close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Условие истокопредставимости и оценки скорости сходимости методов регуляризации линейных уравнений в банаховом пространстве. II

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (478)
УДК 517.988
М.Ю. КОКУРИН
УСЛОВИЕ ИСТОКОПРЕДСТАВИМОСТИ И ОЦЕНКИ СКОРОСТИ
СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. II
1. Необходимость условия истокопредставимости
В данной работе, продолжающей [1], рассмотрим вопрос о необходимости истокообразного
представления начальной невязки для степенной оценки скорости сходимости методов аппроксимации решений линейных некорректных уравнений
Ax = f; x 2 X:
(1.1)
Здесь, как и ранее, X | комплексное банахово пространство с нормой k k, A 2 L(X ), f 2 X ;
L(X ) | пространство линейных непрерывных операторов, действующих из X в X . Норма в L(X )
вводится стандартным образом и обозначается через k kL(X ) . Существование и непрерывность
обратного оператора A;1 не предполагается, что и делает уравнение (1.1) некорректным. В
данной статье для простоты будем считать, что исходные данные (A; f ) в (1.1) известны без
погрешностей. Речь идет о классе методов
x = (E ; (A; )A) + (A; )f; 2 (0; 0 ];
(1.2)
в рамках которого конкретные процедуры определяются выбором порождающих комплекснозначных функций (; ), 2 C , 2 (0; 0 ]. Здесь E | единичный оператор, | параметр
регуляризации, 2 X | фиксированный элемент, служащий начальным приближением к искомому решению x . Предполагается, что множество решений (1.1) непусто. Функция (A; )
оператора A в (1.2) определяется формулой Рисса{Данфорда
Z
1
(1.3)
'(A) = 2i '()R(; A)d;
;
где R(; A) = (E ; A);1 oбозначает резольвенту оператора A, ; | положительно ориентированный контур на комплексной плоскости C , охватывающий спектр (A) оператора A и целиком
лежащий в области аналитичности функции '().
Напомним основные условия на оператор A и порождающие функции (; ), при которых в
[1] исследовались аппроксимативные свойства схемы (1.2) по отношению к искомому решению
x .
Условие A. Для некоторого '0 2 (0; ) выполняется включение
(A) K ('0 ); K ('0 ) = f 2 C : j arg j '0 g
(1.4)
и оценка
kR(; A)kL(X ) jc0j 8 2 C n K ('0 ):
(1.5)
22
Здесь и далее c0 ; c1 ; : : : | положительные абсолютные константы, нумерация которых независима от [1].
Обозначим S (r) = f 2 C : jj rg, K (r; '0 ) = K ('0 ) \ S (r). В силу (1.4) при любом
R0 > kAkL(X ) имеем (A) K (R0 ; '0 ). Зафиксируем эту константу R0 .
Условие B. Для каждого 2 (0; 0 ] функция (; ) аналитична по на открытом множестве
D C таком, что
K (R0 ; d0 ; '0 ) D ;
где K (R0 ; d0 ; '0 ) = K (R0 ; '0 ) [ S (d0 ), d0 | фиксированная константа, d0 2 (0; 1).
При выполнении условий A, B и дополнительного условия C [1] установлено, что при наличии
истокообразного представления начальной невязки
x ; = Ap v; v 2 X; p > 0;
(1.6)
имеет место предельное соотношение lim
!0 kx ; x k = 0 и справедлива оценка скорости сходимости
kx ; xk lp 8 2 (0; 0 ];
(1.7)
где l = c1 kvk. По поводу определения степени Ap для нецелых показателей p см. [1] и указанные
там ссылки.
В данной работе покажем, что представление (1.6), достаточное для выполнения оценки
(1.7), близко к необходимому. В случае гильбертова пространства X и самосопряженного оператора A = A аналогичные результаты были установлены ранее в ([2], с. 80{83; [3], с. 136{140).
Основным результатом статьи является утверждение о том, что при выполнении ряда дополнительных условий на порождающие функции следствием оценки (1.7) является представление
x ; = Ap;q vq ; vq 2 X;
(1.8)
справедливое для всех достаточно малых q 2 (0; q0 ]. Отметим, что величина q в (1.8) не мо-
жет быть в общем случае заменена нулем; соответствующие контрпримеры известны уже для
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве ([3], с. 138).
Подготовительным рассуждениям, необходимым для доказательства сформулированного
выше основного результата, посвящена оставшаяся часть настоящего параграфа и весь x 2. В
x 3 приводится формулировка теоремы и завершается ее доказательство. В x 4 рассматриваются
примеры процедур вида (1.2), к которым применимы результаты [1] и настоящей работы.
В дальнейшем будет удобно считать, что порождающие функции (; ) определены для
всех положительных значений параметра регуляризации, так что 2 (0; 1). Соответственно
будем предполагать, что условие B выполняется для всех значений 2 (0; 1) c K (R0 ; d0 ; '0 ) =
K (R0 ; '0 ) [ S (minfR0 ; d0 g). Полученную модификацию условия B назовем условием B0 . Обозначим через границу множества K (R0 ; d0 ; '0 ). Условие B0 означает, что оператор
Z
(A; ) = 21i (; )R(; A)d
(1.9)
определен при любом 2 (0; 1). Из (1.2) и (1.9) с учетом равенства Ax = f следует представление
Z
x ; x = 21i (1 ; (; ))R(; A)( ; x )d:
(1.10)
Будем считать также выполненными следующие технические условия C0 , E.
23
Условие C0 . При всех r 2 (0; r0 ] имеет место оценка
Z
sup ;r j1 ; (; )j jdj < 1:
2[0 ;1)
jj
(1.11)
Неравенство (1.11) | это ослабленный вариант условия C из [1], получающийся при s = 0,
но в отличие от него распространяющийся на значения 2 [0 ; 1). Обозначим
D(R0 ; d0 ; '0 ) = f(; ) : 2 K (R0; d0 ; '0 ); 2 (0; 1)g:
Условие E. Функция ( + "; ) непрерывна по , на множестве D(R0 ; d0 ; '0 ) для всех
" 2 [0; "0 ], "0 > 0.
В ходе дальнейших рассуждений на функции (; ) будут наложены и другие ограничения.
2. Предварительные оценки
Предположим, что для некоторой константы l > 0 имеет место оценка (1.7).
Из условия E с учетом представления (1.9) следует, что элемент x непрерывно зависит от
2 (0; 1). Кроме того, в силу (1.5), (1.7), (1.10) и (1.11) для всех q, 0 < q < minf 23 p; 2r0 g,
справедливо неравенство
Z1
Z
Z1
;p;1+q kx ; xkd =
;p;1+q kx ; xkd + ;p;1+q kx ; x kd 0
0
Z
Z
Z
1
c
j
1
;
(
;
)
j
0
;
1+
q
;
p
;
1+
q
;
q=
2
l d + 2 kx ; k jdj d = {(q) < 1: (2.1)
jj
0
Последнее означает, что определен элемент
Z1
wq = ;p;1+q (x ; x )d;
(2.2)
0
0
0
3
2
0
0
где wq 2 X и интеграл в правой части понимается в смысле Бохнера ([4], с. 94).
Наметим план дальнейших рассуждений. Наряду с оператором A рассмотрим его регуляризацию A" = A + "E , " > 0, и введем (пока формально) элемент
Z1
(
"
)
uq = ;p;1+q ((A; )A ; (A"; )A" )( ; x )d:
(2.3)
0
Убедившись в сходимости интеграла (2.3) и установив верхнюю оценку для ku(q") k, тем самым
докажем сходимость интеграла
Z1
;p;1+q (E ; (A" ; )A" )( ; x )d = u(q") + wq , wq(")
(2.4)
0
с оценкой нормы kwq(") ; wq k = ku(q") k. На завершающем этапе прямым вычислением покажем,
что для некоторой ненулевой константы (p; q) справедливо равенство
Ap";q wq(") = (p; q)(x ; ):
С другой стороны, с использованием упомянутой оценки установим, что Ap";q wq(") = Ap;q wq для
сколь угодно малых " = "n ! 0. Отсюда будет непосредственно следовать требуемое представление (1.8).
В дальнейшем будем предполагать выполненным
Условие F. Для всех 2 (0; 1) имеет место соотношение 1 ; (; ) 6= 0 8 2 K (R0 ; d0 ; '0 ).
24
Согласно теореме об отображении спектра ([4], с. 220) при выполнении условия F оператор
E ; (A; )A непрерывно обратим для всех 2 (0; 1). C учетом этого запишем
u(q") =
Z1
;p;1+q (A; ; ")(E ; (A; )A)( ; x )d:
(2.5)
0
Здесь обозначено
(; ; ") = (; ) 1;;((;+";))( + ") :
(2.6)
В силу условий E, F при любом " 2 (0; "0 ] функция (; ; ") непрерывна по , на множестве
D(R0; d0 ; '0 ). Следовательно, оператор (A; ; ") непрерывно зависит от при 2 (0; 1) в
смысле нормы L(X ). Для доказательства сходимости интеграла Бохнера в (2.5) достаточно
установить сходимость интеграла в правой части неравенства
Z1
;p;1+q k (A; ; ")(E ; (A; )A)( ; x )kd 0
Z1
;p;1+q k (A; ; ")kL(X ) kx ; xkd: (2.7)
0
Из (1.5) и (1.9) следует, что
k (A; ; ")kL(X ) 21
Z
j (; ; ")j kR(; A)kL(X ) jdj c2
Z j (; ; ")j
jdj:
jj
(2.8)
Дополним ранее введенные предположения относительно порождающих функций (; ) следующим условием.
Условие G. Найдутся такие "1 2 (0; "0 ] и s0 > 0, что при всех " 2 (0; "1 ] для функции (2.6)
имеет место оценка
Z j (; ; ")j
jdj M (; ") 8 > 0:
(2.9)
jj
При этом
sup
Z " M (; ") Z"
s
d" + sup ;s M (; ") d" < 1;
1
2(0;0 ]
1
"
"
0
2[ ;1)
s
;
s
sup ( M (; ")) + sup ( M (; ")) < 1
0
0
2(0;0 ]
2[0 ;1)
(2.10)
для любого s 2 (0; s0 ].
Замечание 1. Условие G выполняется, например, если
Z " M (; ")
a
M (; ") +
" d" c3 (j ln j + 1); a > 0 8 2 (0; 1):
1
0
Из оценок (2.1), (2.7){(2.10) сразу следует сходимость интеграла в (2.5) с произвольным
" 2 (0; "1 ]. Таким образом, при любом " 2 (0; "1 ] интеграл (2.4) определяет элемент wq(") 2 X . На
основании (2.9) с использованием теоремы Фубини ([5], с. 317) получаем
Z " M (; ") Z " kw(") ; wq k
Z
q
q
;
p
;
1+
kx ; x k q=2
d" d" d +
1
0
0
"
1
2
"
0
0
Z " M (; ") Z1
d" d; 0 < q < minf 32 p; 2s0g:
+ ;p;1+ q kx ; x k ;q=2
"
0
1
3
2
0
25
Отсюда с учетом (2.1) и (2.10) вытекает оценка
q 3q Z " kw(") ; wq k
q
d" c4 { 2 + { 2 < 1:
(2.11)
"
0
Неравенство (2.11) означает, что найдется такая последовательность f"n g, "n > 0, "n ! 0, что
lim kw("n ) ; wq k = 0. Действительно, предположив противное, для некоторого !0 > 0 мы имели
n!1 q
бы kwq(") ; wq k !0 8" 2 (0; "2 ], "2 "1 , так что
Z" !
Z " kw(") ; wq k
0
q
d"
"
" d" = 1
1
1
2
0
0
вопреки (2.11).
Считая величину q в (2.1) достаточно малой, зафиксируем такое натуральное m, что m <
p ; q < m + 1. В соответствии с данным в [1] определением запишем представление
Z1
m
Ap;q = (;1) sin (p ; q) tp;q;m;1 (tE + A );1Am+1 dt:
"
"
0
"
Таким образом, согласно (2.4) имеем
m sin (p ; q ) Z 1 Z 1
(
;
1)
p
;
q
(
"
)
A w =
tp;q;m;1;p;1+q "
q
0
0
(tE + A" );1Am" +1 (E ; (A"; )A" )( ; x)d dt: (2.12)
Для того чтобы записать интегральное представление (1.3) для оператора (A" ; t; ), (; t; ) =
(t + );1 m+1 (1 ; (; )), выбepeм в качестве ; контур
;(") = ; " [ ;R [ ;+(" ;R ) [ ;;( " ;R ) ;
где
;r = f 2 C : j arg j '0 ; jj = rg;
;(r ;r ) = f 2 C : arg = '0 ; r1 jj r2 g; r; r1 ; r2 > 0:
2
1
0
2
0
2
0
2
Нетрудно видеть, что ;(") охватывает (A" ) = f + " : 2 (A)g и при всех t, 2 (0; 1) целиком
лежит в области аналитичности по функции (; t; ). Согласно (1.3) и (2.12) справедливо
представление
Z 1Z 1Z
Ap";q wq(") = (p; q)
;p;1+q tp;q;m;1 (t + );1 m+1 (1 ; (; )) 0
0
;"
R(; A" )( ; x)d d dt; (2.13)
( )
m
где (p; q) = (;1) 2sin i(p;q) . Для обоснования возможности перестановки интегралов в (2.13) ([6],
c. 354) покажем, что
Z Z 1 Z 1
J, "
;p;1+q tp;q;m;1 jt + j;1 jjm+1 j1 ; (; )j ;
0
0
kR(; A" )( ; x )kd dt jdj < 1: (2.14)
2
( )
Поскольку для каждого фиксированного " 2 (0; "1 ] выполняется
sup" kR(; A" )( ; x )k = C (") < 1;
2;( )
26
то имеет место оценка
Z 1
Z 1
Z
J C (") " jjm+1
;p;1+q j1 ; (; )jd
tp;q;m;1 jt + j;1dt jdj: (2.15)
;(
0
)
0
Будем предполагать, что функции (; ) удовлетворяют следующему условию.
Условие H. Функция g( ) = 1 ; (; ) не зависит от при 2 K ('0 ) nf0g и аналитична на
открытом множестве K ('0 ) n f0g. При этом для некоторой константы t0 > 0 выполняется
Z1
;p;1+tjg(ei' )jd N (p; t) < 1 8t 2 (0; t0 ]; j'j '0 :
(2.16)
0
Кроме того, для указанных значений t справедливы соотношения
Z
Z
;
p
;
1+
t
;
p
;
1+
t
lim r
jg( )j jd j = 0; Rlim
R
jg( )j jd j = 0:
r!0
!1
;r
;R
(2.17)
Рассмотрим по отдельности внутренние интегралы в (2.15). С использованием замен =
jj = e;i arg , t = jj и неравенства (2.16) оценим упомянутые интегралы следующим образом:
Z1
Z1
;p;1+q j1 ; (; )jd = jj;p+q ;p;1+q jg(e;i arg )jd N (p; q)jj;p+q ;
0
0
Z1
Z1
tp;q;m;1jt + j;1 dt = jjp;q;m;1 p;q;m;1 j + jj;1 j;1 d 0
0
L(p; q)jjp;q;m;1 8 2 ;("):
(2.18)
(2.19)
Здесь L(p; q) | положительная постоянная, не зависящая от , 0 < q < minf 23 p; 2r0 ; 2s0 ; t0 g.
Соотношение (2.14) вытекает непосредственно из (2.15), (2.18), (2.19). Следовательно, в (2.13)
возможно изменение порядка интегрирования. Имеем
Z 1
Z
p
;
q
(
"
)
m
+1
;
p
;
1+
q
A" wq = (p; q) " (1 ; (; ))d ;
0
Z 1
tp;q;m;1 (t + );1 dt R(; A" )( ; x )d; " 2 (0; "1 ]: (2.20)
( )
0
Положив = , представим первый из внутренних интегралов в (2.20) в виде
Z1
Z
;
p
;
1+
q
;
p
+
q
(1 ; (; ))d = ;p;1+q g( )d;
()
0
(2.21)
где (z ) = f 2 C : = tz; t 0g, z 2 C ; через обозначается комплексное сопряжение для , и
интегрирование по () ведется в направлении от = 0 к = 1. Покажем, что величина G(p; q)
интеграла в правой части (2.21) не зависит от 2 ;(") . Если ; 2 ;(") таковы, что arg = arg ,
6= , то () = (), и интегралы по лучам () и () совпадают. Пусть теперь ; 2 ;(") и
arg < arg . Выберем положительно ориентированный контур
;(r;R) (; ) = ;r (; ) [ ;R (; ) [ ;(r;R) () [ ;(r;R) ();
;r (1 ; 2 ) = f 2 C : jj = r; arg 1 arg arg 2 g;
где 0 < r < R,
;(r ;r ) (z ) = f 2 C : arg = arg z; r1 jj r2 g:
1
2
27
В силу аналитичности функции g( ) на K ('0 ) n f0g ;(r;R) (; ) выполняется
Z
Z
Z
Z
Z
;
p
;
1+
q
;
p
;
1+
q
= 0:
g( )d =
g( )d +
+
+
;(r;R) (;)
;r (;)
;R (;)
;(r;R) ()
;(r;R) ()
Переходя здесь к пределу при r ! 0, R ! 1 и используя соотношения (2.17), получаем
Z
Z
;
p
;
1+
q
g( )d =
;p;1+q g( )d;
()
()
() = ;(0;1) (); () = ;(0;1) ():
Аналогично для второго внутреннего интеграла в (2.20) находим
Z1
Z
p
;
q
;
m
;
1
;
1
p
;
q
;
m
;
1
p;q;m;1 (1 + );1 d;
t
(t + ) dt = ()
0
(2.22)
причем величина T (p; q) интеграла в правой части не зависит от 2 ;(") . Объединяя равенства
(2.20){(2.22), для любого " 2 (0; "1 ] окончательно получаем
Z
Ap";q wq(") = (p; q)G(p; q)T (p; q) " R(; A" )( ; x )d = (p; q)(x ; ):
(2.23)
;(
)
Перейдем к завершающему этапу рассуждений.
3. Основная теорема
Основным результатом данной работы является
Теорема. Пусть для вырабатываемых согласно (1:2) приближений x имеет место оценка
(1:7). Предположим, что выполняются условия A, B0 , C0 , Е{Н. Тогда для всех достаточно
малых q 2 (0; q0 ] начальная невязка x ; допускает истокообразное представление x ; =
Ap;q vq , vq 2 X .
p;q w("n ) =
Доказательство. Покажем, что при выполнении сделанных предположений A"
n q
p
;
q
(
"
)
n
A wq , где элeмeнт wq определен в (2.2), fwq g | выделенная в x 2 последовательность,
lim kw("n ) ; wq k = 0, nlim
n!1 q
!1 "n = 0. Полагаем = p ; q ; m, так что p ; q = m + , 2 (0; 1). Имеет
местo оценка
kAp"n;q wq("n ) ; Ap;q wq k = kAm"n+ wq("n ) ; Am+ wq k kAm"n+ ; Am+ kL(X )kwq("n )k + kAm+ kL(X )kwq("n ) ; wq k: (3.1)
Здесь
kAm"n+ ; Am+ kL(X ) kAm"n ; Am kL(X )kA kL(X ) + kA"n kmL(X )kA"n ; A kL(X ) :
(3.2)
Нетрудно получить оценку
kAm" ; AmkL(X ) c5" 8" 2 (0; "1 ]:
(3.3)
Кроме того, согласно предложению 1 из [1]
kA" ; A kL(X ) c6 " 8" 2 (0; "1 ]:
(3.4)
Константы c5 , c6 в (3.3), (3.4) зависят лишь от A, p, q. Из (3.1){(3.4) следует, что
(3.5)
lim kAp;q w("n ) ; Ap;q wq k = 0:
n!1 "n q
28
Поскольку согласно (2.23) элемент Ap";q wq(") не зависит от ", то соотношение (3.5) дает Ap;q wq =
(p; q)(x ; ). Cледовательно, для vq = (p; q);1 wq выполняется равенство
Ap;q vq = x ; : В заключение рассмотрим некоторые примеры процедур вида (1.2), к которым применимы
полученные выше результаты.
4. Примеры методов регуляризации
В этом параграфе вкратце остановимся на некоторых примерах порождающих функций
(; ), удовлетворяющих сформулированным выше условиям B{D, В0 , C0, E{H. Одновремен-
но конкретизируем вид получающихся процедур (1.2).
Пример 1. Функция
(; ) = ( + );1 ; 2 (0; 0 ];
порождает вариант метода М.М. Лаврентьева
(A + E )(x ; ) = f ; A:
(4.1)
В рассматриваемом случае условие B выполнено с D = C n f;g. При проверке условий C, D
в качестве контура ; удобно выбирать ([7], с. 53)
; = f 2 C : j + j = (1 ; d0 )g [ f 2 C : jj = R0 g:
(4.2)
Элементарные вычисления показывают, что неравенство (2.10) из [1] имеет место при всех p 2
(0; 1]; условия D, B0 , C0 , E{H также выполняются.
Oбобщением рассмотренного примера является
Пример 2. Зафиксируем натуральное N . Функция
N (; ) = 1 1 ; + ; 2 (0; 0 ];
порождает вариант итерированного метода М.М. Лаврентьева: x = x(N ) , где x(0)
= ,
(A + E )x(k+1) = x(k) + f; k = 0; 1; : : : ; N ; 1:
(4.3)
В данном случае, как и в примере 1, D = C n f;g. Выбирая контур ; в соответствии с
(4.2) и проводя несложные выкладки, убеждаемся, что условия C, D выполняются для любого
p 2 (0; N ]. Выполнение условий B0 , C0, E{H проверяется непосредственно.
Отметим, что процедуры (4.1) и (4.3) обладают свойством \насыщения" в том смысле, что
величина p в оценке скорости сходимости (1.7) не может принимать значений, больших единицы
и N соответственно, даже если показатель в истокообразном представлении (1.6) сколь угодно
большой. Следующие примеры порождающих функций свободны от этого недостатка.
Пример 3. Функция
(1
;=
(; ) = 1 (1 ; e ); 6= 0;
(4.4)
= 0;
;
порождает вариант метода установления ([7], c. 53): x = u(;1 ), где функция u = u(t) является
решением задачи Коши для операторного дифференциального уравнения
du(t) + Au(t) = f; u(0) = :
(4.5)
dt
29
Нетрудно проверить, что функция (4.4) аналитична во всей комплексной плоскости C . В рассматриваемом случае удобно положить ; = . Рассуждения, аналогичные ([7], с. 51{53), показывают, что если условие A выполняется с '0 2 (0; 2 ), то условие C имеет место для любого
p > 0. Последнее означает, что процесс (4.5) свободен от насыщения. Условия D, B0 , C0 , E{H при
этом также выполняются.
Замечание 2. Во всех вышеприведенных примерах условие G выполняется с константой
M (; "), для которой справедлива оценка из замечания 1.
Пример 4. Определим функцию
(1
1=
(4.6)
(; ) = [1 ; (1 ; 0 ) ]; 6= 0;
0 =;
= 0;
где 0 | положительная константа, параметр регуляризации принимает значения 1; 21 ; :::; N1 ; :::
Непосредственно проверяется, что при этих значениях функция (4.6) аналитична всюду в C .
Предположим,
что условие A выполняется при некотором '0 2 (0; 4 ), и, кроме того, 0 <
p
kAk;L(1X ) 2 cos 2'0 . В качестве ; , как и в примере 3, выберем ; = . Аналогично ([7], с. 51{52)
убеждаемся, что функция (4.6) удовлетворяет условиям C, D при любом p > 0. В данном случае
схема (1.2) может быть реализована следующим образом: если = N1 , то полагаем x = x(N ),
где x(0) = ,
x(k+1) = x(k) ; 0 (Ax(k) ; f ); k = 0; 1; : : : ; N ; 1:
(4.7)
Полученный процесс также свободен от насыщения. Таким образом, к методу (4.7) применимы
все результаты из [1]. Перенос утверждения теоремы 1 на функцию (4.7) требует дополнительного исследования.
В заключение отметим, что условию A удовлетворяет каждый из следующих классов операторов A 2 L(X ).
1) Самосопряженные неотрицательные операторы A = A 0 в гильбертовом пространстве
X . В этом случае можно положить c0 = 1, '0 | любое из интервала (0; ).
2) Аккретивные операторы в гильбертовом пространстве, т. е. операторы, удовлетворяющие
условию ([8], с. 350)
Re (Ax; x) 0 8x 2 X:
В этом случае '0 | любое из ( 2 ; ).
3) Спектральные операторы скалярного типа в банаховом пространстве, спектр которых
принадлежит K ( 0 ), 0 2 (0; ) ([9], с. 41). Здесь '0 | любое из ( 0 ; ).
4) Операторы A в банаховом пространстве X такие, что (A) K ( 0 ), 0 2 (0; ), и имеет
место оценка
kR(;t; A)kL(X ) ct7 8t > 0:
Автор признателен проф. А.Б. Бакушинскому за полезные обсуждения результатов работы.
Литература
1. Кокурин М.Ю. Условие истокопредставимости и оценки скорости сходимости методов регуляризации линейных уравнений в банаховом пространстве. I // Изв. вузов. Математика. {
2001. { Є 8. { C. 51{59.
2. Engl H.W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of inverse problems. { Dordrecht: Kluwer, 1996.
{ 322 p.
3. Кокурин М.Ю. Операторная регуляризация и исследование нелинейных монотонных задач.
{ Йошкар-Ола: Изд-во Марийск. ун-та, 1998. { 292 с.
30
4. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. { М.: Ин. лит., 1962. { 830 с.
5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. { 5-е
изд. { М.: Наука, 1981. { 544 с.
6. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. { М.: Наука, 1967. { 396 с.
7. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. {
M.: Наука, 1989. { 128 с.
8. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. { M.: Мир, 1972. { 740 с.
9. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральные операторы. { M.: Мир, 1974.
{ 662 с.
Марийский государственный университет
Поступила
16.10.1999
31
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа