close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Существование решения квазилинейной эллиптической краевой задачи при наличии точечных источников.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2010
Том 152, кн. 1
УДК 517.957
СУЩЕСТВОВАНИЕ ЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ПИ НАЛИЧИИ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ
О.А. Задворнов
Аннотация
Доказано существование решения квазилинейной эллиптической краевой задачи при
наличии точечных источников. Использовано аддитивное выделение особенности, связанной с сингулярностью правой части. ешение нелинейной задачи ищется в виде суммы
известного решения некоторой линейной (ассоциированной с исходной) задачи с точечными источниками в правой части и неизвестного ѕдобавкаї.
Ключевые слова: квазилинейная эллиптическая краевая задача, точечный источник, монотонный оператор, теорема существования.
Введение
Настоящая работа посвящена исследованию краевой задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения в произвольной ограниченной области ?
при наличии внутри области точечных источников. ассматривается уравнение в
дивергентной орме, левая часть которого порождает монотонный и коэрцитив(1)
ный оператор в гильбертовом пространстве W2 (?) . В предположении, что правая
часть уравнения из краевой задачи порождает ункционал из пространства сопря(1)
женного к W2 (?) , решение существует (см. [1, 2?). В нашем случае это условие
на правую часть не выполняется и использовать непосредственно теорию монотонных операторов не представляется возможным. Однако такие задачи возникают и
представляют определенный интерес (например, задачи теории ильтрации [3?).
В настоящей работе развивается подход, использованный при рассмотрении стационарных задач ильтрации несжимаемой жидкости, следующей закону ильтрации с предельным градиентом, при наличии точечного источника [4?. ешение
нелинейной задачи ищется в виде суммы известного решения некоторой линейной
(ассоциированной с исходной) задачи с точечными источниками в правой части и
неизвестного ѕдобавкаї. Таким образом, выделяется особенность решения нелинейной задачи, связанная с сингулярностью правой части (решение линейной задачи
(1)
не принадлежит W2 (?) , являясь менее гладким). Задача относительно искомого ѕдобавкаї сводится к уравнению с монотонным и коэрцитивным оператором в
(1)
пространстве W2 (?) , разрешимость которого следует из известных результатов.
Отметим, что предложенный в настоящей работе способ исследования нелинейных задач может быть использован и для систем уравнений (см. [5?).
1.
Постановка задачи
ассматривается краевая задача Дирихле для квазилинейного уравнения при
наличии источников, сосредоточенных в точках xi , с соответствующими интенсивностями qi , i = 1, 2, . . . , N :
? div g(x, ?w(x)) =
N
X
i=1
qi ?(x ? xi ),
x ? ?,
(1)
156
О.А. ЗАДВОНОВ
w(x) = w? (x),
(2)
x ? ??,
где ? ? Rn , n > 2 , ограниченная область с липшиц-непрерывной границей
?? . Считаем, что точки xi , i = 1, 2, . . . , N , лежат внутри области ? , а также
(1)
существует ункция w
e ? W2 (?) со следом, удовлетворяющим равенству
w(x)
e
= w? (x),
(3)
x ? ??.
Относительно ункции g : ? Ч Rn ? Rn предполагаем, что выполнены условия
Каратеодори [6, с. 196?:
(I) для почти всех x ? ? ункция ? ? g(x, ?) непрерывна при ? ? Rn ;
(II) для каждого ? ? Rn ункция x ? g(x, ?) измерима на ? ,
а также ункция имеет линейный рост на бесконечности: существуют постоянная
d1 > 0 и ункция b1 ? L2 (?) такие, что
| g(x, ?) | 6 d1 | ? | + b1 (x)
? ? ? Rn ,
? x ? ?.
(4)
Кроме того, считаем, что она монотонна:
( g(x, ?) ? g(x, µ) , ? ? µ ) > 0
? ?, µ ? Rn ,
? x ? ?.
(5)
и коэрцитивна: существуют постоянная d2 > 0 и ункция b2 ? L1 (?) такие, что
( g(x, ?) , ? ) > d2 | ? |2 + b2 (x),
? ? ? Rn ,
? x ? ?.
(6)
Здесь (·, ·) , | · | скалярное произведение и норма в пространстве Rn .
При выполнении условий (I), (II), (4)(6) краевая задача (1), (2) имеет решение
(1)
в W2 (?) , если правая часть уравнения (1) порождает ункционал из простран(1)
ства, сопряженного к W2 (?) (см. [1, 2?). Очевидно, что в нашем случае правая
часть менее гладкая, что не позволяет воспользоваться известными подходами.
В настоящей работе установлено существование решения задачи (1), (2); при
этом понадобится следующее дополнительное предположение относительно ункции g :
существуют постоянная ? и матрицы Gi , i = 1, 2, . . . , N , удовлетворяющие
условиям:
n?2
? > ?? =
, n > 2,
(7)
2
(?, Gi ?) > 0 ? ? 6= 0, (Gi ?, µ) = (?, Gi µ) ? ?, µ ? Rn ,
(8)
такие, что для ункции g выполнены следующие неравенства
| g(x, ?) ? Gi ? | 6 c | x ? xi |? | ? | + C ? ? ? Rn , ? x ? Br (xi ) ? ?,
\
Br (xi ) Br (xj ) = ? для i 6= j.
(9)
(10)
Здесь r, c, C > 0 положительные постоянные, Br (y) = {x ? Rn : |x ? y| < r} .
В завершение ормулировки задачи определим класс ункций, в котором будем искать решение w . С этой целью рассмотрим ундаментальное решение оператора Лапласа
?2 (x) =
1
ln( | x | ),
2?
1
?n (x) = ?
,
(n ? 2) ?n | x | n?2
(11)
n > 3,
n
?n = mes {x ? R : | x | = 1},
СУЩЕСТВОВАНИЕ ЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ КАЕВОЙ ЗАДАЧИ
157
удовлетворяющее уравнению (1) в частном случае (когда g(x, ?) ? ? , N = 1 ,
x1 = 0 и q1 = ?1 ):
Z
??n (x) ?(x) dx = ?(0)
?? ? C0? (?).
?
Непосредственно из (11) вытекает, что
| ??n (x) | 6
Cn
,
| x | n?1
n > 2,
и, таким образом, выполнено включение
\
?n ? W =
Wp(1) (?), где p? =
1<p<p?
(12)
Cn > 0,
n
,
n?1
n > 2.
(13)
Естественно ожидать, что решение нелинейной задачи будет иметь гладкость не
выше, чем в линейном случае, и поэтому будем искать решение w среди элементов
множества (13).
Определившись с классом ункций, введем вариационную ормулировку задачи (1), (2):
?
Z
N
X
?
?
? найти w ? W : (g(x, ?w(x)), ??(x)) dx =
qi ?(xi ) ? ? ? C0? (?)
?
?
?
i=1
?
w(x) = w? ,
(14)
x ? ??.
и установим существование ее решения.
2.
Существование решения
Покажем, что задача (14) сводится к уравнению в гильбертовом пространстве
с монотонным, коэрцитивным оператором и поэтому разрешима.
При исследовании разрешимости нам потребуются ее частные случаи ( Gi матрицы из (9) для i = 1, 2, . . . , N )
?
Z
?
?
? найти ? ? W :
(Gi ??(x), ??(x)) dx = qi ?(xi ) ? ? ? C0? (?),
(15)
?
?
?
?
?(x) = 0, x ? ??.
В силу условий (8) для i = 1, 2, . . . , N существует симметричная, положительно определенная матрица Gi , удовлетворяющая равенству Gi Gi = G?1
i , и тогда
ункция
??i (x) = ?qi det Gi ?n Gi (x ? xi )
удовлетворяет вариационному равенству из задачи (15).
Поскольку точки xi (являясь внутренними точками области ? ) не принадлежат границе ?? , то ??i ? C ? (??) . Поэтому существует единственное решение
у следующей задачи:
(1)
найти ?i ? W2 (?) : div Gi ? ?i (x) = 0, x ? ?;
?i (x) = ??Їi (x), x ? ??,
158
О.А. ЗАДВОНОВ
и решение задачи (15) имеет вид
?i (x) = ?i (x) + ?Їi (x),
(16)
x ? ?.
Из неравенства (12) и свойств матрицы Gi получаем оценку
|??Їi (x)| 6
c?
,
| x ? xi | n?1
(17)
n > 2,
и, следовательно, ?Їi ? W для i = 1, 2, . . . , N .
Определим ункцию ? ? W следующим равенством ( w
e ункция из (3)):
?(x) = w(x)
e
+
N
X
(18)
x??
?i (x) ,
i=1
? (1)
и будем искать решение задачи (14) в виде w = ?+u , где u ? W 2 (?) неизвестная
ункция. С учетом равенств (15) задача (14) сводится к следующей:
?
Z
?
?
?
? найти u ?W (1)
(?)
:
(g(x, ?(? + u)(x)) , ??(x)) dx =
?
2
?
?
?
(19)
N Z
X
?
?
?
?
=
(G
?
?
(x)
,
?
?(x))
dx
?
?
?
C
(?).
?
i
i
0
?
?
i=1 ?
? (1)
Пусть V =W 2 (?) гильбертово пространство со скалярным произведением
и соответствующей ему нормой, задаваемыми по ормулам:
(u, w)V =
Z
?
(?u, ?w) dx,
?
kukV = ?
Z
?
?1/2
|?u|2 dx ?
u, v ? V.
Определим орму a : V Ч V ? R1 следующим образом:
a(u, v) =
Z
g (x, ??(x) + ?u(x)) ?
N
X
!
Gi ??i (x), ?v(x)
i=1
?
dx.
(20)
Проверим корректность этого определения. Введем ункцию g0 : ? Ч Rn ? Rn ,
g0 (x, ?) = g(x, ??(x) + ?) ?
N
X
Gi ??i (x),
x ? ?,
? ? Rn .
(21)
i=1
Поскольку ункция g удовлетворяет условиям (I) и (II), ункция ? определена
равенством (18), то выполнены аналогичные условия для ункции g0 :
(i) для почти всех x ? ? ункция ? ? g0 (x, ?) непрерывна при ? ? Rn ;
(ii) для каждого ? ? Rn ункция x ? g0 (x, ?) измерима на ? .
Установим, что ункция g0 имеет линейный рост на бесконечности. Пользуясь
условием (4), получаем:
| g0 (x, ?) | 6 d1 |?| + eb(x)
? ? ? Rn ,
? x ? ?\
N
[
i=1
Br (xi ),
(22)
СУЩЕСТВОВАНИЕ ЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ КАЕВОЙ ЗАДАЧИ
159
где ункция eb определена равенством
N
X
eb(x) = d1 |??(x)| + Gi ??i (x) +b1 (x)
i=1
N
[
и принадлежит пространству L2 ?\
Br (xi ) .
i=1
Далее, рассмотрим поведение ункции g0 в окрестности точки xi , предварительно проведя с учетом (16), (18) следующие преобразования:
g0 (x, ?) = g(x, ??(x) + ?) ? Gi (??(x) + ?) + Gi ? + Gi ??(x) ?
N
X
Gi ??j (x) =
j=1
= g(x, ??(x) + ?) ? Gi (??(x) + ?) + Gi ? + Gi ?w(x)
e
+
N
X
(Gi ? Gj ) ??j (x) =
j=1,j6=i
= g(x, fi (x) + ??Їi (x) + ?) ? Gi (fi (x) + ??Їi (x) + ?) + Gi ? + fei (x),
(23)
где ункции fi , fei определены равенствами
N
X
fi (x) = ? w(x)
e
+ ?i (x) +
?j (x) ,
j=1,j6=i
fei (x) = Gi ?w(x)
e
+
N
X
(Gi ? Gj ) ??j (x)
j=1,j6=i
и принадлежат пространству L2 (Br (xi )) .
Пользуясь неравенствами (9) и (17) получаем:
| g0 (x, ?) | 6 c | x ? xi |? | fi (x) + ??Їi (x) + ? | + C + | Gi ? | + fei (x) 6
6 c | x ? xi |? | ??Їi (x) | + ebi (x) + dei | ?| 6
6
c c?
+ ebi (x) + dei | ? |
| x ? xi | n?1??
? x ? Br (xi ), ? ? Rn .
Из неравенства (7) имеем, что 2 (1 + ? ? n) > ?n , таким образом, ункция
x ? |x ? xi |1+??n принадлежит L2 (Br (xi )) , и, следовательно, существуют постоN
[
янная de > 0 и ункция eb ? L2
Br (xi ) такие, что
i=1
| g0 (x, ?) | 6 de |?| + eb(x)
? ? ? Rn ,
?x ?
N
[
Br (xi ).
(24)
i=1
Таким образом, пользуясь неравенствами (22) и (24), получаем:
|a(u, v)| 6 (k0 + kkukV )kvkV < +? ? u, v ? V,
где k , k0 некоторые положительные постоянные.
(25)
160
О.А. ЗАДВОНОВ
Форма (20) линейна по второму аргументу, а в силу неравенства (25) непрерывна по нему. По теореме исса Фишера эта орма порождает оператор A : V ? V ,
(Au, v)V = a(u, v)
(26)
? u, v ? V.
Очевидно, что из определения оператора и ормы (20) следует эквивалентность
задачи (19) следующему операторному уравнению:
(27)
Au = 0.
Чтобы доказать разрешимость этого уравнения, нам понадобится следующая
Лемма 1. Пусть ункция g удовлетворяет условиям (I), (II), (4)(6), (9). Тогда оператор A , определенный в (20), (26), является непрерывным, ограниченным,
монотонным, удовлетворяет неравенству
(Au, u)V > m kuk2V ? m0
(28)
? u ? V,
где m , m0 некоторые положительные константы.
Доказательство.
Определение (26) с учетом (21) имеет вид
(Au, v)V =
Z
(g0 (x, ?u(x)), ?v(x)) dx
? u, v ? V.
?
и, поскольку ункция g0 удовлетворяет условиям Каратеодори (i) и (ii), (22) и
(24), то оператор A : V ? V является непрерывным (см. [6, с. 213?).
Далее из (25), (26) получаем оценку:
kAukV 6 kkukV + k0 ,
и, таким образом, оператор A является ограниченным.
Монотонность оператора A вытекает из условия монотонности (5):
(Au ? Av, u ? v)V = a(u, u ? v) ? a(v, u ? v) =
Z
= (g(x, ?(? + u)) ? g(x, ?(? + v)), ?(? + u) ? ?(? + v)) dx > 0.
?
Докажем теперь неравенство (26). На множестве Br (xi ) , пользуясь (23) и неравенством (9), получаем:
(g0 (x, ?) , ?) = (g(x, fi (x) + ??Їi (x) + ?) ? Gi (fi (x) + ??Їi (x) + ?) + Gi ? + fei (x) , ?) >
> ?( c | x ? xi | ? | fi (x) + ??Їi (x) + ? | + C ) | ? | + (Gi ? , ?) + (fei (x) , ?) >
2
> ? c |x ? xi | ? ( |fi (x)| + | ??Їi (x) | + |?| ) + C |?|+(ci ?c |x?xi | ? ) |?| ?| fei (x) | |?| >
2
> (ci ?c |x?xi |? ) | ? | ? c | x ? xi | ? | fi (x) | + c c? | x ? xi | 1+??n + C + | fei (x) | | ? |.
Выберем ri > 0 так, чтобы ci ? c | x ? xi | ? > dbi > 0 при x ? Bri (xi ) ; тогда
(g0 (x, ?), ?) > dbi | ? | 2 + bbi (x) | ? |
? x ? Bri (xi ),
? ? Rn ,
(29)
СУЩЕСТВОВАНИЕ ЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ КАЕВОЙ ЗАДАЧИ
161
где ункция bbi определена равенством:
bbi (x) = c | x ? xi | ? | fi (x) | + c c? | x ? xi | 1+??n + C + |fei (x)|
и принадлежит пространству L2 (Bri (xi )) .
Далее пользуясь условиями (4) и (6) получаем
(g0 (x, ?) , ?) = (g(x, ??(x) + ?) , ??(x) + ?)?
? (g(x, ??(x) + ?) , ??(x)) ?
N
X
i=1
Gi ??i (x) , ? >
N
X
> d2 |??(x) + ?|2 + b2 (x) ? (d1 |??(x) + ?| + b1 (x))|??(x)| ? Gi ??i (x) |?| >
i=1
> d2 | ? | 2 + eb1 (x) | ? | + eb2 (x) ,
? ? ? Rn , ? x ? ?\
N
[
Bri (xi ), (30)
i=1
N
[
где ункция eb1 принадлежит пространству L2 ?\
Bri (xi ) , а ункция eb2 i=1
N
[
пространству L1 ?\
Bri (xi ) .
i=1
Из (29), (30) следует существование постоянной db > 0 и ункций bb ? L2 (?) ,
eb2 ? L1 (?) таких, что
(g0 (x, ?), ?) > db | ? | 2 + bb(x) | ? | + eb2 (x)
? x ? ?,
(31)
? ? Rn .
Пользуясь (31) и ? -неравенством, имеем:
(Au, u)V >
Z
?
db | ?u(x) | 2 + bb(x) | ?u(x) | + eb2 (x) dx >
> (db ? ?2 )
Z
1
| ?u(x) | dx ? 2
?
2
?
Z Z b 2
b(x) dx ? eb2 (x) dx.
?
?
Подобрав достаточно малое ? > 0 , получаем неравенство (28).
Основным результатом настоящей статьи является следующая
Теорема 1. Пусть выполнены условия (I), (II), (4)(6), (9). Тогда множество
решений задачи (14) непусто и представимо в следующем виде
(32)
M = ? + M0 ,
? (1)
где ункция ? принадлежит W и определена равенством (18), а M0 ? W 2 (?) выпуклое, замкнутое и ограниченное множество решений уравнения (27).
Доказательство. По лемме 1 оператор A непрерывен, монотонен, а из неравенства (28) вытекает его коэрцитивность. Тогда по теореме 2.1 [2, с. 95? множество M0 решений уравнения (27) не пусто, выпукло и замкнуто в пространстве
162
О.А. ЗАДВОНОВ
? (1)
W 2 (?) , а, следовательно, все ункции из множества (32) являются решениями
задачи (14).
Пусть теперь ?e некоторое решение задачи (14). Положим u = ?e ? ? , тогда ункция u является некоторым решением задачи (19), а, следовательно, ?e
принадлежит множеству M .
3.
Примеры задач
В качестве примера приведем задачу теории ильтрации несжимаемой жидкости, следующей закону ильтрации с предельным градиентом для двух- и трехмерного случая.
Пусть точечный источник находится в начале координат, которое является
внутренней точкой области ? ? Rn , n = 2, 3 , закон ильтрации имеет вид
(
(
?(x)[ |?| ? µ(x) ]+ |?|?1 ? , ? 6= 0,
0, s < 0
g(x, ?) =
где [ s ]+ =
(33)
0,
? = 0,
s , s ? 0,
ункции µ, ? : ? ? R измеримы и ограничены,
0 6 µ(x) 6 µ,
0 < ? 6 ?(x) 6 ?,
ункция ? диеренцируема в начале координат (в точке сосредоточения источника). Тогда в некоторой окрестности нуля выполнено неравенство:
(?(x) ? ?(0))[ |?| ? µ(x) ]+
?(0)([ |?| ? µ(x) ]+ ? |?|) |g(x, ?) ? ?(0)?| = ?+
? 6
|?|
|?|
[ |?| ? µ(x) ]+ + |?(0)([ |?| ? µ(x) ]+ ? |?|)| 6
6 |?(x) ? ?(0)| |?| |?|
6 (|??(0)| + ?) |x| |?| + |?(0)| µ,
? > 0.
Таким образом, ункция, определенная в (33), удовлетворяет условию (9) с
? = 1 и матрицей G1 = ?(0) I ( I единичная матрица).
Аналогично устанавливается, что выполнено условие (9) для ункции следующего вида (случай анизотропной среды):
?
?
?1 (x)[ |?| ? µ1 (x) ]+
0
0
? ?
0
?2 (x)[ |?| ? µ2 (x) ]+
0
g(x, ?) = ?
0
0
?3 (x)[ |?| ? µ3 (x) ]+ |?|
Здесь ункции µi , ?i : ? ? R , i = 1, 2, 3 удовлетворяют тем же требованиям,
что и ункции µ и ? соответственно, и в некоторой окрестности нуля выполнено
неравенство:
?
? ?1 (0)
0
0
g(x, ?) ? ? 0
?
?2 (0)
0
? 6 c | x | | ? | + C.
0
0
?3 (0)
абота выполнена при инансовой поддержке ФФИ (проекты ќ 09-01-97015,
10-01-00728).
СУЩЕСТВОВАНИЕ ЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ КАЕВОЙ ЗАДАЧИ
163
Summary
O.A. Zadvornov. Existene of Solutions for Quasilinear Ellipti Boundary Value Problem
in the Presene of Point Soures.
The existene of solutions of a quasilinear ellipti boundary value problem in the presene
of point soures is investigated. We use an additive seletion of the singularity of the right
side. Solution of nonlinear problem is sought as the sum of known solution of a linear problem
(assoiated with the original one) with point soures in the right side and the unknown additive
term.
Key words: quasilinear ellipti boundary value problem, point soure, monotone operator,
existene theorem.
Литература
1.
Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
2.
аевский Х., регер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные диеренциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 .
3.
Ляшко А.Д., Карчевский М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории
ильтрации // Изв. вузов. Матем. 1975. ќ 6. С. 7381.
4.
Задворнов О.А.
Исследование нелинейной стационарной задачи ильтрации при
наличии точечного источника // Изв. вузов. Матем. 2005. ќ 1. С. 58-63.
5.
6.
Существование решения задачи о равновесии мягкой сетчатой оболочки при наличии точечного источника // Учен. зап.
Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2010. Т. 152, кн. 1. С. 93-102.
Бадриев И.Б., Бандеров В.В., Задворнов О.А.
Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.:
остехиздат, 1956. 344 с.
Поступила в редакцию
23.11.09
Задворнов Олег Анатольевич доктор изико-математических наук, проессор
каедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
E-mail: Oleg.Zadvornovksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
202 Кб
Теги
квазилинейных, решение, существования, эллиптическая, точечный, краевой, задачи, источников, наличие
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа