close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Формулы для нахождения степенных сумм корней систем мероморфных функций.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (519)
2005
УДК 517.553
А.М. КЫТМАНОВ, З.Е. ПОТАПОВА
ФОРМУЛЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ СТЕПЕННЫХ СУММ КОРНЕЙ
СИСТЕМ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
Введение
Рассмотрим систему функций f1 (z ); f2 (z ); : : : ; fn (z ), голоморфных в окрестности точки 0 2
z = (z1 ; z2 ; : : : ; zn ), имеющих следующий вид:
fj (z) = z j + Qj (z ); j = 1; 2; : : : ; n;
(1)
гдеj j j= (1j ; 2j ; : : : ; nj ) | мультииндекс с целыми неотрицательными координатами, z j =
z1 z2 znnj и k j k = 1j + 2j + + nj = kj , j = 1; 2; : : : ; n. Функции Qj разлагаются в
окрестности нуля в ряд Тейлора, сходящийся абсолютно и равномерно,
X
Qj (z ) =
ajz ;
(2)
C n,
1
2
kk>0
где = (1 ; 2 ; : : : ; n ), j > 0, j 2 Z, а z = z1 z2 znn .
В дальнейшем будем считать, что степени всех мономов (по совокупности переменных), входящих в Qj , строго больше kj , j = 1; 2; : : : ; n (kk = 1 + 2 + + n > kj ).
Рассмотрим циклы (r) = (r1 ; r2 ; : : : ; rn ), являющиеся остовами поликругов,
(r) = fz 2 C n : jzs j = rs ; s = 1; 2; : : : ; ng; r1 > 0; : : : ; rn > 0:
При достаточно малых rj циклы (r) лежат в области голоморфности функций fj , поэтому
ряды
X
jajjr1 rnn ; j = 1; 2; : : : ; n;
1
2
1
kk>0
сходятся. Тогда на цикле (tr) = (tr1 ; tr2 ; : : : ; trn ), t > 0, имеем
jzjj = tkj r1 r2 rnnj = tkj rj ;
j
j
1
а
X
jQj (z)j = kk>0
aj z 6
2
X
kk>0
tkk jaj jr 6 tkj +1
X
kk>0
jaj jr:
Поэтому при достаточно малых положительных t на цикле (tr) выполняются неравенства
jzjj > jQj (z)j; j = 1; 2; : : : ; n;
(3)
таким образом,
fj (z) 6= 0 на (tr); j = 1; 2; : : : ; n:
Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований, грант Є 02-01-00167; работа второго | при поддержке Совета по грантам при Президенте
Российской Федерации (Є НШ 1212-2003.1).
39
В частности, в некоторой достаточно малой окрестности нуля система
fj (z) = 0; j = 1; : : : ; n;
(4)
может иметь корни только на координатных плоскостях fz : zs = 0g, s = 1; 2; : : : ; n (по принципу
максимума для голоморфных функций).
Из (3) следует, что при достаточно малых rj определены интегралы
Z
1 df = Z
1
df1 ^ df2 ^ ^ dfn ;
+1
+1
+1
+
I
n
z f
fn
z1 z2 zn f1 f2
(r)
(r1 ;r2 ;:::;rn )
1
2
где 1 > 0; 2 > 0; : : : ; n > 0, j 2 Z, I = (1; 1; : : : ; 1). По теореме Коши{Пуанкаре эти интегралы
не зависят от (r1 ; : : : ; rn ). Обозначим
Z
1 df :
J = (2i1 )n
(r) z +I f
Наша цель состоит в решении следующих задач:
1) в вычислении этого интеграла через коэффициенты функций Qj (z ) (теорема 1);
2) при дополнительных условиях на функции fj (если fj | целые или мероморфные функции) в выяснении его связи со степенными суммами корней (и полюсов) системы (4) (теоремы
2 и 3).
Если fj | полиномы (т. е. система (4) есть система алгебраических уравнений), то известны
формулы для вычисления степенных сумм корней этой системы через коэффициенты fj (напр.,
[1], [2]). На этих формулах основан модифицированный метод исключения неизвестных, предложенный Л.А. Айзенбергом в [1] и развитый затем в [3]. Его компьютерная реализация дана в
[4], [5].
В этих работах рассматривались степенные суммы корней в положительной степени. Если в
качестве fj взять целые (или мероморфные) функции, то система (4) может иметь бесконечное
число корней (или полюсов) и, следовательно, степенные суммы в положительной степени могут
быть не определены. В данной работе для степенных сумм корней в отрицательной степени
получены конечные формулы для их нахождения.
1. Основные результаты
Пусть для системы (4) выполнены условия, сформулированные во введении.
Теорема 1. При сделанных предположениях для функции fj вида (1), (2)
J =
(;1)kk
@ k ( Q)
n
1
n
+( +1) +:::+(n +1) =
z=0
kk6kk+min(n;k ++kn ) ( + (1 + 1) + + (n + 1) )! @z
X
Q
;
=
(;1)kk M
X
1
1
1
z+( +1) ++(n +1)n
1
kk6kk+min(n;k1 ++kn )
k = k + ( + 1) 1 + +k(kn + 1) n k, ! = 1 ! 2 ! n!, | якобиан системы (4), Q =
1
Q1 1 Q2 2 Qnn , @@zkk
где
1
= @z @z@ @znn
1
1
2
2
и, наконец,
M
| линейный функционал, сопоставляющий
ряду Лорана его свободный член.
Доказательство.
Поскольку для (r) выполнены неравенства (3), то
1
s
X
1 =
1
s (Qj (z ))
=
(
;
1)
j
j
fj z + Qj (z) s=0
z(s+1)
40
и ряд сходится абсолютно и равномерно на (r), j = 1; 2; : : : ; n. Поэтому
1 df =
dz
dz X (;1)kk Q1 Q2 Qnn ;
=
z+I f z +I (z + Q1)(z + Q2) (zn + Qn) z+I kk>0
z( +1) ++(n+1)n
1
1
2
1
@fj n
| якобиан системы (4), а dz = dz1 ^ dz2 ^ ^ dzn .
где = det @z
k j;k=1
Следовательно, на (r) получаем
X Z
1
(;1)kk dz
Q
J = (2i)n
z+I z( +1) ++(n+1)n :
kk>0 (r)
2
1
1
1
(5)
Покажем, что в этой сумме лишь конечное число слагаемых отлично от нуля. Для этого подсчитаем степени (по совокупности переменных) мономов, входящих в числитель и знаменатель
подинтегрального выражения.
Степень мономов, входящих в (deg ), не меньше max(k 1 k + + k n k ; n; 0) = max(k1 +
+ kn ; n; 0). Для степени мономов, входящих в Q, получаем оценку
deg Q > 1 (1 + k1 k) + + n (1 + kn k) = 1 (1 + k1 ) + + n (1 + kn ):
Поэтому степень числителя не меньше
max(k1 + + kn ; n; 0) + 1 (1 + k1 ) + + n (1 + kn ):
Степень знаменателя равна
k k + n + (1 + 1)k1 + + (n + 1)kn :
Поэтому в сумме (5) все слагаемые, для которых степень числителя больше степени знаменателя
на n, равны нулю. Таким образом, могут быть отличными от нуля лишь слагаемые, для которых
max(k1 + + kn ; n; 0) + 1 (1 + k1 ) + + n (1 + kn ) 6 k k + n + (1 + 1)k1 + + (n + 1)kn :
Последнее неравенство эквивалентно следующему:
kk 6 k k + min(n; k1 + + kn ): Отметим, что в указанные в теореме 1 формулы, как показывает доказательство, входит
лишь конечное число коэффициентов функций Qj (z ).
j
Следствие 1. Если все = (0; 0; : : : ; 0), то
X (;1)kk @ k k
X
Q
k
k
(;1) M z =
J =
(
Q
)
:
!
@z
z=0
kk6kk
kk6kk
Пусть n = 1 и fj (z ) = f (z ) = 1 + Q(z ) = 1 +
Интеграл
0
(;1) M f (z )zQ (z ) =
1
P
s=1
as z s .
Следствие 2.
J =
X
066
(;1) @ (f 0 Q ) =
z=0
066 ! @z
X
= (;1)
41
+1 a1
1 0 : : : 0 2a2
a1 1 : : : 0 :
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
( + 1)a+1 a a;1 : : : a1 Наша дальнейшая цель | связать рассмотренные интегралы со степенными суммами корней
системы (4). Для этого нужно сузить класс функций fj . Сначала возьмем в качестве функций
Qj , j = 1; 2; : : : ; n, многочлены вида
Qj (z) =
X
2Mj
ajz ;
(6)
где Mj | конечное множество мультииндексов такое, что k 6 kj , k = 1; 2; : : : ; n, k 6= j , при
2 Mj . Но по-прежнему предполагается, что kk > kj для всех 2 Mj .
Сделаем замену zj = w1j , j = 1; 2; : : : ; n. При такой замене получим
fj w1 ; w1 ; : : : ; w1
1
n
2
1
= wj + Qj w1 ; w1 ; : : : ; w1
1
n
2
1
= wj +sj ej
wjsj
+ Qj (w1 ; w2 ; : : : ; wn ) ;
e
где sj | наибольшая степень многочлена Qj (z ) по переменной zj ,
e1 = (1; 0; : : : ; 0); e2 = (0; 1; : : : ; 0); : : : ; en = (0; 0; : : : ; 1);
а многочлен
Qj (w1; w2 ; : : : ; wn ) = Qj
e
e
(w) = wj +sj ej Q
j
1
1 1
w ; w ;:::; w
1
2
n
в силу условий, наложенных на многочлены Qj (z ), имеет степень по совокупности переменных
строго меньшую, чем sj .
По теореме Безу система нелинейных алгебраических уравнений
fej (w) = wjsj + Qe j (w) = 0; j = 1; 2; : : : ; n;
(7)
имеет конечное число корней, равное с учетом их кратностей s1 s2 sn, и не имеет корней на
бесконечной гиперплоскости C Pn n C n . Обозначим корни системы (7), не лежащие на координатных плоскостях, с учетом их кратностей
через w(k) =(w1(k) ; w2(k) ; : : : ; wn(k) ), k = 1; 2; : : : ; M ,
;
M 6 s1 s2 sn . Тогда точки z(k) = w 1k ; w 1k ; : : : ; wn1 k и только они являются корнями системы (4), не лежащими на координатных плоскостях.
Лемма. Система (4) с многочленами fj вида (1) и многочленами Qj вида (6) имеет конечное число корней (с учетом их кратностей ) z(1) ; z(2) ; : : : ; z(M ) , не лежащих на координатных
плоскостях fzs = 0g, s = 1; 2; : : : ; n.
Обозначим
M
X
1
:
=
=
1( )
+I
2( )
(1 +1;2 +1;:::;n +1)
( )
1 +1 2 +1
n +1
k=1 z1(k) z2(k) zn(k)
Данное выражение является степенной суммой корней, не лежащих на координатных плоскостях, системы (4), но в отрицательной степени.
Теорема 2. Для системы (4) с многочленами fj вида (1) и многочленами (6) справедлива
формула
J = (;1)n +I ;
где
+I =
(8)
(;1)kk M z +( +1) +Q:::+(n+1)n :
kk6kk+min(n;k ++kn )
X
1
1
42
1
Сделаем в интеграле J замену переменных zj = w1j , j = 1; 2; : : : ; n. При
;
такой замене цикл (r) перейдет в цикл (;1)n r1 ; r1 ; : : : ; r1n = (;1)n (R1 ; R2 ; : : : ; Rn ) (с учетом
изменения ориентации при данной замене).
Обозначим через j мультииндекс j + sj ej , j = 1; 2; : : : ; n. Тогда
Доказательство.
1
2
n
dfj w1 ; w1 ; : : : ; w1n d f~wj (wj ) dfej (w) X
j dwk :
= ~
; 1 1
= e
;
k
1
f
(
w
)
j
fj w ; w ; : : : ; wn
fj (w) k=1 wk
w j
;
1
1
Поэтому
2
2
e
e
n
n
nZ
X
(
;
1)
d
f
d
f
(
w
)
dw
1 (w) X 1 dwk
n
k
+
I
n
w
^ ^ e
:
J = (2i)n
; ; (R)
fe1(w) k=1 k wk
fn(w) k=1 k wk
Покажем, что все интегралы вида
Z
e
e
j ^ ^ dwjn;l
w+I def1(w) ^ ^ defl (w) ^ dw
(9)
wjn;l
(R)
f1(w)
fl (w) wj
равны нулю, если 0 6 l < n и Rj достаточно велики.
Действительно, при достаточно больших Rj , j = 1; 2; : : : ; n, справедливы неравенства
jwj jsj > jQe j (w)j на (R);
поэтому
1 (;1)p Q
e p (w)
1 =X
j
;
fej (w) p=0 wj(p+1)sj
следовательно, интегралы (9) являются абсолютно сходящимися рядами из интегралов вида
1
1
Z
(R)
w+I
w1(p1 +1)s1
w dw1 ^ dw2 ^ ^ dwn
:
w2(p +1)s wl(pl +1)sl wj wjn;l
2
2
1
Все они равны нулю по теореме о вычетах.
Таким образом,
nZ
e
e
(
;
1)
w+I def1 (w) ^ ^ defn(w) :
J = (2i)n
(R)
f1 (w)
fn(w)
По теореме Южакова (напр., [1], гл. 1) о логарифмическом вычете последний интеграл равен
сумме значений голоморфной функции w+I во всех корнях системы (7). Но значение функции
w+I в корне системы (7), лежащем на координатной плоскости, равно нулю. Поэтому выполнено
(8).
Пример 1. Рассмотрим систему
fj (z ) = 1 + aj zj = 0; j = 1; 2; : : : ; n:
Тогда = a1 a2 an . Единственный корень имеет координаты zj = ; a1j , j = 1; 2; : : : ; n, и
+I = (;1)kk+n a1 +1 ann+1 = (;1)kk+n a+I :
Многочлены Q (z ) = a z , а j = (0; 0; : : : ; 0), поэтому
X
J =
(;1)kk M zQ = (;1)kk a1 an a = (;1)kk a+I
kk6kk
1
в полном соответствии с теоремой 2.
43
Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть
(1)
fj (z ) = fj(2)(z) ; j = 1; 2; : : : ; n;
(10)
fj (z)
где fj(1)(z ), fj(2)(z ) | целые функции в C n , разлагающиеся в бесконечные произведения (равномерно и абсолютно сходящиеся в C n )
fj(1)(z ) =
1
Y
s=1
fjs(1) (z ); fj(2)(z) =
1
Y
s=1
fjs(2)(z );
причем каждый из сомножителей имеет форму z + Qj (z ), а Qj (z ) | функции вида (6).
Для каждого набора индексов j1 ; : : : ; jn 2 N и каждого набора чисел i1 ; : : : ; in , равных 1 или 2,
системы нелинейных алгебраических уравнений
f1(ji )(z) = 0; f2(ji ) (z) = 0; : : : ; fnj(inn) (z ) = 0
(11)
имеют согласно лемме конечное число корней, не лежащих на координатных плоскостях.
Корни всех таких систем, не лежащие на координатных плоскостях, составляют не более чем
счетное множество. Перенумеруем их с учетом кратностей: z(1) ; z(2) ; : : : ; z(l) ; : : : Будем предполагать, что ряд
1
X
1
(12)
j
1
1
сходится. Обозначим
2
2
l=1
+I =
jz1(l) j jz2(l) j jzn(l) j
1
X
"l
n +1 :
1 +1
2 +1
l=1 z1(l) z2(l) zn(l)
Здесь 1 ; : : : ; n , как и прежде, | неотрицательные целые числа, а знак (2)
"l равен +1, если в
систему (11), корнем которой является z(l) , входит четное число функций fjs ; и равен ;1, если
входит нечетное число функций fjs(2).
Ряды, определяющие суммы +I , сходятся в силу условия, наложенного на ряд (12).
Для системы (4), составленной из функций (10), точки z(l) являются корнями или особыми
точками (полюсами). Модули jz(l) j не могут стремиться к нулю. В противном случае ряд (12) не
мог бы сходиться. Следовательно, все функции fj голоморфны и не равны нулю вблизи точки 0
и вне координатных плоскостей, поэтому для них определены интегралы J .
Теорема 3. Для системы (4) с функциями (10) справедливы равенства (8).
Доказательство. Так как
dfj (z ) = d fj(1) (z) ; d fj(2) (z) ;
fj (z ) fj(1)(z ) fj(2)(z)
то
df1 (z) ^ df2 (z ) ^ ^ dfn(z) =
f1 (z) f2 (z)
fn(z )
(1)
(2) (1)
(2) (1)
(2) 1 (z ) ; d f1 (z ) ^ d f2 (z ) ; d f2 (z ) ^ ^ d fn (z ) ; d fn (z ) =
= d f(1)
f1 (z ) f1(2)(z )
f2(1) (z ) f2(2)(z)
fn(1) (z) fn(2)(z)
(i )
(i )
(in )
X
= (;1)s d f(1i ) (z ) ^ d f(2i ) (z ) ^ ^ d f(nin) (z ) ;
f1 (z) f2 (z)
fn (z )
где s | число сомножителей, для которых il = 2, а сумма берется по всевозможным наборам
чисел i1 ; i2 ; : : : ; in , равных 1 или 2.
2
1
1
44
2
Поэтому теорему достаточно доказать для целых функций fj (z ). В этом случае
dfj (z) =
fj (z)
1
d Q fjs(z)
s=1
1
Q
s=1
fjs (z)
=
1
X
dfjs (z) :
s=1 fjs (z )
Последний ряд сходится абсолютно и равномерно на (r) для достаточно малых rj . Таким
образом, интеграл J равен сумме интегралов вида
1 Z
1 df1s (z ) d f2s (z )
d fnsn (z)
(2i)n (r) z +I f1s (z ) ^ f2s (z ) ^ ^ fnsn (z ) :
Для каждого из этих интегралов нужная формула доказана (теорема 2).
Отметим, что если fj (z ) являются целыми функциями, разлагающимися в бесконечные произведения, то они сами имеют вид (1) с функциями Qj (z ) вида (2). Поэтому интегралы J
вычисляются по теореме 1.
1
2
1
2
2. Приложения
Рассмотрим систему уравнений от двух комплексных переменных
f1(z1 ; z2 ) = 1 + a1 z1 = 0;
(13)
f2(z1 ; z2 ) = 1 + b1 z1 + b2 z2 = 0:
Здесь функции не удовлетворяют условиям теоремы 2, но удовлетворяют условиям теоремы 1.
Поэтому
1
1
1 Z
df1 ^ df2 = 1 Z
a1 b2 dz1 ^ dz2
J = (2i
)2 (r) z1 +1 z2 +1 f1 f2
(2i)2 (r) z1 +1 z2 +1 (1 + a1 z1 )(1 + b1 z1 + b2 z2 ) =
+ 1
= a!1b2 ! @ (1 + a z )(1 +
b1 z1 + b2 z2 ) z =z =0 =
1
2 @z1 @z2
1 1
b
1
(
;
1)
a
1 b2 @
2
:
= ! (1 + a z ) (1 + b z + b z ) +1
1 @z1
1 1
1 1
2 2
z =z =0
Применяя формулу Лейбница дифференцирования произведения двух функций, получим
Пример 2.
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
s ;s a1 b +1 X
(
;
1)
@
1
@
1
1!
2
J =
=
;s (1 + b1 z1 ) +1
s
1!
z =0
s=0 s!(1 ; s)! @z1 1 + a1 z1 @z1
s s!as (;1) ;s b ;s (2 + 1) (1 + 2 ; s) X
1
(
;
1)
+1
1
1
= (;1) a1 b2
=
s+1
s
!(
;
s
)!
(1
+
a
z
)
(1
+ b1 z1 ) + +1;s
1
1
1
z =0
s=0
s ;s
X
= (;1) + a1 b2 +1 a1 b1 ( (;1 s+)!2 !; s)! =
1
2
s=0
+1 X ( + ; s)!
+
1
2
s b ;s :
= (;1) !a1 b2
a
1 1
2
s=0 (1 ; s)!
Например, в случае 2 = 0 имеем
2
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
+1 ; b +1
1 :
J( ;0) = (;1) a1 b2 a1 a ;
1 b1
1
1
1
45
1
1
1
2
1
Корень системы (13) равен z1 = ; a1 , z2 = ba;ba . Поэтому степенная сумма
1
1
1
1 2
+ + +2 +1
+I = (;1) (a ;a1b ) +1 b2 ;
1
1
1
1
2
2
2
2
в частности,
+2
( +1;1) = (;1)a ;a1b b2 ;
1
1
1
1
1
т. е.
1 +1
I( ;0) = ( +1;1) ; (;1)a a;1 bb2 b1
1
1
1
1
1
:
(14)
Значит, теорема 2 для системы (13) не верна (при b2 6= 0). Тем не менее проведенные вычисления
и теорема 2 позволяют находить суммы некоторых двойных рядов.
Напомним известные разложения синуса в бесконечное произведение и степенной ряд:
p 1
1 (;1)k z k
X
z
sinp z = Y
1
;
=
z k=1
k2 2 k=0 (2k + 1)! ;
которые равномерно и абсолютно сходятся на комплексной плоскости.
Рассмотрим систему уравнений
pz Y
1 sin
z
1
1
f1(z1 ; z2) = pz =
1 ; k 2 2 = 0;
1
pz ; zk=1
sin
f2(z1 ; z2) = pz ;2 z 1 =
2
1
1 Y
m=1
(15)
2 ; z1
1 ; zm
2 2 = 0:
Каждая из функций этой системы разлагается в бесконечное произведение функций из системы (13). Корнями системы (15) являются точки (2 k2 ; 2 (k2 + m2 )), k; m 2 N . Поэтому степенная сумма ( ; ) равна сумме ряда:
1
2
( ; ) = 2(1+ )
1
2
1
2
1
X
k;m=1
1
k21 (k2 + m2 )22 :
Для системы (15) верна теорема 1, поскольку
f1 =
а
f2 =
1
X
(;1)k z1k ;
k=0 (2k + 1)!
1 (;1)m (m + n)!z n z m
(;1)k (z2 ; z1 )k = X
1 2 :
(2
k
+
1)!
m
!
n
!(2
m
+
2
n
+
1)!
m;n=0
k=0
1
X
Рассмотрим интеграл J для системы (15). Используя равенство (14) и вид корней системы
(15), получим
1
X
1
J( ;0) = ( +1;1) + (;1)
2( +1) (k 2 + m2 )m2( +1) :
k;m=1
Таким образом, для нечетных 1 интеграл I( ;0) = 0, а для четных 1 интеграл I( ;0) = 2( +1;1) .
Полагая 1 = 2s, получим следующую формулу для нахождения суммы ряда.
1
1
1
1
1
1
1
46
1
Справедливы формулы
1
X
X
1
1
1
1
Q
(2s+1;1) = 2(2s+1)
M z12s ;
2(2s+1) (m2 + k 2 ) = 2 J(2s;0) = 2
k;m=1 k
kk62s
Следствие 3.
где , Q и M определены в теореме 1.
Вычислим, например, I(2;0) . Якобиан
1
2
z
4
z
1
4
@f
2
1 z2
1 @f2
2
= @z @z = (3!)2 ; 3!5! + (5!)2 + z1 7! ; (5!)2 + ;
1 2
тогда
1
4
Q
1
Q
1
2
M z12 = 7! ; (5!)2 ; M z12 = (3!)2 5! ; M z12 = (3!)12 5! ;
2
2
Q
1
Q
1
Q
1 Q2
1
M z12 = (3!)4 ; M z12 = ; (3!)4 ; M z12 2 = (3!)1 4 :
13 , а 13
Поэтому J(2;0) = 56700
(3;1) = 113400 . Следовательно,
1
X
1
138 ;
=
6 2
2
k;m=1 k (k + m ) 113400
что отличается от формулы 10 ([6], с. 750) (где она приведена с ошибкой), но полностью совпадает с примером 1 из [7].
Рассмотрим более сложную систему
p
1 2
2
Y
sin
z
;
a
z
;
a
1
1
f (z ; z ) = p
=
1;
= 0;
1 1 2
2 k2
z1 ; a2 k=1
(16)
p
1 2
2
Y
sin
z
;
z
;
a
z
;
z
;
a
2
1
2
1
f1(z1 ; z2 ) = p
=
1 ; 2 m2
= 0:
z2 ; z1 ; a2 m=1
Корни данной системы равны (2 k2 + a2 ; 2 (m2 + k2 )+2a2 ), k; m 2 N . Функции системы (16) являются бесконечными произведениями функций из системы (13). Данная система удовлетворяет
теореме 1. Нетрудно подсчитать (используем, как для предыдущей системы (15), формулу (14)),
что интеграл J(0;0) = 2(1;1) :
Для функций
1
1
k
2 k
k
2 k
X
X
1;a )
f1 = (;1)(2k(z+1 ;1)!a ) ; f2 = (;1) ((2z2k ;+z1)!
k=0
k=0
имеем
1
2k
X
f1 (0; 0) = f2 (0; 0) = (2ka+ 1)! = shaa :
k=0
Следовательно, чтобы применить формулу из теоремы 1, нужно функции f1 и f2 разделить на
эту константу (отнормировать).
Тогда интеграл
2
1
1
J(0;0) = M[] = 2a2 ; 2a cth a ;
отсюда получим
1
X
1
(1 ; a cth a)2 :
1
=
(1;1) =
2 2
2 2 2
2
2
8a4
k;m=1 k + a (k + m ) + 2a
47
Литература
1. Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. { Новосибирск: Наука, 1979. { 366 c.
2. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения. { Новосибирск: Наука, 1989. { 240 c.
3. Быков В.И., Кытманов А.М., Лазман М.З. Методы исключения в компьютерной алгебре
многочленов. { Новосибирск: Наука, 1991. { 234 c.
4. Быков В.И., Кытманов А.М., Осетрова Т.А. Компьютерная алгебра многочленов. Модифицированный метод исключения // Докл. РАН. { 1996. { Т. 350. { Є 4. { С. 443{445.
5. Быков В.И., Кытманов А.М., Осетрова Т.А., Потапова З.Е. Применение систем компьютерной алгебры в модифицированном методе исключения неизвестных // Докл. РАН. { 2000. {
Т. 370. { Є 4. { С. 439{442.
6. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции.
{ М.: Наука, 1981. { 800 с.
7. Ермилов И.В. Вычисление сумм и улучшение сходимости числовых рядов // Исследов. по
комплексному анализу. { Изд-во Красноярск. ун-та, 1989. { С. 52{62.
Красноярский государственный университет
Московский авиационный институт
48
Поступила
07.04.2003
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
190 Кб
Теги
корней, суммы, формула, система, функции, степенных, мероморфные, нахождение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа