close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Смешанная задача динамики и принципы Гаусса и Манжерона—Делеану.

код для вставкиСкачать
УДК 531.01
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 2
Ш. Х. Солтаханов
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ И
ПРИНЦИПЫ ГАУССА И МАНЖЕРОНА—ДЕЛЕАНУ
Пусть движение свободной механической системы, положение которой задается
обобщенными координатами q σ , σ = 1, s , описывается уравнениями Лагранжа второго
рода [1]:
d ∂T
∂T
M
gαβ q̇ α q̇ β ,
− σ = Qσ ,
T =
σ
dt ∂ q̇
∂q
2
(1)
σ = 1, s , α, β = 0, s , q 0 = t , q̇ 0 = 1 ,
где M — масса всей системы, Qσ — обобщенная сила, соответствующая координате q σ .
Здесь и в дальнейшем предполагается суммирование по дважды встречающимся индексам.
Требуется определить, какие силы Rσ как функции времени следует добавить к
силам Qσ для того, чтобы движение удовлетворяло следующей системе дифференциальных уравнений:
(n−1) (n)
(n−1)
σ
κ
fnκ ≡ aκ
nσ (t, q, q̇, ..., q ) q + an0 (t, q, q̇, ..., q ) = 0 ,
σ = 1, s ,
κ = 1, k ,
(2)
k s.
Предполагается, что уравнения (2) при n 3 не могут быть, вообще говоря, получены посредством дифференцирования по времени уравнений более низкого порядка.
Данная задача является смешанной задачей динамики [1, 2]. С точки зрения неголономной механики уравнения (2) можно рассматривать как неголономные связи высокого порядка.
Воспользуемся понятием касательного пространства. В этом случае система уравнений (1) при наличии идеальных связей (2) запишется в виде одного векторного уравнения [2]:
M W = Y + Λκ bκ ,
κ = 1, k ,
(3)
в котором
Y = Q σ eσ ,
σ
bκ = bκ
σe ,
W = (gστ q̈ τ + Γσ,αβ q̇ α q̇ β )eσ = (q̈ σ + Γσαβ q̇ α q̇ β )eσ ,
1 στ ∂gτ β
∂gτ α
∂gαβ
σ
στ
Γαβ = g Γτ,αβ = g
+
−
,
2
∂q α
∂q β
∂q τ
σ, τ = 1, s ,
α, β = 0, s ,
(4)
κ = 1, k .
Здесь eσ и e — векторы основного и взаимного базисов касательного пространства.
Как было показано в [2], из выражений (3) и (4) следует, что
σ
q̈ σ = F2σ (t, q, q̇, Λ) ,
σ, τ = 1, s ,
c
στ
F2σ = −Γσαβ q̇ α q̇ β + (Qτ + Λκ bκ
τ )g /M ,
α, β = 0, s ,
κ = 1, k .
(5)
Ш. Х. Солтаханов, 2005
121
Дополним уравнения (5) системой дифференциальных уравнений относительно неизвестных управляющих сил, содержащей и производные от неизвестных координат [2]:
(n−2)
(n−3)
κ = 1, k ,
Λκ = Cκn (t, q, q̇, Λ, Λ̇, ..., Λ ) ,
n 3.
(6)
Система дифференциальных уравнений (5) и (6) позволяет решить смешанную задачу динамики.
Построенное решение смешанной задачи динамики существенно зависит как от вида
уравнений (2), так и от того, по какой системе векторов bκ раскладывается искомая
сила R(t).
Рассмотрим случай, когда уравнения (2) имеют следующий вид:
(n)
(n−1)
σ
κ
fnκ ≡ aκ
nσ (t, q, q̇) q + an0 (t, q, q̇, ..., q ) = 0 ,
σ = 1, s ,
κ = 1, k ,
(7)
n 3,
т. е. коэффициенты aκ
nσ , входящие в уравнения (2), являются функциями только переменных t, q σ (t), q̇ σ (t), σ = 1, s.
Используя теперь эти коэффициенты, представим касательное пространство в виде
прямой суммы K и L-пространств [2]. Векторы aκ
n , κ = 1, k, равные
(n) κ
σ
f n = aκ
aκ
n =∇
nσ (t, q, q̇)e ,
κ = 1, k ,
σ = 1, s ,
примем за базис K-пространства, а векторы aλn такие, что
aλn · aκ
n = 0,
λ = 1, l ,
l = s−k,
κ = 1, k ,
примем за базис L-пространства. При этом векторы W и Y, можно будет представить
в виде [1]
W = WL + W K ,
Y = YL + YK ,
WL · W K = 0 ,
YL · YK = 0 .
Покажем, что при уравнениях вида (7) механическая система не принуждается при
заданных значениях переменных t, q σ , q̇ σ , σ = 1, s, иметь ускорение WL , отличное от
ускорения, задаваемого законом Ньютона:
M WL = YL .
(8)
Докажем это при n = 3. Для этого запишем систему уравнений (2), учитывая формулы (4) и, что
ėτ = Γστα q̇ α eσ ,
σ, τ = 1, s ,
α = 0, s ,
также в векторной форме:
κ
κ σ
aκ
aκ
3 · Ẇ = χ3 (t, q, q̇, q̈) ,
3 = a3σ e ,
d σ α β
κ
κ
τ
τ
α β
σ α
(Γ
=
−a
+
a
q̇
q̇
)
+
(q̈
+
Γ
q̇
q̇
)Γ
q̇
χκ
,
3
30
3σ
αβ
τα
dt αβ
σ, τ = 1, s ,
122
α, β = 0, s ,
κ = 1, k .
(9)
Уравнения (7) могут быть представлены в виде
d κ
κ
(a · W) = χκ
3 + ȧ3 · W ,
dt 3
κ = 1, k ,
откуда получаем
aκ
3
·W=
aκ
3
t
· W|t=t0 +
κ
(χκ
3 + ȧ3 · W)dt ,
κ = 1, k .
(10)
t0
Правые части этих выражений не могут быть найдены как функции переменных
t, q σ , q̇ σ , σ = 1, s, так как порядок уравнений (7), вообще говоря, не может быть понижен. Будем их рассматривать как функции времени Ψκ
3 (t). Отметим, что для того,
чтобы их можно было бы найти, должно быть известно движение системы, удовлетворяющее закону Ньютона (3). Этот закон содержит неизвестные управляющие силы
Λκ (t), κ = 1, k, которые следует искать из системы уравнений (5), (6). Таким образом,
функции Ψκ
3 (t), κ = 1, k, являются некоторыми неизвестными функциями. Из уравнений (10), записанных в виде
κ
aκ
3 (t, q, q̇) · W = Ψ3 (t) ,
κ = 1, k ,
следует, что при заданных значениях переменных t, q σ , q̇ σ , σ = 1, s, уравнения (9) будут выполняться при любом векторе WL , и, в частности, при том, который задается
законом Ньютона (8).
При связях n-го порядка из уравнений (7) следует, что (n− 2)-е производные по времени от скалярных произведений aκ
n · W, κ = 1, k, являются известными функциями
(n−1)
переменных t, q σ , q̇ σ , . . . , q σ , σ = 1, s. Следовательно, сами эти произведения можно представить в виде определенных интегралов. Поэтому при любом n механическая
система при фиксированных значениях переменных t, q σ , q̇ σ , σ = 1, s, не принуждается согласно (7) иметь в L-пространстве ускорение, отличное от того, которое задается
уравнением Ньютона (8).
Линейные неголономные связи любого порядка, при наличии которых выполняется
уравнение (8), мы называем идеальными. Как было показано, такими являются связи,
заданные в виде (7). Данному опpеделению идеальности последних может быть дана
геометpическая интеpпpетация. Скаляpные пpоизведения aκ
n · W, κ = 1, k, пpи связях,
заданных уpавнениями (7), выpажаются чеpез опpеделенный интегpал. Они не могут
быть найдены как функции пеpеменных t, q σ , q̇ σ , поэтому их пpиходится рассматривать
как неизвестные функции Ψκ
n (t), κ = 1, k.
Пpи фиксиpованных значениях пеpеменных t, q σ , q̇ σ , σ = 1, s, системой уpавнений
κ
aκ
n · W = Ψn (t) ,
κ = 1, k ,
(11)
в пpостpанстве ускоpений W задается l-меpная плоскость. Ее положение относительно
начала кооpдинат опpеделяется системой независимых искомых функций Ψκ
n (t), κ =
1, k.
Подставляя ускорение W, представленное в виде
W = WL + W K ,
123
в уравнения (10), получаем
WK = hκμ Ψμn (t)aκ
n ,
κ, μ = 1, k ,
где hκμ — элементы матрицы, обратной матрице с элементами hκμ , задаваемыми выражениями
μ
κ, μ = 1, k .
hκμ = aκ
n · an ,
Вектор WK , равный k-мерному перпендикуляру, опущенному из начала координат на
введенную l-мерную плоскость, при n = 1, 2 однозначно определяется уравнениями (7)
как функция переменных t, q σ , q̇ σ , σ = 1, s [1, 2]. При n 3 этот вектор определяется заданием неизвестных функций Ψκ
n (t), κ = 1, k. Этим принципиально и отличаются
уравнения (7) при n 3 от этих же уравнений при n = 1, 2 [2]. Из уравнения (3) следует,
что положение рассматриваемой l-мерной плоскости относительно конца вектора Y/M
задается вектором Λκ (t)bκ /M . Таким образом, положение данной плоскости определяется заданием как функций Ψκ
n (t), κ = 1, k, так и функций Λκ (t), κ = 1, k. Отсюда
вытекает, что если порядок уравнений (7) принципиально нельзя понизить до n = 2 и
σ σ
найти величины Ψκ
n (t), κ = 1, k, как функции переменных t, q , q̇ , σ = 1, s, то принципиально нельзя найти и обобщенные управляющие силы Λκ , κ = 1, k, как функции
этих же переменных. Поэтому их искали как функции времени [2].
В соответствии с пpинципом Гаусса меpа пpинуждения, задаваемая выpажением
τ4
(W − Y/M )2 ,
4
должна быть минимальна. В фоpмулиpовке данного пpинципа, пpинадлежащей самому Гауссу, не говоpится о том, что величину Zg следует pассматpивать как функцию,
заданную на множестве ускоpений W, допускаемых связями, и искать ее минимум на
этом множестве. Фоpмулиpовка Гаусса является более общей. Пpиведем ее, используя моногpафию П. Аппеля [3, Т. II, с. 421]: «Движение системы матеpиальных точек,
связанных между собой пpоизвольным обpазом и подвеpженных любым влияниям, в
каждое мгновение пpоисходит в наиболее совеpшенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными,
т. е. пpоисходит с наименьшим возможным пpинуждением, если в качестве меpы пpинуждения, пpимененного в течение бесконечно малого мгновения, пpинять сумму пpоизведений массы каждой точки на квадpат величины ее отклонения от того положения,
котоpое она заняла бы, если бы была свободной».
Пpименим фоpмулиpовку пpинципа Гаусса к тому случаю, когда связи задаются
уpавнениями (7). Став свободной, данная система имела бы ускоpение Y/M . В действительности же из-за наличия связей она будет иметь такое ускоpение W, котоpое является элементом из того множества, котоpое пpедставляет собой l-меpную плоскость.
Положение последней относительно начала кооpдинат задается системой независимых
функций Ψκ
n (t), κ = 1, k. Это, однако, не пpепятствует отысканию на указанной плоскости той точки, для котоpой величина Zg согласно пpинципу Гаусса минимальна.
Точку эту найдем, если формирование обобщенных управляющих сил так согласоκ
вать с уравнениями (7), что bκ
σ = anσ , σ = 1, s, κ = 1, k. Уравнение (3) запишется при
этом в виде
κ = 1, k .
(12)
M W = Y + Λκ aκ
n ,
Zg =
Отсюда следует, что k-мерный перпендикуляр, опущенный из точки Y/M на рассматриваемую плоскость, будет задаваться вектором Λκ aκ
n , при котором величина Zg минимальна.
124
Таким образом при bκ = aκ
n , κ = 1, k, управление движением осуществляется в
соответствии с принципом Гаусса. Назовем такое управление идеальным. Условие того,
что вектор управляющей силы R = M W − Y при идеальном управлении ортогонален
введенной l-мерной плоскости, представим в виде
δA = (M W − Y) · δy = 0 .
(13)
Здесь δy — произвольный касательный вектор, удовлетворяющий системе уравнений
aκ
n · δy = 0 ,
κ = 1, k .
(14)
Записывая выражения (13), (14) в скалярной форме и учитывая, что
aκ
n =
получаем
∂fnκ
(n)
∂ qσ
eσ ,
κ = 1, k ,
σ = 1, s ,
d ∂T
∂T
− σ − Qσ δq σ = 0 ,
σ
dt ∂ q̇
∂q
∂fnκ
(n)
∂ qσ
δq σ = 0 ,
σ = 1, s ,
κ = 1, k .
(15)
(16)
Н. Г. Четаев, подчиняя возможные перемещения δq σ , σ = 1, s, условиям
∂f1κ σ
δq = 0 ,
∂ q˙σ
σ = 1, s ,
κ = 1, k ,
стремился «. . . одновременно сохранить и принцип Даламбера, и принцип Гаусса. . . »
[4, с. 68].
Уравнения (15), (16) здесь были получены из предположения о том, что управление движением осуществляется в соответствии с принципом Гаусса. Отсюда следует,
что подчинение возможных перемещений, входящих в принцип Даламбера—Лагранжа
(15), условиям (16), аналогичным по своей структуре условиям Н. Г. Четаева, также
позволяет «. . . одновременно сохранить и принцип Даламбера, и принцип Гаусса. . . ».
Покажем, что условие идеальности управления, записанное в форме уравнений (13),
(14), может быть представлено и в виде принципа Манжерона—Делеану. Действительно, вычисляя частный дифференциал δ (n) при фиксированных значениях переменных
(n−1)
t, q σ , q̇ σ , . . . , q σ , σ = 1, s, от уравнений программных связей (7), получаем
δ (n) fnκ =
∂fnκ
(n)
(n)
(n−1)
(n−1)
δ (n) q σ = aκ
V = 0,
n ·δ
∂ qσ
(n−1)
(n)
δ (n−1) V = δ (n) q σ eσ ,
κ = 1, k .
Эта система уравнений станет тождественной системе (14), если положить
δy =
τ n (n−1) (n−1)
δ
V .
n!
125
Таким образом, уравнение (13) может быть записано в виде принципа Манжерона—
Делеану [5]:
(n−1)
(M W − Y) · δ (n−1) V = 0 .
(17)
Это и требовалось показать. Отметим, что пользоваться принципом (17) можно только
σ σ
при программных связях (7), когда векторы aκ
n зависят от переменных t, q , q̇ , σ = 1, s.
Из представления управляющей силы R в виде
∇(n) fnκ ,
R = Λκ aκ
n = Λκ (t)∇
κ = 1, k ,
следует, что при идеальном управлении каждой программной связи соответствует своя
обобщенная управляющая сила Λκ (t), κ = 1, k. Отметим, что мысль о том, что силы
порождаются связями, была высказана Г. Герцем.
В простейшем случае одной голономной связи, при наличии которой материальная точка должна находиться на заданной поверхности, признаком ее идеальности является то, что эта связь может быть обеспечена приложением к материальной точке
лишь нормальной реакции. Она и является в данном случае той обобщенной реакцией, которая соответствует этой связи. При ее неидеальности, т. е. при шероховатости
поверхности, нормальной реакции недостаточно — необходимо преодолевать и силу трения. Таким образом, связь является идеальной в том случае, когда она обеспечивается
своей обобщенной реакцией, которая для выполнения идеальной связи, как подчеркивает А. М. Ляпунов [6], и необходима, и достаточна. Это определение идеальности, как
было показано, может быть распространено на программные связи высших порядков,
заданные в виде (7).
В случае, когда порядок связей меньше трех, силы Λκ , κ = 1, k, являются известными функциями переменных t, q σ , q̇ σ , σ = 1, s, поэтому их значения в исходный момент
времени определяются начальными значениями координат и скоростей. При программных связях (7) обобщенные управляющие силы Λκ , κ = 1, k, являются неизвестными
функциями вpемени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений порядка (n − 2). Следовательно, в начальный момент должны быть заданы как величины
Λκ , κ = 1, k, так и их производные по времени до (n − 3)-го порядка включительно.
Таким образом, при n 3 задача должна решаться при начальных данных
(n−3)
(n−3)
κ = 1, k ,
σ = 1, s .
Λκ (t0 ) = Λ0κ , Λ̇κ (t0 ) = Λ̇0κ , ..., Λκ (t0 ) = Λκ 0 ,
q σ (t0 ) = q0σ ,
q̇ σ (t0 ) = q̇0σ ,
Вопрос о задании начальных данных для рассматриваемой задачи обсудим с других
позиций.
Уравнение (12), соответствующее идеальному управлению, может быть получено
из принципа Манжерона—Делеану. Это и было сделано, но только не в векторной, а в
скалярной форме М. А. Чуевым [7]. Отметим, что в этой же работе и в статье [8] впервые
выдвинут обобщенный принцип Гаусса, который затем независимо от М. А. Чуева был
сформулирован в работах [9, 10].
Умножая уравнение (12) скалярно на векторы aλn , λ = 1, l, l = s − k, такие, что
aλn · aκ
n = 0,
κ = 1, k ,
получим уравнения
(M W − Y) · aλn = 0 ,
126
λ = 1, l .
(18)
Если порядок связей меньше трех, то, дополнив уравнения (18) уравнениями связей
второго порядка в векторной форме
κ
aκ
2 · W = χ2 (t, q, q̇) ,
κ σ
aκ
2 = aσ e ,
κ
κ σ
α β
χκ
2 = −a20 + a2σ Γαβ q̇ q̇ ,
σ = 1, s ,
α, β = 0, s ,
κ = 1, k ,
получим замкнутую систему дифференциальных уравнений, позволяющую найти движение при заданных начальных значениях для координат и скоростей. При программных связях (7), выразив закон Ньютона в L-пространстве уравнениями (18) и добавив
к ним, в частности при n = 3, уравнения (9), получим систему дифференциальных
уравнений, общий порядок которой равен (2s + k). Эта система не содержит искомых
функций Λκ (t), κ = 1, k, по существу присущих данной задаче. Поэтому их исключение и приводит к проблеме задания начальных данных по переменным q σ , σ = 1, s.
Эта проблема обсуждается, в частности, в работе М. А. Чуева. Он отмечает [7, с. 69],
что «. . . принцип Манжерона—Делеану дает уравнения, не противоречащие принципу независимости действия сил, лишь для связей вида (7), причем при очень сильном ограничении на начальные условия». М. А. Чуев пишет, что принцип независимости действия сил нарушается в том случае, когда «. . . силы зависят от производных
координат порядка, превышающего единицу» [7, с. 69]. При этом делается ссылка на
монографию Л. Парса [11], в которой в § 1.4 показывается, что сила не может быть
функцией от ускорения. Справедливость этого утверждения вытекает из следующих
рассуждений В. И. Арнольда. В своей книге [12, c. 8] он отмечает: «Начальное состояние механической системы (совокупность положений и скоростей точек системы в
какой-нибудь момент времени) однозначно определяет все ее движение». Этот закон
природы В. И. Арнольд называет принципом детерминированности Ньютона.
Согласно этому принципу положением механической системы и ее скоростью V
в момент времени t определяется производная любого порядка от вектора V как в
этот момент, так и во все последующие моменты времени. «В частности, — как пишет
В. И. Арнольд [12, c. 12], — положение и скорость определяют ускорение. Иными словами, существует функция F . . .» переменных t, q σ , q̇ σ , σ = 1, s, такая, что
W = F(t, q, q̇) .
Из уравнения (3) следует, что существование функции F при заданной активной
силе Y(t, q, q̇) вытекает из того, что вектор управляющей силы R = Λκ bκ , κ = 1, k,
обеспечивающий выполнение программных связей (2) при n = 1, 2, однозначно определяется как функция переменных t, q σ , q̇ σ , σ = 1, s. При n 3 принцип детерминированности также сохраняется, но за счет того, что обобщенные управляющие силы ищутся
как функции времени. Причем, если bκ = aκ
n , κ = 1, k, то формирование управляющих
сил как функций времени осуществляется в соответствии с принципом Гаусса.
Summary
Sh. Kh. Soltakhanov. A mixed problem of dynamics and the principles of Gauss and Mangeron—
Deleanu.
The concept of ideal control for the mixed problem of dynamics is introduced. The conditions
under which the control of motion subjected to constraints of any order is realized are found
according to the principles of Gauss and Mangeron—Deleanu.
127
Литература
1. Зегжда С. А., Солтаханов Ш. Х., Юшков М. П. Уравнения движения неголономных
систем и вариационные принципы механики. СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 2002. 278 с.
2. Солтаханов Ш. Х. Определение обобщенных управляющих сил в смешанной задаче динамики // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 1. С. .
3. Аппель П. Теоретическая механика. М.: Физматгиз. Т. 1. 1960. 516 с.; Т. П. 1960. 488 с.
4. Четаев Н. Г. О принципе Гаусса // Изв. физ.-мат. общества при Казанском ун-те. Т. 6.
Сер. № . 1932–1933. С. 68–71.
5. Добронравов В. В. Основы механики неголономных систем. М.: Высшая школа, 1970.
272 с.
6. Ляпунов А. М. Лекции по теоретической механике. Киев: Наукова думка, 1982. 632 с.
7. Чуев М. А. К аналитической теоpии упpавления движениями космического летательного
аппаpата // Тp. девятых чтений К. Э. Циолковского. М., 1975. С. 67–80.
8. Чуев М. А. К вопpосу аналитического метода синтеза механизма // Изв. вузов. Машиностpоение. М.: Изд-во. МВТУ им. Н. Э. Баумана. 1974. № 8. С. 165–167.
9. Остроменский П. И., Родионов А. И. Составление и исследование уравнений движения
голономных и неголономных систем методом обобщенных сил // Науч. вестн. НГТУ. 1997.
№ 3. С. 121–140.
10. Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Обобщение принципа Гаусса на случай
неголономных систем высших порядков // Докл. Акад. Наук СССР. 1983. Т. 269. № 6. С. 1328–
1330.
11. Паpс Л. А. Аналитическая динамика (Пеpевод с англ.). М.: Наука, 1971. 636 с.
12. Аpнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.
Статья поступила в редакцию 16 февраля 2005 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
206 Кб
Теги
динамика, манжерона, делеану, смешанная, принципы, задачи, гаусса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа