close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сумматорные и интегральные уравнения периодических задач дифракции упругих волн на дефектах в слоистых средах.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2008, № 9, c. 76–82
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
Краткое сообщение
Е.А. ОСИПОВ, Н.Б. ПЛЕЩИНСКИЙ
СУММАТОРНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ ВОЛН НА ДЕФЕКТАХ В СЛОИСТЫХ
СРЕДАХ
Аннотация. Задача дифракции упругой волны на периодической системе дефектов, расположенных на границе раздела сред в плоскослоистой среде, сведена к парному сумматорному
функциональному уравнению относительно коэффициентов разложения искомой волны по
квазипериодическим волнам (волнам Флоке). Методом интегральных тождеств парное уравнение сведено к регулярной бесконечной системе линейных уравнений, решение которой может быть получено методом усечения. Показано, что интегральное тождество представляет
собой необходимое и достаточное условие разрешимости вспомогательной переопределенной
задачи для системы уравнений теории упругости в полуплоскости. Получены интегральные
уравнения второго рода, эквивалентные исходной задаче дифракции.
Ключевые слова: упругие волны, задача дифракции, слоистые среды, волны Флоке, переопределенные граничные задачи, интегральные уравнения.
УДК: 517.958 : 539.3
Abstract. In this paper we consider the diffraction problem for an elastic wave at a periodic set of
defects located at the interface of stratified media. We reduce the mentioned problem to a paired
summatory functional equation with respect to coefficients of the expansion of the desired wave by
quasiperiodic waves (the Floquet waves). Using the method of integral identities, we reduce the
paired equation to a regular infinite system of linear equations. One can solve this system by the
truncation method. We prove that the integral identity is the necessary and sufficient condition
for the solvability of the auxiliary overspecified problem for a system of equations in a half-plane
in the elasticity theory. We obtain integral equations of the second kind which are equivalent to
the initial diffraction problem.
Keywords: elastic waves, diffraction problem, stratified media, Floquet waves, overspecified boundary value problems, integral equations.
Задачи дифракции электромагнитных волн на периодических решетках из металлических лент исследованы достаточно полно (напр., [1]). Задачам дифракции упругих волн в
слоистых средах на дефектах различной природы (отслоениях, трещинах, тонких включениях) посвящено существенно меньше публикаций. Общие положения теории дифракции
Поступила 20.08.2007
76
СУММАТОРНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
77
упругих волн изложены, например, в монографиях [2], [3]. В работе [4] было предложено использовать при решении задач дифракции электромагнитных волн на периодических
решетках и на отдельных лентах метод интегральных тождеств. В периодическом случае
этот метод позволяет достаточно просто перейти от парного функционального уравнения
к регулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ). Интегральные тождества представляют собой необходимые и достаточные условия разрешимости вспомогательных переопределенных задач для уравнения Гельмгольца. Обзор публикаций, посвященных методу переопределенной граничной задачи в теории распространения
и дифракции волн, имеется в статье [5].
В работе [6] метод переопределенной граничной задачи был применен при решении задач
дифракции упругих волн на дефектах в слоистых средах. В данной статье рассматривается
случай, когда искомые функции являются квазипериодическими. Поэтому интегральные
уравнения можно заменить на сумматорные, в которых искомыми величинами являются не
граничные значения напряжений или перемещений, а коэффициенты разложения решения
задачи сопряжения по гармоникам Флоке.
Рассмотрим двумерную задачу дифракции упругой волны в упругой полуплоскости, находящейся в контакте с жестким основанием. Пусть на прямой y = 0 расположена периодическая система дефектов (периодически расположенные отслоения). Из верхней полуплоскости на границу раздела сред падает упругая волна. Нужно найти волны, отраженные
вверх (см. рис. 1).
y
6
@
I
@
@
M
упругая полуплоскость
-
N
0
x
жесткое основание
Рис. 1. Дефекты на границе упругой полуплоскости
1. Квазипериодические решения системы уравнений теории упругости. Пусть
l — период системы дефектов и L = 2π/l. Рассмотрим систему уравнений плоской (двумерной) теории упругости
∂ 2 ux
∂σy
∂ 2 uy
∂τ
∂σx ∂τ
+
−ρ
+
−
ρ
=
0,
= 0,
∂x
∂y
∂t2
∂x
∂y
∂t2
∂uy
∂uy
∂uy
∂ux
∂ux
∂ux
+λ
, σy = λ
+ (λ + 2µ)
, τ =µ
+µ
.
σx = (λ + 2µ)
∂x
∂y
∂x
∂y
∂y
∂x
(1)
(2)
При гармонической зависимости от времени вида eiωt будем искать комплексные амплитуды
напряжений и перемещений в виде
f (x, y) = eiαx
+∞
n=−∞
fn (y)eiLnx =
+∞
n=−∞
fn (y)eiLn x ,
Ln = α + nL.
78
Е.А. ОСИПОВ, Н.Б. ПЛЕЩИНСКИЙ
Коэффициенты разложений искомых функций по гармоникам Флоке должны удовлетворять системе обыкновенных дифференциальных уравнений
iLn σxn (y) + τn (y) + ρω 2 uxn (y) = 0,
σxn (y) = iLn (λ + 2µ)uxn (y) + λuyn (y),
iLn τn (y) + σyn
(y) + ρω 2 uyn (y) = 0,
σyn (y) = iLn λuxn (y) + (λ + 2µ)uyn (y),
(3)
τn (y) = µuxn (y) + iLn µuyn (y).
Обозначим
k12 =
и пусть
βjn =
ρω 2
,
λ + 2µ
k22 =
ρω 2
µ
kj2 − L2n = |Ln | ≤ kj : − kj2 − L2n ; |Ln | ≥ kj : i L2n − kj2
(значения вычисляются в соответствии с тем, как в [6] выбраны однозначные ветви многозначных функций γj (ξ)). Общее решение системы уравнений (3) имеет вид
2
+ iλL2n ] An eiβ1n y − Bn e−iβ1n y −
σyn (y) = [i(λ + 2µ)β1n
− 2iµβ2n Ln Cn eiβ2n y − Dn e−iβ2n y ,
2
− L2n ) Cn eiβ2n y − Dn e−iβ2n y ,
τn (y) = 2iµβ1n Ln An eiβ1n y + Bn e−iβ1n y + iµ(β2n
(4)
uxn (y) = An eiβ1n y Ln − Bn e−iβ1n y Ln + Cn eiβ2n y β2n + Dn e−iβ2n y β2n ,
uyn (y) = An eiβ1n y β1n + Bn e−iβ1n y β1n − Cn eiβ2n y Ln + Dn e−iβ2n y Ln ,
σxn (y) = i(λk12 + 2µL2n ) An eiβ1n y − Bn e−iβ1n y + 2iµLn β2n Cn eiβ2n y + Dn e−iβ2n y ,
где An , Bn , Cn , Dn — произвольные постоянные.
2. Условия на бесконечности. Будем говорить, что упругая волна движется в заданном направлении, если она переносит энергию или (и) затухает в этом направлении.
Лемма 1. При выбранной зависимости искомых функций от времени и при указанном выше способе вычисления значений βjn в формулах (4) для волн, уходящих на бесконечность,
Bn = 0, Dn = 0 и для волн, приходящих с бесконечности, An = 0, Cn = 0.
Будем искать коэффициенты Флоке волны, отраженной вверх, в виде
uxn (y) = Ln An eiβ1n y + β2n Cn eiβ2n y , uyn (y) = β1n An eiβ1n y − Ln Cn eiβ2n y ,
2
− L2n ) Cn eiβ2n y
τn (y) = iµ 2β1n Ln An eiβ1n y + (β2n
(выражения функций σx (y) и σy (y) не приводим).
В напряжениях и перемещениях волны, падающей сверху на систему дефектов, оставим
только одно слагаемое с номером n0 . Пусть
u0x (x, y) = − Ln0 Bn0 e−iβ1n0 y + β2n0 Dn0 e−iβ2n0 y eiLn0 x ,
u0y (x, y) = β1n0 Bn0 e−iβ1n0 y + Ln0 Dn0 e−iβ2n0 y eiLn0 x ,
iL 0 x
2
−iβ2n0 y
e n .
τ 0 (x, y) = iµ 2β1n0 Ln0 Bn0 e−iβ1n0 y + (L2n0 − β2n
0 )Dn0 e
3. Парное сумматорное функциональное уравнение. Пусть M — множество отрезков, образующих дефект, и N —дополнение его замыкания до интервала (0, l). Пусть
упругая полуплоскость на N находится в полном контакте с основанием, а на M скользит
СУММАТОРНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
79
без трения. Для суммы падающей и дифрагированной упругих волн должны быть выполнены граничные условия
τ 0 (x, 0) + τ (x, 0) = 0 на M;
u0y (x, 0) + uy (x, 0) = 0,
u0x (x, 0) + ux (x, 0) = 0, u0y (x, 0) + uy (x, 0) = 0 на N .
Из условия u0y + uy = 0 на M и на N следует
An0 =
Ln 0
(C 0 − Dn0 ) − Bn0 ,
β1n0 n
An =
Ln
Cn
β1n
при n = n0 .
Следовательно,
+∞ 2
Ln
Ln 0
iLn x
ux (x, 0) =
+ β2n Cn e
− Ln 0
Dn0 + Bn0 eiLn0 x ,
β
β
0
1n
1n
n=−∞
τ (x, 0) = iρω
+∞
2
Cn eiLn x − 2iµLn0 Ln0 Dn0 + β1n0 Bn0 .
n=−∞
Поэтому условия
+∞
u0x
+ ux = 0 на N и τ 0 + τ = 0 на M сводятся к
iLn0 x
iLnx
γn Cn e
= En0 e
,
+∞
x ∈ N,
n=−∞
0
Cn eiLnx = Dn0 eiLn x ,
x ∈ M;
(5)
n=−∞
здесь
γn =
L2n
+ β2n ,
β1n
En0 = 2Ln0 Bn0 +
L2n0
− β2n0 Dn0 .
β1n0
Лемма 2. Задача дифракции на периодической системе дефектов эквивалентна парному
функциональному сумматорному уравнению (5).
Чтобы упростить дальнейшие рассуждения, перейдем к новым неизвестным
n0 = Cn0 − En0 ,
C
γn0
n = Cn0
C
при n = n0 .
Тогда парное сумматорное уравнение (5) примет вид
+∞
n=−∞
n eiLnx = 0,
γn C
x ∈ N,
+∞
n0 eiLn0 x ,
n eiLnx = D
C
x ∈ M,
(6)
n=−∞
где
n0 = Dn0 + En0 = 2Ln0 [β1n0 Bn0 + Dn0 ] .
D
γn0
L2n0 + β1n0 β2n0
4. Переход к интегральным уравнениям и БСЛАУ. Введем новую искомую функцию
+∞
n eiLnx ,
γn C
v(x) =
n=−∞
n — ее коэффициенты Фурье. Тогда из (6) следует
по построению числа γn C
+∞
1 iLn(x−t)
1
n0 eiLn0 x , x ∈ M.
v(t)
e
dt = D
l M
γ
n=−∞ n
(7)
80
Е.А. ОСИПОВ, Н.Б. ПЛЕЩИНСКИЙ
Периодическое ядро интегрального уравнения (7) имеет при t → x логарифмическую особенность.
Обозначим
eiLkτ dτ, Jk =
eiLkτ dτ.
Ik =
M
N
Если использовать функцию
w(x) =
+∞
n=−∞
n eiLnx ,
C
n = 1
C
l
N
1
w(t) e−iLnt dt + D
0I 0
,
l n n −n
то парное уравнение (6) сведется к гиперсингулярному интегральному уравнению
+∞
+∞
1
1
iLn(x−t)
w(t)
γn e
dt = − Dn0
γn In0 −n eiLnx , x ∈ N .
l N
l
n=−∞
n=−∞
(8)
Теорема 1. Задача дифракции на периодической системе дефектов сводится к интегральным уравнениям (7) и (8).
В формулировке этой теоремы не случайно сказано “сводится”, а не “эквивалентна”. После
того, как решения уравнений (7) и (8) найдены, они должны быть продолжены на весь
n0 eiLn0 x на M. Поэтому фактически задача
интервал (0, l): v(x) = 0 на N и w(x) = D
дифракции эквивалентна интегральным уравнениям 3-го рода.
Покажем, как перейти от парного сумматорного уравнения к регулярной БСЛАУ.
Лемма 3. Для любого набора чисел cn , n = 0, ±1, . . . ,
l +∞
+∞
+∞
1 iLm(x−τ )
1
iLnτ
γn cn e
e
cn eiLnx ,
dτ =
l
γ
m
0
n=−∞
m=−∞
n=−∞
x ∈ (0, l).
(9)
Следовательно, с одной стороны, значения функции w(x) заданы на M первым уравнением из (6). С другой стороны, из тождества (9) и второго условия из (6) значения этой
функции на N равны
+∞
+∞
+∞
+∞
1
1 1 iLm(x−τ )
1 n eiLnτ
n
γn C
e
γn C
In−m eiLmx .
dτ =
l
γ
l
γ
M
n=−∞
m=−∞ m
n=−∞
m=−∞ m
Перейдем к коэффициентам Фурье и получим следующее утверждение.
Теорема 2. Задача дифракции на периодической системе дефектов эквивалентна БСЛАУ
+∞
+∞
1 1
n0 In0 −k ,
γn Cn
In−m Jm−k = D
l Ck −
l n=−∞
γ
m
m=−∞
k = 0, ±1, . . .
(10)
Как показал вычислительный эксперимент, БСЛАУ (10) может быть решена численно
методом усечения (редукции).
5. Условия разрешимости переопределенной граничной задачи. Уточним, какой
смысл имеет интегрально-сумматорное тождество (9). Будем искать упругую волну, отраженную от границы полуплоскости с дефектами, в виде суммы двух волн — отраженной от
жесткого основания без дефектов (верхний индекс (1)) и дополнительного слагаемого (верхний индекс (2)). Напряжения и перемещения падающей сверху волны пометим индексом
(0).
СУММАТОРНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
81
Для первой волны должны быть выполнены граничные условия
(1)
u(0)
y + uy = 0 на M ∪ N ,
(1)
u(0)
x + ux = 0,
а для суммы всех трех волн — условия
(1)
(2)
(0)
(1)
(2)
u(0)
x + ux + ux = 0, uy + uy + uy = 0 на N ,
(1)
(2)
τ (0) + τ (1) + τ (2) = 0, u(0)
y + uy + uy = 0 на M.
Следовательно, для второй волны остается
u(2)
x (x, 0) = 0,
u(2)
y (x, 0) = 0,
τ (2) (x, 0) = −τ (0) (x, 0) − τ (1) (x, 0),
x ∈ N,
u(2) (x, 0)y = 0,
x ∈ M.
n сводится к тому, что вместо суммы из двух волн
Поэтому переход от неизвестных Cn к C
рассматривается только второе слагаемое.
Рассмотрим следующую переопределенную задачу: найти гармонически зависящие от
времени квазипериодические решения системы уравнений (1), (2) в верхней полуплоскости
y > 0, удовлетворяющие граничным условиям
ux (x, 0) = ux0 (x),
uy (x, 0) = 0,
τ (x, 0) = τ0 (x),
−∞ < x < +∞.
(11)
Второе граничное условие будет выполнено, если β1n An − Ln Cn = 0. Тогда
ux (x, 0) =
+∞
iLn x
γn Cn e
,
τ (x, 0) = iρω
n=−∞
2
+∞
Cn eiLn x .
n=−∞
Поэтому равенство (9) устанавливает связь между следами функций ux (x, y) и τ (x, y) на
границе полуплоскости.
Лемма 4. Переопределенная граничная задача (1), (2), (11) разрешима тогда и только
тогда, когда
l
+∞
1 1 iLm(x−τ )
ux0 (τ )
e
dτ, x ∈ (0, l).
τ0 (x) = iρω 2
l m=−∞ γm
0
Заметим, что в [6] связь между функциями ux0 (x) и τ0 (x) в более общем, не обязательно
периодическом случае, была получена на языке их образов Фурье.
Можно показать, что задача дифракции упругой волны в полуплоскости на периодической системе отслоений равносильна еще двум интегральным уравнениям 2-го рода.
Литература
[1] Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. – Харьков: Изд-во Харьковск. ун-та, 1971. – 400 с.
[2] Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наук. думка, 1978. – 308 с.
[3] Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. – М.: Изд-во МГУ, 1992. – 208 с.
[4] Плещинский Н.Б., Тумаков Д.Н. Метод частичных областей для скалярных координатных задач дифракции электромагнитных волн в классах обобщенных функций // Препринт 2000-1. – Казанск. матем.
об-во, Казань, 2000. – 50 с.
[5] Плещинская И.Е., Плещинский Н.Б. Переопределенные граничные задачи для эллиптических уравнений
с частными производными и их применение в теории дифракции волн // Ученые записки Казанского
гос. ун-та. – 2005. – Т. 147. – Кн. 3. – С. 4–32.
[6] Плещинский Н.Б. Отражение, преломление и дифракция двумерных упругих волн. Метод переопределенной задачи Коши // Препринт ПМФ-04-01. – Казань: Казанск. матем. об-во, 2004. – 34 с.
82
Е.А. ОСИПОВ, Н.Б. ПЛЕЩИНСКИЙ
Е.А. Осипов
аспирант, кафедра прикладной математики,
Казанский государственный университет,
420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 18
Н.Б. Плещинский
профессор, кафедра прикладной математики,
Казанский государственный университет,
420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 18,
e-mail: pnb@ksu.ru
E.A. Osipov
Postraduate, Chair of Applied Mathematics,
Kazan State University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia
N.B. Pleshchinskii
Professor, Chair of Applied Mathematics,
Kazan State University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: pnb@ksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
169 Кб
Теги
уравнения, слоистых, интегральная, волна, среда, упругие, дифракции, задачи, дефектах, периодических, сумматорные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа