close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Уравнения описывающие динамику неньютоновской жидкости с реологическим законом Рейнера--Ривлина. I. групповой анализ

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (502)
УДК 517.958
Л.Д. ЭСКИН
УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ДИНАМИКУ
НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ
С РЕОЛОГИЧЕСКИМ ЗАКОНОМ РЕЙНЕРА{РИВЛИНА.
I. ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ
1. Введение
В первой части предлагаемой работы проводится полный групповой анализ уравнения
u = (u2 f (v)) ; v = uu :
t
x
x
(1.1)
Уравнения вида (1.1) описывают динамику поверхности неньютоновской жидкости с реологическим законом Рейнера{Ривлина [1], процесс турбулентной фильтрации газа в пористой среде [2],
процессы гидроразрыва и другие. В приложениях для произвольной функции f (произвольного
элемента по терминологии [3], которой будем придерживаться ниже) всегда выполняется
условие A : f (0) = 0:
В настоящее время известен целый ряд уравнений с произвольным элементом, представляющих значительный интерес для приложений, для которых удалось провести их полный
групповой анализ: система уравнений газовой динамики [3]{[6], уравнения пограничного слоя
Прандтля, уравнение нелинейной теплопроводности без источника и с источником, зависящим
от температуры, уравнение нелинейной фильтрации и другие [3], [7]; частичное решение получила задача группового анализа нелинейного волнового уравнения [8] (достаточно полный
обзор полученных результатов имеется в [1]). Целью первой части предлагаемой работы является пополнение этого списка системой уравнений (1.1). Во второй части работы исследуются
инвариантные решения полученных инвариантных уравнений. Следует отметить, что в случае
выполнения условия A уравнение (1.1) является уравнением с двойным вырождением (по неизвестной функции и ее производной), свойства решений таких уравнений в настоящее время
интенсивно изучаются [9].
Как известно [3], для уравнений с произвольным элементом полный групповой анализ должен содержать следующее: 1) описание основной алгебры уравнения (1.1) с произвольной f ;
2) описание его группы преобразований эквивалентности; 3) классификацию всех возможных
случаев расширения основной алгебры (с точностью до преобразований из группы эквивалентности) и описание этих расширений. Общая схема решения этих задач была развита еще С. Ли,
однако ее применение для каждой конкретной математической модели связано, как правило, с
преодолением значительных трудностей, о чем и свидетельствует не слишком большой список
до конца решенных задач, который был приведен выше.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(проект Є 00-01-00128).
64
2. Основная алгебра уравнения (1.1)
С целью сокращения записи формул обозначим (t; x) = (x1 ; x2 ), u1 = u, u2 = uu ; f 1 = f ; f 2 =
0
f , f 3 = f 00 | производные функции f (u2) по аргументу u2 . В этих обозначениях уравнение(1.1)
x
перепишется в виде
u11 = 2u1u12 f (u2) + (u1 )2 u22f 2(u2 ); u2 = u1 u12 :
(2.1)
Инфинитезимальный оператор точечной однопараметрической группы симметрии уравнения
(2.1) имеет вид X = a +b (здесь и ниже предполагается суммирование по повторяющемуся
индексу i = 1; 2), где неизвестные коэффициенты a , b являются функциями от x1 , x2 , u1 , u2
(для таких функций будем обозначать через a1 , a2 частные производные соответственно по
аргументам x1 , x2 , через a2+ | частные производные по u ). Первое продолжение оператора X
запишется в виде X + c , i; j = 1; 2, где коэффициенты c выражаются через коэффициенты
оператора X с помощью следующих формул [3]:
i
@
i
@xi
@
@ ui
i
i
i
i
ij
@
ij
@ ui
j
c =D b ;u D a ;
ij
j
i
i
k
j
(2.2)
k
D | оператор полного дифференцирования по x . Коэффициенты c зависят не только от
x , u , но и от производных u . Применяя к уравнению (2.1) инфинитезимальный критерий
j
j
s
s
ij
s
r
инвариантности, получим определяющие уравнения
b2 ; b1 u12 ; u1c12 = 0;
(2.3)
c11 ; H 1 f 1 ; H 2 f 2 ; H 3 f 3 = 0;
(2.4)
1
1
1
1
12
2
1
2
1
1
2
1
22
H = 2(b u2 + u c ); H = u (2(b u2 + b u2) + u c );
H 3 = (u1 )2 u22b2:
Уравнения (2.3), (2.4) должны выполняться на многообразии R, определенном уравнениями
(2.1) в пространстве переменных x , u , u . Для перехода на многообразие R в уравнениях (2.3),
(2.4) следует u11 заменить правой частью первого из уравнений (2.1) и положить u12 = u2 =u1 .
После перехода на многообразие R переменные f 1, f 2 , f 3 оказываются свободными (напомним,
что в этом пункте функция f произвольна), и по ним можно выполнять расщепление.
Из (2.4) немедленно вытекает H 3 = 0, следовательно, b2 = 0. Подставив в (2.3) c12 из (2.2),
после перехода в полученном равенстве на многообразие R и последующего расщепления по
свободным переменным f 1, f 2, u22 , u2 получим a1 = a1 (x1 ),
i
i
i
j
u2 a24 = u1b14 ; u2b1 + (u1 )2 b12 + u1 u2 (b13 ; a22 ) ; (u2 )2 a23 = 0:
(2.5)
С учетом найденных соотношений из (2.3) теперь следует H 1 = 0, и равенство (2.4) принимает
вид
c11 = H 2 f 2 :
(2.6)
Заменим в (2.6) c11 и c22 с учетом уже найденных соотношений их выражениями из формул
продолжения (2.2). После перехода в полученном равенстве на многообразие R и последующего
расщепления по f 1 , f 2, u22 , (u22 )2 , u2 найдем
b14 = a24 = a23 = a21 = b11 = 0; 2b1 = a22 u1 ; b13 = a11 :
Из (2.7) следует a2 = a2 (x2 ), a22 = 2a11 , b1 = a11 u1 , отсюда найдем
a1 = ax1 + b; a2 = 2ax2 + c; b1 = au1 ; a; b; c | const :
65
(2.7)
(2.8)
Равенство (2.5) тождественно выполняется в силу (2.8). Возвращаясь к старым обозначениям
переменных, получим с помощью соотношений (2.8), что базу основной алгебры системы уравнений (1.1) составляют операторы
X1 = @ ; X2 = @ ; X3 = t@ + 2x@ + u@ :
t
x
t
x
u
3. Группа преобразований эквивалентности уравнения (1.1)
Для вычисления группы преобразований эквивалентности уравнения (1.1), записанного в
виде (2.1), последнее следует дополнить уравнениями
f = f3 = f = 0; f 2 = f41 (f = @f =@u ; k; i; j = 1; 2);
(3.1)
выражающими зависимость функции f лишь от переменной u2 . Уравнения (2.1), (3.1) выделяют
в пространстве
R = (x ; u ; u ; f ; f ; f +2 ; f )
0
многообразие R . Инфинитезимальный оператор однопараметрической группы преобразований
эквивалентности записывается в виде
k
i
k
k
ij
k
ij
i
i
i
j
k
k
k
i
i
j
k
i
k
ij
Y = a @x@ + b @u@ + d @f@ ;
где неизвестные коэффициенты a , b зависят лишь от x , u , а d | еще и от f , u . Первое
продолжение оператора Y запишется в виде
Y 1 = Y + c @u@ + V @f@ + V +2 @f@ + V @f@ ;
+2
причем для коэффициентов c по-прежнему справедливы формулы (2.2), а для коэффициентов
V имеем [8], [10]
V = De (d ) ; f De (a ) ; f +2 De (b ) ; f De (c );
(3.2)
где De = + f .
При записи равенств (3.2) учитывалось то, что коэффициенты a , b , d не зависят от производных функций f , и были оставлены в операторах De лишь существенные слагаемые. Аналогичные (3.2) формулы справедливы и для коэффициентов V +2 , V , но с заменой оператора
De соответственно на операторы
De +2 = @u@ + f +2 @f@ ; De = @u@ + f @f@ :
i
i
i
i
i
i
i
i
j
ij
k;i
j
i
k;i
i
j
j
i
j
k;ij
k
i
k
i
k
ij
ij
k;i
i
@
@xi
i
k
k
j
i
j
k
j
j
i
k
sr
sr
i
k @
i @f k
i
k
i
i
i
k;i
k;ij
i
i
k
i
i
ij
k
k
ij
i
j
k
Поскольку определяющие уравнения, получающиеся с помощью инфинитезимального критерия
инвариантности, следует рассматривать на многообразии R0 , то с учетом (3.1) можем положить
De = @x@ ; De 3 = @u@ 1 ; De 4 = @u@ 2 + f41 @f@ 1 + f42 @f@ 2 ; De = @u@ :
i
ij
i
i
j
(3.3)
Условие инвариантности уравнений (3.1) приводит к следующей группе определяющих уравнений:
V = 0; V 3 = 0; V = 0; V 1 4 = d2 :
(3.4)
С учетом соотношений (3.2) и (3.3) получаем d = b2 f4 , но d , b и их производные по x не
зависят от производных функций f по u , следовательно, d = b2 = 0. Аналогично найдем
d3 = b23 = 0. Последнее уравнение системы (3.4) дает
k;i
k;
k
k;ij
i
k
i
k
;
k
i
k
k
i
@d1 + f 2 @d1 ; f 1 b2 ;
d2 = d14 + f41 @f
4 @f 2
4 4
1
66
k
i
i
откуда получаем d2 = d14 ,
1
2
@d
@f
= 0,
@d
@f
1
1
= b24 . Объединяя полученные результаты, найдем
b2 = b2(u2 ); d1 = d1 (u2 ; f 1 ) = (b2 )0 f 1 + a(u2 )
(3.5)
(здесь и далее 0 означает дифференцирование по u2 функции, зависящей только от u2 ). Второе
уравнение системы (2.1) приводит к определяющему уравнению
c12 =
2 .
u
2
b ; u1 b1 u1 ;
(3.6)
а первое | к определяющему уравнению, которое с учетом соотношений (3.5), (3.6) преобразуется к виду
c11 ; 2b2 f 1 ; 2u2 ((b2 )0 f 1 + a(u2 )) ; 2u1 u22 b1 f 2 ; (u1 )2 (f 2 c22 + u22 ((b2 )00 f 1 + a0 )) = 0: (3.7)
Расщепляя (3.6) по свободным переменным f 1 , f 2 , u22 (при этом необходимо учитывать, что
в силу соотношений (2.2), (2.1) c12 на многообразии R0 выражается через f 1 , f 2 ), получим
a1 = a1 (x1 ),
2
b14 ; uu1 a24 = 0;
2
2
1 b2
u
u
b
1
1
2
2
b2 + u1 b3 ; a2 ; u1 a3 + u1 ; u1 = 0:
(3.8)
(3.9)
Наконец, расщепляя с учетом уже полученных соотношений уравнение (3.7) по переменным f 1,
f 2u22 , f 2 (u22 )2 , u21, u22, f 1u22, найдем
2
2
b13 ; a11 ; uu1 a23 ; ub 2 ; (b2 )0 = 0;
(3.10)
1
(3.11)
b13 ; a11 ; 2 ub 1 ; b24 + a22 = 0;
2
b11 ; uu a21 ; 2u2 a = 0;
(3.12)
1
a24 = 0; a0 = 0; b14 = 0; (b2 )00 = 0:
(3.13)
Из (3.13) находим a(u2 ) = a, b2 = ku2 + l, d1 = kf 1 + a (k, l, a | постоянные), d2 = 0, а из
(3.12) находим a21 = ;2au1 , b1 = b1 (x2 ; u1 ). Соотношение (3.8) выполняется тождественно, а
расщепление по степеням u2 равенства (3.9) дает
1
a23 = 0; b12 = ul1 ; b13 + ub 1 ; a22 ; k = 0:
(3.14)
В результате получаем a = 0, d1 = kf 1 , a2 = a2 (x2 ), а соотношения (3.10), (3.11) сводятся к
соотношениям
1
(3.15)
l = 0; b1 = b1 (u1 ); b13 ; a11 = 2k; 2 ub 1 ; a22 = k:
Из (3.14), (3.15) получаем a1 = mx1 + r, a2 = (2m + 3k)x2 + s, b1 = (m + 2k)u1 , b2 = ku2 ,
d1 = kf 1, d2 = 0, откуда следует, что базу алгебры Ли непрерывной группы преобразований
эквивалентности составляют операторы (снова возвращаемся к исходным обозначениям)
@ ; @ ; t@ + 2x@ + u@ ; 3x@ + 2u@ + u2 @u@ 2 + f 1 @f@ 1 :
(3.16)
Не представляет труда с учетом операторов (3.16) и отображений t ! ;t, x ! ;x выписать
t
x
t
x
u
x
u
и конечные преобразования полной группы преобразований эквивалентности, но в дальнейшем
они не используются.
67
4. Классификация возможных случаев расширения основной алгебры
Перейдем к исследованию возможностей расширения основной алгебры уравнения (1.1), найденной в п. 2. Для коэффициентов a , b , c первого продолжения инфинитезимального оператора однопараметрической группы симметрий по-прежнему справедливы определяющие уравнения (2.3), (2.4) и формулы продолжения (2.2). Однако теперь функция f (u2 ) уже не является
произвольной, и нельзя проводить расщепление по переменным f 1, f 2 , f 3. Ниже будем предполагать f 00 (u2 ) 6= 0 (0 | дифференцирование по u2 функции, зависящей только от этого аргумента),
оставляя без рассмотрения случай нелинейного уравнения теплопроводности, ранее полностью
изученный [3].
После перехода в определяющем уравнении (2.3) на многообразие R и расщепления по переменным u22 , (u22 )2 получим
i
i
ij
2 u2
u
1
1
2
0
1
b4 ; (u ) f a2 + u1 a13 ; u1 a24 = 0; a14 = 0;
2
2
2 u2 2 u
u
u
u
2
1
1
1
1
2
1
1
2
b ; u1 b2 ; u b2 + u1 b3 ; 2u f a2 + u1 a3 ; u1 a2 + u1 a23 = 0:
(4.1)
(4.2)
Аналогично после подстановки в определяющее уравнение (2.4) значений c11 , c22 из (2.2) и c12 из
(2.3) с учетом (4.1), перехода на многообразие R и последующего расщепления по переменным
u22 , (u22 )2 , u21 получим равенства
a1 = a1 (x1); a2 = a2 (x1; x2 ; u1 ); b1 = b1 (x1 ; x2 ; u1 )
(4.3)
(a1 , a2 , b1 | пока неизвестные функции своих аргументов) и уравнения
где
2
2 2 b11 + 2u2 f b13 ; a11 ; uu1 a23 ; uu1 a21 ; 2b2 f ; 2u2 b2f 0 ; (u1)2 f 0 b22 + uu1 b23 = 0;
(f 0 b2 )4 = cf 0 ;
(4.4)
(4.5)
1
c = b13 ; a11 + a22 ; 2 ub 1 ; c = c(x1 ; x2 ; u1 ):
(4.6)
1
2
p = u1b12 ; q = ub 1 + b13 ; a22 ; r = ; ua31 :
(4.7)
В силу соотношений (4.3) коэффициент при f в уравнении (4.2) равен нулю, и b2 оказывается
квадратным трехчленом b2 = p + qu2 + r(u2 )2 , где
Уравнение (4.5) является классифицирующим. Если b2 = 0, то и c = 0. С учетом соотношений
(4.4), (4.6), (4.7) нетрудно убедиться, что в этом случае функция f остается произвольной и
допустимая алгебра совпадает с найденной в п. 2 основной алгеброй. Итак, b2 6= 0. Из условия A
и уравнения (4.5) найдем
f 0 b2 = cf + d; d = lim f 0b2 (u2 ! 0):
(4.8)
Будем рассматривать два случая B1 и B2 .
Случай B1 , p = 0. Будем иметь d = q lim f 0 u2 . Нетрудно показать, что уравнение (4.8) будет
иметь решение, удовлетворяющее условию A лишь при d = 0, следовательно, и lim f 0 u2 = 0,
причем это решение будет зависеть только от переменной u2 тогда и только тогда, когда q = qec,
r = rec, где qe, re | постоянные. Получим
2 1 ~
f = m qe +ureu2 ; qe > 0; f = m exp ; re1u2 ; qe = 0; reu2 > 0:
(4.9)
=q
68
Перейдем к определению группы симметрии, допускаемой уравнением (2.1) с функцией f
(4.9). С учетом уравнения (4.8) при d = 0 равенство (4.4) перепишем в виде
2
2 2 u
u
u
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
b1 ; u1 a1 + f 2u b3 ; a1 ; u1 a3 ; 2b ; 2u c ; (u ) c2 + u1 c3 = 0:
(4.10)
Из (4.10) и (4.7) находим b11 = 0 и b12 = 0, так что b1 = b1 (u1 ), а в случае qe 6= 1 и a21 = 0. Пусть
сначала qe 6= 1. Тогда, расщепляя по степеням u2 выражение в квадратных скобках в (4.10),
найдем с учетом последнего равенства (4.7)
c2 = 0; 2(b13 ; a11 ) ; 2(qe + 1)c ; u1 c3 = 0:
(4.11)
Из (4.11) получаем c = c(u1 ), a11 = V = const, так что a1 = V x1 + V 1 , V 1 = const, и уравнение
2b13 ; 2(qe + 1)c ; u1 c3 = 2V:
(4.12)
Соотношение (4.6) и второе равенство (4.7) перепишем в виде
1
1
b13 ; c + a22 ; 2 ub 1 = V; qec = ub 1 + b13 ; a22 :
(4.13)
Поскольку a23 и a22 зависят лишь от u1 , то a2 = Rx2 + p(u1 ), R = const. Соотношения (4.13)
приводят к уравнению
1
b13(1 ; qe) + (1 + 2qe) ub 1 = (1 + qe)R ; qeV;
(4.14)
позволяющему найти b1 и c:
R ; 2V + 3S (u1 ) ~~;+21 :
~;1 ; S = const; c =
b1 = R(1 +qe +qe)2; V qeu1 + S (u1 ) 1+2~
(4.15)
qe + 2 qe ; 1
После подстановки выражений (4.15) в (4.12), поскольку qe 0, находим, что S = 0. С учетом равенства a23 = 1 = ;reu1 c для коэффициентов инфинитезимального оператора получаем
следующие окончательные представления:
1 2
a1 = V x1 + V 1; a2 = 2V x2 + Rqe;+22V (qe + 2)x2 ; re(u2 ) + T; T = const;
(4.16)
R
;
2
V
R
;
2
V
1
1
1
2
2
2
b = V u + qe + 2 (qe + 1)u ; b = qe + 2 (qe + reu )u :
Возвращаясь к исходным обозначениям переменных, из (4.16) находим, что в случае функции
f (4.9) при qe 6= 1 основная алгебра расширяется за счет оператора
q
q
q
q
dp
du
eu2
r
X = (qe + 2)x ; 2 @ + (qe + 1)u@ + v(rev + qe)@ :
x
u
v
Рассмотрим ранее исключенный случай функции f (4.9) с qe = 1. Теперь расщепление уравнения (4.10) по степеням u2 приводит к соотношениям
2
a21 = ;m(u1)3 c2 ; m[2(b13 ; a11 ) ; 4c ; u1 c3 ] = reua11 :
(4.17)
Сложив (4.6) и второе равенство (4.7), получим 2c = 2b13 ; a11 ; 11 , откуда следует, что c не
зависит от x2 , следовательно, c2 = 0 и a21 = 0. Таким образом, соотношения (4.17) сводятся к
соотношениям (4.11) при qe = 1. Отсюда снова получаем a1 = V x1 + V 1 (V , V 1 | постоянные), а
затем и равенства (4.12), (4.13) при qe = 1. Следовательно, формулы (4.16) для коэффициентов
оператора X остаются справедливыми и в случае qe = 1.
Положим re = 0, но qe 6= 0. Функцию f из уравнения (4.8) найдем в виде f = m(u2 )1 ~ (снова
qe > 0, в противном случае не существует решений, удовлетворяющих условию A). Теперь в
b
u
=q
69
случае qe = 1 уравнение (1.1) оказывается частным случаем полностью изученного нелинейного
уравнения теплопроводности, и мы его рассматривать не будем. В случае qe 6= 1 в результате расщепления (4.10) по степеням u2 получим соотношение (4.11), кроме того, в этом случае
оказывается b1 = b1 (u1 ), a1 = a1 (x1 ), a2 = a2 (x2 ), b2 = qecu2 , c = c(x1 ; u1 ). С помощью второго
соотношения (4.7) находим, что c не зависит от x1 : c = c(u1 ), после чего из (4.6) снова получаем
a1 = V x1 + V 1 . Соотношения (4.12), (4.13) по-прежнему справедливы, в результате получаем
a2 = Rx2 + T (R и T | постоянные). Для b1 снова имеем уравнение (4.14), следовательно, и
выражения (4.15) для b1 , c при S = 0 (иначе a2 оказывается зависящим от u1 ). Окончательно
находим, что в случае уравнения (1.1) со степенной функцией f = m(u2 )1 ~ основная алгебра
расширяется за счет оператора
Xe = qe + 1 t@ + x@ ; v@ :
=q
qe
t
x
v
Замечание. Уравнение (1.1) со степенн
ой функцией f рассматривалось в [11], где была
указана алгебра с операторами X1 , X2 , X3 , Xe , но вопрос о ее максимальности в этой работе не
был рассмотрен.
Случай B2 , p 6= 0. Уравнение (4.8) принимает вид
f 0b2 = cf + pf 0 (0);
(4.18)
так что для решения f уравнения (4.8), удовлетворяющего условию A, существует и конечно
значение f 0 (0). Это решение будет зависеть только от u2 лишь в случае p = pec, q = qec, r = rec
(pe, qe, re | постоянные) и запишется в виде
f
e 0 (0) exp
= pf
Z u2
0
e2
(b
);1 du2
2
Z
e2
u
0
e2
(b
);1 exp
;
b = pe + qeu2 + re(u2 )2 :
2
Z
u
0
e2
(b
);1 du2
du2 ;
После подстановки f 0 из (4.18) в (4.4) получим соотношения
e 0 (0)(u1 )2 c2 = b11 ;
pf
(4.19)
1
e + (u1 )2 c2 = 0;
pc
(4.20)
2
21
e 0 (0)(2c + u1 c3 ) = 0 и второе соотношение (4.11). Из (4.20), условия совместности (4.19) и
1 + pf
первого равенства (4.7) найдем
2
2 0
1
c = S (u1 ) exp l(x1; x2 ; u1 ); l = 4pe fu1(0)x ; (2upe1x)2 ;
(4.21)
e
p
1
1
2
0
1
1
b1 = ;2pe f (0)S (u ) exp l; b2 = u1 S (u ) exp l;
a
u
S (u1 ) | произвольная функция. Из (4.21) находим
1
b1 = ; u S (u1 ) exp l + n(u1 );
2
1
n(u ) | произвольная функция. Последнее равенство (4.7) дает
1
a2 = 2pe reS (u ) exp l;
32
а из (4.6) и второго равенства (4.7) найдем
u1
1
c3(1 ; qe) = 2a223 ; 3 b13 ; ub 1 (u1 );1 :
70
(4.22)
(4.23)
(4.24)
После подстановки (4.21){(4.23) в (4.24) получим, что возможность расширения основной алгебры в случае B2 остается лишь для qe = ;1=2, re = 0, функция S (u1 ) пока произвольна, а n = ku1 ,
k = const. Однако из второго равенства (4.7) в этом случае находим
@l exp l;
a22 = 2k ; 21 u1 S 0 + S 1 + u1 @u
1
и после подстановки полученных выражений в равенство (4.6) получаем с учетом зависимости
a1 лишь от x1, что pe = 0, так что расширение основной алгебры в случае B2 оказывается
невозможным. Сформулируем полученные результаты.
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения.
1) Основной алгеброй уравнения (1:1) с произвольной функцией f , удовлетворяющей условию A, является алгебра L3 с базой
X1 = @ ; X2 = @ ; X3 = t@ + 2x@ + u@ :
2) Базу алгебры группы преобразований эквивалентности для уравнения (1:1) составляют
операторы X1 , X2 , X3 и оператор
3x@ + 2u@ + v@ + f@ :
3) Уравнение (1:1) допускает расширение основной алгебры L3 лишь в следующих трех
случаях :
a) f = mv , n > 0; алгебра L3 расширяется за счет оператора
X4 = (n + 1)t@ + x@ ; v@ ;
;
1
b) f = m + , b > 0; алгебра L3 расширяется за счет оператора
t
x
t
x
u
x
v
u
f
n
a
x
v
=b
av
av
t
b
2
X4 = (2 + b)x ; au2 @ + (b + 1)u@ + v(av + b)@ ;
b
x
u
v
;
c) f = m exp ; 1 , av > 0; алгебра L3 расширяется за счет оператора
av
2
au
X4 = 2x ; 2 @ + u@ + av2 @ :
c
x
u
v
Нетрудно заметить, что в случаях a) при n = ;2 и b) при b = ;1=2 теоремы 1 постоянная
S в соотношениях (4.15) оказывается произвольной, что приводит к расширению алгебры L4 с
базой X1 , X2 , X3 , X4 и L4 с базой X1 , X2 , X3 , X4 . Однако для функции f условие A в этих
случаях не выполняется, алгебра L3 расширяется до пятимерной алгебры и в случаях a) при
n = ;1=2 и b) при b = ;2, причем условие A снова не выполняется.
a
a
b
b
Литература
1. CRC Handbook of Lie group analysis of dierential equations // Appl. in Engineering and Physical
Sci. / Ed. Ibragimov N.H. { CRC Press. { London{Tokyo, 1995. { V. 2. { P. 546
2. Баренблатт Г.И. Об автомодельных движениях сжимаемой жидкости // ПММ. { 1952. {
Т. 16. { Вып. 6. { С. 679{698.
3. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. { М.: Наука, 1978. { 399 с.
4. Овсянников Л.В. Программа \Подмодели". Газовая динамика // ПММ. { 1994. { Т. 58. {
Вып. 4. { С. 30{55.
5. Овсянников Л.В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения // Докл.
РАН. { 1995. { Т. 343. { Є 2. { С. 156{159.
6. Овсянников Л.В., Чупахин А.П. Регулярные частично инвариантные подмодели газовой
динамики // ПММ. { 1998. { Т. 60. { Вып. 6. { С. 990{999.
71
7. Дородницин В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях // Дифференц. уравнения.
{ 1983. { Т. 19. { Є 7. { С. 1215{1223.
8. Ibragimov N.H., Torrisi М., Valenti A. Preliminary group classication of equations v =
f (x; v )v + g(x; v ) // J. Math. Phys. { 1991. { V. 32. { Є 11. { P. 2988{2995.
9. Иванов A.В. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение
// Алгебра и анализ. { 1992. { Т. 44. { Вып. 6. { С. 114{130.
10. Ахатов И.Ш. , Газизов Р.К., Ибрагимов Н.X. Нелокальные симметрии. Эвристический подход // Итоги науки и техн. Современ. пробл. матем. Новейшие достижения. { М.: Наука,
1989. { Т. 34. { С. 3{ 83.
11. Чугунов В.А. О групповых свойствах уравнения, описывающего течение ледников // Изв.
вузов. Математика. { 1982. { Є 10. { С. 84{87.
tt
x
xx
x
Казанский государственный
университет
Поступили
первый вариант 19:12:2000
окончательный вариант 13:06:2003
72
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа