close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Смешанная задача с отходом от характеристики для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ
2006
ВЫСШИХ
УЧЕБНЫХ
ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (533)
УДК 517.956
Н.В. ШУСТРОВА
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С ОТХОДОМ ОТ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА{БИЦАДЗЕ
С КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ
1. Постановка задачи и основные результаты
Для уравнения
Lu = uxx + sgn yuyy + u = 0
(1)
в области D, ограниченной в полуплоскости y > 0 дугой окружности единичного радиуса
BK = ; (r = 1, 0 ' '0, 0 < '0 ) и отрезком AK (' = '0 , 0 < r < 1), а в полуплоскости y < 0 ограниченной отрезком AC прямой y = ;k0 x и отрезком CB характеристики
0 ), решается
x ; y = 1 уравнения (1), где A(0; 0), B (1; 0), C ( k01+1 ; ; k0k+1
Задача TN . Найти функцию u(x; y ), удовлетворяющую условиям
(2)
u(x; y) 2 C (D) \ C 1(D [ AK [ ;) \ C 2(D+ [ D;);
Lu(x; y) = 0; (x; y) 2 (D+ [ D; );
(3)
@u = 0;
(4)
@N AK
u(x; y) = 0; (x; y) 2 AC;
(5)
@u = f (');
(6)
@N ;
где @u=@N | производная по нормали, D+ = D \ fy > 0g; D; = D \ fy < 0g.
Обобщенная задача Трикоми для уравнения (1) при = 0 была изучена в [1], а в [2] для этого
уравнения решена задача Трикоми{Неймана. В статье [3] эта же задача рассмотрена в другой
области. В данной работе на основании результатов [1]{[3] методом спектрального анализа построено решение смешанной задачи с отходом от характеристики для уравнения Лаврентьева{
Бицадзе с параметром при всех 6= nm , где nm | собственные значения соответствующей
спектральной задачи.
2. Задача на собственные значения
Рассмотрим спектральную задачу, соответствующую обобщенной задаче (2){(6), которую
назовем
Задача TN . Найти значения параметра и соответствующие им функции u(x; y ), удовлетворяющие условиям (2){(5) и
@u = 0:
@N ;
(7)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
конкурс \Агидель", грант Є 05.01.97913.
76
В области D+ , разделяя в уравнении (1) переменные u(x; y) = u(r cos '; r sin ') = v(r; ') =
R(r)('), с учетом граничных условий (4), (7) получим
r2R00(r) + rR0(r) + (r2 ; 2 )R(r) = 0; R(0) = 0; R0 (1) = 0;
00 (') + 2 (') = 0; 0 ('0 ) = 0;
где | постоянная разделения переменных.
Решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям R(0) = 0 и 0 ('0 ) = 0, имеют вид
p
u(x; y) = A+ J ( r) cos(('0 ; ')); Re > 0;
(8)
где J () | функция Бесселя первого рода порядка , A+ | произвольные постоянные. Найдем
значение функции u (x; y) и ее производной по y на отрезке AB оси y = 0
p
u (x; 0 + 0) = A cos '0 J ( x); 0 x 1;
(9)
p
@u (x; 0 + 0) = A J ( x) sin ' ; 0 < x < 1:
(10)
0
@y
x
Рассмотрим теперь уравнение (1) в области D; . Введем замену переменных x = p ch , y =
p sh . Полагая u(x; y) = v(p; ) = P (p)(), разделим в этом уравнении переменные. Тогда с
учетом граничного условия (5) получим
p2P 00 (p) + pP 0(p) + (p2 ; 2 )P (p) = 0; jP (0)j < +1;
00 () ; 2 () = 0; (; arth k0 ) = 0;
где | постоянная разделения переменных.
Следовательно, решения уравнения (1), удовлетворяющие условию (5), определяются по
формуле
p
u (x; y) = C J ( )(e ; K e; );
где C | произвольные постоянные, K = (1 ; k0 )=(1 + k0 ). Отсюда при y = 0 найдем
p
u (x; 0 ; 0) = v (; 0) = C J ( x)(1 ; K ); 0 x 1;
p
@u (x; 0 ; 0) = C J ( x) (1 + K );
0 < x < 1:
@y
x
(11)
(12)
В силу (2), приравнивая соответственно равенства (9) и (11), (10) и (12), получим уравнение
для нахождения постоянной = 1 + K
tg '0 =
:
(13)
1 ; K
Уравнение (13) имеет счетное множество корней, которые обозначим через n , и они расположены в интервалах (n ; 3=4)='0 < n < (n ; 1=2)='0 , n = 1; 2; : : :
Удовлетворяя решения (8) уравнения (1) граничному условию (7), найдем
R0 (1)(') = 0:
0 (1) = pJ 0 (p) = 0. Из теории бесселевых функций [4] известно, что функции
Значит, R
n
n
zJ0 (z ) при > ;1 имеют только вещественные нули. Тогда обозначая через nm m-й корень
последнего уравнения, получим собственные значения задачи TN
nm = 2nm; n = 1; 2; : : : ; m = 1; 2; : : :
Теперь при = nm
найдем
собственные функции задачи TN . С учетом того, что в области
; x+
y
1
D; аргумент = 2 ln x;y , имеет место
77
p
p
Теорема 1. Собственным значениям
p
nm = nm, являющимся m-ми корнями уравнения
J0 n ( ) = 0, где n; m = 1; 2; : : : , соответствует система собственных функций
p
unm(x; y) = Cnm Jn ( nmr) cos(n ('0 ; ')); (x; y) 2 D+;
2n
2n q
n
C
(
;
1)
x
+
y
x
;
y
nm
n
2
2
J ( nm(x ; y )) x ; y ; K x + y
unm (x; y) = p
; (x; y) 2 D; :
2(1 + K 2n ) n
Лемма 1. Система функций
Доказательство.
fn(')g = fcos(n('0 ; '))g1n=1
образует базис в
L2 (0; '0 ).
Аналогично [1] рассмотрим систему функций
'0 ; = ('0 ; ') ; 2 (0; ); n = 1; 2; : : :
'0
Возьмем разложение в L2 (0; ) некоторой функции f () по заданной системе функций fn ()g1
n=1
n (') = cos n
f () =
1
X
n=1
1
X
Cn cos n '0 = Cn n ():
(14)
n=1
Используя результаты работы [5], рассмотрим систему hk (), биортогональную системе синусов fsin((n ; 3=4) + =2)g1
k=1 . Умножая (14) на hk () и интегрируя от 0 до , получим
Z
0
f ()hk ()d =
R
1
P
0
n=1
Пусть f ()hk ()d = fk , тогда fk = Ck +
fk = Ck +
1
X
n=1
Cn
Z
0
1
X
Z
0 n=1
Cnn()hk ()d:
R
Cn n ()hk ()d ; Ck или
0
n ()hk ()d ;
1
X
n=1
Cn
Z
0
cos((n ; 3=4))hk ()d:
Отсюда
fk = Ck +
1
X
n=1
Cnakn ;
(15)
где
akn =
Z
0
(n () ; cos((n ; 3=4)))hk ()d =
Z
0
In() = n() ; cos((n ; 3=4)):
In ()hk ()d;
(16)
Оценим теперь двойной ряд
1
X
n;k=1
a2kn =
1 X
1
X
n=1 k=1
Z
0
2
In()hk ()d M
1
X
n=1
Z
0
In2 ()d ;
(17)
где M | постоянная из неравенства Бесселя
1
X
k=1
(F; hk )2 M kF k2 ;
78
(18)
которое справедливо, т. к. система fsin((n ; 3=4) + =2)g1
n=1 образует базис Рисса [5]. Оценим
коэффициенты полученного ряда (17)
2
2
'
'
n 0 ; (n ; 3=4)
0
In = cos n ; cos((n ; 3=4)) 2 sin
2
2(n '0 ; (n ; 3=4)) 2
K 2n K 2(n;3=4)='0 : (19)
2
2
Усиливая неравенство (17), с помощью оценки (19) получим
1
X
n;k=1
ank M
2
1
X
n=0
K 2(n+1=4)='0 = MK =2'0 (1 ; K 2='0 );1 :
(20)
1
P
Из (20) видно, что если число k0 достаточно близко к единице, то
a2kn < 1. Поэтому бескоk;n=1
нечная система уравнений (15) однозначно разрешима относительно Ck , причем
1
X
k=0
Ck2 < 1:
(21)
Докажем теперь сходимость ряда (14) в L2 (0; ), записав его с учетом равенства (16) в виде
1
X
n=1
Cnn () =
1
X
n=1
Cn sin((n ; 3=4) + =2) +
1
X
n=1
CnIn():
(22)
Первый ряд в правой части (22) сходится в L2 (0; ) в силу базисности Рисса системы синусов.
Последний в правой части (22) ряд оценим по критерию Коши, используя оценку (19),
+N
mX
Z
0
n=m
2
Cn In () d mX
+N
n=m
Cn2
mX
+N Z n=m 0
In2 ()d mX
+N
n=m
Cn2
mX
+N
n=m
K 2(n;3=4)='0 :
Из полученного неравенства ясно, что при k0 , достаточно близком к единице, ряд (22), а следовательно, и ряд (14) сходятся в L2 (0; ). Ряд (14) сходится к функции f (), т. к. если равенство (14)
умножить на hk () и проинтегрировать по интервалу (0; ), то с учетом (15) получим значение
fk . В силу полноты системы hk () ряд (14) сходится к функции f ().
Чтобы теперь из формулы (14) получить разложение в L2 (0; '0 ) некоторой функции f (') =
1
P
Cn cos n ('0 ; '), воспользуемся подстановкой = (''00;') . Тогда коэффициенты Cn разлоn=1
жения в L2 (0; '0 ) определятся из системы уравнений (15), где числа fk , akn вычисляются по
формулам
Z '0
fk = f (')hk ('0 ; ') d';
(23)
akn = '
; ('0 ;') Z
0 0
'0 '0 0
'0
('0 ; ') ('0 ; ') cos n ('0 ; ') ; cos (n ; 3=4)
hk
d';
'
'
0
0
('0 ;')
(24)
| биортогональная система к системе синусов fsin((n ; 3=4) '0 + =2)g.
Лемма 2. Если f (') 2 C [0; '0 ], 0 < 1, то ряд (14) равномерно сходится к функции
f (') на [0; '0 ].
Используя (15), запишем ряд (14) в виде
hk
'0
1
X
k=1
Ck k () =
1
X
k=1
fk k () ;
79
1
X
k=1
k ()
1
X
n=1
Cnakn :
Применяя подстановку = (''00;') , получим
1
X
k=1
Ck cos k ('0 ; ') =
1
X
k=1
fk cos k ('0 ; ') ;
1
X
k=1
cos k ('0 ; ')
1
X
n=1
Cn akn:
Оценим теперь ряд
1
X
k=1
k ('0 ; ')) =
cos2 (
=
1
X
k=1
1
X
k=1
1
X
2
k+1
p(;1) 2k (sin k ' + cos k ' + K k (; cos k ' + sin k ')) k=1 2 1 + K
1
X
k=1
fsin k ' + cos k ' + K k (; cos k ' + sin k ')g2 =
fsin k ' + cos k ' + 12 sin[k ' ; arccos K k ] + 21 sin[k ' + arccos K k ] ;
; 12 cos[;k ' + arccos K k ] ; 21 cos[k ' + arccos K k ]g2 k
k
; sin arccos2 K + 2 cos arccos2 K
+ sin
+2
1 X
s
k=1
arccos K k 2
2
s
=2
s
1 X
2
+2
1 + K k
2
k=1
;
1
X
k=1
s
arccos K k
cos
+
2
1 ; K k
2
2
+
1
1
X
X
1 + K k
1 ; K k 2
K 2k
K 2k
p
p
+
4
:
+
=4
2
2
2
2
k=1 2 ; 2 1 ; K k
k=1 2 + 2 1 ; K k
1
P
cos2 (k ('0 ; ')). Учитывая теперь
k=1
1
1
P
P
неравенство fk2 M kf k2 , а также сходимость ряда akn Cn , установим, что ряд (15) также
n=1
k=1
Из этой оценки и следует равномерная сходимость ряда
равномерно сходится.
3. Обобщенная задача
TN
Для уравнения (1) в области D рассмотрим задачу (2){(6).
Теорема 2. Если
задачи
(2){(6)
f (') 2 C [0; '0 ], 0 < 1, 6= nm , f 0('0 ) = 0, то существует решение
и оно имеет вид
1
X
p
u(x; y) = CpnJn0 ( pr) cos(n ('0 ; ')); (x; y) 2 D+ ;
(25)
n=1 Jn ( )
2n 1 C (;1)n+1 J (p(x2 ; y2 )) x + y 2n
X
x
;
y
n
n
n
p
p
u(x; y) =
; (x; y) 2 D;; (26)
p
x;y ;K x+y
2(1 + K 2 ) J0 n ( )
n=1
где
Cn
| коэффициенты разложения функции
определяются из системы уравнений
(24) соответственно.
(15),
f (') по системе функций fcos n('0 ; ')g и
fk и akn вычисляются по формулам (23) и
а числа
Действительно, на основании асимптотической формулы ([6], c. 217) J (z ) = ;(1+1) z2 при
! 1 ряд (25) и ряды, полученные почленным k-кратным дифференцированием данного ряда
по переменным r и ', при r r0 < 1 сходятся равномерно, т. к. для достаточно больших n
; 80
справедливы оценки
а при r = 1
p
(k) J ( r )
C
@
n
n
p 0 p
cos(n ('0 ; ')) jCn kn;1 rn;k j;
(
k
)
Jn ( ) @r
p
Cn Jn ( r ) @ (k) cos(n ('0 ; ')) p
jCn k;1 r n j;
p
n
(
k
)
0
@'
Jn ( )
p
pCnJ0n ( p) cos(n('0 ; ')) C n :
Jn ( )
n
Производная ряда (25) по r при r = 1 есть разложение функции f (') по системе функций
n ('), которое равномерно сходится на [0; '0 ]. Если (x; y) 2 D; , то поскольку 0 ( xx+;yy ) 2n 1
и 0 < K n ( xx;+yy ) 2n < 1, то ряд (26) в гиперболической части области D; равномерно сходится.
Отсюда следует равномерная сходимость решения задачи (2){(6) в области D.
Литература
1. Моисеев Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. { 1990. { Т. 26. { Є 7. { C. 1160{1172.
2. Сабитов К.Б., Хасанова С.Л. Спектральные свойства краевой задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа и их применения // Изв. вузов.
Математика. { 2003. { Є 6. { C. 64{76.
3. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения.
{ 1990. { Т. 26. { Є 1. { C. 93{103.
4. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. { М.: Ин. лит., 1949. { 799 с.
5. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения. { 1987. {
Т. 23. { Є 1. { C. 177{179.
6. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. 2. Трансцендентные функции.
{ М.: Физматгиз, 1963. { 516 с.
Стерлитамакский филиал академии
Поступила
17.03.2006
наук Республики Башкортостан
81
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
158 Кб
Теги
уравнения, отходов, комплексная, характеристика, смешанная, лаврентьев, задачи, бицадзе, параметры
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа