close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Смешанная вариационная формулировка задачи о пластине свободно опертой по криволинейному контуру.

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (502)
УДК 517.940
С.П. ПАВЛОВ, В.А. КРЫСЬКО
СМЕШАННАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
О ПЛАСТИНЕ, СВОБОДНО ОПЕРТОЙ ПО КРИВОЛИНЕЙНОМУ
КОНТУРУ
В [1] доказана сходимость итерационного метода решения нелинейной системы уравнений
Кармана, на каждом шаге которого решаются лишь линейные уравнения. Естественное стремление | свести решение этих задач к решению задач второго порядка с использованием смешанной вариационной формулировки, которая позволяет это сделать естественным образом.
В ([2], с. 372) подобный подход использован для пластины, защемленной по всему контуру. В
случае свободного опирания пластины на полигональный контур соответствующая итерационная процедура состоит всего из двух шагов, на каждом из которых решается задача второго
порядка. Эта процедура известна как метод мембранной аналогии [3].
Однако при попытке применить метод конечных элементов для расчета свободно опертых
пластин с криволинейным контуром возникает так называемый парадокс О.М. Сапонджяна ([4],
с. 226): невозможность получить решение для пластинки с криволинейным контуром как предел
решений для пластинок с полигональными контурами, аппроксимирующими криволинейный
контур.
В данной работе предлагается новая итерационная процедура, основанная на смешанной
вариационной формулировке для свободной опертой пластины, когда ее контур считается в
общем случае криволинейным. Это обстоятельство порождает существенное отличие метода
мембранной аналогии от итерационной процедуры, рассматриваемой ниже.
1. Постановка задачи. Определение пространств. Рассмотрим пластину, занимающую
в плане ограниченную выпуклую область 2 R2 , свободно опертую по кусочно-гладкой границе ;. Напряженно-деформированное состояние пластины описывается уравнением
2 w = q; q = Q=D;
(1.1)
wj; = 0; w ; (1 ; ) @w
@n ; = 0;
(1.2)
с граничными условиями
где w | прогиб пластинки, Q | интенсивность поперечной нагрузки, D = Eh3 =12(1 ; 2 ) |
цилиндрическая жесткость, { коэффициент Пуассона, E | модуль упругости, h | толщина
пластины и | кривизна границы ;.
Определим множество
E = fv 2 1(
) vj; = 0g;
(1.3)
где 1 (
) | множество функций, бесконечно дифференцируемых на 2 R2 . Замыкание множества (1.3) в норме H 2 (
) является подпространством в H 2 (
). Обозначим его через V (
).
Очевидно, V (
) = H 2 (
) \ H01 (
).
57
Известно [5], что решение задачи (1.1), (1.2) эквивалентно минимизации на V (
) функционала
2
Z
Z
Z
@v 1
1
;
2
J (v) = 2 jvj d
; dv d
; 2
ds:
(1.4)
; @n
2. Смешанная вариационная формулировка задачи.
Будем считать, что вместо функ-
ционала (1.4) минимизируется функционал
Z
Z
Z
1
;
1
2
jj2 ds
(2.1)
(v; ; ) = 2 j j d
; qv d
; 2
;
на таких тройках
(v; ; ) 2 V (
) L2 (
) L2 (;), элементы которых связаны равенствами
@v
;v = , @n ; = .
Определим пространство функций
P (
) = f(v; ; ) 2 H01(
) L2(
) L2(;) j 8 2 H 1(
); [(v; ; ); ] = 0g;
(2.2)
где билинейная форма [; ] задается выражением
[(v; ; ); ] =
Z
rvr d
;
Z
Z
d
; ds:
;
Теорема 1. Пусть область выпукла и имеет непрерывную по Липшицу границу ;, тогда
1) отображение (v; ; ) 2 P (
) ! j j20;
1 является нормой на пространстве P (
), эквивалентной естественной норме произведения (v; ; ) 2 P (
) ! (jvj21;
+ j j20;
+ jj20;; )1=2 и
превращающей P (
) в гильбертово пространство ;
2) если (v; ; ) 2 P (
), то
@v = ;
(v; ; ) 2 V (
) L2 (
) L2 (;); ;v = ; @n
(2.3)
;
если выполнено (2:3), то (v; ; ) 2 P (
).
Доказательство начнем со второго утверждения. Так как имеет непрерывную границу,
то справедлива формула Грина
@v ds 8v 2 H 2(
); 8 2 H 1(
):
(2.4)
rvr d
= ; v d
+ @n
;
Пусть (v; ; ) 2 P (
). Тогда v 2 H01 (
), 2 L2 (
), 2 L2 (;) и [(v; ; ); ] = 0 8 2 H 1 (
).
Из последнего условия, в частности, для любого 2 H01 (
) имеем
Z
Z
rvr d
= d
:
(2.5)
Из (2.5) следует, что v появляется как решение задачи Дирихле для оператора ; при vj; = 0.
Так как область выпукла, то v 2 H 2 (
) ([2], с. 373), а следовательно, v 2 H 2 (
) \ H01 (
).
Используя (2.4) для 2 H01 (
), получим ;v = . А используя ту же формулу Грина для
@v = .
2 H 1(
), найдем @n
;
Пусть верно (2.3). Покажем, что (v; ; ) 2 P (
). Так как v 2 V (
) H 2 (
) и ;v = ,
@v @n ; = , то непосредственно из (2.4) получаем
Z
Z
Z
rvr d
= d
+ ds 8 2 H 1 (
);
;
1
т. е. [(v; ; ); ] = 0 8 2 H (
). Кроме того, v 2 V (
) H01 (
).
Z
1 Здесь
Z
и далее v m;
=
j j
P R
jkj=m j
Z
1=2
@ k v j2 d
,а
v m;
k k
58
=
P R
jkjm j
1=2
@ k v j2 d
.
Докажем первое утверждение. Гильбертово пространство P (
) снабжено нормой произведения. Если (v; ; ) 2 P (
), то, как было показано выше, v 2 H 2 (
) \ H01 (
). Из условия
[(v; ; ); ] = 0 при = v следует
jvj21;
C1j j0;
jvj0;
:
(2.6)
Введем подпространство M H 1 (
) такое, что можно записать прямую сумму H 1 (
) =
H01(
) M . Кроме того, введем оператор B : H 1(
) ! L2(;), определяемый следующим образом:
= B 2 L2(;) для 2 L2(
) является единственным решением уравнения
Z
;
ds =
Z
rvr d
;
Z
d
8 2 M
(2.7)
при условии, что v 2 H01 (
) удовлетворяет уравнению
Z
rvr d
=
Z
d
8 2 H01 (
):
@v в силу условий теоремы, т. е. B является оператором
Легко проверить, что B = ;B v = @n
;
внешней нормальной производной для v 2 H 2 (
) \ H01 (
).
Этот оператор ограничен,
т. к. v 2 H 2 (
) \ H01 (
). Обозначим его норму через kB k. Тогда
kB k = 2 sup 1 jvj00
; , где k k0;; | норма, ассоциируемая со скалярным произведением
@v
@n
v2H (
)\H0 (
)
;
;
(; )L2 (;) =
Z
;
ds:
Таким образом, kk0;; kB k j j0;
для 2 L2 (
). Отсюда с учетом (2.6) получаем
(kvk1;
+ k k0;
+ kk0;; ) C2 k k0;
: Этот результат позволяет перейти от минимизации функционала (1.4) на пространстве V (
)
к минимизации функционала (2.1) на пространстве P (
).
Теорема 2. Пусть w 2 V (
) | решение задачи (1:4), тогда
w; ;w; @w
@n ! (v; ;inf)2P (
) (v; ; ):
;
(2.8)
При этом тройка w; ;w; @w
@n 2 P (
) является единственным решением задачи минимизации (2:8).
Доказательство. Докажем, что симметричная билинейная форма
a[(v; ; ); (u; '; )] =
Z
Z
' d
; (1 ; ) d ds; (v; ; ); (u; '; ) 2 P (
)
;
непрерывна и эллиптична на P (
).
Согласно теореме 1, если (v; ; ); (u; '; ) 2 P (
), то ;v = ,
@u = . Тогда имеем
@n ;
a[(v; ; ); (u; '; )] =
Z
vu d
; (1 ; )
При u = v, ' = и = из (2.9) получаем ([2], с. 38)
a[(v; ; ); (v; ; )] =
Z
@v @n ;
= и ;u = ',
@v @u ds:
; @n @n
Z 2 2
(2.9)
@ v + 2 @ 2 v @ 2 v + @ 2 v 2 + 2(1 ; ) @ 2 v d
j j2 :
0;
@x2
@x2 @y2 @y2
@x@y
Этим P -эллиптичность доказана. Непрерывность билинейной формы очевидна.
59
Из теоремы 2 следует, что задача минимизации
(v ; ; ) = (u;';inf
(u; '; )
)2P (
)
(2.10)
имеет решение и притом единственное. Установим связь между решениями задач (2.10) и (1.1),
(1.2). Если (v ; ; ) 2 P (
) | решение задачи (2.10), то должны выполняться следующие
условия:
Z
' d
;
Z
Z
uq d
; (1 ; ) ds = 0 8(u; '; ) 2 P (
):
(2.11)
;
Так как (v ; ; ) 2 P (
), то ;v = , @v@n ; = и v 2 V (
). С учетом этого из (2.11)
получаем
Z
Z
Z
@u
v u d
; (1 ; ) @v
ds
=
uq ds:
@n @n
;
;
Таким образом, совпадает с решением w задачи (1.1), (1.2) и = ;w, = @w
@n ; .
;1 (
) решение
Замечание. Так как область выпукла и ее граница регулярна, то при q 2 H
3
1
1
w задачи (1.1), (1.2) принадлежит H (
) \ H0 (
), и w 2 H (
).
3. Решение задачи (2:10). Покажем, что решение задачи может быть сведено к решению
последовательности задач Дирихле для оператора ;.
Для дальнейшего изложения удобно ввести линейное отображение A : L2 (
) ! H01 (
) следующим образом: если задана функция 2 L2 (
), то функция v = A 2 H01 (
) | единственное
решение уравнения
Z
Z
1
v 2 H0 (
) rvr d
= d
8 2 H01 (
):
С учетом этого пространство P (
), определенное в (2.2), может быть записано в виде
P (
) = f(v; ; ) 2 H01(
) L2 (
) L2(;) j v = A ; = B g:
Задача (2.10) теперь эквивалентна следующей задаче оптимального управления:
Z
Z
Z
1
;
1
2
2
j j d
; qv d
; 2 jj ds ;
(3.1)
min
2L2(
) 2 ;
где состояния v и связаны с управлением 2 L2 (
) посредством уравнений состояния
v 2 H01(
); v = A ; 2 L2(;); = B :
(3.2)
Как следует из замечания, хотя оптимальное управление ищется на L2 (
), на самом деле его
регулярность выше при q 2 H ;1 (
), 2 H 1 (
). В этом случае определен след j; = , 2 M .
В дальнейшем будем считать
v
Z
Если v = A
где
Z
r r d
= q d
8 2 H01(
);
;
2 H01(
):
и = B , то из (3.1) следует
min (v; ; ) = min
D();
2M
2L2 (
)
D() = ; 12
Z
j j2 d
; ds ; 1 ;2 jj2 ds 8 2 M:
Z
(3.3)
Z
;
;
Основная идея предлагаемого в данной статье итерационного процесса состоит в применении
градиентного метода к задаче минимизации (3.3).
60
Пусть, как обычно, M 0 | двойственное пространство для пространства M , а h; i | отношение двойственности между пространствами M и M 0 . Обозначим через D0 2 M 0 производную
функционала D(). Введем отображение S : M ! H 1 (
) следующим образом: для 2 M
' = S () | единственная функция из H 1(
), удовлетворяющая соотношению
Z
r' r d
= 0 8 2 H01(
);
(3.4)
' ; 2 H01(
):
Теорема 3. Для любого 2 M функционал D () дифференцируем, и его производная опре-
деляется соотношением
hD0(); i =
Z
где ' = S (), ' = S ( ) и
' ' d
8 2 M;
= + (1 ; ) ; 2 M:
Доказательство.
Дифференцируя (3.3), получим
hD0(); i = ;
Z
' d
;
Z
;
Z
d
; ( + (1 ; ) ) ds;
;
где ' = S (), = B ' . Из (3.6) с учетом (2.7) получаем
hD0(); i = ;
Z
(3.5)
Z
rv r'd
; ( + (1 ; ) ) ds:
;
(3.6)
(3.7)
Первое слагаемое в (3.7) равно нулю в силу (3.4). Введем функцию ' = S ( ), где определяется по (3.5), и обозначим u = A' . Тогда из (3.7) следует
Z
Z
hD0(); i = ' ' d
; r' ru d
:
Однако последнее слагаемое в этом равенстве равно нулю в силу (3.4).
Градиентный метод для задачи (3.3) состоит в определении последовательности fn g1
n=0
функций n 2 M по итерационной схеме
(n+1 ; n ; )M = ;n hD0 (n ); i 8 2 M;
(3.8)
где (; )M | произвольное скалярное произведение в пространстве M , | положительный
параметр, 0 | произвольная функция из M .
Таким образом, одна итерация (3.8) равносильна последовательному решению следующих
задач:
а) для заданной функции n 2 M найти (единственную) функцию n 2 H 1 (
), удовлетворяющую соотношениям
n ; n 2 H 1 (
);
(3.9)
0
Z
Z
r nr d
= q d
8 2 H01(
);
(3.10)
б)
найти функцию vn
2H
1 (
),
0
Z
удовлетворяющую соотношению
Z
rvn r d
=
61
n d
8 2 H01(
);
(3.11)
в) найти функцию n 2 L2 (;), удовлетворяющую соотношению
Z
;
n ds =
Z
rvn r d
;
Z
n d
8 2 M ;
(3.12)
г) найти функцию n+1 2 M , удовлетворяющую соотношению
(n+1 ; n ; )M = ;
Z
' n' d
8 2 M;
(3.13)
где ' n = Sn, n = n ; (1 ; )B n и ' = S. Покажем, что при соответствующем выборе параметра > 0 итерационный процесс (3.9){
(3.13) является сходящимся для любого начального приближения. Сначала определим отображение C : H 1 (
) ! M следующим образом: для всякой функции 2 H 1 (
) функция C 2 M
| единственная функция, удовлетворяющая соотношению
(C ; )M =
Положим
Z
' d
8 2 M:
(3.14)
kC k = sup1 jjCj j ;
2H (
) 0;
где j jM | норма, ассоциируемая со скалярным произведением (; )M . Ясно, что эта норма
существует, т. к. отображение 2 M ! ' 2 H 1 (
) ограничено.
Теорема 4. Если параметр удовлетворяет условию
0 < < kC k2 (1 ; (1 ; )2j j 1 kS k kB k)2 ;
(3.15)
L (
)
то итерационный процесс (3:9){(3:13) является сходящимся в том смысле, что
lim n = в L2 (
);
n!1
lim vn = v в H01 (
);
n!1
lim n = в L2 (;):
n!1
n = 0 в L2 (
) в частном случае, когда
Достаточно показать, что nlim
!1
q = 0. Если использовать определение (3.14) отображения C , то рекуррентное соотношение
(3.13) дает
n+1 = n ; C ' n;
где ' n = Sn, n = n + (1 ; )B n . Отсюда получаем
jn+1j2M = jnj2M ; 2(C ' n; n )M + 2jC ' n j2M :
(3.16)
Оценим
Доказательство.
(C ' n ; n )M
=
Z
' n n d
= ;
Z
;
(n + (1 ; )B n )B n ds =
=
Z
Z
j n j2d
; (1 ; ) jB nj2ds vj n j20;
:
;
Оценим далее
j' nj0;
= jS (n + (1 ; )B n)j0;
j nj0;
+ (1 ; )kS k jjL1 (
) kB k j n j0;
(1 + (1 ; )jjL1 (
)kS k kB k)j n j0;
:
62
С учетом этих неравенств из (3.16) получаем
jn+1 j2M ; jnj2M ;[2 ; kC k2 (1 + (1 ; )jjL1(
)kS k kB k)2 ]j n j20;
:
n2
Отсюда, в частности, следует nlim
!1 j j0;
= 0, если удовлетворяет неравенствам (3.15). Кроме
n
n
1
n
n
2
того, имеем nlim
!1 v = nlim
!1 A = 0 в H0 (
) и nlim
!1 = nlim
!1 B = 0 в L (;).
Сходимость рассматриваемого метода гарантируется, таким образом, для всякого выбора
подпространства M , удовлетворяющего условию H 1 (
) = H01 (
) M и всякого выбора скалярного произведения (; )M на пространстве M . Однако от их выбора зависит как величина , так
и объем вычислений на каждой итерации.
В заключение приведем несколько замечаний относительно практического вычисления
n+1 2 M .
Если скалярное произведение в M определить по формуле
Z
S S d
;
то в качестве n+1 может быть взята любая функция из M , удовлетворяющая условию
n+1 j; = (n ; n)j; :
(3.17)
(; )M =
Равенство (3.17) следует понимать в смысле равенства следов на границе. Действительно,
если выполнено (3.17), то
Z
Z
(n+1 ; n ; )M = ; Sn S d
= ; ' n ' d
;
т. е. выполнены условия теоремы 3.
R
В качестве скалярного произведения могут быть выбраны также (; )M = rr d
или
R
(; )M = d
. Однако в этом случае необходимо вычислить на каждом шаге градиент
hD0(); i, что связано с дополнительными вычислительными затратами.
Литература
1. Крысько В.А., Павлов С.П. Об одном итерационном методе решения уравнений гибких пологих оболочек // Тр. 16-й Межд. конф. по теории оболочек и пластин. { Казань: Изд-во
Казанск. ун-та, 1996, { С. 157{162.
2. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. { М.: Мир, 1980. { 512 с.
3. Babuska I., Rozenzweid M.B. A nite element scheme for domains with corners // Numer. Math.
{ 1972. { Є 20. { P. 1{21.
4. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. { М.: Мир, 1977. { 349 с.
5. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. { М.: Наука, 1970. { 512 с.
Саратовский государственный
технический университет
Поступила
07.03.2002
63
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
177 Кб
Теги
пластины, опертой, формулировки, контур, свободно, вариационных, смешанная, задачи, криволинейного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа