close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Уравнения класса Фукса второго и более высоких порядков.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011/9
УДК 517.946
В.В. Кибирев
УРАВНЕНИЯ КЛАССА ФУКСА ВТОРОГО И БОЛЕЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ
В данной работе рассматриваются необходимые и достаточные условия для решения линейных
дифференциальных уравнений класса Фукса второго и более высоких порядков с рациональными
коэффициентами.
Ключевые слова: уравнения класса Фукса, регулярные особые точки, голоморфные функции.
V.V. Kibirev
THE EQUATIONS OF THE CLASS FUCHS OF THE SECOND AND ABOVE ORDER
In the given paper the necessary and sufficient conditions for the solution of the linear differential equations of the class
Fuchs of the second and above order with rational factors are considered.
Keywords: the equations of the class Fuchs, regular special points, functions with derivatives.
Введение
При исследовании эллиптических уравнений с высоким порядком вырождения был обнаружен ряд
особенностей для уравнений с частными производными, не имеющих аналогов в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. Изложению некоторых результатов и посвящена эта работа.
1. Постановка задачи
Профессором А.И. Янушаускасом в [4] и [5] был указан ряд особенностей при исследовании
эллиптических уравнений с высоким порядком вырождения и предложен некоторый метод для
изучения поведения интегралов с регулярной особой точкой.
В данной работе этим методом изучается поведение интегралов уравнений класса Фукса в
бесконечно удаленной точке.
2. Важные теоремы
(1.1) имело
Теорема 1. Для того чтобы уравнение ω ''+ ρ ( z )ω '+ q ( z )ω = 0
в некоторой точке z = z0 , особой для коэффициентов p( z ) и q ( z ) , интегралы с регулярной особой
точкой необходимы и достаточны, чтобы p( z ) в точке z0 имел полюс не выше первого порядка, а
q ( z ) - полюс не выше второго порядка. Уравнение класса Фукса всегда можно привести к виду (1.9),
причем показателями ρ1K , ρ 2K ,
K = 1,..., n вполне определяется коэффициент p( z ), а q ( z ) лишь с
точностью до некоторого полинома степени n-2.
Доказательство. Как известно, линейные дифференциальные уравнения, интегралы которых имеют
только регулярные особые точки, называются уравнениями класса Фукса.
Так как регулярная особая точка является полюсом коэффициентов p(z) и q(z) для линейного
дифференциального уравнения второго порядка w11 + p ( z ) w1 + q ( z ) w = 0 (1.1) с рациональными
коэффициентами p(z) и q(z) в случае уравнения класса Фукса p(z) и q(z) являются рациональными
функциями. Пусть a1 , a2 ..., an - особые точки функций p(z) и q(z), тогда имеем:
P( z )
Q( z )
p( z ) = n
,
q( z ) = n
,
(1.2)
2
Π ( z − aK )
Π ( z − aK )
1
1
где P и Q – многочлены. Уравнение (1.1) теперь принимает вид:
P( z )
Q( z )
ω" + n
ω' + n
ω=0
2
Π ( z − aK )
Π ( z − aK )
1
(1.3)
1
Для изучения поведения интегралов уравнения (1.3) в бесконечно удаленной точке сделаем замену
z = ζ −1 . Получим следующие соотношения:
144
В.В. Кибирев. Уравнения класса Фукса второго и более высоких порядков
2
d 2ω
dω
4 d ω
=
+ 2ζ 3
,
ζ
2
2
dz
dζ
dζ
P1 (ζ )
1
,
= N −n
n
n

1 
Π (ζ −1 − aK ) ζ
Π ζ −

1
1
aK 

Q1 (ζ )
Q (ζ −1 )
1
= M −2n ⋅
,
2
n
n 
2
−1
ζ

1
Π (ζ − aK )
Π ζ −
1

1
aK 

где P1 и Q1 – многочлены от ζ , а N – степень P(z) и М – степень Q(z). Уравнение (1.3) принимает вид
dω
dω
= −ζ 2
,
dz
dζ
P (ζ −1 )




2
P1 (ζ )
Q1 (ζ )ω
"

ω' +
−
= 0.
ω +
n 
n 
ζ

1 
1 
N −n+ 2
M −2 n+ 4
Π ζ −
Π ζ −
ζ
ζ



1
1
aK  
aK 



Для того чтобы ζ = 0 была регулярной особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы
N ≤ n − 1, M ≤ 2n − 2 . Таким образом, уравнение класса Фукса имеет вид:
p z n −1 + ... + pn −1 ' q0 z 2 n − 2 + ... + q2 n − 2
ω "+ 0 n
ω +
ω = 0.
(1.4)
n
Π ( z − aK )
Π ( z − aK ) 2
1
1
Как известно, всякую рациональную функцию можно представить в виде суммы простейших дробей,
т.е.
n
p0 z n −1 + ... + pn −1
A
=∑ K .
p( z ) =
n
K =1 z − aK
Π( z − a )
1
K
В окрестности z = aK уравнение (1.4) теперь можно представить так:
( z − aK )2 ω "+  AK ( z − aK ) + ( z − aK )2 (...)  ω '+
(1.5)
+  M K' + M K'' ( z − aK ) + ( z − aK )2 (...)  ω = 0
Подставив
в
(1.5)
ω = ( z − aK ) ρ [α + β ( z − aK ) + ...] ,
'
K
K
1
получим
определяющее
уравнение
K
2
ρ ( ρ − 1) + AK ρ + M = 0. Для корней ρ и ρ этого уравнения имеем следующие соотношения:
ρ1K + ρ 2K = 1 − AK ,
ρ1K ⋅ ρ 2K = M K' ,
(1.6)
следовательно,
 1  n (1 − ρ1K − ρ 2K )ζ
,
p  = ∑
1 − aK ζ
 ζ  K =1
n
2
P1 (ζ )
2 1 n 1 − ρ1K − ρ 2K 1 

−
= − ∑
=  2 − ∑ (1 − ρ1K − ρ 2K ) + ζ (α 0 + α1ζ + ...)  .
n 
ζ
ζ  K −1
1  ζ ζ K =1 1 − aK ζ

ζ N −n−2 Π  ζ − 
1
a

K 
1 − ρ1K − ρ 2K ζ
,
z − aK
K =1
n
ρ ( z) = ∑
n
Если ζ = 0 является точкой голоморфности интегралов, то
∑ (1 − ρ
K
1
− ρ 2K ) = 2 .
Если же ζ = 0
K =1
– регулярная особая точка, то, обозначив корни определяющего уравнения для нее через ρ1n +1 и ρ 2n +1 ,
получим соотношения Фукса:
n +1
∑ (1 − ρ
K
1
K =1
Преобразуем далее функцию q ( z ) :
145
− ρ 2K ) = 2
(1.7)
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
q( z ) =
q0 z 2 n − 2 + ... + q2 n − 2
n
=
Π ( z − aK ) 2
1
2011/9
 n MK

+ Qn − 2 ( z )  ,
∑
n

Π ( z − aK )  K =1 z − aK
1
(1.8)
1
где Qn − 2 ( z ) – многочлен степени не выше n-2. Если n − 2 < 0 , то Qn − 2 ( z ) = 0. Если z = ∞ является
точкой голоморфности для интегралов, то
 n MK

q z 2 n − 4 + ... + q2 n − 4
1
= n
+ Qn − 4 ( z )  .
q( z ) = 0 n
∑

Π ( z − aK ) 2
Π ( z − aK )  K =1 z − aK
1
1
Разлагая (1.8) по степеням z − aK , будем иметь:
−1
q ( z ) = [ (aK − a1 )...( aK − aK −1 )(aK − aK +1 )...(aK − an )] ×
MK
1
+
[α 0 + α1 ( z − aK ) + ...].
2
( z − aK )
z − aK
Сравнивая это разложение с (1.5), найдем
×
−1
M K' = M K [ (aK − a1 )...(aK − aK −1 )(aK − aK +1 )...(aK − an ) ] ,
а из второго равенства (1.6)
M K = ρ1K ρ2K (aK − a1 )...(aK − aK −1 )(aK − aK +1 )...(aK − an ).
Окончательно уравнение класса Фукса приводится к следующему виду:
 n 1 − ρ1K − ρ 2K 
ω ''+ ∑
 ω '+
 K =1 z − aK 
 n ρ K ρ K (a − a1 )...(aK − aK −1 )(aK − aK +1 )...(aK − an )

ω
+ ∑ 1 2 K
+ Qn − 2 ( z )  n
= 0.
z − aK
 K =1
 Π ( z − aR )
(1.9)
1
Теорема доказана.
Для уравнений высших порядков интегралы в окрестности регулярной особой
представляются в следующем виде:
w = z r {ϕ0 ( z ) + ϕ1 ( z ) Inz + ... + ϕm ( z )( Inz ) m } ,
точки z = 0
(1.10)
где ϕi ( z ), i = 1,..., m, – голоморфные в окрестности точки 0 функции.
Теорема 2. Для того чтобы точка z = 0 была регулярной особой точкой, необходимо и достаточно,
чтобы уравнение было представлено в следующем виде:
z n w( n ) + z n −1 Pn −1 ( z ) w( n −1) + ... + P0 ( z ) w = 0
(1.11)
где P0 ( z ), i = 0,..., n − 1, - голоморфные в окрестности точки z=0 функции.
Доказательство. Действительно, уравнение n-го порядка, все особые точки которого являются
регулярными особыми точками, имеет вид
P2( s −1)( Z )
P (Z )
w( n ) + s s −1
w( n −1) + s
w( n − 2) + ...
Π ( z − aK )
Π ( z − aK ) 2
1
1
(1.12)
Pn ( s −1)( Z )
... + s
w = 0,
n
Π ( z − aK )
1
где Pi ( z ) – полиномы степени i. Для уравнения (1.12) справедливо следующее соотношение Фукса:
s
n
n
n(n − 1)
ρik + ∑ ρi∞ = ( s − 1)
(1.13)
.
∑∑
2
k =1 i =1
i =1
∞
Рассмотрим функцию w = g ( z , r ) = ∑ g v z v + r . В результате подстановки этой функции в левую часть
v =0
уравнения (1.11) получим:
∞
n
v =0
i =0
P ( g ( z, r )) = ∑ g v ∑ z i Pi ( z )
146
d i r +v
z .
dz i
В.В. Кибирев. Уравнения класса Фукса второго и более высоких порядков
Выражение P ( z ρ ), где ρ – произвольная константа, будем называть характеристической функцией
дифференциального оператора, стоящего в левой части уравнения (1.11). Для характеристической
функции имеем:
n
P ( z ρ ) = z ρ ∑ Pi ( z ) ρ ( ρ − 1)...( ρ − i + 1) = z ρ f ( z , ρ ).
i =0
Так как f ( z , ρ ) голоморфна в окрестности точки z = 0 , то
∞
∞
k =0
k =0
f ( z, ρ ) = ∑ f k ( ρ ) z k , P( z ρ ) = z ρ f ( z, ρ ) = ∑ f k ( ρ ) z k + ρ ,
(1.14)
где функция f ( z , ρ ) − целая функция от ρ .
Рассмотрим функцию (1.10). Так как все ϕλ ( z ) являются голоморфными в окрестности z=0
∞
функциями, имеем ϕλ ( z ) = ∑ g λ v z v , λ = 0,..., m. Обозначим через P ( w) оператор, стоящий в левой части
v =0
уравнения (1.11), и подставим (1.11) в левую часть (1.12):
 ∞

P ( w) = P  z r ∑ ( g 0 v + glv ln z + ... + g mv (ln z )m ) z v  =
 v =0

∞
= ∑ { g ov P( z r + v ) + glv P ( z r + v ln z ) + ... + g mv P( Z r + v (ln z ) m )}.
v =0
раз по ρ , получим
Дифференцируя равенство (1.14) i
di
di ρ
i
ρ
ρ
P
z
P
z
z
(
)
=
(
)ln
)
)
=
( z f ( z, ρ )).
dρi
dz i
Таким образом:
i
P ( z ρ (ln z )i ) = z ρ ∑ Ci j f ( i − j ) ( z, ρ )(ln z ) j ,
(1.15)
i =0
где Ci j - биноминальные коэффициенты, и
∞
m
P ( w) = ∑∑ g λ v P ( z v + r (ln z )λ ) =
λ =0 v =0
∞
m
λ
= ∑∑∑ g λ v Cvj z v + r f ( λ − j ) ( z , r + v)(ln z ) j =
v =0 λ =0 j =0
∞
m
m
= ∑ (ln z ) j ∑∑ g λ v Cλj z v + r f ( λ − j ) ( z , r + v).
v =0 λ = j
j =0
Если w является интегралом уравнения (1.11), то должны выполняться равенства:
∞
m
g λ Cλ f
∑z ∑
λ
v+r
j
(λ − j )
v
v =0
( z, r + v) = 0, j = 0,...m.
(1.16)
=j
∞
Но мы имеем
f ( k ) ( z , ρ ) = ∑ f g( k ) ( ρ ) z g . Подставив эти ряды в (1.16) и приравнивая нулю
g =0
коэффициенты при степенях z, получим систему уравнений для определения коэффициентов g λ v . В
частности, для коэффициентов g λ 0 будем иметь следующую систему:
g oo f o (r ) + glo f o' (r ) + ... + g mo f o( m ) ( r ) = 0,
glo f o (r ) + ... + mg mo f o( m −1) (r ) = 0,
………………………………….
g mo f o (r ) = 0.
Эта система должна иметь нетривиальное решение, поэтому ее определитель должен обращаться в
нуль, но он равен
m
[ f o (r )]
,
поэтому r
должно быть корнем определяющего уравнения
n
f o (r ) ≡ ∑ Pi (0) r (r − 1)...(r − i + 1) = 0 . Теорема доказана.
i =0
Здесь также можно исследовать тот случай, когда все разности между всевозможными парами корней
определяющего уравнения не являются целыми числами. В этом случае уравнение (1.11) имеет полную
147
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011/9
систему линейно-независимых интегралов вида f k ( z ) = z ρ k g k ( z ), k = 1,..., n, где g k ( z ) - голоморфные в
окрестности z=0 функции, а ρ k - корни определяющего уравнения. Теорема доказана.
Заключение
Таким образом, доказаны теоремы о существовании интегралов с регулярной особой точкой для
дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков.
Литература
1. Абдрахманов А.М. Эллиптические системы, вырождающиеся в точке // Дифференциальные уравнения. 1977.
№ 1, т. 13. С. 267-284.
2. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений II порядка. М.: Наука, 1966. 204 с.
3. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.
4. Янушаускас А. Применение вырождающихся уравнений к изучению задачи о наклонной производной //
Дифференциальные уравнения. 1969. № 1, т. 5, С.81-90.
5. Янушаускас А. Теоремы вырождающихся эллиптических уравнений // Сиб. мат. журнал. 1974. № 6, т. 15. С.
1394-1405.
Кибирев Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной
математики Бурятского государственного университета, тел. (8301-2) 217573, dekanat_imi@bsu.ru
Kibirev Vladimir Vasilievich, candidate of physical and mathematical sciences, the professor of the applied mathematics
department of the Buryat State University.
148
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
150 Кб
Теги
уравнения, фукса, порядков, класс, высокие, боле, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа