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Условия правильности квазинормированных пространств.

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ISSN 1810-0198 ??????? ???, ?. 20, ???. 2, 2015
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???????? ?????: ???????????? ?????????; ??????????; ?????????? ????????????;
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(? ?????????, ??????????? ????????-??????). ? [2] ???? ?????? ????????? ??????????? ?? [1]
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? ????????? ?????? ???????? ??????????? ? ??????????? ??????? ???????????? ????????? ??????????? ? ????????? ??????? ?????????? ???? ???????. ??? ???????? ?????? ?????????? ????? ???????? ?????????? ?? [2] .
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(a) M (0) = 0 ;
(b) ?(? ? K, x ? X)M (?x) = M (|?|x) (? ?????????, M (?x) = M (x) );
(c) ?(x, y ? X, a ? (0, 1))M (ax + (1 ? a)y) 6 M (x) + M (y) ;
(d) (?x ?= 0) lim M (?x) > lim M (?x) = 0 .
???
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???????, ??? ?? (a) ? (c) (??? y = 0 ) ???????? ?????????? ??????? M ?? ?????? ????
{?x : ? > 0}(x ?= 0) , ? ?????? - ????????????? ???????? ? (d) .
??? ?????? ?????????? M ?????????
||x||M := inf {a > 0 : M (a?1 x) 6 a}
(1)
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(?? ? K)||?x||M ? 0 ??? x ? 0 (?. ?. ??? ||x||M ? 0 ); (?x ? X)?x ? 0 ??? ? ? 0 . ???????,
???, ??? ??????? ?? (b) , ||?x||M = ?|?|x?M .
284
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????????, ??? ????????? A ? ??? ?????????? ??-???????????? [5] ??? ?????????? ???????:
(2)
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lim sup{||?x||M : x ? A} = 0,
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(3)
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??? ??????????? ??? ??? XM . ??? ????? ??? ???????????
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M (a?1 ?x) 6 a , ?? M (a?1 ?x) 6 a|?|?1 . ??? ??? ? ???? (1)
||?x||M > inf {a > 0 : M (a?1 |?|x) 6 a|?|?1 } = |?|inf {b > 0 : M (b?1 x) 6 b},
??? b = a|?|?1 . ??? ????? ????? ????????. ? ? ? ? ? ? ? 1. ???? ????????? A ? ??? XM ??-??????????, ?? ??? ? d -??????????.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ????? 0 < |?| 6 1 . ????? ? ???? ????? 1
(?x ? A)||x||M 6 |?|?1 sup{||?x||M : x ? A}.
??? ??? ????????? A ??-??????????, ?? ? ???? (3) (?x ? A)||x||M 6 |?|?1 ??? ??????????
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M (x) = |x|(1 + |x|)?1 , ??? ??? ? ???? ?????? {x ? R : ||x||M < 1} = R .
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????????? ??????? ???????? ??????????? ??????? ???????????? ??? XM .
? ? ? ? ? ? ? 2. ???? ???????????? XM ?????????, ??
(?x ?= 0) lim M (?x) = ?.
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(4)
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??-????????????. ? ?????? ???????,
(?x ? E)M (a?1 x) = M (a?1 |?|x0 ) 6 a,
??? ??? (?x ? E)||x||M 6 a , ?. ?. E d -??????????, ??? ???????????? ???????????? ???
XM .
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XM , ? ??????? ?? ?????????? ???????? ??????.
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lim ||xk ||M = 0 ????? ? ?????? ?????, ????? (??) lim M (?xk ) = 0.
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k??
(5)
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XM ?????????.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ??????? ??? r > 0
Br := {x ? X : ||x||M < r}
(6)
? ???????, ??? br := sup{|x| : x ? Br } < ? . ?????????????, ? ????????? ?????? ?(xn ?
Br , n = 1, 2, ...) : |xn | ? ? , ?????? M (r?1 xn ) = ?(r?1 |xn |) ? ? , ??? ???????????? ???????????: (?n)M (r?1 xn ) 6 r (??. (1)).
?????, ????? (?k)xk ? Br , ?k ? K ? ?k ? 0 . ?????
(??)M (??k xk ) = ?(?|?k ||xk |) 6 ?(?|?k |br ) ? 0,
?.?., ? ???? (5), ?k xk ? 0 .
????, ????? ??? Br ? XM ??-?????????, ??? ??? ??? XM ?????????. ????? ???????, ? ???? ?????? 2 ? 3, ? ?????? ?????????? ?????????? M , ??????? (4)
?????????? ? ?????????? ??? ???????????? ??? XM .
? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. ???? dim X = 1 , ? ????????? M ????????????? ??????? (4), ?? ???
XM ?????????.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ????? e ? X, e ?= 0 . ????? ????????? |x| := |?| , ??? x = ?e ,
?????????? ????? ? X . ??????? ?(?) = M (?e), ? > 0 , ??? ??? (?x ? X)M (x) = ?(|x|) , ?.?.
M ? ?????????? ??????????. ???????? ????????? ??????? 3. ??????????, ????? ?? ??????????? ????????? 1, ???? 1 < dim X < ? .
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XM ? ???????? d -????????????? ????????? ????? ????????????? ???????????? ??? Br (??.
(6)).
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(7)
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ????? ?r > 0 ????? ????? (7), ? ????? ??? ????????????
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??? ??? ?k xk ? 0 (??.(5)). ??? ??????, ??? ??? Br ??-?????????, ?.?. ??? XM ?????????.
??????????? ??????, ??? ??? ????????? r > 0 ??????? (7) ?? ???????????. ????? ?????????? ????? ? , ??? (?k)?(xk ? Br , ?k ? K) : ?k ? 0 , a M (?k xk ) > ? , ?.?. ?k xk ?? ?????????
? ???? ? XM . ??? ??????, ??? ??? Br ?? ??-?????????, ?.?. ??? XM ?? ?????????. ???????? ???? ???????? ???????????? ? ????????? ??????? ??????????.
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1) ???? ?????????? M p-????????? ?? X ??? ????????? p > 0 , ?.?. ?(?, x)M (?x) =
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ??????????? r > 0 . ????? ?(x ? Br , ? ? K)M (?x) =
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ????? r > 0 ? |?| 6 r?1 . ????? ?x ? Br , ? ???? ??????????
??????? M , M (?x) 6 |?|rM (r?1 x) 6 |?|r2 , ?????? ??????? (7). ? ? ? ? ? ? 1. ????? X = C[a, b], M (x) =
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????????, p-?????????? ?? X , ?? ??? XM ?????????. ???????, ??? ?????? ?????????? ??
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?
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M (n, ?(n)), ? ? X N ,
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[0, ?] ???????? ???????????. ?????????????, ?????????
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? ? ? ? ? ? ? 5. ???? ??? lM ?????????, ??
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???
(8)
(???? M ?? ??????? ?? n , ?? (8) ????????? ? (4)).
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???
??????? n0 ? N ? x0 ?= 0 ? ??????? ?(n0 ) = x0 , ? (?n ?= n0 )?(n) = 0 .????? ? ? lM \{?} ,
?????? lim M (n0 , ?x0 ) = lim IM (??) = ?.
???
???
???????? ??????? ??????????, ????????????, ??? ??????? (8) ?? ??????????, ?????? ??????, ??? ???????????? ??? lM (???? ???? (?n)M (n, � ) ???????? ?????????? ???????????).
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? ? ? ? ? ? 2. ????? X = R, M (n, x) = n x , ??? ??? (?n)M (n, � ) - ?????????? ??????????,
?????????? ????????? (8).
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k
? ?? ?? ????? IM (k ?1 ?k ) = k ?1 ?
? 1 . ??? ??????, ??? ????? {? ? lM : ||?||M = 1} ??
k
??-??????????, ??? ??? ??? lM ?? ?????????.
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? ? ? ? ? ? 3. ????? X = R, M (0) = 0, M (x) = ?(ln |x|)?1 ??? |x| ? (0, 1) ? M (x) = ?
??? |x| > 1 , ??? ??? ??? ?????????? ?????????? M ??????????? (4) ?, ?????????????, (8).
????? (?k)?k (n) = e?k ??? n 6 k ? ?k (n) = 0 ??? n > k . ????? (?k) IM (?k ) = 1 , ???
??? ||?k ||M = 1 . ????? ????, (?k)IM (e?k ?k ) = 1/2 . ?????? ???????, ??? ? ? ??????? 2, ???
??? lM ?? ?????????.
?? ???? ???????? ????? ???????, ??? ??????? (4), ?????? ??????, ?? ?????????? ??? ???????????? ??? XM . ?????????????, ????? ???? ???????????? X ? ?????????? M : X ?
[0, ?] ?????? lM ?, ??????????????, IM . ??? ??? ? ???????? 2 ? 3 (?? ?= ?)IM (??) ? ?
??? ? ? ? , ?? ??????? (4) (? ??????? x ?? ? , ? M ?? IM ) ???????????. ? ?? ?? ?????
??? lM ? ????? ??????? ?? ?????????.
??????? ?????, ??? ???? (?n) ?????????? M (n, � ) p-????????? ?? X(p > 0) ??? ???????
?? X , ?? ????? ?? ????????? ???????? IM ?? lM . ?????????????, ? ???? ????????? ???
lM ?????????.
?? ??????? 4 ???????? ????????? ???????? ???????????? ??? lM .
???????????? lM ????????? ????? ? ?????? ?????, ????? IM (??) ? 0 ??? ? ? 0 ?????????? ?? ? ?? ?????? ???? Br := {? ? lM : ||?||M < r} .
???????? ???? ???????? ? ????????? ????????.
? ? ? ? ? ? ? 6. ????? X - ????????????? ????????????, ? M -?????????? ??????????,
?.?. M (x) = ?(|x|) (??. �. ????? ???? ?(?) ? ? ??? ? ? ? ? c := sup{? : ?(?) = 0} > 0 ,
?? ??? lM ?????????.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ??????????? r > 0 . ???? ? ? Br , ??
IM (r
?1
?) =
?
?
?(r?1 |?(n)|) 6 r,
n=1
??? ???
(?n)?(r?1 |?(n)|) 6 r.
?????, ??? ??? ?(?) ? ? ??? ? ? ? , ?? b := sup{? : ?(?) 6 r} < ? . ?????????????,
(?n)|?(n)| 6 br . ????? ????, ?(|?|br) = 0 ??? |?| < d := c(br)?1 .
?????????????, (?? ? Br )IM (??) = 0 ??? |?| < d . ????? ???????, IM (??) ? 0 ??? ? ? 0
?????????? ?? ? ? Br . ??????, ??? lM ?????????. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. ???? ?? ??????? ????? ???????? ???????????? ???????????? lM ?
???????? ????? ?????????? M .
? ?????????? ???????, ??? ? ????????? ?????? ?? ??????????? ??????? ????????????
?????????????? ??? LM (??. [1] ? [2]).
??????????
1. ?????? ?.?. ?? ?????????????? ???????? ? ????????????? ????????-?????? // ??????? ???????????
????????????. ???. ???????. ? ????. ????. 2011. ?. 16. ???. 4. ?. 1227? 1228.
2. Shragin I.V. On the boundedness of sets in Musielak?Orlicz spaces // Comment. Math. 2013. V. 53. N 2. P.
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288
ISSN 1810-0198 ??????? ???, ?. 20, ???. 2, 2015
Shragin I.V. RIGHTNESS CONDITIONS OF QUSINORMED SPACES
We consider the quasinormed spaces, which are de?ned with the help of gen-functions. For these spaces
we estabilish the necessary and su?cient conditions of rightness, that is of equvialence of two notions of set
boundedness: in the sense of metric and in the sense of topology of vector space.
Key words: bounded set; right quasinormed space; gen-function; Musielak?Orlicz space.
?????? ????? ????????????, ???????? ??????????????? ???????????? ????????????????? ???????????, ?. ?????, ?????????? ?????????, ???????? ??????-?????????????? ????, ??????, e-mail:
is.shragin@mail.ru
Shragin Isaak Veniaminovich, Perm state national research university, Russian Federation, Perm,
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, e-mail: is.shragin@mail.ru
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