объем вычисле
ние так называемых робастных ре ний растет лишь линейно с увели
зультатов, учитывающих статистиче чением числа «режимов», что поз
скую ошибку в исходных данных. воляет вести оптимизацию даже
Здесь выбирается единый вектор при большой размерности задачи.
конечного спроса, а обобщенная Расчеты по оптимизации спроса с
функция качества переходных про использованием, например, мето
цессов F формируется как сумма да покоординатного спуска пока
критериев вида (7):
зали, что это сопряжено с необхо
1
F = F ()
+ F (2 )+ ... + F (n ) =
n
димостью вычисления собственных
F (k ), (8)
чисел и значений функции F не
k =1
где п – число «режимов».
Для функционала (8) возможно, а во
многих случаях целесообразно, за
давать показатели качества пере
сколько десятков или даже сотен
раз. Причем с увеличением числа
оптимизируемых параметров y i
требуемое количество вычислений
собственных значений резко воз
(k )
(k )
ходных процессов a 0 и l0 раз растает. Известная теоретическая
личными. Так, для режимов, близких
к предельным по устойчивости или оценка трудоемкости QR алго
нагрузочной способности экономи ритма для вычисления характерис
ки, они могут выбираться меньшими, тических корней говорит о том, что
она приблизительно пропорцио
чем для «рабочих» режимов.
нальна кубу размерности вектора
На варьируемые параметры y i по переменных состояния. В связи с
инженерноэкономическим и иным этим выбор эффективного метода
соображениям могут быть наложе оптимизации является важным ус
ны ограничения. Они учитываются ловием при работе с высокораз
следующей заменой переменных: мерными балансовыми моделями.
Проанализируем возможные пути
a +b b -a
yi =
+
sin k i
(9) снижения объема вычислений.
2
2
Для минимизации F может быть
с последующей безусловной мини
использован обычный градиентный
мизацией по коэффициентам k i .
метод, который с учетом замены
64
российское предпринимательство
переменных (9) принимает вид:
k
( i +1)
где
=k
(i )
- h grad F (k
(i )
),
отмечалось, измеряется десятками
и даже сотнями.
Трудоемкость вычислений можно
значительно сократить, если ис
(10) пользовать в (11) для приближенно
F функция вида (8); i номер шага; k
вектор варьи
= (k1 , k 2 ,..., k s )
T
*
го вычисления a i = a i + Da i ли
нейную модель, связывающую из
менения значений вектора Da в
руемых параметров; h величина зависимости от вариации вектора
шага вдоль направления вектора приращения варьируемых параме
градиента.
тров DY :
Компоненты вектора градиента вы
числяются непосредственным диф D DY = Da ,
(13)
ференцированием (7) и (9): (11)
где
где D матрица чувствительнос
тей, элементами которой являются
коэффициенты чувствительности
a i = a i* + Da i ,
¶a i ¶ y j вещественных
частей
собственных значений к
a j = a *j + Da j ; ¶a i ¶ y j
элементы матрицы чувствительно варьируемым параметрам
сти, определяемые по известной
DY = (D y1 , D y 2 ,..., D y s ) T ;
формуле [2]:
¶a i
¶l
= Re i = Re
¶yj
¶yj
ViT
¶G
Ui
¶yj
ViT U i
Da = a - a * .
.
(12)
Для вещественных корней a j = l j
во второй сумме выражения (7).
Здесь
yj ;
U i , Vi собственные векто
Базируясь на линейном прогнозе
изменения вещественных частей
корней характеристического урав
нения (13), можно, как правило, с
приемлемой погрешностью выпол
нить несколько шагов по формуле
h так, что
ры матриц G и G . При этом
бы изменение компонент q i и, сле
представляет собой вещест
y
венные части собственных значе довательно, i было не слишком
T
a i*
ний в начальной точке, взятые с об
ратным знаком.
Стандартная реализация формулы
(10) предполагает вычисление всех
собственных значений на каждом
шаге процесса оптимизации. Чис
ло таких шагов при большом числе
варьируемых параметров, как уже
(10) с заданным шагом
велико и оставалось в рамках мо
дели линейного приближения (13).
Таким образом, значительное чис
ло шагов градиентного метода вы
полняется с вычислением Da по
формуле (13) без определения
всех собственных значений матри
цы системы, что значительно со
65
исследование рынка
кращает объем вычислений. Когда
линейная модель перестает удов
летворять по точности, собствен
ные значения и векторы вычисляют
ся вновь, а затем по ним матрица
чувствительностей D для после
дующего использования системы
уравнений (13) на нескольких ша
гах процесса минимизации.
Переход к получению единой наст
ройки для совокупности режимов
работы экономической системы не
вызывает затруднений, так как ком
поненты вектора градиента в этом
случае легко вычисляются по фор
муле:
¶F
=
¶k j
k
¶ F (k )
,
¶k j
F (k ) вспомогательная функ
ция для k го режима.
где
Здесь для каждого режима вычис
ляется своя матрица чувствительно
D , используемая в (13).
При выборе значения шага h в (10)
стей
следует руководствоваться следу
ющими соображениями. Пусть
DY max наперед заданное макси
мально допустимое по условию
справедливости линейного прогно
за (13) приращение компонент ва
Y для вы
полнения нескольких шагов N по
рьируемых параметров
формуле (10) без пересчета матри
цы чувствительностей D . В соот
ветствии с соотношением (9) ему
max
. Тогда
отвечает некоторое DQ
при известном максимальном зна
чении компонент вектора градиен
та
max
щее к превышению DY
за N
шагов, определяется выражением
h = DY max R max .
Выводы
1. Показана возможность управ
ления экономической динамикой
сложных систем, представленных
динамической моделью межот
раслевого баланса за счет опти
мизации и нормирования конеч
ного потребления и других пара
метров системы для совокупности
режимов их функционирования.
Разработан алгоритм оптимиза
ции.
2. Предложен критерий качества
переходных процессов для работы
в составе алгоритма численного
поиска, позволяющий обеспечить
заданные или предельно достижи
мые динамические свойства эко
номической системы.
3. Высокая вычислительная эффек
тивность оптимизации обеспечи
вается модификацией градиентно
го метода, значительно снижаю
щей трудоемкость вычислений по
сравнению с традиционными ме
тодами (покоординатный спуск,
стандартный градиентный метод и
др.).
Литература
1. Garbow B.S., Boyle J.M., Dongarra J.J.,
Moler C.B. Matrix Eigensystem Routines //
EISPACK Guide Extensions. Lecture Notes
in Computer Sciense. V. 51. Berlin, Springer
– Verlag, 1977.
2. Уилкинсон Дж. Алгебраическая про)
блема собственных значений. – М.: На)
ука, 1970.
R max значение h , не приводя
66
российское предпринимательство
рп
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
64 Кб
Теги
экономическая, системная, цикл, устойчивость
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа