close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Стохастическая модель кусочно-линейного процесса на пуассоновском потоке.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 13, Специальный выпуск 4, 2008
Стохастическая модель кусочно-линейного процесса
на пуассоновском потоке?
О. В. Сересева
Институт вычислительной математики
и математической геоизики СО АН, Новосибирск, оссия
e-mail: madonnagorodok.net
A special class of random processes on the Poisson point flows with piecewise linear
trajectories is considered. The probability distributions of stochastic variables forming this process are investigated. In particular, distribution of the relative time of
expectation for the Poisson point flow is investigated. Appropriate mathematical expressions for these distributions and an expression for the central tendency of a process
as function of time are obtained.
Введение
При численном моделировании случайных процессов и полей традиционно используют
определенный набор преобразований, которые обеспечивают желаемую вероятностную
структуру процесса или поля. При моделировании гауссовских процессов и полей дискретного аргумента применяются линейные преобразования систем независимых гауссовских величин, позволяющих, в принципе, строить процессы и поля с произвольной
корреляционной структурой [1, 2?. Для моделирования гауссовских процессов и полей
непрерывного аргумента широко используются приближенные спектральные модели
[3, 4?. Другой подход к моделированию процессов и полей непрерывного аргумента
основан на использовании точечных потоков [3?. Эти модели позволяют строить стационарные процессы, однородные и однородные изотропные негауссовские поля с произвольным одномерным распределением и произвольными корреляционными ункциями
из класса выпуклых. Широкий класс моделей основан на ункциональных преобразованиях гауссовских процессов и полей. Эти модели объединяет хорошо известный
метод моделирования негауссовских процессов метод обратных ункций распределения [3, 4?. На основе этого метода можно строить негауссовские процессы и поля с
произвольным одномерным распределением и достаточно широким классом корреляционных ункций, в том числе и не принадлежащих классу выпуклых. При этом метод
обратных ункций распределения может быть успешно использован для моделирования нестационарных процессов и неоднородных полей.
Эти подходы широко используются для построения стохастических моделей реальных процессов и полей, например метеорологических и океанологических многомерных процессов, экономических и ценовых рядов. В качестве входных характеристик
?
абота выполнена при инансовой поддержке президентской программы Ведущие научные шко-
лы (грант ќ НШ-4774.2006.1).
Институт вычислительных технологий Сибирского отделения оссийской академии наук, 2008.
114
Стохастическая модель кусочно-линейного процесса на пуассоновском потоке
115
для моделей при таких подходах используются эмпирические корреляционные ункции и одномерные распределения. В случае, когда корреляционные связи достаточно
слабы, как это, например, наблюдается в ценовых рядах, целесообразно использовать
другие подходы, не связанные с использованием корреляционных ункций и одномерных распределений. Одним из таких подходов является кусочно-линейная аппроксимация реальных случайных процессов [5?, когда параметры кусочно-линейных сегментов
аппроксимирующей ункции оцениваются по данным наблюдений, после чего они моделируются в соответствии с полученными оценками и строится случайная кусочнолинейная ункция.
абота посвящена исследованию некоторых специальных процессов, связанных с
таким подходом, в частности кусочно-линейных процессов на точечных потоках.
1. Кусочно-линейный случайный процесс
на пуассоновском потоке
ассмотрим кусочно-линейный случайный процесс, принимающий в интервале (Sn?1,Sn)
следующие значения:
Y (t) = (Yn ? Yn?1)
n?1
X
t ? Sn?1
= ?n
+
?i ,
Sn ? Sn?1
i=0
t ? Sn?1
+ Yn?1 =
Sn ? Sn?1
Sn?1 ? t < Sn ,
n = 1, 2, . . .
(1)
Здесь S0 = 0; Sn = P Xi , n ? 1, Xi независимые случайные величины, имеющие
i=1
одно и то же показательное распределение с параметром ?:
n
F (x) =
1 ? e??x , x ? 0,
0,
x < 0,
?
f (x) = F (x) =
?e??x , x ? 0,
0,
x < 0,
а Y0 = ?0, Yn = P ?j , n ? 1, ?j независимые между собой и от Xi случайные
j=0
величины, равномерно распределенные в интервале [?a ; b], a, b > 0. Выражение для
Y (t) может быть использовано для численного моделирования процесса, реализации
которого представляют собой кусочно-линейные ункции. В данной работе исследуются среднее значение случайного процесса Y (t), а также распределения некоторых
вспомогательных величин, необходимых для его вычисления.
Последовательность {Sn}, n ? 0, описывает пуассоновский поток точек на прямой.
Случайная величина Sn, n ? 1, имеет гамма-распределение с параметрами ? и n [6?.
Соответствующая плотность и ункция распределения выражаются равенствами
n
?
?
(?y)n?1 ??y
e , y ? 0,
gn (y) =
(n ? 1)!
?
0,
y < 0,
?
n?1
P (?y)m
?
??y
Pr(Sn ? y) = 1 ? e
, y ? 0,
Gn (y) =
m=0 m!
?
0,
y < 0.
?
116
О. В. Сересева
Среднее значение и дисперсия равны n/? и n/?2.
Пусть t > 0 и
?(t) = min{n ? 1 : Sn ? t} ? [0, ?].
Если Sn > t для всех n ? 1, то ?(t) = ?. Поскольку S?(t)?1 < t ? S?(t) , то
Pr{?(t) = n} = Gn?1 (t) ? Gn?1 (t) =
Заметим, что
?
X
(2)
(?t)n?1 ??t
e , 0 < n < ?.
(n ? 1)!
Pr{?(t) = n} = e?t e??t = 1
n=1
и поэтому Pr{?(t) = ?} = 0. Для среднего значения E?(t) случайной величины ?(t)
верны равенства
?
E?(t) =
X (?t)n?1
n
e??t =1 + ?t.
(n
?
1)!
n=1
Случайная величина ?(t) выражает номер n
принадлежит точка t.
ассмотрим случайную величину
= ?(t)
интервала длины Xn, которому
X(t) = X?(t) = S?(t) ? S?(t)?1 .
Она описывает длину интервала [S?(t)?1, S?(t) ], накрывающего t, и имеет плотность [6?
ft (x) =
?2 xe??x ,
0 < x ? t,
?(1 + ?t)e??x , x > t.
Заметим, что ft(x) 6= f (x). Случайная величина
W (t) = S?(t) ? t
описывает расстояние от точки t до конца S?(t) накрывающего ее интервала [S?(t)?1 , S?(t)]
и имеет то же экспоненциальное распределение, что и случайные величины Xn [6?.
Pr{W (t) ? x} = Pr{Xn ? x} = F (x) =
Случайная величина
1 ? e??x , x ? 0,
0,
x < 0.
Z(t) = t ? S?(t)?1 = S?(t) ? S?(t)?1 ? (S?(t) ? t) = X(t) ? W (t)
описывает расстояние до точки t от начала
[S?(t)?1 , S?(t) ] и имеет ункцию распределения
S?(t)?1
накрывающего ее интервала
?
x < 0,
? 0,
??x
H0 (t, x) = Pr{Z(t) ? x} =
1 ? e , 0 ? x < t,
?
1,
x ? t.
Заметим, что H0(t, x) ? F (x) при t ? ?.
Стохастическая модель кусочно-линейного процесса на пуассоновском потоке
117
ассмотрим случайные величины
?
t ? S?(t)?1
? Z(t)
=
,
Q(t) =
X(t)
X?(t)
?
1,
?
S?(t) ? t
? W (t)
=
,
R(t) =
X(t)
X?(t)
?
1,
X(t) 6= 0,
X(t) = 0,
X(t) 6= 0,
X(t) = 0.
Они описывают относительные длины левой [S?(t)?1, t] и правой [t, S?(t) ] частей интервала [S?(t)?1 , S?(t)], накрывающего точку t, соответственно. Tак как
Pr{X(t) = 0} = Pr{X?(t) = 0} =
?
X
Pr{Xn = 0} = 0,
n=1
то Pr{Q(t) = 1} = Pr{R(t) = 1} = 0. Заметим, что Q(t) + R(t) = 1 и поэтому достаточно
рассматривать величину Q(t). Нужно найти ее ункцию распределения, плотность,
среднее значение и дисперсию.
Найдем ункцию распределения
H(t, u) = Pr{Q(t) ? u}
и плотность случайной величины Q(t). Заметим, что (t > 0, 0 < u ? 1),
Q(t) ? u ?
t ? S?(t)?1
t ? S?(t)?1
?u?
? X?(t) .
X?(t)
u
Пусть ?(t) = 1. Тогда S?(t)?1 = S0 = 0,
X?(t) = X1 и
t
t
Pr{?(t) = 1, Q(t) ? u} = Pr
? X1 = 1 ? Pr X1 <
=
u
u
= 1 ? (1 ? e??t/u ) = e??t/u .
Пусть ?(t) = n > 1. Тогда
t?y
Pr{?(t) = n, Q(t) ? u} = Pr (x, y) : Xn = x, Sn?1 = y, 0 <
?x =
u
=
Zt
Z?
gn?1 (y)f (x)dxdy,
0 (t?y)/u
Pr{?(t) > 1, Q(t) ? u} =
? Z
X
t
Z?
gn?1 (y)f (x)dxdy =
n=2 0
(t?y)/u
=
Zt
0
?
?
?
?
X
n=2
gn?1(y)
! Z?
(t?y)/u
?
?
f (x)dx? dy.
118
О. В. Сересева
Заметим, что при y > 0
?
X
?
X
(?y)n?2 ??y
gn?1 (y) =
?
e
= ?,
(n ? 2)!
n=2
n=2
?
?
Zt
Z?
?
?
Pr{?(t) > 1, Q(t) ? u} = ??
?e??u dx? dy =
0
=
Zt
(t?y)/u
?e??(t?y)/u dy = u ? e??t/u u.
0
Следовательно,
H(t, u) = Pr{Q(t) ? u} = Pr{?(t) = 1, Q(t) ? u} + Pr{?(t) > 1, Q(t) ? u} =
= u + (1 ? u)e??t/u ,
0 < u ? 1.
Диеренцируя, находим плотность
??t/u
h(t, u) = 1 ? e
t
+?
u
1
? 1 e??t/u .
u
Найдем среднее значение E(Q(t)) и дисперсию V (Q(t)) случайной величины Q(t).
Интегрируя, получаем
E(Q(t)) =
Z1
uh(t, u)du =
0
V [Q(t)] =
Z1
1
1 + ?t(2 + ?t)?(0, ?t) ? (1 + ?t)e??t ,
2
(u ? E[Q(t)])2 h(t, u)du =
(3)
1
(1 ? ?t (2(6 + ?t(9 + 2?t))+
12
0
+3?t(2 + ?t)2 ?(0, ?t))?(0, ?t) + (2(1 + 7?t + 2?2 t2 )+
В (3) и (4)
+6?t(2 + 3?t + ?2 t2 )?(0, ?t) ? 3e??t (1 + ?t)2 )e??t ).
?(a, z)
обозначает неполную гамма-ункцию:
?(a, z) =
Z?
xa?1 e?x dx.
z
Используя обозначения (2), представим выражение для Y (t) в виде
Y (t) = (Y?(t) ? Y?(t)?1 )
= ??(t) Q(t) +
?(t)?1
P
t ? S?(t)?1
+ Y?(t)?1 =
S?(t) ? S?(t)?1
?i ,
S?(t)?1 ? t < S?(t) .
i=0
С учетом (3) среднее E(Y (t)) процесса (1) имеет вид
b?a
E(Y (t)) =
(E(Q(t)) + 1 + t?) =
2
b?a
=
3 + ?t ((2 + ?t)?(0, ?t) + 2) ? (1 + ?t)e??t .
4
(4)
Стохастическая модель кусочно-линейного процесса на пуассоновском потоке
119
Список литературы
[1?
Ермаков С.М., Михайлов .А.
[2?
Оgorodnikov V.A., Prigarin S.M.
[3?
[4?
[5?
[6?
Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.
Numerial modeling of random proesses and elds:
algorithms and appliations. Utreht, The Netherlands: VSP, 1996.
Михайлов .А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1986. [Engl.
Transl.: Springer-Verlag, 1992?.
Методы численного моделирования случайных процессов и полей. Новосибирск: ИВМиМ СО АН, 2005.
Пригарин С.М.
Novikov A.V., Ogorodnikov V.A. Stohasti model of prie series // Pro. Intern. Conf.
on Comp. Math. Novosibirsk, 2002. P. 243248.
Феллер В.
Введение в теорию вероятностей и ее приложения Т. 2. М.: Мир, 1984.
Поступила в редакцию 20 евраля 2008 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
178 Кб
Теги
кусочно, процесс, стохастических, линейного, модель, поток, пуассоновского
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа