close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Степень эквивариантных отображений со значением в классах эквивариантных бордизмов и ее приложения.

код для вставкиСкачать
2003
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (496)
УДК 518.17
И.Ю. ЗОЛОТАРЕВ
СТЕПЕНЬ ЭКВИВАРИАНТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ СО ЗНАЧЕНИЕМ В
КЛАССАХ ЭКВИВАРИАНТНЫХ БОРДИЗМОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Цель данной статьи | обобщение известных конструкций G-степени [1]{[7] с позиции теории
бордизмов и G-расслоений. Здесь предлагается конструкция обобщенной степени отображений,
эквивариантных относительно действия компактных групп Ли, со значениями в классах эквивариантно оснащенных бордизмов гладких G-многообразий; отмечены связи с проблемой разрешимости нелинейных уравнений, заданных эквивариантными отображениями. В данной статье
используются и методы, развитые в [8]{[10].
n+k . Итак, пусть G | компактная груп1. Группа оснащенных G-бордизмов многообразия X
n
+k
n
па Ли, X | гладкое G-многообразие, а M | компактное инвариантное подмногообразие в
X n+k . Пусть в N (M n ) задано действие группы G так, что расслоение = (N (M n ); ; M n ) эквивариантно. И на многообразии M n задана система sk (x) = fs1 (x); : : : ; sk (x)g непрерывных, невырожденных эквивариантных сечений расслоения , образующих базис в слое Nx (M n ), x 2 M n .
Пару (M n ; sk ) назовем G-оснащенным G-подмногообразием в X n+k .
На множестве таких пар естественно ввести отношение эквивалентности (G-бордантности).
n k
n+k паре (M n ; sk ), если в
Определение 1.2. Пару (M0 ; s0 ) назовем G-бордантной в X
1
1
G-многообразии X n+k [0; 1] (с тривиальным действием G на [0; 1]) существует G-оснащенное
подмногообразие (V n+1 ; sk ), краем которого является M0n [ M1n и sk j @V n+1 = sk0 [ sk1 .
2. Степень эквивариантного отображения многообразия. Рассмотрим два компактных
G-многообразия X n+k и Y k . Пусть f : X n+k ! Y k , C 1 | гладкое G-отображение, для которого y0 2 Y k является регулярным значением и такое, что f (x) 6= y0 при x 2 @X n+k . Обозначим через GY0 = H стабилизатор точки y0. Действие G на X n+k индуцирует действие H
на M n = f ;1(y0 ). Подгруппа H также действует и на пространстве TX n+k при помощи дифференциалов Dh(x), h 2 H . На TX n+k существует метрика, инвариантная относительно такого действия, т. е. hux ; vx ix = hDh(x)ux ; Dh(x)vx ihx для любого h 2 H . Следовательно, h 2 H
переводит Nx (M n ) в Nhx (M n ). Зафиксируем теперь в TY0 (Y k ) базис fe1 ; : : : ; ek g. Отображение
Df (x), x 2 M n, индуцирует невырожденное отображение пространства Nx(M n ) в TY0 (Y k ). Таким образом, в каждой точке x 2 M n можно построить невырожденный k-репер (оснащение)
sk (x) = fs1 (x); : : : ; sk (x)g, sj (x) 2 Nx(M n), такой, что Df (x)sj (x) = ej .
На нормальном расслоении N (M n ) к H -подмногообразию M n = f ;1(y0 ) можно определить
действие группы H так, чтобы расслоение = (N (M n ); ; M n ) было эквивариантным, а kреперное поле sk (x) = fs1 (x); : : : ; sk (x)g было H -оснащением.
n+k ! Y k относительно регуОпределение 2.1. Назовем H -степенью отображения f : X
k
k
лярного значения y0 2 Y и ориентирующего репера e = fe1 ; : : : ; ek g пространства Y k класс
бордизмов [M n ; sk ]H 2 HBn (X n+k ), т. е.
degH (f; X n+k ; y0 ; ek ) = [M n ; sk ]H :
Определение 1.1.
17
Естественно, что для любой замкнутой подгруппы L H определена L-степень
degL(f; X n+k ; y0 ; ek ) = [M; sk ]L . Вообще говоря, если L K | две замкнутые подгруппы в H , то
определено естественное отображение соответствующих классов бордизмов IL;K : KBn (X n+k ) !
LBn(X n+k ), IL;K [M n; sk ]H = [M; sk ]K . При этом отображении K -степень degK (f; X n+k ; y0; ek ) преобразуется в L-степень degL (f; X n+k ; y0 ; ek ), IL;K : degK (f; X n+k ; y0 ) ! degL (f; X n+k ; y0 ).
Введем на множестве таких реперов некоторое отношение эквивариантности и покажем независимость степени от выбора репера из класса эквивалентности.
k
k
k
Определение 2.2. Пусть e0 и e1 | два базисных репера в TY0 (Y ). Назовем их L-изотопными
k
k
(L H ), если существует семейство L-отображений t : Y ! Y , t 2 [0; 1], удовлетворяющее
условиям
1) t (y0 ) = y0 для любого t 2 [0; 1] и t | локальный диффеоморфизм в точке y0 2 Y k ;
2) D0 (y0 ) = Id, а D(y0 )1 переводит репер ek1 в ek0 .
Класс эквивалентности репера ek обозначим через [ek ]L .
k k
k
k L-изоТеорема 2.1. Два ортонормированных репера e0 , e1 пространства TY0 (Y ) = R
k
k
топны между собой (т. е [e0 ]L = [e1 ]L ) тогда и только тогда, когда связывающая их матрица
A 2 SO(k) коммутирует с любым элементом подгруппы L O(k) (действующей на касательном пространстве TY0 (Y k ) = Rk посредством дифференциалов), т. е. принадлежит централизатору CSO(k) (L) подгруппы L в группе O(k).
k
k
Теорема 2.2. Пусть для некоторой замкнутой подгруппы L H базисные реперы e0 и e1
L-изотопны (т. е. [ek0 ]L = [ek1 ]L), тогда
degL (f; X n+k ; y0 ; ek0 ) = degL (f; X n+k ; y0 ; ek1 ):
В связи с этим будем обозначать степень также символом degL(f; X n+k ; y0 ; [ek ]L ). Обозначим
через (L) множество классов L-изотопных реперов пространства Rk = Ty0 (Y k ). Как и ранее,
(L) совпадает с множеством SO(k)=CSO(k) (L), где CSO(k) (L) | централизатор подгруппы L в
группе SO(k), т. е. CSO(k) (L) = fA 2 SO(k) : Ah = hA для любого h 2 Lg.
1
Определение 2.3. Назовем L-степенью (L H = Gy0 ) C -гладкого, эквивариантного отображения f : X n+k ! Y k относительно регулярного значения y0 систему
degL (f; X n+k ; y0 ) = fdegL (f; X n+k ; y0 ; [ek ]L ); [ek ]L 2 (L)g:
Пусть f0 и f1 | два C 1 -гладких G-отображения пространства X n+k в Y k ,
для которых y0 является регулярным значением, а F (x; t) | C 1 -гладкая допустимая G-гомотопия между ними. Тогда также выполняется равенство
degL(f0 ; X n+k ; y0 ) = degL (f1 ; X n+k ; y0 ):
Теорема 2.3.
Как известно, обычная степень deg(f; X n+k ; y0 ) отображения f : X n+k ! Y n+k не зависит
от выбора регулярного значения y0 2 Y n+k в том смысле, что если y0 и y1 | два различных
регулярных значения из одной компоненты связности пространства Y n+k , то deg(f; X n+k ; y0 ) =
deg(f; X n+k ; y1 ). Покажем, что для эквивариантной степени degL (f; X n+k ; y0 ) с некоторым изменением выполняется аналогичное свойство.
n+k ! Y k из одной
Теорема 2.4. Пусть y0 и y1 | два регулярных значения для f : X
k
L
k
k
компоненты связности пространства (Y ) = Fix(L; Y ) = fy 2 Y , gy = y для любого g 2 Lg,
где L H = Gy0 , тогда
degL (f; X n+k ; y0 ) = degL (f; X n+k ; y1 ):
18
3. Ориентированная сингулярная степень эквивариантных отображений. Заметим,что существует гомоморфизм группы GBn(X ) в группу n (G) ориентированных эквивариантных бордизмов группы G
' : GBn(X ) ! n(G);
'([M n ; vk ]H ) = [G; M n ] 2 n(G)
и гомоморфизм " : n(G) ! n;r , [G; M n ] ! [M n =G] 2 n;r , где dim G = r, n;r | обычная
группа ориентированных бордизмов Тома.
Рассмотрим некоторое гладкое эквивариантное отображение f : X Rn+k ! Rk (G действует ортогонально), для которого 0 2 Rk является регулярным значением и f (x) 6= 0, когда
x 2= @X . Очевидно f ;1(0) = M n является замкнутым G-многообразием размерности n.
k
n
Определение 3.1. Элемент deg(G; f; X; 0) = '(deg G (f; X; 0; e )) = [G; M ] 2 n (G) назовем
ориентированной сингулярной G-степенью эквивариантного отображения f : X 2 Rn+k ! Rk
относительно регулярного значения 0 2 Rk .
Определение 3.2. Элемент d(G; f; X; 0) = "(deg(G; f; X; 0)) 2 n;r назовем ориентированной G-степенью эквивариантного отображения относительно регулярного значения 0 2 V .
Теорема 3.1. Пусть G | конечная группа ранга r , свободно действующая на множестве
X Rk , где X | открытое ограниченное, инвариантное подмножество, а f : X Rk ! Rk
| допустимое, непрерывное, эквивариантное отображение. Тогда
deg(f; X; 0) = rd(G; f; X; 0):
Итак, пусть теперь f : X W ! V | эквивариантное отображение, V | пространство
ортогонального представления группы G, а на W = V Rn группа Ли G действует тривиально по
второй компоненте. Зафиксируем какую-нибудь подгруппу H G и рассмотрим G-отображение
fH : XH W H ! V H . Действие группы G индуцирует на XH свободное действие группы Вейля
W (H ) подгруппы H , а fH | W (H )-отображение. Определена эквивариантная степень типа
Ульриха{Кравцевича
d(G; f; X; 0) = fd(W (H ); fH ; XH ; 0)gHG :
В случае, когда G = S 1 , H = Zk , W (H ) = S 1 и f : X V R1 ! V , эквивариантная степень d(S 1 ; f; X; 0) совпадает со степенью Ульриха{Кравцевича S 1 -deg(f; X; 0).
Теорема 3.2.
4. Приложения эквивариантной степени d(G; f; X ) к теории бифуркаций. Предположим,
что W = Rn | пространство ортогонального представления компактной группы Ли G. Пусть
M k | некоторое гладкое k-мерное подмногообразие, вложенное в W G Rk . Обозначим через
Tx(M k ) и Nx(M k ) касательное и нормальное пространство в M k в точке x, т. е. W Rk =
Tx(M k ) Nx(M k ).
Символом CM обозначим класс непрерывных эквивариантных отображений f : W Rk ! W
таких, что
1) f дифференцируема в каждой точке x 2 M k и производная Df (x) непрерывно зависит
от x 2 M k ;
2) M k f ;1 (0), т. е. для всех x 2 M k выполняется f (x) = 0.
19
Пусть f 2 CM , символом (f ) обозначим множество M k -сингулярных точек отображения f ,
т. е.
(f ) = fx 2 M ; Df (x)jNX (M k ) : Nx (M k ) ! W не изоморфизмg:
Обозначим CM1 = ff 2 CM , f есть класс C 1 на множестве W Rk n (f )g.
Итак, пусть f 2 CM1 . Назовем точки из M k тривиальными решениями уравнения
f (x) = 0:
(1)
Все остальные решения этого уравнения назовем нетривиальными.
k
Определение 4.1. Назовем точку x0 2 M точкой бифуркации уравнения (1), если в любой
k
окрестности точки x0 2 M существует нетривиальное решение уравнения (1). Множество точек
бифуркации обозначим через B (f ) M k .
Поскольку из условия, что x0 2 M k является точкой бифуркации, немедленно следует, что
x0 2 (f ) (т. е. B (f ) (f )), то нас будет интересовать проблема бифуркации лишь для x0 2
(f ), f 2 CM1 . Таким образом, исследуем вопрос: когда от M k -сингулярной точки x0 2 (f )
ответвляется нетривиальное решение уравнения (1)? Сформулируем условие, достаточное для
того, чтобы изолированная M k -сингулярная точка отображения f была точкой бифуркации.
Воспользуемся для этого эквивариантной ориентированной степенью.
Итак, пусть x0 2 (f ) | изолированная M k -сингулярная точка отображения f .
Рассмотрим открытую ограниченную окрестность D точки x0 в M такую, что D \ (f ) =
fx0 g. Поскольку D | компактное подмножество в M k , то существует достаточно малое " > 0
такое, что ограничение отображения : N (M k ) ! W Rn , (x; v) = x + v на множество
N (D; ") = f(x; v) 2 N (M k ); x 2 D, kvk "g, есть эквивариантное вложение. Так как мы можем
выбрать " сколь угодно малым, то можно считать, что f (x + v) 6= 0 для любого x 2 @D и
kvk ". Поскольку @D \ (f ) = ?, то все точки x из @D не являются M -сингулярными для f .
Обозначим U = (N (D; ")) и назовем множество U специальной окрестностью изолированной
M -сингулярной точки x0 2 (f ).
Пусть ' : U ! R | инвариантная непрерывная функция такая, что '(x) < 0 для x 2 D и
'(x) > 0 для всех x = u + v; u 2 D, kvk = ". Назовем такую функцию дополнительной функцией.
Определим отображение f' : U ! W R, f'(x) = (f (x); '(x)); x 2 U . Ясно, что f' (x) 6= 0 для
всех x 2 @U и, следовательно, определена эквивариантная степень d(G; f' ; U ).
Теорема 4.1. Эквивариантная степень d(G; f' ; U ) не зависит от выбора специальной
окрестности U и дополнительной функции '(x). Кроме того, если d(G; f' ; U ) 6= 0, то x0 есть
точка бифуркации отображения f .
Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Борисовичу
Юрию Григорьевичу за помощь в постановке задачи и активную поддержку в работе.
Литература
1. Борисович Ю.Г., Золотарев И.Ю. К обобщенной теории степени эквивариантных отображений // Тр. матем. ф-та. Новая сер. 3. { Воронеж, 1998. { С. 4{8.
2. Золотарев И.Ю. К обобщенной теории степени отображений эквивариантных относительно действия компактной группы Ли G = S 1 // Сб. ст. аспирантов и студентов матем.
ф-та. { Воронеж, 1999. { С. 51{54.
3. Борисович Ю.Г., Золотарев И.Ю. К обобщенной теории G-степени для эквивариантных
отображений многообразий // Тр. матем. ф-та. Новая сер. 4. { Воронеж, 1999. { С. 12{17.
4. Борисович Ю.Г., Золотарев И.Ю., Портная Т.В. О некоторых обобщениях топологических
характеристик Л. Кронекера, М.А. Красносельского, Х. Хопфа // Изв. РАЕН. Сер. ММИУ.
{ Самара, 2000. { Т. 4. { Є 2. { С. 82{96.
20
5. Кравцевич В., Хуасинг С. Аналитическое определение эквивариантной степени // Изв.
вузов. Математика. { 1996. { Є 6. { С. 37{54.
6. Borisovich Yu.G., Zolotarev I.Yu. Generalized degree of equivariant maps // Intern. Conference
on Dierent. and Funct. Dierent. Equat. Abstracts MAI, Steklov Institute, MMS, Weierstrass
Institute. { Moscow, Russia, August 11{17, 2002.
7. Borisovich Yu.G., Zolotarev I.Yu., Portnaya T.B. Глобальный анализ и топологические характеристики нелинейных отображений // Intern. Conference \Dierential Equations and
Related Topics" dedicated to the Centenary Anniversary of Ivan G. Petrovskii. XX Joint Session
of Petrovskii Seminar and Moscow Math. Soc. Moscow, May 22-27, 2001. Book of Abstracts. {
Moscow Univ. Press, 2001. { P. 70{72.
8. Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. { М.: Наука, 1980. { 440 с.
9. Коннер П., Флойд Э. Гладкие периодические отображения. { М.: Мир, 1969. { 339 с.
10. Понтрягин Л.С. Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий. { М.: Наука,
1976. { 176 с.
Воронежский государственный
университет
Поступила
14.11.2002
21
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
155 Кб
Теги
степени, эквивариантной, бордизмов, отображений, значение, приложение, класса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа