close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Формула Коши и интеграл типа Коши для одного класса обобщенных аналитических функций.

код для вставкиСкачать
1998
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (429)
УДК 517.548
Ю.И. СОЛОВЬЕВ
ФОРМУЛА КОШИ И ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО
КЛАССА ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Будем рассматривать комплекснозначные функции (z ) (z = x + iy), удовлетворяющие уравнению
;
(1)
2 @ (z ) ; 2m + 1 (z ) ; (z ) = 0;
@z
z;z
где 2@=@z = @=@x + i@=@y; m | целое число. Такие функции являются частным случаем обобщенных аналитических функций, введенных И.Н. Векуа [1]; интегральные представления для
них получены в [2], [3]; случай m = 0 рассматривался в [4], [5].
В качестве обобщенного ядра Коши возьмем функцию
W (z; ) = !(x; )=( ; z);
(2)
где
Z 2
m
+
1
!(z; ) = 2 y jj (cos m ; cos(m + 1)) d
;
0
= + i; = [(x ; )2 + y2 + 2 ; 2y cos ]1=2 :
(3)
Воспользовавшись разложением интеграла (3) в гипергеометрический ряд, можно убедиться,
что ! и ее частные производные по x; y, ; непрерывны в любой конечной области при z 6= кроме, может быть, точек оси Ox, и непрерывно продолжимы на эту ось слева и справа. При
этом
!(; ) = 1 ( 6= 0);
(2m + 1)!! 2m jj
lim
!
(
z;
)
=
y!0
2 (2m)!! j ; xj2m+1 (m 0);
(4)
lim !(z; ) = 0 (m 0); ylim
!0
!0 !(z; ) = 0 (m < 0);
+ 1j!! y
lim !(z; ) = jmj j2m
!0
j2mj!! j ; zj
j2m+1j
lim !0 j j
(m < 0):
При z ! ( 6= 0) функция ! имеет логарифмическую особенность; произведение ее частных
производных первого порядка на j ; z j ограничено в любой конечной области. Сама функция
! ограничена при z ! 1 или ! 1. Ядро W (z; ) удовлетворяет уравнениям
2@W=@z ; (2m + 1)(W ; W )=(z ; z ) = 0;
2@W=@ + (2m + 1)(W + W )=( ; ) = 0
(W = W (z; ); W = W (z; )):
64
(5)
(6)
Введем при y > 0, > 0, m 0 функцию (z; ) равенствами
m
Z m ; y cos(m + 1) d + E 1 Arcsin y ; ;
Re = y 2 (x ; ) cos
y2 + 2 ; 2y cos 2 jz ; j
0
m
Im = y
Z cos(m + 1) d
2 0
(E (u) | целая часть числа u).
Когда z 6= , функция (z; ) непрерывна и дифференцируема в полуплоскости, разрезанной
вдоль некоторой дуги a , где a | произвольная точка оси Ox, и непрерывно продолжима на
эту дугу слева и справа, причем
+(0 ; ) ; ;(0 ; ) = (0 2 a );
(7)
(8)
lim (z; ) = 0; (x; ) = ylim
!0
!0 (z; ) = 2 ('(v) + E1 ):
y6
6
( =0)
( =0)
Здесь
E = (a ; x)=ja ; xj; v = (x ; )=jx ; j;
m
X
1)!! v(1 ; v )k :
'(v) = (2k(2+k +1)(2
k)!!
k
1
2
=0
Можно убедиться, что
@ (z; ) = W (z; ); 2i @ (z; ) = ;W (z; ):
2i @
(9)
@
Пусть D0 | конечная область в верхней полуплоскости (y 0), ограниченная простым
кусочно-гладким замкнутым контуром L0 . Функцию (z ), дифференцируемую по x; y в D0 и
удовлетворяющую уравнению (1), будем называть обобщенной аналитической в D0 .
0
Лемма. Если обобщенная аналитическая в D функция (z ) непрерывна в D 0 , то интеграл
Z
;
1
J (z ) = 2i 0 ( )W d ; ( )W d
(10)
L
0
0
равен (z ) при z 2 D , (z ) при z 2 D и нулю, если z; z 2
= D0 .
0
Доказательство. Пусть z 2 D . Проведем достаточно малым радиусом окружность с
центром в точке z . Обозначим через D область, заключенную между L0 и . Применяя к D
формулу Грина, получим
ZZ @ (W ) + @ (W )d d + J + J :
J (z ) = ; 1
D
@
@
1
2
Подынтегральная функция двойного интеграла равна нулю вследствие (1) и (6). Интегралы
Z
Z
J1 = 21i ( ) !(z;; z) d; J 2 = 21i ( ) !(z;; z) d
при ! 0 стремятся соответственно к (z ) и нулю. Если z 2 D0 , то центр совмещаем с z ;
тогда J1 ! 0, J 2 ! (z ). Если z; z 2= D0 , то J1 и J2 отсутствуют.
0
Замечание. Если D прилегает к оси Ox на отрезке l и Re (x) = 0 при m < 0, то интеграл
по l вследствие (4) обращается в нуль, и под L0 в (10) можно понимать дугу, опирающуюся на
концы отрезка l. В этом случае лемма остается справедливой и при z ! z0 2 l.
65
Лемма легко обобщается на случай многосвязной области D0 , к тому же прилегающей к
оси Ox на нескольких участках. Тогда L0 будет состоять из конечного числа простых кусочногладких замкнутых контуров и дуг, опирающихся на ось Ox. Все эти контуры и дуги не пересекаются между собой.
Рассмотрим наряду с D0 симметричную ей относительно оси Ox область D00 . Пусть D =
0
D +D00 +l, когда D0 прилегает к оси Ox, и D = D0 +D00 в противном случае. Под L будем понимать
границу области D | кусочно-гладкий контур без точек возврата, под D; | бесконечную
область, внешность контура L.
Функцию (z ) будем называть обобщенной аналитической в D, если она является обобщенной аналитической в D0 и удовлетворяет условию (z ) = (z ). Если D пересекает ось Ox, то,
кроме того, (z ) должна быть непрерывной в D, причем (x) = 0 при m < 0.
Теорема 1. Пусть обобщенная аналитическая в D функция (z ) непрерывна в D . Тогда
интеграл
Z
1
I (z ) = 2i ( )W (z; )d
L
(11)
(z ) при z 2 D и нулю при z 2 D; .
;
;
Если (z ) обобщенно аналитична в D , непрерывна в D
и исчезает на бесконечности, то
I (z ) = ;(z ) при z 2 D;, и I (z ) = 0 при z 2 D.
Доказательство. Первая часть теоремы вытекает из леммы, если интеграл (11) привести к
виду (10). Для доказательства второй части применим теорему к области, заключенной между
L и окружностью ; достаточно большого радиуса R. Замечая, что при R ! 1 интеграл по
; стремится к нулю, а направление обхода L осталось прежним, убедимся в справедливости
предложения.
Теорема 2. Пусть на L задана функция f ( ), удовлетворяющая условию Г
ельдера H ()
(0 < < 1) и равенствам
f ( ) = f ( ) (;1 < m < +1); f () = 0 (m < 0):
равен
Тогда справедливы следующие предложения.
1.
Функция
Z
(z ) = 21i f ( )W (z; )d
L
(12)
D и D; и удовлетворяет соотношениям
(z ) = (z ); (1) = 0 (;1 < m < +1);
(x) = 0 (m < 0):
2. Эта функция непрерывно продолжима на L слева и справа; ее граничные значения ( )
( 2 L) принадлежат классу H (), причем
( ) ; ; ( ) = f ( );
(13)
является обобщенной аналитической в
0
0
+
0
0
0
(14)
(0 ) = 12 1 ; 1 f (0 ) + (0 ) (Im 0 6= 0);
(15)
(0 ) = 12 ' cos 2 1 f (0 ) + (0 ) (Im 0 = 0);
где | угол поворота касательной в точке 0 , (0 ) | интеграл (12) в смысле главного
значения по Коши.
66
Для доказательства предложения 1 достаточно подставить (12) в (1) и учесть (5).
Докажем предложение 2. Пусть a | какая-либо из точек пересечения L с осью Ox. Выделим
из L симметричную дугу = bb (Im b > 0), содержащую точку a. Интеграл (12) по L n является
функцией, непрерывной и дифференцируемой в окрестности и на самой этой дуге, исключая
окрестность ее концов b и b. Интеграл по представим в форме
Z
I (z ) = 21i f ( )W (z; )d = (z) + (z) + (z):
1
2
3
Здесь при y > 0, m 0 принято
Z
k (z ) = 21i
k (z; ) d
(0 = ab; k = 1; 2);
Z ; z
(z ) = f (a) 21i 0 [W (z; )d ; W (z; )d ];
(z; ) = [f ( ) ; f (a)]!(z; );
(z; ) = [f ( ) ; f (a)]!(z; )( ; z )=( ; z ):
0
3
1
2
Используя рассуждения ([6], x x 5, 6), легко убедиться, что k (z; ) 2 H () по обеим переменным, причем k (a; ) = 0. Следовательно, 1;2 (0 ) 2 H () на 0 , включая точку a, но исключая
b. Для них справедливы формулы (13){(15), где следует заменить f ( ) соответственно через
1 (0 ; 0 ) = f (0 ) ; f (a) и
2 (0 ; 0 ) = 0.
Пусть z 2= 0 . Учитывая (9), будем иметь
1 f (a)(z; b):
3 (z ) = 1 f (a)[(z; b) ; lim
(
z;
)]
=
!a
Отсюда видно, что 3 (0 ) непрерывны и дифференцируемы на 0 при 0 6= b, а из (7) вытекает
+3(0 ) ; ;3 (0 ) = f (a):
Когда z = a, то с учетом (8)
3 (a) = 1 f (a)[(z; b) ; lim
!a (a; )] =
= +3(a) ; 21 ' cos 2 + 1 f (a) = ;3 (a) ; 12 ' cos 2 ; 1 f (a);
откуда следует (15).
Если m < 0, то 3 (z ) = f (a) = 0. Случай y < 0 приводится к предыдущему за счет свойства
(z ) = (z ); то же самое относится к случаю Im b < 0.
Итак, предложение 2 с формулами (13) и (15) доказано для окрестности точки a.
Если 0 не лежит на оси Ox, то в предыдущих рассуждениях опускаем f (a) и 3 (z ) и отождествляем с L. Для функций 1;2(0 ) при Im 0 6= 0 имеет место формула (14).
Если точка 0 лежит на гладкой дуге, то = , и формулы (14) и (15) переходят в обычную
формулу Сохоцкого-Племеля
(0 ) = 12 f (a) + (0 ):
Таким образом, для функций (1) при ядре (2) справедливы формула Коши и основные свойства интеграла типа Коши.
67
Литература
1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. { М.: Физматгиз, 1959. { 628 с.
2. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и их обращение для обобщенной системы
Коши-Римана с сингулярной линией // ДАН ТаджССР. { 1968. { Т. 11. { Є 4. { С. 14{18.
3. Вольперт В.С., Соловьев Ю.И. Один класс обобщенных аналитических функций, применяемых при решении неосесимметричных задач теории упругости для тел вращения. { Новосиб. ин-т инж. ж.д. транспорта. { Новосибирск, 1988. { 22 с. { Деп. в ВИНИТИ 14.12.88,
Є 8773-B88.
4. Данилюк И.И. Обобщенная формула Коши для осесимметрических полей // Сиб. матем.
журн. { 1963. { Т. 4. { Є 1. { С. 48{85.
5. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости (применение
методов теории функций комплексного переменного). { М.: Наука, 1978. { 464 с.
6. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. { 3-е изд. { М.: Наука, 1968. {
511 с.
Сибирская государственная
Поступила
05.06.1995
академия путей сообщения
68
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
132 Кб
Теги
интеграл, типа, аналитическая, формула, кошик, обобщенные, одного, функции, класс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа