close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теорема о шляпе и проблемы классификации структур на римановых многообразиях.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 11 (486)
2002
УДК 514.76
А.А. ЕРМОЛИЦКИЙ
ТЕОРЕМА О ШЛЯПЕ И ПРОБЛЕМЫ КЛАССИФИКАЦИИ СТРУКТУР
НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
В работе рассматривается теорема о шляпе, позволяющая производить изгибание подрасслоения в главном G-расслоении над дифференцируемым многообразием. Далее с использованием
ранее введенного автором понятия второго фундаментального тензорного поля G-структуры на
римановом многообразии изучаются вопросы классификации таких структур. Получены теорема об \алгебраизации" проблемы классификации, а также пример почти эрмитовой структуры,
принадлежащей разным классам в разных точках многообразия.
1. Теорема о шляпе и изгибание подрасслоения в главном
.
G-расслоении
Пусть M | связное многообразие, P (M; G; ) | главное расслоение над M . На многообразии M возьмем риманову метрику g и для точки p 2 M рассмотрим геодезические шары
B (p; R=2) B (p; R) U , где U | локальная карта P (M; G; ). Таким образом, существует
диффеоморфизм : ;1 (U ) ! U G : u 7! ((u); '(u)), где ' : ;1 (U ) 7! G, '(ua) = '(u)a для
всех u 2 ;1 (U ) и a 2 G.
Далее, если ;1 : U G ! ;1 (U ) | обратное отображение, то ;1 jU feg определяет
сечение s1 : U ! ;1 (U ). Рассмотрим сечение s2 : U ! ;1 (U ) такое, что s1 (p) = s2 (p). Пусть
v : U ! G, x 7! v(x), | отображение, определяемое соотношением '(s2 (x)) = '(s1 (x)v(x)). Если
expp | экспоненциальное отображение pимановой связности r в точке p, то отображение exp;p 1
определено на B (p; R) и можно определить следующее сечение s над U :
8
>
x 2 U n B (p; R);
>
<s1 (x); h
i;1
2
t
;
R
;
1
(1)
s(x) = >s2 (x) v expp t expp (x)
; x 2 B (p; R) n B (p; R=2);
>
:s (x);
x 2 B (p; R=2);
2
где exp;p 1 (x) = t , k k = 1. В результате получена
Теорема 1 (о шляпе). Если s1 , s2 | локальные сечения главного расслоения P (M; G; ) и
s1 (p) = s2 (p), то существуют последовательность окрестностей U B (p; R) B (p; R=2) 3 p
и локальное сечение s : U ! P (M; G; ) такие, что s = s1 на U n B (p; R) и s = s2 на B (p; R=2).
Такое сечение может задаваться, например, формулой (1).
Далее, пусть P 0 (M; G0 ; ) | редуцированное подрасслоение расслоения P (M; G; ), fU g |
открытое покрытие на M с множеством функций перехода , принимающих значения из G0,
а U 3 p | одна из окрестностей этого покрытия.
Рассмотрим многообразие M 0 = M n B (p; R) с соответствующим открытым покрытием fU0 g,
0
0 = jM 0 , тогда открытое покрытие fU 0 ; U g с
U = U n B (p; R) и функциями перехода 0
функциями перехода и сечением s над U , определенным формулой (1), задает некоторое
новое подрасслоение расслоения P (M; G; ). Таким образом, получена
0
0
Теорема 2. Пусть P (M; G ; ) | редуцированное подрасслоение расслоения P (M; G; ),
fU g | открытое покрытие на M , s : U ! P 0(M; G0 ; ) | соответствующие сечения,
p 2 U1 и s1 (p) = s2 (p), где s2 : U1 ! P (M; G; ) | некоторое сечение. Тогда существует такое
1
27
подрасслоение P 0 (M; G0 ; ) расслоения P (M; G; ), что сечение s : U1 ! ;1 (U1 ), определяемое
формулой (1), является сечением подрасслоения P 0 (M; G0 ; ).
0
0
Определение 1. Подрасслоение P (M; G ; ) будем называть изгибанием в P (M; G; ) подрасслоения P 0 (M; G0 ; ) по формуле (1) в точке p.
2 . Напомним, что связность ; в расслоении P (M; G; ) | это сопоставление подпространства Qu из Tu (P ) каждой точке u 2 P такое, что
(a) Tu (P ) = Gu Qu , где Gu | подпространство из Tu (P ), касательное к слою, проходящему
через u;
(b) Qua = (Ra ) Qu , u 2 P , a 2 G, Ra u = ua;
(c) Qu зависит дифференцируемо от u.
Теорема 3. Пусть для некоторого u0 2 P (M; G; ) задано некоторое подпространство Qu0
из Tu0 (P ) такое, что Tu0 (P ) = Gu0 Qu0 и P 0 (M; G0 ; ) | редуцированное подрасслоение расслоения P (M; G; ). Тогда существуют подрасслоение P 0 (M; G0 ; ) и связность ; в расслоении
P (M; G; ) такие, что
1) связность ; в P редуцируема к связности ;0 в P 0 ,
2) Qu0 есть горизонтальное подпространство в Tu0 (P ) связности ;.
;1 (p) определим Qu =
Доказательство. Пусть p = (u0 ), тогда для любого u = u0 a 2 (Ra ) Qu0 . Если U 3 p | локальная карта подрасслоения P 0 (M; G0 ; ) с соответствующим сечением s1 : U ! ;1 (U ), s1 (p) = u1 , то ;1 (U ) диффеоморфно U G, и, выбрав римановы
метрики на U и G соответственно, можно ввести риманову метрику прямого произведения ge
на ;1 (U ), считая диффеоморфизм ;1 изометрией. Взяв геодезический шар B (u1 ) = eg
xpu1 (V ),
где V Tu1 (P ), можно определить подмногообразие eg
xpu1 (V \ Qu1 ) в B (u1 ) такое, что есть
g u1 (V \ Qu1 ) и касательное подпространство к этому подмногообразию
диффеоморфизм на exp
в точке u1 совпадает с Qu1 . Таким образом, определяется сечение s2 : B (p; R) ! P (M; G; ),
g u1 (V \ Qu1 ), где B (p; R) = (B (u1 )).
x 7! ;1 (x) \ exp
Используя теорему 2, построим по формуле (1) изгибание P 0 (M; G0 ; ) подрасслоения
P 0(M; G0 ; ). Далее, для каждого u = s2(x), x 2 B (p; R=2), определим горизонтальное подпространство Qu как касательное пространство к подмногообразию s2(B (p; R=2)), а в остальных
точках из ;1 (B (p; R=2)) определим горизонтальное подпространство, исходя из правой инвариантности. Таким образом, получили главное расслоение P 0 (M; G0 ; ) и связность ;0 в расслоении
P 0(M; G0 ; ), определенную над B (p; R=2). Тогда эта связность может быть продолжена до связности в P 0 (M; G0 ; ) над M , если M паракомпактно [1], и из правой инвариантности, до связности
; в P (M; G; ) над M . Горизонтальное подпространство в Tu0 (P ) связности ; совпадает с Qu0
по построению.
2. Проблемы классификации
G-структур на римановых многообразиях
. Пусть L(M ) | расслоение линейных реперов над многообразием M , P (G) | G-структура
1
над M , допускающая редукцию к максимальной компактной подгруппе H группы G, H =
G \ O(n). Расширяя P (H ) до группы O(n), получим подрасслоение ортонормальных реперов
O(M ), определяющее специальную риманову метрику g = h; i структуры P (G) [2]. Для алгебр
Ли o, h групп Ли O(n) и H имеем o = h m, где m | ортогональное дополнение относительно
формы Киллинга, ad(H )m = m из биинвариантности формы Киллинга. Если ! | o-значная
форма римановой связности в O(M ), то ! = !jh определяет некоторую связность в P (H ). Связности !, ! могут быть расширены до линейных связностей с соответствующими ковариантными
производными r, r.
Определение 2 ([3]). Тензорное поле h = r ; r называется вторым фундаментальным
тензорным полем структуры (P (G); g); связность r называется канонической связностью; пара
(P (G); g) называется квазиоднородной структурой, если rh = 0 на M .
28
Отметим, что понятие квазиоднородности рассматривалось в [4].
Пусть ge | произвольная риманова метрика на множестве M , X; Y 2 X(M ). Следующие
примеры можно найти в [2]:
1) (P; g), P 2 = I , g(X; Y ) = ge(X; Y ) + ge(PX; PY ), rX Y = 21 (rX Y + P rX PY ),
2) (J; g), J 2 = ;I , g(X; Y ) = ge(X; Y ) + ge(JX; JY ), rX Y = 12 (rX Y ; J rX JY ),
3) (F; g), F 3 + F = 0, rX Y = rX Y ; 21 F rX FY + rX F 2 Y + F 2 rX Y + 32 F 2 rX F 2 Y ,
kP
;1
kP
;1
4) (S; g), S k = I , g(X; Y ) = ge(S j X; S j Y ), rX Y = k1 S j rX S k;j Y .
j =0
j =0
Следующие примеры приводятся впервые:
5) (P1 ; P2 ; g), P12 = P22 = I , P1 P2 = ;P2 P1 = J , g(X; Y ) = ge(X; Y )+ ge(P1 X; P1 Y )+ ge(P2 X; P2 Y )+
ge(JX; JY ), rX Y = 41 (rX Y + P1 rX P1Y + P2 rX P2 Y ; J rX JY ),
6) (J1 ; J2 ; g), J12 = J22 = ;I , J1 J2 = ;J2 J1 = J3 , g(X; Y ) = ge(X; Y )+ ge(J1 X; J1 Y )+ ge(J2 X; J2 Y )+
ge(J3 X; J3 Y ), rX Y = 14 (rX Y ; J1 rX J1 Y ; J2 rX J2 Y ; J3 rX J3 Y ).
n
2 . Напомним, что для каждого 2 R и u 2 L(M ) существует единственный вектор (B ( ))u
в Qu такой, что ((B ( ))u ) = u( ). B ( ) называется стандартным горизонтальным векторным
полем, соответствующим 2 Rn . Если A | фундаментальное векторное поле, соответствующее
A 2 o, то на O(M ) определяется риманова метрика gr :
gr (B (); B ()) = h; i, ; 2 Rn;
gr (A1 ; A2 ) = ; tr(A1A2 ), A1 ; A2 2 o;
gr (B (); A ) = 0, 2 Rn, A 2 o.
Пусть Q = Ker !, Q = Ker !. Рассмотрим распределения V h = fA : A 2 hg, V m = fA :
A 2 mg. Тогда очевидно, что V m?V h и TuP (H ) \ Vu = Vuh , где u 2 P (H ), Vu | касательное
пространство к слою в O(M ).
Предложение. Горизонтальное распределение Qu = Ker ! канонической связности структуры (P (H ); g) определяется по формуле
u ! Qu = Tu (P (H )) \ Vuh? = Tu (P (H )) \ (Vum Qu); u 2 P (H ):
h
Доказательство. Так как ! (Qu ) m, то ! (Qu ) = 0, Tu (P (H )) = Vu Qu , следовательно,
dim Qu = n и Qu = Ker !.
Для некоторого u0 2 O(M ), (u0 ) = p, рассмотрим произвольное подпространство Qu0 размерности n из Vuh Qu0 такое, что Qu0 \ Vum0 = 0. Тогда Tu0 (O(M )) = Vu0 Qu0 и по теореме 3
существуют такая структура P 0 (H ) и связность ;0 в P 0 (H ), что Qu0 есть горизонтальное подпространство в Tu0 (P ) связности ;0 . Пусть ; | каноническая связность структуры P 0 (H ) из определения 1. По доказанному выше предложению Qu0 является горизонтальным подпространством
связности ; в Tu0 (P ).
Далее, пусть ' 2 Hom(Rn ; m) и 1 ; : : : ; n 2 Rn | базисные векторы, Vi = ('(i ))u0 +(B (i ))u0 .
Тогда определяется линейная оболочка Qu0 = [V1 ; : : : ; Vn ] такая, что Tu0 (O(M )) = Vu0 Qu0 .
Обратно, для такого подпространства Qu0 линейное отображение ' определяется формулой
' = !u0 B, где (B ())u0 | единственный вектор в Qu0 такой, что (B ( )u0 ) = u0 ().
Таким образом, из вышесказанного следует
Теорема 4. Пусть на многообразии M существует структура P (H ), H O (n), p 2 M ,
и fP (H )g | множество всевозможных H -структур в расслоении O(M ), которое получено
расширением H до O(n). Тогда множество горизонтальных распределений в точке p канонических связностей этих H -структур находится во взаимно однозначном соответствии с
Hom(Rn ; m).
Для точки p = (u0 ) рассмотрим T = Tp (M ), X; Y; Z 2 T , h = r ; r, = ! ; !, где !
| форма связности, а r | ковариантная производная канонической связности H -структуры
29
P (H ), имеющей в u0 горизонтальное распределение Qu0 . Тогда hX Y = u0 (B ( ))u;0 1 Y , где u0 =
X [5]. Так как u0 : Rn ! T есть изометрия, то
hXY Z = hhX Y; Z i = hu0 (B ())u;0 1 Y; Z i = h;!(B ())u;0 1 Y; u;0 1 Z i = ;h!(B ()); vi = h!(B ( )); vi;
где u0 = Y , u0 v = Z .
Для множества fP (H )g всевозможных H -структур в расслоении O(M ) рассмотрим подмно3
жество T(T ) в T , состоящее из всех тензоров hp , где h | второе фундаментальное тензорное
поле P (H ). Определяется взаимно однозначное соответствие
: T(T ) ! Hom(Rn ; m); hp 7! ' = !u0 B = ;!u0 B
(hp и !u0 определяют друг друга взаимно однозначно).
Нетрудно убедиться, что отображение линейно, и мы имеем линейный изоморфизм между
n
T(T ) и Hom(R ; m).
3 . Риманова метрика g превращает пространство T = Tp (M ) в евклидово пространство.
Если E1 ; : : : ; En | произвольный ортонормальный базис T , то T(T ) является евклидовым пространством относительно следующего скалярного произведения:
X
hh; h0 i = hE E E h0E E E ; h; h0 2 T(T ):
i;j;k
i
j
k
i
j
k
Естественное действие группы H на T индуцирует действие этой группы на T(T ) по формуле
(ah)XY Z = ha;1 Xa;1 Y a;1 Z ; X; Y; Z 2 T; a 2 H:
Пусть T(T ) = 2AT | разложение пространства T(T ) на инвариантные и неприводимые
компоненты относительно действия группы H . Заметим, что изоморфизм индуцирует скалярное произведение на Hom(Rn ; m).
Теорема 5. Изоморфизм осуществляет взаимно однозначное соответствие между
fTg2A и множеством всех инвариантных и неприводимых компонент пространства
Hom(Rn ; m) относительно следующего действия группы H :
H Hom(Rn ; m) ! Hom(Rn ; m); ' 7! a'; (a') = ad(a)'(a;1 ); a 2 H; 2 Rn : (2)
Доказательство. Так как hXY Z не зависит от выбора репера u 2 O (M ), то h! u (B ( )); v i =
h!ua (B (a;1))a;1 ; a;1 vi, где u = X , u = Y , uv = Z .
(ah)XY Z = ha;1 Xa;1 Y a;1 Z = ;h!u (B (a;1 ))u;1 a;1 Y; u;1 a;1 Z i = ;h!u (B (a;1 ))a;1 ; a;1 vi =
= ;h!ua;1 (B ( )); vi = ;h!ua;1 (Ra; 1 Ra B ( )); vi = ;had(a)!u (B (a;1 )); vi:
Если (hp ) = ', то (ahp ) = a' = a(hp ), где a' определяется из (2). Действие группы H на Hom(Rn ; m) действительно определяется из (2), т. к. ad(H )m = m и ((ab)') =
ad(ab)'(b;1 a;1 ) = ad(a) ad(b)'(b;1 a;1 ) = ad(a)((b')a;1 ) = (a(b')) . Так как (ahp ) = a(hp ),
то является изоморфизмом Hom(Rn ; m) и T(T ) как H -пространств и дает взаимно однозначное соответствие между fT g2A и неприводимыми компонентами Hom(Rn ; m).
4 . Отметим, что введеннoe автором тензорноe полe h применялось в [2] к проблемам классификации структур на римановых многообразиях. В частности, в терминах поля h в [2] была
получена классификация почти эрмитовых структур (H = U (n), всего 16 классов), изоморфная классификации в [6], а также классификация почти контактных метрических структур
(H = U (n) 1, всего 212 классов), изоморфная классификации в [7], [8].
Аналогичным образом, с помощью поля h может быть переписана и классификация из [9].
Все перечисленные классификации фактически проводятся инфинитезимально (в точке p 2 M ).
Естественно дать следующее
30
Определение 3. Будем говорить, что структура (P (H ); g ) принадлежит классу T , 2 A,
на M , если hp 2 T (Tp (M )) для всех p 2 M .
Если тензор hp 2 T (T ), p = (u0 ), то единственным образом получим гомоморфизм ' =
(hp ), который определяет подпространство Qu0 Vum0 Qu0 такое, что Tu0 (O(M )) = Vu0 Qu0 .
Из доказательства теоремы 4 видно, что существует структура P 0 (H ) O(M ) такая, что Qu0 |
горизонтальное подпространство ее канонической связности ;, т. е. hp является вторым фундаментальным тензором структуры (P 0 (H ); g) в точке p. Беря в различных точках p1 ; : : : ; ps тензоры hp1 ; : : : ; hp , принадлежащие различным классам T , 2 A, и, проводя изгибание структуры
P (H ) в O(M ) в каждой из указанных точек, получим H -структуру P (H ) на M , для которой
второе фундаментальное тензорное поле h удовлетворяет условиям h(pi ) = hp , i = 1; : : : ; s.
В частности, для почти эрмитовой структуры (J; g), J 2 = ;I , H = U (n) на многообразии M
можно выбрать 16 точек и почти эрмитову структуру (J; g) так, что hp 2 Ti , i = 0; 1; : : : ; 15,
где h | второе фундаментальное поле пары (J; g) (см. пример 2). Это значит, что структура
(J; g) будет кэлеровой в p0 , приближенно (nearly)-кэлеровой в p1 , почти (almost)-кэлеровой в p2 ,
интегрируемой в p6 и т.д.
Таким образом, принадлежность структуры к определенному классу в общем случае не
сохраняется.
Теорема 6 ([2]). Пусть почти контактная метрическая структура (почти эрмитова
структура) на множестве M является квазиоднородной структурой (rh = 0), принадлежащей классу T для некоторой точки p 2 M . Тогда эта структура будет из класса T для
каждой точки многообразия M .
Проблема. Остается ли эта теорема справедливой в общем случае для структуры (P (H ); g )
на множестве M , H O(n)?
s
i
i
Литература
1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. { М.: Наука, 1981. {
344 с.
2. Ермолицкий А.А. Римановы многообразия с геометрическими структурами. { Минск: БГПУ,
1998. { 195 с.
3. Ермолицкий А.А. Вторая квадратичная форма G-структуры и почти особые структуры //
Докл. Болг. АН. { 1981. { Т. 7. { Є 7. { С. 963{964.
4. Кириченко В.Ф. Квазиоднородные многообразия и обобщенные почти эрмитовы структуры
// Изв. АН СССР. { 1983. { Т. 47. { Є 6. { С. 1208{1223.
5. Бишоп Р.Л., Криттенден Р.Д. Геометрия многообразий. { М.: Мир, 1967. { 335 с.
6. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear
invariants // Ann. mat. pura appl. { 1980. { V. 123. { P. 35{58.
7. Alexiev V.A., Ganchev G.T. On the classication of the almost contact metric manifolds //
Proceedings of the 15th spring conference of the Union of Bulgarian Mathematicians. Math. and
Educ. in Math. { 1986.{ P. 155{161.
8. Chinea D., Gonzalez C. A classication of almost contact metric manifolds // Ann. mat. pura appl.
{ 1990. { V. 156. { P. 15{36.
9. Naveira A.M. A classication of Riemannian almost-product manifolds // Rend. math. appl. {
1983. { V. 3. { Є 3. { P. 577{592.
Белорусский институт правоведения
Поступила
25.10.2001
31
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
184 Кб
Теги
шляпа, структура, теорема, многообразие, классификация, проблемы, римановы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа