close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Составной статус в актуарной математике.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
УДК 541.128
Б.В. АЛЕКСЕЕВ
СОСТАВНОЙ СТАТУС В АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Модели потоков платежей, возникающих в рамках контрактов страхования,
основаны на понятии статуса. Например, при бессрочном страховании жизни
выплаты страховой премии продолжаются до тех пор, пока статус «страхова­
тель жив» действителен. Срочный контракт предусматривает оплату страхо­
вой премии при действительности статуса «страхователь жив и срок с момен­
та заключения контракта не превышает заданный». В данном случае статус
является составным, образованным из более простых статусов «страхователь
жив» и «срок контракта не превышает заданный» посредством логической
связки «и». Контракт страхования жизни семейной пары может предусматри­
вать оплату страховых премий, пока действителен статус «оба супруга жи­
вы», а при прекращении статуса - выплату страховой суммы вдове или вдов­
цу. Контракт страхования в пользу ребенка мог бы оговаривать оплату стра­
ховой премии с условием «жив по крайней мере один из родителей» и выпла­
ту страховой суммы ребенку при смерти обоих родителей. В этом случае со­
ставной статус связывает два элементарных статуса «жив отец», «жива мать»
логической связкой «или».
Действительность статуса х зависит от времени. Обозначим через xt
утверждение о действительности статуса х в момент времени t . Время
действия статуса Т ( х ) является случайной величиной, принимающей неот­
рицательные значения. В актуарной математике (см.[1, 2]) применяется
обозначение t p x = Р( Т(х) > t) = P(x t | Xq) для вероятности сохранения
статуса в течение времени t , в предположении, что в начальный момент
времени t —О статус х = Xq действителен. Вероятность 1- tPx прекраще­
ния действия статуса за этот период времени имеет обозначение
t qx = Р ( Т ( х ) < t ) = P (x t | Xq) . Черта сверху в выражении xt означает от­
рицание утверждения.
Для составного статуса также имеет смйсл рассмотрение времени его
действия. Под составным статусом и будем далее понимать любую логиче­
скую функцию, составленную из элементарных статусов x , y , . . . , z и логиче­
ских констант «истина», «ложь» с помощью логических связок «и», «или»,
«не». Постоянные статусы «истина», «ложь» выделяются среди других свой-
4
Вестник Чувашского университета. 2003. М 2
ствами Т{истина) = сю, Т(ложь) = 0, t Pucmma = Ь / Рложь = 0 при лю­
бом t > 0 . Элементарные статусы предполагаются независимыми и действи­
тельными в начальный момент времени. Таким образом, статус х является
составным, причем t p^ = P( (x) t | X q ) = P( x t | X q ) = tqx
В данной работе рассматривается задача выражения вероятности сохранения
составного статуса t p u через вероятности сохранения элементарных стату■
COB ^р х, (Ру ,...,
iPz .
Наиболее простой вид составного статуса - «статус совместной жизни»
и = х'и у 'и ■■-'и z - действителен, пока действительны все элементарные
статусы x , y , . . . , z . В актуарной математике применяется специ&пьное обо­
значение для такого статуса и = х : у
: г , при котором логическая связка
«и» заменяется двоеточием. Двоеточие выступает актуарным синонимом ло­
гического произведения. Время действия статуса совместной жизни опреде­
ляется формулой
Г (х : у : •••: z) = m m ( T ( x ) , T ( y ) , . . . T ( z ) ) .
(1)
Если статусы x , y , . . . , z различны и независимы, то
(2)
Другая простая форма составного статуса - «статус последней жизни»
и —х'или у'или ■•■'или z . Этот статус, имеющий актуарное обозначение
t P x : y : - : z = t P x t P y " 4t P z ■
и = х: у
z (черта над группой статусов, разделенных двоеточием, - ак­
туарный эквивалент логической суммы; при этом черта над одиночным ста­
тусом означает его отрицание), действителен, пока действителен хотя бы
один из элементарных статусов x , y , . . . , z . Время действия статуса последней
жизни дается формулой
Т ( х : у : •••: z) = шах(Г(х),Т { у ) , . . . Т (z)).
(3)
В работах [1, 2] предложено для вычисления вероятности сохранения стату­
са последней жизни, составленного из независимых элементарных статусов, ис­
пользовать формулу включения-исключения, что приводит к достаточно гро­
моздким выкладкам. Более простой подход состоит в переходе от вероятности
сохранения статуса к вероятности его утраты. Статус и = х : у
: z утрачива­
ется к моменту времени t , если к этому моменту утрачивается каждый из эле­
ментарных статусов. Другими словами, если статусы x , y , . . . , z все различны и
независимы, то t q— . _
х . у .*'
= tqx t 4 v ' " (Яг ■Таким образом, вероятность сохраУ
нения статуса последней жизни может быть найдена по формуле
tP x ^ T z
tPx)(l ~
tPz) ■
(4)
Математика
5
Задача усложняется, если мы переходим к произвольным статусам. На­
пример, для вероятности сохранения t p x-x статуса х :х формула (2) дает
выражение (t p x ) 2 , хотя правильное значение равно t p x . Очевидно, здесь
дело в зависимости компонент составного статуса (они одинаковы). Также
очевиден и рецепт: следует предварительно исключить повторение элемен­
тарных статусов, пользуясь правилами упрощения:
х'и х <=> х ,
х'или'х <=> х .
Статус х : у : z составлен из независимых компонент x , y , z , и по фор­
мулам (2),(4) получаем
t Px-^Tz = t P x t P ^ Z = t Px 0 - 0 - t P y )0 - t Pz )) •
Однако применение формул (2), (4) к тому же статусу, записанному в эквива­
лентной форме (х : у ) : (х : z ) , приводит к другому значению. В этом случае
проблема возникает из-за двукратного вхождения в качестве операнда эле­
ментарного статуса х . Можно применять эвристическое правило предвари­
тельного преобразования статуса: из различных эквивалентных его представ­
лений выбрать то, в котором каждый элементарный статус имеет лишь одно
вхождение в качестве операнда логической формулы составного статуса.
Это правило работает не всегда. Например, для статуса
( х : у ) : ( х : z ) : ( у : г) можно исключить повторное вхождение статуса х с
помощью представления (х : у : z ) : ( у : г) или статуса у - представлением
(х : z ) : ( у : х : г ) , но устранить повторность вхождения обоих статусов не
удается.
Таким образом, возникает задача выражения вероятности сохранения про­
извольного составного статуса через вероятности сохранения его компонент.
Пусть x , y , . . . , z - различные независимые статусы, а составной статус и логическая формула над x , y , . . . , z . Это значит, что реализуется один из шести
случаев:
1. и ='истина (логическая единица, допустима запись и = 1);
2. и = лож ъ (логический нуль, запись - и = 0);
3. и —х (где х - один из независимых статусов);
4. u - v \ w (где v , w - некоторые статусы, не обязательно независимые);
5. и = v : w (где v , w - некоторые статусы, не обязательно независимые);
6. и - v .
В каждом из этих случаев можно выразить условие сохранения статуса ut
через условия сохранения его компонент. Для каждого из шести случаев ста­
тус щ выражается через его компоненты следующим образом:
6
Вестник Чувашского университета. 2003. № 2
1. ut = 1;
2. ut
=
0;
3. ut = xt
4. ut = vt Щ1
5. Ut = v, wt ;
6. Uf
Эти формулы позволяют вычислить произвольный статус и в заданный мо­
мент времени t (т.е. оценить действительность статуса щ ) по значениям
элементарных статусов x t , y t ,..., z t .
Если х - один из независимых статусов составного статуса и , то спра­
ведлива формула полной вероятности
P{ut
)
=
P ( u t | x t ) P ( x t ) + P( u, j x t ) P ( x t ).
Обозначим через и \ x = 1 логическую формулу, в которой вместо всех
вхождений логической переменной х подставлено значение х = 1. Услов­
ный статус и | х = 1 является составным статусом, в котором множество эле­
ментарных статусов содержит на один элемент меньше. Очевидно, статус
и( | xt эквивалентен статусу (и | х —\)t . Аналогичным образом, при t > О
эквивалентны статусы щ \ xt> { и \ х ~ 0 ) t . Таким образом, справедлива ре­
куррентная формула
tPu ~tPu\x=\ tPx + tPu\x=0 t4x>
(5)
выражающая вероятность сохранения сложного статуса через вероятности
сохранения более простых статусов. Применяя эту формулу последователь­
но, после исключения всех элементарных статусов можно получить ее нере­
куррентный вариант:
t Pu=
'Z(u:x:---:z)(x , р х + х , qx) —(z , р, + z tqz ) .
(6)
* ,-,z e { 0 ,l}
В этой формуле логические значения «истина» и «ложь» статусов и\ х
z
и x , . . . , z заменяются числами 1 и 0 соответственно.
Формула (6) показывает, что вероятность сохранения любого статуса выра­
жается в виде полинома от вероятностей сохранения элементарных статусов.
Ниже представлена программа вычисления вероятности сохранения ста­
туса, составленная на языке программирования Maple с использованием
формулы (5). Программа имеет три параметра: время t , статус и и вероят­
ность сохранения элементарного статуса р .
P:=(t,u,p)->
if u=true then 1 elif u=false then 0
Математика
7
else
x:=op(l,indets(u));
P(t,subs(x=true,u),p)*p(t,x)+P(t,subs(x=false,u),p)* (1 -p(t,x));
fi;
Приведем примеры обращения к программе с различными статусами:
> P(t,xl or х2,р);
р(7, x l ) + p ( t , х2) (1 - р ( ? , х1) )
> P(t,xl and (х2 or хЗ),р);
(p(t, х2) + p (t,x 3 ) (1 - р ( t , x 2 ) ) ) р( t , x l )
> P(t,(xl and x2) or (xl and x3),p);
( p ( t , x 2 ) + p ( t , x 3 ) ( l - p ( t , x 2 ) ) ) p(t, x l )
> P(t,x or (y and z),p);
p (t,x )+ p (t,z )p (t,y )(l- p (t,x ))
В представленных примерах вероятность сохранения элементарных ста­
тусов не конкретизирована. Эти примеры иллюстрируют упрощение состав­
ного статуса. Имеется также возможность обращения к программе с конкрет­
ным законом t р х вероятности сохранения элементарного статуса. Например,
следующие два обращения к программе используют закон Де-Муавра
(Рх = 1 / ( ю - х - 0 -
> P(t,x and у,у] ,(t,x)-> 1/(omega-t-x));
1___________
(-со + t + x) (-со + t + y )
> P(t,x or y,(t,x)->l/(omega-t-x));
—2, + 2.t + y-i-x + l
(-со
+ 1 + д:)(-со + 1 + y )
Литература
1. Г ерб ерX. Математика страхования жизни: Пер. с англ. М.: Мир, 1995. 156 с.: ил.
2. Алексеев Б.В., Егорова Д.В., Иваницкий А.Ю. Введение в финансовую и актуарную ма­
тематику. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2001. 324 с.: ил. 9.
АЛЕКСЕЕВ БОРИС ВАСИЛЬЕВИЧ родился в 1953 г. Окончил Чувашский
государственный университет. Кандидат физико-математических наук, доцент ка­
федры актуарной и финансовой математики. Имеет более 220 работ в области ма­
тематического моделирования химических процессов, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, финансовой и актуарной математики.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
206 Кб
Теги
статус, составной, математика, актуарной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа