close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Универсальная версия обобщенных интегральных ограничений в классе конечно-аддитивных мер. II

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (453)
УДК 517.972.8
А.Г. ЧЕНЦОВ
УНИВЕРСАЛЬНАЯ ВЕРСИЯ ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ОГРАНИЧЕНИЙ В КЛАССЕ КОНЕЧНО-АДДИТИВНЫХ МЕР, II
4. Релаксации интегральных ограничений при условии ступенчатости
функционалов в основной системе условий
В работе продолжаются исследования, начатые в [1]. Все обозначения и терминология сохранены.
Рассмотрим другое ТП с \единицей" R; ; именно, ТП
(R; ; ; (@ ))
(4.1)
соответствует соглашениям раздела 2. С ТП (4.1) можно связать естественный базис. Если
f 2 R; и K 2 Fin(;), то через T0 (f; K ) обозначаем множество всех функционалов g 2 R; таких,
что 8 2 K : f ( ) = g( ). Тогда, как легко видеть, 8f 2 R; 8K 2 Fin(;) 8g 2 T0 (f; K ) :
T0 (f; K ) = T0 (g; K ). Семейство T0 всех множеств T0 (f; K ), (f; K ) 2 R; Fin(;), есть базис ТП
(4.1). Сама топология ; (@ ) есть семейство всех множеств G, G R; , для каждого из которых
8f 2 G 9K 2 Fin(;) : T0(f; K ) G:
Следовательно, для f 2 R; имеем фундаментальную систему окрестностей f в ТП (4.1)
fT0 (f; K ) : K 2 Fin(;)g, являющуюся подсемейством T0. С этим обстоятельством связано естественное представление сходящихся направленностей в ТП (4.1). В самом деле, если (H ; ; h)
есть направленность в R; и v 2 R; , то имеет место эквивалентность
(@ )
((H ; ; h) ;
;;;
! v) () (8 2 ; 9 2 H 8 2 H : ( ) =) (h( )( ) = v( ))):
Поскольку R @ , то для ТП (3.4) и (4.1) имеет место свойство
;
(4.2)
;(R) ;(@ );
(4.3)
используемое в дальнейшем. Отметим, что семейство Y@ всех окрестностей ([2], c. 19) множества
Y в ТП (4.1) обладает согласно (4.3) естественным свойством оценки Y Y@ по отношению к
семейству Y раздела 3. По аналогии с (3.15) мы вводим специальный класс окрестностей Y
N @ (P )
если P 2 Fin(;). Легко проверить, что
4
=
[y2Y T0 (y; P ) 2 Y@ ;
4
Ab @ =
f(Adm)[H ; Q] : (H; Q) 2 Y@ Fin(
)g 2 B(B0(E; L));
(4.4)
(4.5)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (9701-00458) и Государственного комитета Российской Федерации по высшему образованию (97-0-1.9-19).
69
используя, в частности, в качестве H множества вида (4.4). Для этого применим (3.10) и то
обстоятельство, что семейство Y@ замкнуто относительно конечных пересечений, а семейство
Fin(
) | относительно конечных объединений. Кроме того, 8P 2 Fin(;) 8Q 2 Fin(
) имеем
4
(Adm)0 [P ; Q] =
f 2 B0 (E; L) 9y 2 Y 8 2 P :
n
8! 2 Q :
Z
E
Z
Из (4.5) вытекает, что семейство
L!
S fd = y( ) &
o
jf jd c! = (Adm)[N @ (P ); Q] 2 A@ : (4.6)
b
A0 =4 f(Adm)0 [P ; Q] : (P; Q) 2 Fin(;) Fin(
)g 2 B(B0 (E; L))
(4.7)
является подсемейством Ab @ , т. е.
A0 Ab @ :
(4.8)
Вновь получаем (см. (4.5), (4.7)) \вилку" ограничений асимптотического характера. Из (4.8) с
учетом определений раздела 3 следует, что 8 2 M(L)
( ; LIM)[Ab @ j I (; )] ( ; LIM)[A0 j I (; )]:
(4.9)
С другой стороны, из (3.11) и (4.5) вытекает вложение Ab Ab @ , так что 8 2 M(L)
( ; LIM)[Ab @ j I (; )] ( ; LIM)[Ab j I (; )]:
(4.10)
Здесь же отметим, что (см. (3.12), (4.6)) 8K 2 Fin(L) 8P 2 Fin(;) 8Q 2 Fin(
) 8" 2]0; 1[
fg (Adm)0 [P ; Q] (Adm)[K; P ; Q; "]:
(4.11)
Из (3.13), (4.7) и (4.11) следует, в частности, что 8H 2 A 9H0 2 A0 : fg H0 H . Как следствие
получаем 8 2 M(L)
( ; LIM)[A0 j I (; )] ( ; LIM)[A j I ]:
(4.12)
Разумеется, (4.9), (4.10) и (4.12) можно дополнить утверждением теоремы 3.1. Из (4.10) и теоремы 3.1 вытекает
( ; LIM)[Ab @ j I (; )] Ae 0 8 2 M (L):
(4.13)
В свою очередь из теоремы 3.1 и (4.12) следует ( ; LIM)[A0 j I (; )] Ae 0 8 2 M (L). Для ступенчатозначного оператора (3.1) это утверждение удается усилить. Подобное замечание можно
сделать и в отношении (4.9). Сейчас, оставаясь пока в рамках общего случая, отметим одно простое следствие (3.27), используя соотношения для топологий 0 (L) и (L) ([3], c. 80). В самом
деле, поскольку (L) 0 (L), получим 8H 2 B(B (E; L))
(0 (L) ; LIM)[H j I (; )] (
(L) ; LIM)[H j I (; )]:
(4.14)
Как следствие из (3.27) и (4.14) имеем
b j I (; )]:
Ae 0 (
(L) ; LIM)[A
(4.15)
Снова используя свойства ([3], c. 80), получим 8H 2 B(B (E; L))
( (L) ; LIM)[H j I (; )] (
(L) ; LIM)[H j I (; )]:
(4.16)
В связи с (4.14) отметим вложение
(0 (L) ; LIM)[A j I ] (
(L) ; LIM)[A j I ]:
(4.17)
70
Кроме того, из соотношений ([3], c. 80) имеем
Ae 0 = ( (L) ; LIM)[A j I ] (
(L) ; LIM)[A j I ]:
(4.18)
Поскольку B(B0 (E; L)) B(B (E; L)), получаем из (4.14), (4.16) естественные частные случаи,
касающиеся Ab , Ab @ , A0 . Из очевидных соотношений, связывающих (L) и B (L), вытекает
(B (L) ; LIM)[H j I ] ( (L) ; LIM)[H j I ] 8H 2 B(M (L)):
По аналогичной причине имеет место
(B (L) ; LIM)[H j I (; )] ( (L) ; LIM)[H j I (; )] 8H 2 B(B (E; L)):
(4.19)
Всюду в дальнейшем полагаем выполненным
Условие 4.1. 8 2 ; : S 2 B0 (E; L).
Таким образом, исследуем далее случай ступенчатозначного оператора (3.1).
Замечание. К ограничению (3.5), удовлетворяющему условию 4.1, сводится, в частности,
требование на выбор f 2 B (E; L)
Z
fd
2 Y & 8! 2 :
2;
Z
L!
jf jd c! ;
(4.20)
где 7;! : ; ;! L есть произвольный оператор из ; в L. Упомянутое ограничение (4.20),
сводящееся к (3.5), может возникать в задачах управления и представляет собой конъюнкцию
двух характерных условий, первое из которых имеет смысл геометрического, а второе | \частичного" ресурсного ограничений.
Возвращаясь к условию 4.1, отметим, что S (3.7) является теперь непрерывным оператором
из ТП
(A (L); (L))
(4.21)
в ТП (3.4). С другой стороны, из (4.2) и представления ([3], c. 81) для топологии 0 (L) имеем
важное свойство: S (3.7) есть непрерывное отображение из ТП
(A (L); 0 (L))
(4.22)
в ТП (4.1). Здесь использовано представление элементарного интеграла ([3], гл. III) в виде конечной суммы и свойство непрерывности S как отображения из ТП (2.1) в ТП (3.4) (см. раздел
3). Условие 4.1 позволяет охарактеризовать множества притяжения, отвечающие \асимптотике" A0 в терминах утверждений, подобных [4]. Именно, справедлива следующая (проверяемая
по аналогии с теоремой 4.1 работы [4])
e = ( ; LIM)[A0 j I (; )], т. е. \пределы" A0 в смысле топологий
Лемма 4.1. 8 2 M (L) : A
0
из M (L) совпадают с Ae 0 .
Лемма 4.2.
Справедливо вложение
(
(L) ; LIM)[A j I ] Ae 0 :
(4.23)
Доказательство. Пусть 0 | произвольный элемент множества в левой части (4.23). Используя представление ([3], (2.5.1)), подберем направленность (T; ; ') в M (L), для которой
(L)
(A (M (L) ; ass)[T ; ; '])&((T; ; I ') ;;;!
0 ):
(4.24)
Покажем, что 0 2 Ae 0 . Для этого установим сначала, что 0 2 A [L]. Пусть '1 и '2 суть
компоненты оператора ', так что отображения '1 , '2 переводят T в (add)+ [L] и в B (E; L)
71
соответственно, причем 8t 2 T : '(t) = ('1 (t); '2 (t)). Из (3.12), (4.24) имеем в силу непустоты
каждого из множеств Fin(;), Fin(
) и ]0; 1[, что 8K 2 Fin(L) 9t1 2 T 8t2 2 T :
(t1 t2 ) =) (('1 (t2 ) j K) = ( j K)):
Это означает ([3], c. 81) сходимость
0 (L)
(T; ; '1 ) ;;;
! :
(4.25)
Отметим, что 8t 2 T : (I ')(t) = I ('(t)) = I ('1 (t); '2 (t)) = '2 (t) '1 (t). Следовательно, при
t 2 T к.-а. мера (I ')(t) обладает свойством слабой абсолютной непрерывности относительно
к.-а. меры '1 (t). В этом случае из (4.24) и (4.25) непосредственно следует, что к.-а. мера 0 слабо
4
абсолютно непрерывна относительно . Покажем, что =
S(0) 2 Y . В самом деле, допустим
противное: 2 R; n Y . В силу замкнутости Y в ТП (3.4) можно указать P0 2 Fin(;) и "0 2 ]0; 1[
такие, что
4
N = fh 2 R; j 8 2 P0 : j ( ) ; h( )j < "0 g R ; n Y:
Выберем произвольно K0 2 Fin(L) и Q0 2 Fin(
) так, что
4
N 1 = (Adm)[K0 ; P0 ; Q0 ; "0 =2] 2 A:
В силу (4.24) имеем, следовательно, с некоторого момента свойство '(t) 2 N 1 . Используя свойство непрерывности S как оператора из ТП (4.21) в ТП (3.4), получили сходимость
; ( )
R :
(T; ; S I ') ;
;;;
!
4
Поэтому для множества N 2 =
fh 2 R; j 8 2 P0 : j ( ) ; h( )j < "0=2g с некоторого момента
имеем
(S I ')(t) 2 N 2 :
Так как N 2 | открытая окрестность в ТП (3.4), то последнее условие с некоторого момента
принимает вид (см. раздел 3)
Z
E
S '2 (t)d'1 (t) ; ( ) < "0 =2 8 2 P0 :
Учитывая теперь аналогичного рода суждение в отношении N 1 , подберем такое t 2 T , что, с
одной стороны, '(t ) 2 N 1 , а с другой,
Z
E
S '2 (t )d'1 (t ) ; ( ) < "0 =2 8 2 P0 :
По определению N 1 получим при некотором y 2 Y свойство
8 2 P0 :
Z
E
S '2 (t )d'1 (t ) ; y ( ) "0 =2:
Из двух последних свойств получаем 8 2 P0 : j ( ) ; y ( )j < "0 . Это означает по определению
N , что y 2 N и, как следствие, y 2
= Y , что невозможно. Полученное противоречие доказывает,
что
Z
S d0
= 2 Y:
(4.26)
2;
E
Вернемся к (4.24) с учетом представления (I')(t) = '2 (t)'1 (t) при t 2 T . Рассмотрим значения
v0 (L! ) при ! 2 . Для их оценки учтем равенство
v (L) j=(I')(t) =
Z
L
j '2 (t) j d'1 (t);
(4.27)
если t 2 T и L 2 L. Наряду с (4.27) используем легко проверяемое свойство полунепрерывности
снизу функционала вариации на каждом множестве из L. В данном случае последнее свойство
72
для нас важно в отношении топологии (L); это связано с (4.24). Итак, покажем, что v0 (L! ) c! при ! 2 . В самом деле, фиксируем ! 2 . Тогда функционал V, определяемый как
7;! v (L! ) : A (L) ;! [0; 1[;
полунепрерывен снизу в смысле (L). Покажем, что V(0 ) c! . Допустим противное
4
" =
V(0 ) ; c! 2 ]0; 1[:
Отметим, что f!g 2 Fin(Q). Используя свойство непустоты множеств Fin(L) и Fin(;), выберем
произвольно и зафиксируем K 2 Fin(L) и P 2 Fin(;), после чего рассмотрим множество
(Adm)[K ; P ; f!g; " =2] 2 A. С учетом (4.24) подберем t 2 T так, что для t 2 T , t t, имеет
место '(t) 2 (Adm)[K ; P ; f!g; " =2]. В силу (3.12) это означает, в частности, что для таких t
Z
j'2 (t)jd'1 (t) c! + "=2:
L!
(4.28)
С учетом (4.27) и (4.28) имеем (V I ')(t) c! + " =2 при t 2 T , t t. Множество
4
=
f 2 A (L) j v(L! ) c! + "=2g = f 2 A (L) j V() c! + " =2g
замкнуто в смысле (L) в силу полунепрерывности снизу V. Имеем (см. (4.28)) для t 2 T , t t,
свойство (I ')(t) 2 . В силу (4.24) каждая окрестность 0 в топологии (L) пересекается
с так, что 0 2 , V(0 ) c! + " =2. В результате " = V(0 ) ; c! " =2, что невозможно. Противоречие доказывает требуемое неравенство, так что на самом деле v0 (L! ) c! при
! 2 . Из (3.6), (4.26) и только что установленного свойства имеем 0 2 Ae 0 . Вложение (4.23)
установлено.
Как следствие леммы 4.2 получаем вложение
(0 (L) ; LIM)[A j I ] Ae0 :
(4.29)
Рассмотрим некоторые очевидные следствия. Из (3.18) и леммы 4.2 следует
(
(L) ; LIM)[Ab j I (; )] Ae 0 :
(4.30)
Тогда (см. (4.10), (4.30)) справедливо вложение
(
(L) ; LIM)[Ab @ j I (; )] Ae 0 :
(4.31)
Вместе с тем из (4.12) и леммы 4.2 вытекает вложение
(
(L) ; LIM)[A0 j I (; )] Ae 0 :
(4.32)
Таким образом, в лемме 4.2, (4.30){(4.32) имеем в качестве
Ae 0
Z
= 2 A [L] E
S d
2 Y &(8! 2 : v (L! ) c! ) ;
2;
(4.33)
систему верхних оценок для множеств притяжения в ТП (4.21). Из (4.15), (4.30) имеем
b j I (; )]:
Ae 0 = (
(L) ; LIM)[A
(4.34)
С другой стороны, из теоремы 3.1, леммы 4.2 и соотношения ([3], с. 80) для ТП (2.1) и (4.21)
получим
Ae 0 = (
(L) ; LIM)[A j I ]:
(4.35)
Кроме того, из (3.27), (4.17) и (4.30) вытекает равенство
b j I (; )];
Ae 0 = (0 (L) ; LIM )[A
(4.36)
73
дополняющее (4.34). В терминах (4.33) устанавливается
Лемма 4.3.
Имеет место вложение
(0 (L) ; LIM)[A@ j I (; )] \ (B (L) ; LIM)[A@ j I (; )]:
(4.37)
Доказательство. Пусть 0 2 A 0 . Рассмотрим направленность (D ; ; [0 ; ]) в B0 (E; L).
Тогда (см. раздел 2) направленность (D ; ; I (; ) [0 ; ]), являющаяся экземпляром (2.4),
сходится к 0 в смысле каждой топологии из M(L). В силу ранее упоминавшихся свойств неAe 0
b
b
e
прерывности S на ТП (4.21), (4.22) получим, что направленность
(D ; ; S I (; ) [0 ; ]) = (D ; ; S I (; ) [0 ; ])
(4.38)
4
сходится к u0 =
S(0) 2 Y как в ТП (3.4), так и в ТП (4.1). Используем включения (L) 2 M(L)
и 0 (L) 2 M(L). В силу сходимости направленности (4.38) получаем, в частности, при всяком
выборе окрестности H0 функционала u0 в ТП (4.1) с некоторого момента
S(I (; [0 ; K])) = (S I (; ) [0 ; ])(K) 2 H0 :
В качестве H0 можно, в частности, выбрать произвольный элемент Y@ . Следовательно, 8H0 2 Y@
9K0 2 D 8K 2 D :
(K0 K) =)
Z
E
S [0 ; K]d
2;
2 H0 :
(4.39)
Здесь учтены определение (2.3) и свойства ([3], c. 70). Поскольку 0 2 A [L], то для компонент
разложения Жордана 0 имеем ([3], c. 79)
(+0 2 (add)+ [L; ])&(;0 2 (add)+ [L; ]):
При этом 0 = +0 ;;0 , v0 = +0 +;0 . Напомним, что в итоге (см. раздел 2) [0 ] = [+0 ]; [;0 ].
В результате
[0 ; K] = [+0 ; K] ; [;0 ; K]
при K 2 D . Имеет место ([3], c. 84) сходимость в 0 (L) направленностей, получаемых присоединением к (D ; ) операторов
I (; ) [+0; ]; I (; ) [;0 ; ];
обобщенные пределы упомянутых направленностей суть +0 , ;0 соответственно. Это означает,
что 8Q 2 Fin(
) 9Ke 2 D 8K 2 D :
(Ke K) =) 8! 2 Q : +0 (L! ) =
Z
L!
[+0 ; K]d & ;0 (L! ) =
Иными словами, 8Q 2 Fin(
) 9Ke 2 D 8K 2 D :
(K K) =) 8! 2 Q : v0 (L! ) =
e
Вместе с тем 8K 2 D 8! 2 Q:
Z
L!
j [0; K]jd Z
L!
Z
L!
[+0 ;
[+0 ;
K]d +
K]d +
Z
L!
Z
Z
L!
[;0 ; K]d :
L!
[;0 ; K]d :
[;0 ; K]d:
Последнее неравенство | следствие неотрицательности . Вместе с тем в силу выбора 0 имеем
v0 (L! ) c! 8! 2 Q. Комбинируя три последние положения, получим 8Q 2 Fin(
) 9Ke 2 D
8K 2 D :
(Ke K) =) 8! 2 Q :
Z
L!
74
j [0 ; K]jd c! :
(4.40)
Теперь рассмотрим комбинацию утверждений (4.39), (4.40). В итоге (см. (3.10), (4.39), (4.40))
8H 2 Y@ 8Q 2 Fin(
) 9Ke 2 D 8K 2 D :
(Ke K) =) ( [0 ; K] 2 (Adm)[H ; Q]):
(4.41)
Из (4.5) и (4.41) вытекает
Ab @ (B0 (E; L) ; ass)[D ; ; [0 ; ]]:
(4.42)
Учтем сходимость направленности, получаемой \интегрированием" [0 ; ], в смысле
hA (L); M(L)i. Из (4.42) ([3], (2.5.1)) следует, что 0 есть элемент множества в правой части
(4.37), чем и завершается доказательство леммы.
Из (4.10), леммы 4.3 вытекает цепочка вложений
b j I (; )] ( (L) ; LIM)[A
b j I (; )]
Ae 0 (0 (L) ; LIM)[A
(4.43)
@
0
и, кроме того, имеет место (см. (3.18))
(0 (L) ; LIM)[Ab j I (; )] (0 (L) ; LIM)[A j I ]:
(4.44)
Из (4.29), (4.43), (4.44) вытекает система равенств
b j I (; )] = ( (L) ; LIM)[A
b j I (; )] = ( (L) ; LIM)[A j I ]:
Ae 0 = (0 (L) ; LIM)[A
(4.45)
@
0
0
Из (4.9), (4.45) имеем вложение Ae 0 (0 (L) ; LIM)[A0 j I (; )]. Вместе с тем, из (4.12) и (4.45)
следует вложение (0 (L) ; LIM)[A0 j I (; )] Ae 0 . Из двух последних свойств получаем равенство
Ae 0 = (0 (L) ; LIM)[A0 j I (; )]:
(4.46)
Отметим, что (см. (4.9)) в силу (4.12) и теоремы 3.1 имеет место цепочка вложений
(B (L) ; LIM)[Ab @ j I (; )] (B (L) ; LIM)[A0 j I (; )] Ae 0 ;
откуда в силу леммы 4.3 вытекает совпадение
b j I (; )] = ( (L) ; LIM)[A0 j I (; )]:
Ae 0 = (B (L) ; LIM)[A
@
B
С учетом теоремы 3.1 получаем цепочку равенств
b j I (; )] =
Ae 0 = (B (L) ; LIM)[A j I ] = (B (L) ; LIM)[A
= (B (L) ; LIM)[Ab @ j I (; )] = (B (L) ; LIM)[A0 j I (; )]: (4.47)
Из (4.9) имеем вложение ( (L) ; LIM)[Ab @ j I (; )] ( (L) ; LIM)[A0 j I (; )]. С учетом (4.19)
и (4.47) имеем теперь цепочку вложений
b j I (; )] ( (L) ; LIM)[A
b j I (; )] ( (L) ; LIM)[A0 j I (; )];
Ae 0 = (B (L) ; LIM)[A
@
@
которая согласно лемме 4.1 превращается в систему равенств
b j I (; )] = ( (L) ; LIM)[A0 j I (; )]:
Ae 0 = ( (L) ; LIM)[A
@
Вновь используя теорему 3.1, получаем систему равенств
b j I (; )] =
Ae 0 = ( (L) ; LIM)[A j I ] = ( (L) ; LIM)[A
= ( (L) ; LIM)[Ab @ j I (; )] = ( (L) ; LIM)[A0 j I (; )]: (4.48)
Из (4.17), (4.43) вытекает, что справедливо Ae 0 (
(L) ; LIM)[Ab @ j I (; )]. Поэтому согласно
(4.31) имеем Ae 0 = (
(L) ; LIM)[Ab @ j I (; )]. Из (4.17), (4.46) следует вложение Ae0 (
(L) ;
75
LIM)[A0 j I (; )], что в сочетании с (4.32) доставляет равенство Ae 0 = (
(L) ; LIM)[A0 j I (; )].
Получим с использованием (4.34), (4.35) и только что установленных равенств общее положение
b j I (; )] =
Ae 0 = (
(L) ; LIM)[A j I ] = (
(L) ; LIM)[A
= (
(L) ; LIM)[Ab @ j I (; )] = (
(L) ; LIM)[A0 j I (; )]: (4.49)
Из (4.45), (4.46) следует, что справедливо
b j I (; )] =
Ae 0 = (0 (L) ; LIM)[A j I ] = (0 (L) ; LIM)[A
= (0 (L) ; LIM)[Ab @ j I (; )] = (0 (L) ; LIM)[A0 j I (; )]: (4.50)
Из (4.47){(4.50) вытекает следующая основная
Теорема 4.1. 8 2 M(L):
b j I (; )] = ( ; LIM)[A
b j I (; )] = ( ; LIM)[A0 j I (; )]:
Ae 0 = ( ; LIM)[A j I ] = ( ; LIM)[A
@
Заключение. В теореме 4.1 установлено совпадение семнадцати множеств, так или иначе
связанных с проблемой соблюдения ограничений (3.5). Первое из них определяется посредством
(3.6) в терминах множества допустимых элементов обобщенной задачи, которая ответственна,
таким образом, за асимптотику допустимых управлений при весьма различных вариантах введения возмущений в основную систему условий (3.5). Существенную роль играет в этой связи
условие 4.1, хотя и при отказе от этого условия имеет место известная универсальность представления на основе допустимого множества (3.6), как показывает теорема 3.1. Непосредственные
приложения теорем 3.1, 4.1 связаны, в частности, с проблемой исследования асимптотического
поведения областей достижимости и пучков решений управляемых систем в условиях интегральных ограничений различных типов. Если анализируется линейная управляемая система,
то представления, подобные (3.5), возникают, в частности, при использовании формулы Коши
и при фазовых ограничениях, заданных априори. Последние могут быть преобразованы к виду
(3.5), что позволяет использовать конструкции настоящей работы для исследования асимптотического поведения пучков решений (или областей достижимости) при "размывании" упомянутых фазовых ограничений с целью определения тенденций результата по отношению к разным
вариантам ослабления условий задачи.
Литература
1. Ченцов А.Г. Универсальная версия обобщенных интегральных ограничений в классе конечноаддитивных мер, I // Изв. вузов. Математика. { 1999. { Є 7. { C. 67{74.
2. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. { М.: Наука, 1968. { 272 с.
3. Ченцов А.Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач. { Екатеринбург:
Наука, 1993. { 232 с.
4. Ченцов А.Г. Задача о построении множеств асимптотической достижимости и ее регуляризация // Изв. вузов. Математика. { 1995. { Є 10. { C. 61{75.
Институт математики и механики
Уральского отделения
Российской Академии наук
Поступила
17.05.1996
76
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
185 Кб
Теги
версия, универсальных, мер, интегральная, обобщенные, аддитивных, ограничений, класс, конечно
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа