close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Условия изометричности банахова пространства сопряженному в терминах тотального подпространства сопряженного пространства.

код для вставкиСкачать
ISSN 1812-9498. беярмхй юцрс. 2006. ? 1 (30)
люрелюрхйю
??? 517.98
?. ?. ???????
???????????? ??????????????? ??????????? ???????????
сякнбхъ хгнлерпхвмнярх аюмюунбю опнярпюмярбю
янопъфеммнлс б реплхмюу рнрюкэмнцн
ондопнярпюмярбю янопъфеммнцн опнярпюмярбю
????????
???? ?? ???????? ??????????, ??????????? ??? ???????????? ?????????? ???? ???????, ????????? ? ????????????????? ?????????? ??????????????, ??????????? ? ???, ??? ????????? ??? ?????? ????????????
?? ???????? ?????????? ? ??????? ?????????. ??? ???????? ????????
?????? ????? (????????, ??????? ????????????? ? ?????????????? ??????? ??????????? ????????? ? ????????? ?????????????) ?????????????
?????? ?? ???????, ?? ????????, ???????, ????? ????????? ??? ???
????????? ? ?????-?????? ????? ?????? ?????????, ????????? ? ????????
?????????? ???????? ????????????. ? ???? ????????? ??????????? ???????? ???????????? ???????? ??????? ???????? ???????????? ?????? ?????? ?????, ????????? ??? ????????? ??? ????????? ? ??????* ?????????.
? ?????? ???????, ?? ?????? ???????? ???????????? ????? ??????????? ???????????? ???????????? ??????. ????????, ??? ?????????? ??????? ??????????? ? ?????????????? ??????? ?????? ? ????????, ???????? ???????????? ?0, C [0, 1] ? L1 [0, 1] ?? ???????? ???????????? ??????????????.
????? ????, ??? ???????????? ?? ? ????? ????????????? ????? ?? ????? ????????????, ?. ?. ?? ????? ????????? ???????? ???????????? ???????????? ?????? [1, 2]. ??? ?????????? ?. ????? ? ?. ??????? [3], ?????? ?????????????? ???????? ???????????? ????? ???????????? ??????????????? ?????
???????, ??? ??? ?? ????? ??????????? ???????? ???????????? ????????
????????????. ? ????? ? ???? ????????? ?????? ???????????? ???????, ???
??????? ?????? ???????? ???????????? ????? ??????????? ????????????.
????? ? ? ???????? ????????????, ? ? ?????? ????????? ?????????
??????????????? ???????????? ?*. ?????????: i ? ???????????? ????????
? ? ?*, ?X ? ???????????? ???????? ? ? ?**. ????? ???????? ???????????
???????? j = i* ?X: X ? E* ????? ??????????? ? ???? ??????????? ? ??? ?
? || j || ? 1. ???????? ????????? ????????? ????, ????? ????????, ??? ? ??????????? ??????????? ?*, ???? j ???????? ?????????? ????? ? ? ?*.
????? ????????? j ? ???????? ????????????? ?? ???????. ??? ?????????? ????????? (?, jx) = (x, i?) = (x, ?), ? ?????? ???????????? ?????????8
люрелюрхйю
????? ? ? ?* ?? ????? ???????? ? ????????? ? = ?* ? ????????????? ????? ? ? ?* ??????????????.
?? ??????* ???????????? ?????????? ???? ???????????? ?*, ???????????? ? ???????? ???????????? ?, ????????, ??? ?????? ??????? ? ?? ?
????????? ????? ????? ?? ????????? ???? ?*, ?. ?. ?????????? ?* ? ?* ?????, ??? ||x*|| = 1 ? (?, ?*) = || x ||. ?. ?????? ???????, ??? ???????? ?????
?????? ? ??? ??????, ????? ? ???????????. ??????: ???? ? ? ???????? ????????????, ? = ?* ? ?????? ??????? ?? ? ????????? ????? ????? ?? ????????? ???? ???????????? ?, ?? ? ??????????? ??????????? ?*.
? ?????????? ????? ????????, ??? ? ???????? ????????? (??) (??????????? ? ? (??)) ???????????? ???????? ???????????? ?, ???? ? ???????? ?????? ????????? ????????? ??? ? ???????????????? ? ?*, ??? ???????? ???????? ????????? ????? ????? ?? ????????? ???? ???????????? ?.
??? ???? ??????? ????, ??????? ? ? (??) ???????? ??????????? ??? ???????????? ????????? ? ? ?*. ?????? ? ????? ??????, ??? ??????????
??????? ? = l1 [0, 1], E = C [0, 1] ? X* ? ? = m0 (?), ? = l1 (?) ? ?* ??? ?????????? ?????????? ????????? ?, ??? ??????? ?? ???????? ???????????. ??????? ??????????? ????????? ??????: ??? ????? ?????????????? ???????????? ?? ? ??????? ? ? (??) ?????? ???????????? ?????????????? ? ? ?*?
? ???????? ???? ?????? ? ???????, ?? ????????, ????????? ??????.
?????? ? ?????, ???? ??????? ?????????? ? [4] ? ??????? ????? ?????? ???????????? ???? ? ??????????? ???????????.
????? 1. ????? ? ? ???????? ????????????. ???? ?????????????-
{ }
????? xn*
*
?? ?
{x }
* ?
n n =1
x0*
?
n =1
( )
{ }
? B X * ? ??????? x0* ? X * ??????, ??? xn*
?
n =1
???????? ???-
*
? ??? ??????? x ?? ???????? ???????? ??????????????????
x* ? ? , ? ?? ????? ??? x0* < ? 2 ??? ?????????? ? ? (0; 1) , ?? ???
???????????? ? n > 0 ?????, ???
?
? ? n = 1 , ???????? ??????????????????
1
{}
g n ? con? xi*
?
i=n
?
?????, ??? ??????????
? ?n gn
?? ????????? ????? ?????
1
?? ????????? ???? ???????????? ?.
??????????????. ?? ????? ??????? ???????? ? ? [?; 1] ? ???????-
{}
??????????? g n ? con? xi*
?
i=n
?????, ???
?
? ?i gi
=?,
1
n
? ? i gi
1
?
?
?
? ???1 ? ?? ? i ?? .
n +1
?
?
9
ISSN 1812-9498. беярмхй юцрс. 2006. ? 1 (30)
? ???? ????????? ?????????? ??????* ????????? ? ???? ?????, ???
{}
g n ? con? xi*
?
i =n ,
??????? ????????????
( x, g k ) < ?
( )
??? ??????? ? ?? ? ????? (x, g n ) ? x, x0* .
x ? B( X )
? ??????? n ???, ?????
? ?? ??? ???? k > n .
?????
2
?
?
?
? ?
? ? n
?
?
?
?? x, ? ? k g k ?? < ?? x, ? ? k g k ?? + ??? ? k ? ???1 ? ?? ? k ?? + ??? ? k = ? .
n +1
n +1
n +1
? 1
? ? 1
?
?
?
?
????? ???????, ??????????
? ? k g k , ????????????? ???????? ??1
{ }
?
??????? ???????? ???????? ?????????????????? xn* n =1 , ?? ?????????
????? ????? ?? ????????? ???? ???????????? ?.
?????? ??????? ??????? ?? ?????????????? ????????????? ???????? ? ? ?* ??? ???????, ??? ? ????????????? ?????????? ??????????,
?? ?????????? ?? ?????????? ????? ?? ? ? ?????????????? ??? ???????????, ?????????? ?. ????? ?????????, ????? ???????????? ? ????????????? ???????? ???? ???????.
??????? 2. ????? X ???????? ????????????, ? ? (??). ???? ??????*
?????????????? ????????? ? E (E ) ?? ?????? ??????????? ?** ?????????
?? ???? ????????????? ?**, ?? X ??????????? ??????????? ?*.
??????????????. ????????, ??? ???????????? ???????? ?? ????????
??????????. ????? ????? j(?(X)) ?????????? ???? ???????????? X ?? ????????? ? ????? ?(?*) ???????????? ?*, ? ????? ?????????? [1, ?. 57, ????? 2],
??? ????????? ????????? j(?(X)) ? ??????? ????????? ?? ????????? ? ?(?*).
??????? ???????? ? ? (0; 1) ? ??????? ?0** ? ? ** ?????, ??? ? < e0** ? 1 ,
sup{( jx, e0** ) : x ? B ( x)} < ? 2 .
??? ??? e0** > ? , ?? ?????????? e0* ? B( E ) ?????, ??? (e0* , e0** ) > ? .
????????? G = {e** ? E ** : (e0* , e** ) > ?} ?????* ??????? ? ?**. ?????????????, ?? ??????? ???????, ????????? ? ? ( ? ) ? G ????????????? ??????
? G. ??? ??? e0** ?????????? ? G, ?? ???????? ??????????????????
{en }?n =1 ? E ?????, ??? ??? ??????? e* ? E * (en* , e* ) = (e* , ? E en ) ? (e* , e0** )
? ??? ???? n ??????????? (en , e0* ) > ? .
? ???? ?????????????? ?????????????????? {en }?n =1 ????? ???????,
??? {en }?n =1 ? B ( E ) , ?. ?. ?? ?????? ????????? ?????, ??????? ??? ?????????????????? ? ??????? e0** ?? ?????????? ?????? ? ? (0; 1) ?, ????????,
???????? ? .
10
люрелюрхйю
??? ????????, ? ?????????, ??? ??? ???????
x? X
**
* **
( x, en ) = (en , jx) ? ( jx, e0 ) = ( x, j e0 ) ,
?.
?.
??????????????????
{en }?n =1 ? E ? X * ???????? ?????* ? ???????? j *e0** ? X * , ????? ????????
??????, ??? ?2 . ??? ??? (en , e0* ) > ? ??? ???? n, ?? ? ??? ??????? ???????? e
?? ???????? ???????? ?????????????????? {e n }?n =1 ????? ? ?? ??????,
??? ? . ????? ???????, ??? ??????? ????? 1 ?????????. ??????, ????????
???? ?????, ???????? ??????? ?? ?, ??????? ?? ????????? ????? ??????
??????? ????? ?? ????????? ???? ???????????? X, ??? ???????????? ???????? ???????. ?????????????, X ??????????? ??????????? ?*.
????????? 3. ????? X ???????? ????????????, ? ? (?? ) , ? ???????????? ? ?? ???????? ??????????????, ?????????? l1. ????? X ??????????? ??????????? ?*.
???? ???? ??????????????? ???????? ?? ??????? 2 ? ??????????
?????? ? ????????? [5]: ???? ? ???????????? ? ?? ???????? ??????????
????? l1, ?? ? E (E ) ?????* ????????????? ?????? ? ?**.
????????? ??????, ????? ??? ???????????? ? ????????????? ???????? ??????? 2, ????? ????????? ? ????????? 3. ??? ????? ??? ??????????? ????????? ???, ??-????????, ????????? ?????, ??????? ?? ???????? ??? ??????? ?????????.
????????, ??? ???? ? ? ?????????????? ???????????? ? ? ? ? , ??
??? ??????? ?????????? ????????? ? ? ? ?? ???????? ??????????? ????????? ???? ??????? ??????????? ?.
????? 4. ????? ???????? ???????????? ? ?? ???????? ??????????
????? l1. ????? ??????* ?????????????? ????????? ? E (E ) ? ?** ?????????
? ??? ??????* ??????? ?????????? ? ?**.
??????????????. ????? ? ?? ???????? ??????????????, ??????????
l1. ??????? ???????????? ??????? e** ? E ** , ????????????? ????????
????????? ? E (E ) ? ?**. ????? ???????? ?????????????????? {en }?n =1 ? E
?????, ??? e** ????? ? ??????* ????????? ????????? {? E en }?n=1 ? E ** .
????? L ?????????? ??????? ????????? ???????? ???????? ?????????
{en }?n =1 . ????????, L ???????????? ? ?? ???????? l1 , ???????, ?? ???????
?????? ? ????????? [5], ? L (L) ?????* ????????????? ?????? ? L**. ? ?????? ???????, ??????????? L* ????? ???? ??????????? ?????????????
? ??????-????????????? E*/L? (L? ?????????? ????????? ???????????? L
? ??????????? E*), ? ?????? ??????????? L** ? c L ?? ? E ** [l, ?. 201?202].
??? ??? L?? ???? ?? ??? ????, ??? ???????? ??????????????? L ? E ,
?? e** ? L ??. ????? ????, ????????? ?( L ??, E * ) ? ?( L ??, E * / L ?) ?????????. ?????????????, e** ??????????? ??????????????? ?????????
11
ISSN 1812-9498. беярмхй юцрс. 2006. ? 1 (30)
????????? ? L (L) ? ?**, ? ??????, ? ???????* ??????????????? ?????????
? E (E ) ? ?**. ????? ???????, ?? ????????, ??? ??????* ??????? ?????????
????????? ? E (E ) ? ?** ?????????? ? ?????????????? ????????? ?????
?????????. ???????? ????????? ????????.
????? 5. ????? ???????? ???????????? Y ???????? ???????????????, ?????????? l1 (? ) ??? ?????????? ????????? ? , ? ??? ???????? ???????????? X ?????????? ???????????? ??????????? ???????? ????????
F : X ? Y . ????? X ???????? ???????????????, ????????? l1 (?) .
??????????????. ????? ??????? { y? }??? ? Y ???????????? ????????????? ?????? ? l1 (? ) , ?. ?. ?????????? ????? ????????????? ?????????? ? ? ?, ??? ??? ?????? ???????? (? ? ) ??? ? l1 (?) ????????? ??????????? A? ? ? ?
???
? ? ? y?
???
? B ? ? ? . ????? ????????, ??? ???????????????
???
X, ????????? ?? ???????????? ???????????? {x? }??? ? X
?1
?????, ???
x? ? F ( y? ) , ????????? l1 (?) .
????????, ??? ???????? ???????????? X ???????? ????????? (?), ????
?? ????? ???????????? ????????? ???????? ??????????? X ? ?????? ???????????? ????? ???????? ??????? ???????????? ? ?????? ????????????.
????? 6. ???? ???????? ???????????? ? ???????? ????????? (?), ??
??? ??????? ????????? V ? X* ??? ??????* ? ??????? ??????* ?????????
?????????.
??????????????. ??? ??????????? ??????????????? ???????? ?? ??????????? ?. ???? [6]: ???? ? ???????? ????????? (?), ?? ??? ?????? ????????? ? ? ?* ? ???????? ?* ?? ???????* ????????? ? ???????? ???????
???????????? ? ? ? ?????, ??? ?* ??????????? ???????* ????????? ???????? ???????? ?.
??????? 7. ????? ???????? ???????????? ? ??????, ??? ?* ????????
????????? (?). ????? ??????* ?????????????? ????????? ? E (E ) ? ?** ????????? ? ?**.
??????????????. ???????, ??? ?. ?. ?* ???????? ????????? (?), ??
??????? ????????? ? E (E ) ? ?** ????????? ?? ???? ????????????? ?** . ???? ?? ???????????? ? ????????? ?????????? ????? l1, ?? ?* ????? ??
??????-????????????, ?????????? l ? . ?? l ? ???????? ???????????????,
?????????? l1 (?) ?? ????????? ????????? ? . ?? ????? 5, ?* ????????
?????????? ????? l1 (?) . ? ?? ?? ????? l1 (?) ?? ????????? ????????? ?
?? ???????? ????????? (?) [7]. ?????????????, ?* ?? ???????? ????????? (?),
??? ???????????? ??????? ???????. ????? ???????, ? ?? ???????? ??????????????, ?????????? l1. ?? ????? 4 ??????* ??????? ? ??????* ?????????????? ????????? ? E (E ) ? ?** ?????????, ??? ? ????????? ??????????????.
12
люрелюрхйю
????????? 8. ????? X ???????? ????????????, E ? (??) ? ?* ????????
????????? (?). ????? X ??????????? ??????????? ?*.
??? ??????????? ??????????????? ???????? ?? ?????? 2 ? 7.
????????? 9. ????? X ???????? ????????????, E ? (??) ? ?* ??????????? ? ?????? ?????????. ????? X ??????????? ??????????? ?*.
??? ?????????????? ???? ?????? ??????, ??? ?????? ???????????
? ?????? ????????? ???????? ???????????? ????? ???????? ????????? (?).
? ?????????????? ?????????? ?????????? ?? ?????????? ??????? ??
?????????????? ????????????? ???????? X ? ?*, [8, ?. 57, ??????? 2].
??????? 10. ????? ???????? ???????????? ? ???????? ?????????????
?????? ?????, ??? ??????????????? ????? ?? ?* ????? ???????. ?????
??????* ?????????????? ????????? ? E (E ) ? ?** ????????? ? ?**.
??????????????. ????? ??? ???????? ???????, ??? ????? ? ??????,
??? ?? ???????????? ????? ?? ?* ???????. ???????, ??? ? ???? ?????? ?
?? ???????? ??????????????, ?????????? l1. ?????????????, ? ?????????
?????? ?* ????? ?? ??????-????????????, ?????????? l ? , ?, ?? ????? 5,
?????? ???? ?? ????????? ?????????? ????? l1 (? ) ??? ??????????
?????????? ????????? ? . ?? l1 (?) ?? ????? ????????????? ??????? ????? (??., ????????, [9]), ??? ???????????? ????????? ????? ?? ?*.
????, ? ?? ???????? ??????????????, ?????????? l1. ?? ????? 4,
??????* ?????????????? ? ??????* ??????? ????????? ? E (E ) ? ?** ?????????. ????? E S ?????????? ??????* ?????????????? ????????? ? E (E )
? ?** ? BS = B( E ** ) ? ( E S ) .
????????? BS ????? ?????? ????????? ? B(E**), ?. ?. ??? ??????
???????? ???????????? A ? BS ??? ??????* ????????? ??????? ????? ? BS .
??? ??? ??? B(E**) ?????* ?????????, ?? ????????? BS ????? ?????? ??????????, a ??????, ? ?c?????????????? [10, ??????? 3.10.20]. ? ?????????, ?????? ??????? e * ? E * ????????? ????? ?????? ??????? ????? ??
????????? BS . ? ?????? ???????, ?????? ??????? ????? ???????? e* ??
BS ????????? ? e* ? ???? ??????* ????????? BS ? ???? B(E**). ????? ??-
?????, ?* ??????????? ???????????? ? ??????????? E S* . ????????, ??? ?*
???????? ?? ES. ??? ?????????? ????, ?????? ??????? ?? ?* ?????????
????? ????? ?? ????????? ???? BS ???????????? ES ? ?* ??????. ?? [8, ?. 57,
??????? 2] ???????, ??? ES ??????????? ??????????? ?**, ?, ??????, ?????????????? ????????? ? E (E ) ? ?** ????????? ? ?**.
????????? 11. ????? X ???????? ????????????, E ? (??) ? ? ?????
????? ????????????? ?????, ??? ???????????? ????? ?? ?* ????? ???????.
????? X ??????????? ??????????? ?*.
13
ISSN 1812-9498. беярмхй юцрс. 2006. ? 1 (30)
??????????
??? ????? ?? ??????????? ????, ???????? ?????????? ???????????? ?
?????? ???????????? ??????? ??????????? ?? ??????????? ???????? ???????????? ???????????? ? ?????? ???????????? ????????? ? ????????
???????? ????????????, ??????????? ????? ????? ?? ????????? ????
????????? ???????????? ??????.
?????? ??????????
Karlin S. Bases in Banach spaces // Duke math. J. ? 1948. ? 15. ? ?. 971?985.
???????? ?. ?. ? ?????? ??????????? ??????? // ???. ? 1937. ? 17 : 5. ?
?. 237?239.
3. Davis W. J., Johnson W. S. A renorming of nonreflexive Banach spaces // Proc.
Amer. Math. Soc. ? 1972. ? 31 : 1. ? P. 109?111.
4. ??????? ?. ?. ?? ????? ??????? ????????????? ???????????? ??????. ? ???.
????. ????. ?????. ??????????. ? 1984. ? ? 4. ? ?. 11?13.
5. Odell E., Rosenthal H. P. A double-dual characterization of separable Banach
spaces containing 11 // Isr. Journ. Math. ? 1975. ? 20. ? ?. 375?384.
6. Pol R. On a qastion of H. H. Corson and same related problems // Funf. Math. ?
1980. ? P. 143?154.
7. Edgar G. A. Mesurability in a Banach space, 11 // Ing. University Math. Journ. ?
1979. ? 28 : 4. ? P. 559?579.
8. ??????? ?. ?., ?????? ?. ?. ?????? ????????????? ?????????????? ? ?? ??????????. ? ????: ???? ?????, 1980.
9. Leach E. E., Whitfield J. H. M. Differentiable functions and rought norm on Banach
spaces // Proc. Amer. Math. Soc. ? 1972. ? 33. ? P. 120?126.
10. Hagler J., Johnson W. B. On Banach spaces whose dual balls are not weak* sequentially compact // Isr. Journ. Math. ? 1977. ? 28 : 4. ? P. 325?330.
1.
2.
???????? 19.09.05
ISOMETRIC CONDITIONS OF A BANACH SPACE
DUAL IN TERMS OF TOTAL SUBSPACE OF DUAL SPACE
N. M. Efremov
The symbol ? ? (??) is used by us in the case when ? is
strongly closed total subspace above a Banach space X in X*, and all
its elements obtain their norm on an unit ball of the space X. The condition ? ? (??) is necessary for canonical, i. e. set in between X and
X* duality, isometry X and ?*, but not sufficient. There are some basic
results. They are the following ones. Theorem 2. Let ? be a Banach
space, ? ? ??. If a weak sequential short ?? (?) in the second dual
14
люрелюрхйю
?** is congruent with the whole space ?**, then X is canonical isometric E*. Consequence 3. Let ? be a Banach space, ? ? ??, ? is separable and does not contain subspaces that are isomorphic to l1. Then X
is canonical isometric E*. Theorem 7. Let a Banach space ? be such
a space, that E* possesses the property (?). Then a weak* sequential
short ?? (?) in ?** is congruent with ?**. Theorem 10. Let a Banach
space ? possess such an equivalent norm, that the corresponding norm
on ?* will be smooth. Then a weak* sequential short ?? (?) in ?** will
be congruent with ?**.
15
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
156 Кб
Теги
условия, изометричности, пространство, тотального, сопряженное, банахова, терминал, подпространств
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа