close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Формула перестановки особого интеграла Коши-Сеге в шаре из Cn.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 4, c. 24–32
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421200123 \0038
А.С. КАЦУНОВА, А.М. КЫТМАНОВ
ФОРМУЛА ПЕРЕСТАНОВКИ ОСОБОГО ИНТЕГРАЛА КОШИ–СЕГЕ
В ШАРЕ ИЗ Cn
Аннотация. В работе получен аналог формулы Пуанкаре–Бертрана для особого интеграла
Коши–Сеге в многомерном шаре. Главное значение интеграла рассмотрено в смысле Коши.
Полученная формула отлична от формулы Пуанкаре–Бертрана для интеграла Коши в случае
комплексной плоскости.
Ключевые слова: интеграл Коши–Сеге, главное значение особого интеграла по Коши, формула перестановки повторного интеграла.
УДК: 517.552
1. Введение
n
n
Будем рассматривать n-мерное
комплексное пространство C (n > 1). Если ζ, z ∈ C , то
ζ, z = ζ1 z1 + · · · + ζn zn , а |z| = z, z, где z = (z1 , . . . , zn ), z = (z 1 , . . . , z n ).
Пусть Bz (r) — шар из Cn с центром в точке z радиуса r, т. е.
Bz (r) = {ζ ∈ Cn : |ζ − z| < r}.
Обозначим через B = B0 (1) = {ζ ∈ Cn : |ζ| < 1} единичный шар из Cn , S = ∂B = {ζ ∈ Cn :
|ζ| = 1} — граница шара B, через
K(ζ, z) =
1
(1 − ζ, z)n
— ядро Коши–Сеге для шара, а через
(n − 1)! (−1)k−1 ζ k dζ[k] ∧ dζ
(2πi)n
n
σ(ζ) =
k=1
— дифференциальную форму, где dζ = dζ1 ∧· · ·∧dζn , dζ[k] = dζ 1 ∧· · ·∧dζ k−1 ∧dζ k+1 ∧· · ·∧dζ n .
Для любых точек ζ, z ∈ S выполняются соотношения [1], [2]
(1)
C1 |1 − ζ, z| |ζ − z| C2 |1 − ζ, z|.
Хорошо известно (например, [3], с. 57) интегральное представление Коши–Сеге (Хуа Локена) в шаре.
Поступила 06.04.2011
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 11-01-00852-a.
24
ФОРМУЛА ПЕРЕСТАНОВКИ ОСОБОГО ИНТЕГРАЛА КОШИ–СЕГЕ
25
Теорема 1 (Хуа Локен). Для любой функции f , голоморфной в B и непрерывной в B (т. е.
f ∈ O(B) ∩ C(B)), справедлива формула
f (ζ)K(ζ, z)σ(ζ), z ∈ B.
f (z) =
S
Для точек z ∈ S обычно рассматривается главное значение по Коши
v. p.
f (ζ)K(ζ, z)σ(ζ) = lim
f (ζ)K(ζ, z)σ(ζ).
ε→+0 S\Bz (ε)
S
Для особого интеграла Коши–Сеге доказана
Теорема 2 ([4], следствие 2). При n > 1 справедлива формула
K(ζ, z)σ(ζ) = 1 для любой точки
v. p.
z ∈ S.
S
Для интегрируемой на S функции f обозначим через K + [f ] предельное значение интеграла
f (ζ)K(ζ, z)σ(ζ)
S
изнутри шара B, а через
Ks [f ] = v. p.
f (ζ)K(ζ, z)σ(ζ),
z ∈ S,
S
— главное значение по Коши этого интеграла.
Поскольку интеграл Коши–Сеге является частным случаем интегрального представления Хенкина–Рамиреза в шаре, то для него справедлив следующий аналог формулы Сохоцкого–Племеля ([4], следствие 1).
Следствие 1. Пусть n > 1. Если функция f удовлетворяет на S условию Гёльдера с
показателем α, 0 < α 1 (т. е. f ∈ C α (S)), то интеграл K + [f ] продолжается на S до
некоторой функции, также удовлетворяющей на S условию Гёльдера с показателем β =
α/2, и
K + [f ] = Ks [f ].
Цель данной работы состоит в исследовании повторного особого интеграла Коши–Сеге
и в получении аналога классической формулы Пуанкаре–Бертрана для интеграла (типа)
Коши (например, [5], с. 63).
Напомним аналог формулы Пуанкаре–Бертрана для интеграла Мартинелли–Бохнера,
который был получен в [6].
Хорошо известно (например, [7], с. 8) интегральное представление Мартинелли–Бохнера
для ограниченной области D.
Теорема 3. Если D — ограниченная область в Cn с кусочно-гладкой границей, а f ∈
O(D) ∩ C(D), то
f (ζ)U (ζ, z), z ∈ D,
f (z) =
∂D
где
(n − 1)!
·
U (ζ, z) =
(2πi)n
— ядро Мартинелли–Бохнера.
n
(−1)k−1 (ζ k − z k ) dζ[k] ∧ dζ
k=1
|ζ − z|2n
26
А.С. КАЦУНОВА, А.М. КЫТМАНОВ
Главное значение по Коши интеграла Мартинелли–Бохнера для точек z ∈ ∂D определяется как и выше:
f (ζ)U (ζ, z) = lim
f (ζ)U (ζ, z).
v. p.
ε→+0 ∂D\Bz (ε)
∂D
Теорема 4. Пусть f (ζ, w) ∈ C α (∂Dζ × ∂Dw ), 0 < α < 1. Тогда для z ∈ ∂D справедлива
формула перестановки (Пуанкаре–Бертрана)
U (w, z)
f (ζ, w)U (ζ, w) =
∂Dw
∂Dζ
∂Dζ
1
f (ζ, w)U (w, z)U (ζ, w) + f (z, z).
4
∂Dw
Доказательство теоремы 4 не переносится на случай интеграла Коши–Сеге.
Формула Пуанкаре–Бертрана для интеграла Коши играет ключевую роль в теории краевых задач, поскольку с ее помощью можно получить формулу композиции (формулу обращения) для особого интеграла Коши (например, [5], с. 66).
Для функций многих комплексных переменных эта теория не развита, поскольку не
найдены удобные формулы композиции. Например, для особого интеграла Мартинелли–
Бохнера формула композиции отлична от формулы композиции для интеграла Коши ([7],
с. 213). Некоторые типы краевых задач для особого интеграла Мартинелли–Бохнера представлены в монографии ([7], гл. 1).
Ниже для точек z ∈ S будем рассматривать особый интеграл Коши–Сеге в смысле главного значения по Коши и знак v. p. будем опускать.
2. Вспомогательные результаты
Лемма 1. Если f ∈ C α (S × S), то для z ∈ S
dσ(w)
f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ) =
Sw
Sζ
K(ζ, z)σ(ζ)
f (ζ, w)dσ(w),
Sζ
Sw
где dσ(w) — мера Лебега на S.
Доказательство. В силу следствия 1 оба интеграла существуют. Представим
I1 (z) =
dσ(w)
Sw
f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ) =
Sζ
dσ(w)
=
Sw
f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ) +
dσ(w)
Sζ \Bz (ε)
Sw
f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ),
Sζ ∩Bz (ε)
I2 (z) =
K(ζ, z)σ(ζ)
Sζ
f (ζ, w)dσ(w) =
Sw
K(ζ, z)σ(ζ)
=
Sζ \Bz (ε)
f (ζ, w)dσ(w) +
Sw
K(ζ, z)σ(ζ)
Sζ ∩Bz (ε)
f (ζ, w)dσ(w).
Sw
ФОРМУЛА ПЕРЕСТАНОВКИ ОСОБОГО ИНТЕГРАЛА КОШИ–СЕГЕ
27
Тогда
f (z, w)dσ(w)
K(ζ, z)σ(ζ) +
|I1 (z) − I2 (z)| Sw
Sζ ∩Bz (ε)
dσ(w)
(f (ζ, w) − f (z, w))K(ζ, z)σ(ζ) +
+
Sw
Sζ ∩Bz (ε)
K(ζ, z)σ(ζ)
(f (ζ, w) − f (z, w))dσ(w) +
+
Sζ ∩Bz (ε)
Sw
K(ζ, z)σ(ζ) · f (z, w)dσ(w) .
+
Sζ ∩Bz (ε)
Sw
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Так как по условию леммы f ∈ C α (S × S), то
f (z, w)dσ(w) C1 , (f (ζ, w) − f (z, w))dσ(w) C2 |ζ − z|α ,
Sw
а
Sw
Sζ ∩Bz (ε)
K(ζ, z)σ(ζ) → 0 при ε → +0
в силу существования главного значения интеграла
K(ζ, z)σ(ζ) по теореме 2.
S
Далее, используя неравенства (1), получим
K(ζ, z)σ(ζ)
(f (ζ, w) − f (z, w))dσ(w) Sζ ∩Bz (ε)
Sw
|ζ − z|α K(ζ, z)σ(ζ) C4 |1 − ζ, z|α/2−n σ(ζ) ,
C3 Sζ ∩Bz (ε)
Sζ ∩Bz (ε)
(f (ζ, w) − f (z, w))K(ζ, z)σ(ζ) Sζ ∩Bz (ε)
|ζ − z|α K(ζ, z)σ(ζ) C6 |1 − ζ, z|α/2−n σ(ζ) .
C5 Sζ ∩Bz (ε)
Sζ ∩Bz (ε)
Остается оценить интеграл
Sζ ∩Bz (ε)
|1 − ζ, z|α/2−n σ(ζ).
В силу унитарной инвариантности множества интегрирования достаточно рассмотреть вместо точки z точку z 0 = (1, 0, . . . , 0), а вместо области Bz (ε) — область Bz 0 (ε) = {ζ :
|ζ1 − 1|2 + |ζ2 |2 + · · · + |ζn |2 < ε2 } ([4], следствие 2). Тогда, как в ([4], следствие 2), последний
интеграл можно привести к виду
(1 − |ζ1 |)n−2
n−1
dζ 1 ∧ dζ1 .
2πi
|1 − ζ 1 |n−α/2
{|ζ1 |<1}∩{Re ζ1 >1−ε2 /2}
28
А.С. КАЦУНОВА, А.М. КЫТМАНОВ
Покажем, что несобственный интеграл
{|ζ1 |<1}
(1 − |ζ1 |)n−2
dζ 1 ∧ dζ1
|1 − ζ 1 |n−α/2
абсолютно сходится. Для этого введем полярную систему координат: x = 1 + r cos ϕ,
y = r sin ϕ, 0 < r < −2 cos ϕ(r 0), π2 ϕ 3π
2 .
Тогда
3π/2
−2 cos ϕ
(1 − |ζ1 |2 )n−2
(r + 2 cos ϕ)n−2
n−2
dζ
∧
dζ
=
(−1)
dϕ
dr.
1
1
n−α/2
r 1−α/2
π/2
0
{|ζ1 |<1} |1 − ζ 1 |
Так как интеграл
−2cos ϕ
0
(r+2 cos ϕ)n−2
dr
r 1−α/2
{|ζ1 |<1}
абсолютно сходится. Поэтому
сходится при 0 < α 1, то интеграл
(1 − |ζ1 |)n−2
dζ 1 ∧ dζ1
|1 − ζ 1 |n−α/2
{|ζ1 |<1}∩{Reζ1 >1−ε2 /2}
(1 − |ζ1 |2 )n−2
dζ 1 ∧ dζ1 → 0
|1 − ζ 1 |n−α/2
при ε → +0. Следовательно,
|1 − ζ, z|α/2−n σ(ζ) → 0 при ε → +0.
Sζ ∩Bz (ε)
Лемма 2. Если f (ζ, z) ∈ C α (S × S), то для z ∈ S и 0 ν < n
f (ζ, z)
1
dσ(w)
dσ(ζ)
=
f
(ζ,
z)dσ(ζ)
dσ(w).
ν
ν
Sw
Sζ |1 − ζ, w|
Sζ
Sw |1 − ζ, w|
Доказательство. Рассмотрим
f (ζ, z)
dσ(w)
dσ(ζ) =
I1 (z) =
ν
Sw
Sζ |1 − ζ, w|
f (ζ, z)
f (ζ, z)
dσ(w)
dσ(ζ)
+
dσ(w)
dσ(ζ),
=
ν
ν
Sw
Sζ \Bw (ε) |1 − ζ, w|
Sw
Sζ ∩Bw (ε) |1 − ζ, w|
I2 (z) =
Тогда
1
dσ(w) =
ν
Sζ
Sw |1 − ζ, w|
dσ(w)
dσ(w)
f (ζ, z)dσ(ζ)
+
f (ζ, z)dσ(ζ)
.
=
ν
ν
Sζ \Bw (ε)
Sw |1 − ζ, w|
Sζ ∩Bw (ε)
Sw |1 − ζ, w|
f (ζ, z)dσ(ζ)
f
(ζ,
z)
dσ(w)
dσ(ζ)
|I1 (z) − I2 (z)| +
ν
Sw
Sζ ∩Bw (ε) |1 − ζ, w|
dσ(w)
f (ζ, z)dσ(ζ)
+
.
ν
Sζ ∩Bw (ε)
|1
−
ζ,
w|
Sw
ФОРМУЛА ПЕРЕСТАНОВКИ ОСОБОГО ИНТЕГРАЛА КОШИ–СЕГЕ
29
Похожие интегралы рассматривались в предыдущей лемме, где было показано, что они
стремятся к нулю при ε → +0. В лемме 1 показатель степени равнялся n − α/2, а в этой
лемме он равен ν < n.
Теорема 5. Если f (ζ, w) = f0 (ζ, w)| − 1ζ − w|−ν , f0 ∈ C α (S × S), 0 ν < n, то
dσ(w)
f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ) =
Sw
Sζ
K(ζ, z)σ(ζ)
Sζ
f (ζ, w)dσ(w),
z ∈ S.
Sw
Доказательство. Введем разбиение единицы следующим образом. Рассмотрим множество
T = B ζ × B w = {(ζ, w) : ζ ∈ B, w ∈ B}. Выберем в нем компактные окрестности T1
множества {(ζ, w) ∈ T : ζ = w} и T2 множества {(ζ, w) ∈ T : ζ = z}, пересекающиеся лишь
по одной точке (z, z). Тогда открытые множества M1 = T \ T1 и M2 = T \ T2 являются
покрытием множества T \ {(z, z)}. Пусть α1 (ζ, w) и α2 (ζ, w) — гладкое разбиение единицы,
подчиненное этому покрытию, т. е. α1 + α2 ≡ 1 на M1 ∪ M2 , 0 α1 1, 0 α2 1.
Тогда α1 (ζ, w) ≡ 0 в окрестности точки ζ = w при фиксированном w = z, α1 (z, w) = 1, а
α2 (ζ, w) ≡ 0 в окрестности точки ζ = z и α2 (w, w) = 1.
Имеем
dσ(w)
Sw
f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ) =
Sζ
dσ(w)
=
Sw
dσ(w)
=
Sw
(α1 (ζ, w) + α2 (ζ, w))f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ) =
Sζ
α1 (ζ, w)f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ) +
Sζ
dσ(w)
Sw
Так как α1 (ζ, w) = 0 в области Sζ ∩Bw (ε), то в интеграле
α2 (ζ, w)f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ).
Sζ
dσ(w)
Sw
α1 (ζ, w)f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ),
Sζ
применив лемму 1, поменяем порядок интегрирования. Тогда получим
dσ(w)
α1 (ζ, w)f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ) =
Sw
Sζ
K(ζ, z)σ(ζ)
α1 (ζ, w)f (ζ, w)dσ(w).
Sζ
Sw
Рассмотрим интеграл
dσ(w)
Sw
α2 (ζ, w)f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ).
Sζ
Так как α2 (ζ, w) = 0 в области Sζ ∩ Bz (ε), то, применив лемму 2, поменяем порядок интегрирования
dσ(w)
Sw
α2 (ζ, w)f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ) =
Sζ
K(ζ, z)σ(ζ)
Sζ
α2 (ζ, w)f (ζ, w)dσ(w).
Sw
30
А.С. КАЦУНОВА, А.М. КЫТМАНОВ
Таким образом,
dσ(w)
α1 (ζ, w)f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ) +
Sw
Sζ
Sζ
dσ(w)
Sw
α1 (ζ, w)f (ζ, w)dσ(w) +
Sw
K(ζ, z)σ(ζ)
Sζ
K(ζ, z)σ(ζ)
=
α2 (ζ, w)f (ζ, w)K(ζ, z)σ(ζ) =
Sζ
K(ζ, z)σ(ζ)
=
α2 (ζ, w)f (ζ, w)dσ(w) =
Sw
(α1 (ζ, w) + α2 (ζ, w)) f (ζ, w)dσ(w) =
Sζ
Sw
f (ζ, w)dσ(w). K(ζ, z)σ(ζ)
=
Sζ
Sw
Лемма 3. При n > 1 для точек ζ 0 , z 0 ∈ S, ζ 0 = z 0 , справедливо равенство
K(w, z 0 )K(ζ 0 , w)σ(w) = K(ζ 0 , z 0 ).
Sw
Доказательство. Для вычисления интеграла
K(w, z 0 )K(ζ 0 , w)σ(w)
Sw
рассмотрим разбиение единицы, похожее на разбиение единицы из теоремы 5. Выберем во
множестве T = B непересекающиеся компактные окрестности T1 точки w = ζ 0 и T2 точки
w = z 0 . Тогда открытые множества M1 = T \ T1 и M2 = T \ T2 являются покрытием множества T . Пусть α1 (w) и α2 (w) — гладкое разбиение единицы, подчиненное этому покрытию,
т. е. α1 + α2 ≡ 1 на M1 ∪ M2 , 0 α1 1, 0 α2 1. Тогда α1 (w) ≡ 0 в окрестности точки
w = ζ 0 при фиксированном ζ 0 = z 0 , α1 (z 0 ) = 1, а α2 (w) ≡ 0 в окрестности точки w = z и
α2 (ζ 0 ) = 1.
Тогда
0
0
K(w, z )K(ζ , w)σ(w) = (α1 (w) + α2 (w))K(w, z 0 )K(ζ 0 , w)σ(w) =
S
S
0
0
α1 (w)K(w, z )K(ζ , w)σ(w) + α2 (w)K(w, z 0 )K(ζ 0 , w)σ(w).
=
S
S
Преобразуем каждое слагаемое отдельно, воспользовавшись следствием 1 и учитывая,
что α1 (z 0 ) = 1, α2 (ζ 0 ) = 1, σ(w)|S = σ(w)|S и K(ζ, w) = K(w, ζ):
α1 (w)K(w, z 0 )K(ζ 0 , w)σ(w) =
S
0
α1 (w)K(ζ , w)K(w, z)σ(w) = lim
α1 (w)K(ζ, w)K(w, z)σ(w),
= lim
z→z 0 ∈S
S
0
0
ζ→ζ 0 ∈S
S
z→z 0 ∈S
ζ→ζ 0 ∈S
S
S
α2 (w)K(w, z )K(ζ , w)σ(w) =
α2 (w)K(w, z 0 )K(w, ζ 0 )σ(w) =
S
α2 (w)K(w, z 0 )K(w, ζ 0 )σ(w) = lim
α2 (w)K(w, z 0 )K(w, ζ)σ(w) =
=
ζ→ζ 0 ∈S S
S
0
α2 (w)K(w, z )K(ζ, w)σ(w) = lim
α2 (w)K(w, z)K(ζ, w)σ(w).
= lim
ζ→ζ 0 ∈S
z→z 0 ∈S
S
ФОРМУЛА ПЕРЕСТАНОВКИ ОСОБОГО ИНТЕГРАЛА КОШИ–СЕГЕ
31
Тогда, применяя теорему 1, получим
K(w, z 0 )K(ζ 0 , w)σ(w) =
Sw
0
0
α1 (w)K(w, z )K(ζ , w)σ(w) + α2 (w)K(w, z 0 )K(ζ 0 , w)σ(w) =
=
S
S
α1 (w)K(ζ, w)K(w, z)σ(w) + lim
α2 (w)K(w, z)K(ζ, w)σ(w) =
= lim
z→z 0 ∈S
ζ→ζ 0 ∈S
S
ζ→ζ 0 ∈S
z→z 0 ∈S
S
lim
K(w, z)K(ζ, w)σ(w) = K(ζ 0 , z 0 ). =
ζ→ζ 0 ∈S
z→z 0 ∈S
S
3. Основной результат
Теорема 6. Пусть n > 1, f ∈ C α (S × S), тогда
K(w, z)σ(w)
f (ζ, w)K(ζ, w)σ(ζ) =
Sw
Sζ
Sζ
f (ζ, w)K(w, z)K(ζ, w)σ(ζ)σ(w), z ∈ S.
Sw
Доказательство. Преобразуем интеграл
K(w, z)σ(w)
f (ζ, w)K(ζ, w)σ(ζ) =
Sw
Sζ
Sw
(f (w, w) − f (z, w))K(ζ, w)σ(ζ)+
Sw
K(w, z)σ(w)
Sw
Sζ
K(w, z)σ(w)
+
(f (ζ, w) − f (w, w))K(ζ, w)σ(ζ)+
K(w, z)σ(w)
=
+
Sζ
(f (z, w)−f (z, z))K(ζ, w)σ(ζ)+f (z, z)
Sζ
K(w, z)σ(w)
Sw
K(ζ, w)σ(ζ).
Sζ
В первых трех интегралах по теореме 5 можно поменять порядок интегрирования, а
K(w, z)σ(w)
K(ζ, w)σ(ζ) = 1 (по теореме 2).
Sw
Получим
K(w, z)σ(w)
Sw
Sζ
f (ζ, w)K(ζ, w)σ(ζ) =
Sζ
(f (ζ, w) − f (z, z))K(w, z)K(ζ, w)σ(ζ)σ(w) + f (z, z).
=
Sζ
Sw
Применение леммы 3 завершает доказательство.
Тем самым доказан аналог формулы Пуанкаре–Бертрана для особого интеграла Коши–
Сеге и для его главного значения по Коши.
Формулой композиции для особого интеграла Коши–Сеге при n > 1 является
Следствие 2. Пусть n > 1. Если f (ζ, w) = f (ζ) ∈ C α (S), то
Ks2 [f ] = Ks [f ].
Доказательство следует из леммы 3 и теоремы 6.
32
А.С. КАЦУНОВА, А.М. КЫТМАНОВ
Литература
[1] Alt W. Singuläre Integrale mit gemischten Homogenitäten auf Mannigfaltigkeiten und Anwendungen in der
Funktionentheorie, Math. Zeit. 137 (3), 227–256 (1974).
[2] Kerzman N., Stein E.M. The Szegö kernel in terms of Cauchy–Fantappie kernels, Duke Math. J. 45 (3),
197–224 (1978).
[3] Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Cn (Мир, М., 1984).
[4] Кытманов А.М., Мысливец С.Г. О главном значении по Коши особого интеграла Хенкина–Рамиреза в
строго псевдовыпуклых областях пространства Cn , Сиб. матем. журн. 46 (3), 625–633 (2005).
[5] Гахов Ф.Д. Краевые задачи (Наука, М., 1977).
[6] Кытманов А.М., Пренов Б.Б., Тарханов Н.Н. Формула Пуанкаре–Бертрана для интеграла Мартинелли–
Бохнера, Изв. вузов. Матем., № 11, 29–34 (1992).
[7] Кытманов А.М. Интеграл Бохнера–Мартинелли и его применения (Наука, Новосибирск, 1992).
А.С. Кацунова
ассистент, кафедра прикладной математики и компьютерной безопасности,
Сибирский федеральный университет,
Институт космических и информационных технологий,
ул. Киренского, д. 26, г. Красноярск, 660074, Россия,
e-mail: askatsunova@gmail.com
А.М. Кытманов
профессор, директор Института математики,
Сибирский федеральный университет,
пр. Свободный, д. 79, г. Красноярск, 660041, Россия,
e-mail: kytmanov@lan.krasu.ru
A.S. Katsunova and A.M. Kytmanov
A rearrangement formula for a singular Cauchy–Szegö integral in a ball from Cn
Abstract. We obtain an analog of the Poincaré–Bertrand formula for a singular Cauchy–Szegö integral in a multidimensional ball. We understand the principal value of the integral in the Cauchy
sense. The obtained formula differs from that of Poincaré–Bertrand for the Cauchy integral in a
complex plane.
Keywords: Cauchy–Szegö integral, principal value of integral in Cauchy sense, rearrangement
formula for iterated integrals.
A.S. Katsunova
Assistant, Chair of Applied Mathematics and Computer Security,
Siberian Federal University,
Institute of Space and Information Technologies,
26 Kirenskii str., Krasnoyarsk 660074, Russia,
e-mail: askatsunova@gmail.com
A.M. Kytmanov
Professor, Director of Institute of Mathematics,
Siberian Federal University,
79 Svobodnyi Ave., Krasnoyarsk 660041, Russia,
e-mail: kytmanov@lan.krasu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
183 Кб
Теги
интеграл, перестановкой, формула, кошик, шаре, сеге, особого
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа