close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Характеризация некоторых классов субгармонических в круге функций имеющих степенной рост вблизи единичной окружности.

код для вставкиСкачать
УДК 517.53
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ
В КРУГЕ ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ СТЕПЕННОЙ РОСТ
ВБЛИЗИ ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ
О.В. Охлупина
В работе получено полное описание класса субгармонических функций, характеристика Неванлинны
которых имеет степенной порядок роста при приближении к единичной окружности.
Ключевые слова: субгармоническая функция, характеристика Неванлинны, потенциал, гармоническая
функция.
Предварительные сведения
Введем следующие обозначения. Пусть D = {z : z < 1} - единичный круг на
комплексной плоскости, Г - его граница. Пусть SH ( D ) - множество субгармонических в
D функций.
Если функция u ∈ SH ( D ) , то символом T (r , u ) обозначим характеристику Р.
Неванлинны субгармонической функции u (см. [1]):
T (r , u ) =
1 π + iϕ
∫ u (re )dϕ ,
2π −π
где 0 < r < 1 , u ( z ) = max{0, u ( z )}.
Для α > 0 рассмотрим класс SH α (D ) функций u , субгармонических в единичном
+
круге D , для которых справедлива следующая оценка T (r , u ) ≤
Cu
, 0 ≤ r < 1, Cu (1 − r )α
некоторая положительная константа, зависящая только от u .
При α = 0 по классическому результату Р.Неванлинны класс SH 0 ( D ) совпадает с
классом функций u , допускающих в единичном круге D следующее представление:
ζ −z
1
u ( z ) = ∫∫ log
dµ (ζ ) +
1−ζ z
2π
D
π
1− z
−π
1− e z
∫
− iθ
2
2
dψ (θ ) ,
где ψ (θ ) - функция ограниченной вариации на [− π ;π ] , мера µ (ζ
условию
∫∫ (1 − ζ )dµ (ζ ) < +∞ .
)
(1)
удовлетворяет
D
При α > 0 метод, применяемый Р.Неванлинной не проходит, так как функции класса
SH α (D ) могут не иметь граничных значений на единичной окружности.
Основная цель статьи – получить аналог представления (1) в случае произвольных
α > 0 . Для этого введем еще несколько обозначений.
Пусть z , ζ ∈ D, ζ ≠ 0, β > −1 , тогда (см. [2]):



z
 β
Aβ ( z , ζ ) =  1 −  exp −
 ζ 
 π

(1 − t )
2 β
∫
D
(
log 1 −
1 − tz
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
)
β +2
t
ζ



dm2 ( t ) .


(2)
1,∞
Символом Bs
обозначим класс О.Бесова на единичной окружности Г , т.е.:
2
1 ∆ψ


t
L
B = ψ ∈ L1 [− π ;π ]: ∫
dt < +∞  ,
ts
0


∆2tψ (eiθ ) = ψ (ei (θ +t ) ) − 2ψ (eiθ ) + ψ (e i (θ −t ) ), θ ∈ [− π ;π ], t ∈ [0;1] .
1,∞
s
где
1
Сформулируем основной результат статьи.
Теорема. Класс функций SH α (D ) совпадает с классом функций u , допускающих
следующее представление в D :
( )

π
ψ eiθ dθ 
 1
u ( z ) = ∫∫ log Aβ ( z ,ζ ) d µ (ζ ) + Re 
(3)
β +1  ,
∫
− iθ
2
π
D
 −π 1 − e z

1,∞
iθ
где z ∈ D , ψ (e ) - произвольная вещественнозначная функция из класса Bβ −α +1 ,
β > α − 1 , α > −1, µ (ζ ) - неотрицательная борелевская мера в D , удовлетворяющая
C1
условию: n ( r ) ≤
, где n ( r ) = µ ( Dr ) .
α +1
(1 − r )
(
)
Замечание. В случае, когда функция u имеет вид: u( z ) = log f ( z ) , где z ∈ D , f
- аналитическая функция в D , представление, аналогичное представлению (3), получено
в работе [3].
Доказательство вспомогательных утверждений
В этом разделе предположим, что u ( z ) является субгармонической в D
функцией, которая гармонична в некоторой окрестности точки ноль, причем u ( 0 ) = 0 .
Следующая лемма установлена в работе [4].
Лемма 1. Пусть z ,ζ ∈ D, ζ ≠ 0, β > −1 , Aβ ( z ,ζ ) - вышеуказанный фактор в
произведении М. М. Джрбашяна. Тогда справедлива оценка:
β +2
1− ζ 2 
 .
ln Aβ ( z ,ζ ) ≤ C 
 1−ζ z 


Лемма 2. Пусть uk ( z ) ≥ uk +1 ( z ) , z ∈ D - монотонно убывающая
последовательность субгармонических функций, uk ( z ) → u ( z ) в D . Тогда
∀ϕ ∈ C0∞ ( D ) выполняется равенство: lim ∫ ϕ (ζ ) ∆uk (ζ )dm2 (ζ ) = ∫ ϕ (ζ )d µ (ζ ) ,
k →∞
D'
D'
где µ - мера Рисса субгармонической функции u , D ' ⊆ D , suppϕ ⊂ D ' .
Доказательство. Пусть D ' = Dr , 0 < r < 1 . Используем представление Рисса:
uk ( z ) =
k
Dr
u(z) =
∂g
(ζ , z ) uk (ζ ) ds
∂
n
∂Dr
∫ ln ζ − z ∆u (ζ )dm (ζ ) + ∫
∫ ln ζ − z d µ (ζ ) +
Dr
2
∂g
∫ ∂n (ζ , z ) u (ζ ) ds .
∂Dr
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(4)
Поэтому ∀ϕ ∈ C0 ( Dr ) имеем:
∞
∫ ( u ( z ) − u (ζ ) )∆ϕ ( z ) dm ( z ) =
2
k
Dr


ζ
−
z
d
µ
ζ
−
ζ
−
z
∆
u
ζ
dm
ζ
ln
ln
( ) ∫
k( )
2 ( ) ∆ϕ ( z ) dm2 ( z ) +
∫D  D∫

Dr

r  r
 ∂g

+∫ ∫
u (ζ ) − uk (ζ ) ) ds ∆ϕ ( z ) dm2 ( z ) = I1 + I 2
(
 ∂n

Dr  ∂Dr

Докажем, что I 2 → 0 при k → +∞ .
∂g
I2 ≤ ∫ ∫
( uk (ζ ) − u (ζ ) ) ϕ ( z ) dm2 ( z )
∂n
Dr ∂Dr
=
Так как разность uk (ζ ) − u (ζ ) ≥ 0 и монотонно стремится к нулю, то:
f k (ζ ) =
∂g
( uk − u ) монотонно стремится к нулю. По теореме Леви (см. [5]):
∂n
I 2 → 0, k → ∞ . Таким же образом,
∫ ϕ ( z ) ( u ( z ) − u ( z ) ) dm ( z ) → 0 .
k
2
Dr
Следовательно, I 2 → 0 при k → ∞ . Т.е.


ζ
z
ϕ
z
dm
z
ln
−
∆
( ) 2 ( ) d µ (ζ ) =
∫D  D∫
r  r



= lim ∫ ∆uk ( ζ )  ∫ ln ζ − z ∆ϕ ( z ) dm2 ( z ) dm2 (ζ )
k →∞
D

Dr
 r

По следствию из формулы Грина:
∫ ln ζ − z ∆ϕ ( z ) dm ( z ) = ϕ (ζ ) ,
(5)
∀ϕ ∈ C0∞ ( Dr ) .
2
Dr
Используя равенство (5), получим:
lim ∫ ϕ (ζ )∆uk ( ζ ) dm2 (ζ ) = ∫ ϕ (ζ ) d µ (ζ ) .
k →∞
Dr
Dr
Что и доказывает лемму.
Лемма 3. Пусть u ∈ SH α ( D ) , Dr = z : z < r , 0 < r < 1 , n ( r ) = µ ( Dr ) . Тогда
{
}
имеет место оценка:
n(r) ≤
C1
(1 − r )
α +1
.
Доказательство. Пусть сначала u ∈ SH α ( D ) I C
функции u , n ( r ) =
r π
(6)
( 2)
(D) .
∆u - лапласиан
∫ ∫ ∆u (te ) dϕtdt , 0 < r < 1 .
iϕ
0 −π
Рассмотрим круг радиуса ρ : 0 < ρ < 1 . Тогда имеет место следующее равенство
(см. [6], с. 274):
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ρ
π
2
π ρ
ρ
∫ u ( ρ e ) dϕ = ∫ ∫ ln r ∆u ( re ) rdrdϕ .
iϕ
−π
iϕ
Так как u ( 0 ) = 0 , то, по теореме о среднем,
что u ( z ) ≤ u
+
(7)
−π 0
π
∫ u ( re ) dϕ ≥ 0 , а также, учитывая
iϕ
−π
( z ) , получим:
π ρ
π
π
ρ
iϕ
2
+
iϕ
+
iϕ
∫−π ∫0 ln r ∆u ( re ) rdrdϕ ≤ ρ −∫π u ( ρ e ) dϕ ≤ −∫π u ( ρ e ) dϕ .
1
Учитывая, что T ( r , u ) =
2π
π
(
)
+
iϕ
∫ u re dϕ ≤
−π
C
(1 − r )
α
, 0 ≤ r < 1 , получим
следующую оценку:
π ρ
π
ρ
C
iϕ
iϕ
+
∫−π ∫0 ln r ∆u re rdrdϕ ≤ −∫π u ρ e dϕ ≤ (1 − ρ )α .
(
)
(
)
(8)
Рассмотрим левую часть последнего неравенства.
π ρ
ρ
π
ρ
ρ
iϕ
iϕ
∫−π ∫0 ln r ∆u ( re ) rdrdϕ = ∫0 ln r −∫π ∆u ( re ) dϕ =
ρ
r π
r π

ρ 
ρ
iϕ
= ∫ ln d  ∫ ∫ ∆u ( te ) dϕtdt  = ln ∫ ∫ ∆u ( teiϕ ) dϕtdt +
r  0 −π
r 0 −π

0
0
ρ
ρ
r π
r π


1
1
iϕ
+ ∫  ∫ ∫ ∆u ( te ) dϕtdt dr = ∫  ∫ ∫ ∆u ( teiϕ ) dϕtdt dr
0 r  0 −π
0 r  0 −π


ρ
Учитывая, что µ ( Dr ) =
r π
∫ ∫ ∆u (te ) dϕtdt = n ( r ) , а также оценку (8), получим:
iϕ
0 −π
n(r )
C
dr
≤
α . Оценим снизу интеграл в левой части последнего неравенства:
∫0 r
(1 − ρ )
ρ
n(r )
≥∫
dr ≥
r
0
ρ
C
(1 − ρ )
α
С помощью замены
ρ
1 − ρ  1 − ρ 

 3ρ − 1  1 − ρ 
 = n


∫ n ( r ) dr ≥ n  ρ − 2 
 2 
 2  2 
ρ−
1− ρ
2
3ρ − 1
C1
= r получим, что n ( r ) ≤
α +1 . Покажем, что из
2
1
−
r
( )
последнего неравенства следует сходимость интеграла
1
I = ∫ (1 − t )
β +2
dn ( t ) при β > α − 1 . Пусть R - произвольное число из интервала (0;1) .
0
Проинтегрируем интеграл I ′ =
R
∫ (1 − t )
β +2
dn ( t ) по частям. Тогда будем предполагать,
0
что R - точка непрерывности функции.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
R
I ′ = ∫ (1 − t )
β +2
dn ( t ) = (1 − t )
β +2
0
R
n ( t ) 0 + ( β + 2 ) ∫ (1 − t )
R
n ( t ) dt ≤
β +1
0
R
1− t)
1 − R)
(
(
(1 − t ) dt =
≤ (1 − R ) n ( R ) + C ( β ) ∫
dt ≤ C
+ C(β )∫
α +1
α +1
α +1
(1 − R )
0 (1 − t )
0 (1 − t )
β −α +1
= C (1 − R )
+ C1.
β +1
R
β +2
Очевидно, что при R → 1 − 0 I ′ =
β +2
R
∫ (1 − t )
β +2
β +1
dn ( t ) остается ограниченным, поэтому
0
1
интеграл I =
∫ (1 − t )
β +2
dn ( t ) сходится.
0
То есть для u ∈ SH α ( D ) I C ( D ) лемма доказана.
Для доказательства леммы в общем случае применим лемму 2. Рассмотрим
последовательность бесконечно дифференцируемых субгармонических функций uk ( z ) ,
( 2)
которые, убывая, сходятся к субгармонической функции u ( z ) внутри D при k → +∞
(см. [7], с. 51). При этом ∆uk слабо сходятся к d µ , где µ - представляющая мера в
разложении Рисса субгармонической функции u (см. [8]).
Применим формулу (7) к данной последовательности:
ρ
π
2
∫ un ( ρ e
−π
iϕ
π ρ
) dϕ = ∫ ∫ ln ρr ∆u ( re ) rdrdϕ .
iϕ
n
−π 0
Применяя рассуждения, изложенные выше и формулу Иенсена (см., например, [1], §3.9),
получим:
n(r) ≤
C
(1 − r )
α +1
1
Следовательно, и
∫ (1 − t )
β +2
.
dn ( t ) < +∞, β > α − 1 . Что и требовалось доказать.
0
Лемма 4. Пусть u - произвольная субгармоническая функция в D , допускающая
представление: u ( z ) =
∫∫ log A ( z,ζ ) d µ (ζ ) + h ( z ) , где
β
z ∈ D , β > α − 1 , α > −1,
D
µ (ζ ) - неотрицательная борелевская мера в D , удовлетворяющая условию
C
n(r) ≤
α +1 , n ( r ) = µ ( Dr ) , Dr = { z : z < r }, 0 < r < 1 , h ( z ) - гармоническая
(1 − r )
π
функция, для которой справедлива оценка:
∫ ( )
h reiϕ dϕ ≤
−π
u ∈ SHα ( D ) .
C
(1 − r )
Доказательство. Пусть Vβ ( z ) = ln Aβ ( z, ζ ) d µ (ζ ) .
∫
Тогда u ( z ) = Vβ ( z ) + h ( z ) .
Так как u ( z ) ≤ u
+
D
( z ) , а также, учитывая оценку из леммы 1, запишем:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
α
.
Тогда
1− ζ 2 
+

Vβ ( z ) ≤ Vβ ( z ) ≤ c ∫ 


D 1− ζ z


β +2
d µ (ζ ) . Тогда:
β +2
1− ζ 2 
+
+
 d µ (ζ )
u ( z ) ≤ h ( z ) + Vβ ( z ) ≤ h ( z ) + c ∫ 


D 1−ζ z


Проинтегрируем обе части неравенства по ϕ по отрезку [ −π ;π ] :
π
β +2
 

2 
1− ζ
iϕ

 d µ ( ζ )  dϕ .
h ( re ) dϕ + c ∫ ∫ 
  1− ζ z 


−π  D




π
π
∫ u ( re )dϕ ≤ ∫
+
iϕ
−π
Первый
π
−π
интеграл
в
левой
C
∫ h ( re ) dϕ ≤ (1 − r )
iϕ
части
по
предположению
(9)
допускает
оценку:
. Установим принадлежность потенциала Vβ классу SHα ( D ) ,
α
−π
1
а именно:
2π
π
∫ V ( re )dϕ ≤ (1 − r )
C
iϕ
β
α
.
−π
Из неравенства (9) имеем:
1
2π
Положим
I=
π
iϕ
∫ Vβ ( re )dϕ ≤
−π
(
)
)
2 β +2
∫ ∫ 1 − ζ re
−π D
iϕ
β +2
d µ (ζ )
2 β +2
1− ζ
π
(
1− ζ
π
∫ ∫ 1 − ζ re
−π D
iϕ
β +2
d µ (ζ ) . Изменяя порядок интегрирования и учитывая
оценку:
π
dϕ
∫ 1 − ζ re
−π
выводим:
I ≤∫
iϕ
≤
β +2
(
1− ζ
)
C (β )
(1 − ζ r )
β +1
,
(10)
2 β +2
D (1 − r ζ
)
β +1
d µ (ζ )
(11)
Приступим к оценке последнего интеграла. Для этого воспользуемся диадическим


разбиением единичного круга, т.е. пусть k ∈ Z + , ∆ k =  z :1 −
очевидно, что D =
+∞
U∆
k
1
1 
≤
z
<
1
−
 . Тогда
2k
2k +1 
. Поэтому из оценки (11) получаем:
k =0
+∞
I ≤ C (β )∑ ∫
k =0 ∆ k
(1 − ζ )
2 β +2
(1 − r ζ
)
β +1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
d µ (ζ ) .
1
1
≤ r < 1 − n+1 , тогда
n
2
2
Пусть теперь r - произвольное число из ( 0;1) , 1 −
n
I ≤∑∫
k =0 ∆ k
( )
(1 − r ζ )
1− ζ
( )
∑∫
(1 − r ζ )
2 β +2
d µ (ζ ) +
β +1
1− ζ
∞
2 β +2
k = n +1 ∆ k
d µ ( ζ ) = I1 + I 2
β +1
Рассмотрим первое слагаемое. В этом случае подынтегральное выражение допускает
следующую оценку:
( )
(1 − r ζ )
1− ζ
2 β +2
β +1
≤
( )
(1 − ζ )
1− ζ
2 β +2
≤1− ζ .
β +1
C
С учетом этого и оценки µ ( ∆ k ) ≤
α +1
=C⋅2
 
1 
 1 −  1 − 2k  

 
n
n
n
 1 
 1
I1 ≤ ∑ ∫ (1 − ζ )d µ (ζ ) ≤ ∑  k  µ ( ∆ k ) ≤ C ∑  k
k =0 ∆ k
k =0  2 
k =0  2
n
= C ∑ 2 kα = C1 ⋅ 2(
n+1)α
получим:
 k (α +1)
=
 ⋅2

C1
≤
k (α +1)
(12)
(1 − r )
k =0
α
Перейдем аналогично к оценке второго слагаемого I 2 .
( )
∑∫
(1 − r ζ )
1− ζ
∞
k = n+1 ∆ k
2 β +2
β +1
d µ (ζ ) ≤ C
∞
2 − k ( β + ) ⋅ 2 k (α + )
2
∑ (1 − r )
k = n+1
1
β +1
=
C
(1 − r )
C
C
=C ∑
=
=
∑
β +1
β +1
β +1 =
α
k = n +1 (1 − r )
k = n +1 (1 − r )
(1 − r )
(1 − r )
Следовательно, потенциал Vβ ∈ SHα ( D ) . Что и доказывает
u ∈ SHα ( D ) .
∞
2
− k ( β + 2−α −1)
∞
2
β −α +1
− k ( β −α +1)
лемму, то есть
Доказательство теоремы
Докажем теорему при условии, что функция u гармонична в некоторой малой
окрестности точки ноль. При этом u ( 0 ) = 0.
1)
Необходимость. Пусть u ∈ SHα ( D ) . Покажем сначала, что u допускает
представление u ( z ) = Vβ ( z ) + h ( z ) , где
π
C
∫ h ( re ) dϕ ≤ (1 − r )
iϕ
α
и Vβ ∈ SHα ( D ) .
−π
Рассмотрим разность u ( z ) − Vβ ( z ) = h ( z ) и установим, что она является гармонической
функцией.
Пусть Dr - круг радиуса r , 0 < r < 1 . По теореме Рисса для Dr :
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
u ( z ) = V ( z ) + ∫ ln ζ − z d µ ( ζ ) , где V ( z ) - гармоническая функция в
Dr
∫ ln ζ − z d µ (ζ ) - субгармоническая функция.
Dr
Преобразуем выражение:
Aβ ( z, ζ )

ζ −z 
ln Aβ ( z ,ζ ) = ln  Aβ ( z , ζ ) ⋅
+ ln ζ − z ;
 = ln
ζ −z 
ζ −z




t
2 β
t
1
ln
1
−
−



Aβ ( z, ζ )
ζ
z
β
1


dm2 ( t )  =
ln
= ln 
⋅ 1 − ⋅ exp  − ∫
β +2
ζ −z

ζ −z
ζ
1 − tz
 πD



 


β

 

t
2
1− t
ln 1 −

 

ζ −z
ζ
1
β



dm2 ( t )    =
= ln
⋅
⋅ exp  Re  − ∫
β +2
ζ −z

  πD
ζ
1 − tz
  

 
  
 

(
)
(
(
)
(
(
)
)
)
β


t
2
1
t
ln 1 −
−


1
ζ
 β

dm2 ( t ) 
= ln + Re − ∫
β +2
ζ
1 − tz
 πD



h ( z ) = u ( z ) − ∫ ln Aβ ( z ,ζ ) d µ ( ζ ) =
(
)
Dr



t
2 β
−
−
1
t
ln
1



ζ
1
 β


= u ( z ) − ∫ ln ζ − z + ln + Re − ∫
dm2 ( t )  d µ ( ζ ) =
β +2


ζ
πD
Dr
1 − tz




 

1
= u ( z ) − ∫ ln ζ − z d µ ( ζ ) − ∫ ln d µ (ζ ) −
ζ
Dr
Dr
(
)
(
(
)
)


2 β
t
1
ln 1 −
−
t


ζ
 β

− ∫ Re − ∫
dm2 ( t ) d µ (ζ ) .
β +2
Dr
1 − tz
 πD



1
∫D ln ζ d µ (ζ ) < +∞ . Это следует из того, что
r
(
)
Vβ ( 0 ) > −∞ ⇒ + ∞ > −Vβ ( 0 ) = − ∫ ln Aβ ( 0, ζ ) d µ (ζ ) ≥ ∫ ln
D
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
D
1
d µ (ζ ) .
ζ
z < r,
(


 β
Re −
 π

)



∫D 1 − tz β +2 dm2 ( t ) - гармоническая функция. Учитывая, что r 

произвольное из ( 0;1) , получаем, что h ( z ) = u ( z ) − ∫ ln Aβ ( z , ζ ) d µ ( ζ ) является
1− t
2 β
ln 1 −
(
)
t
ζ
Dr
гармонической функцией в D .
Покажем, что гармоническая
π
∫ ( )
C
h reiϕ dϕ ≤
h( z )
удовлетворяет
условию:
.
(1 − r )
α
−π
функция
Рассмотрим разность h ( z ) = u ( z ) − ln Aβ ( z , ζ ) d µ (ζ ) .
∫
Так как u ( z ) ≤ u
D
+
( z ) , то, согласно предыдущим рассуждениям, получим:
β +2
1− ζ 2 
+
+
+
+
 d µ (ζ ) .
h ( z ) ≤ u ( z ) + Vβ ( z ) ≤ u ( z ) + c ∫ 


D 1−ζ z


Проинтегрируем обе части неравенства по ϕ от −π до π :
β +2
 

2 
1
ζ
−
+
+
iϕ
iϕ


∫−π h ( re )dϕ ≤ −∫π u ( re )dϕ + c −∫π  ∫D  1 − ζ z  d µ (ζ )  dϕ .

 

π
π
π
Применим теорему о среднем значении: − ∞ < 2π h ( 0 ) ≤
Далее воспользуемся тем, что h ( z ) = h
2π h ( 0 ) ≤
2π h ( 0 ) +
π
(z) − h (z):
∫ h ( re ) dϕ .
iϕ
−π
−
π
π
∫  h ( re ) − h ( re ) dϕ = ∫ h ( re ) dϕ − ∫ h ( re ) dϕ ,
−π
π
+
iϕ
−
iϕ
+
iϕ
−π
π
−
iϕ
−π
∫ h ( re ) dϕ ≤ ∫ h ( re ) dϕ ; .
iϕ
−
−π
Учитывая, что h ( z ) ≤ h
π
+
π
π
+
iϕ
−π
+
( z ) + h − ( z ) , получим:
∫ h ( re ) dϕ ≤ ∫ h ( re ) dϕ + C .
iϕ
+
iϕ
1
−π
−π
π
В результате,
∫
−π
β +2
 

2 
1
−
ζ
iϕ
+
iϕ

 d µ (ζ )  dϕ + C1 .
h ( re ) dϕ ≤ ∫ u ( re )dϕ + c ∫ ∫ 


−π
−π  D  1 − ζ z 




π
π
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
По условию теоремы, поскольку u ∈ SHα ( D ) , то первый интеграл оценивается:
π
∫ u ( re )dϕ ≤ (1 − r )
+
C
iϕ
, а второй интеграл оценивается таким же образом по леммам 3
α
−π
π
∫ h ( re ) dϕ ≤ (1 − r )
и 4. Следовательно,
C
iϕ
α
.
−π
( )
)


π
ψ eiθ
 1

dθ  , где
Остается показать, что h ( z ) = Re 
β
+
1
∫
− iθ
 2π −π 1 − e z

ψ ∈ H 1 I B1,s p , H 1 - класс Харди. Сначала заметим справедливость следующего
(
равенства:
iθ
iθ
π
1 ψ ( e ) e idθ
1
ψ (z) =
=
2π i −∫π
eiθ − z
2π
ψ ( eiθ ) dθ
π
∫ (1 − ze )
− iθ
−π
; D
β
1
1
=
1 − e −iθ z 1 − e− iθ z
(
z∈D.
Пусть ψ ( z ) =
ψ (e
π
iθ
(
∫ψ
)∈ B
−π
∫ (1 − t )
,
h ( tz ) dt , z ∈ D . Покажем, что
β −1
0
1,∞
β −α +1
k)
1
)
β +1
( β > α − 1) . Достаточно получить оценку:
( ρ e ) dθ ≤
iθ
C
(1 − r )
( 0 < r < 1) , где k ∈ N :
k − β +α −1
k > β − α + 1.
Действительно:
(k )
ψ
1
( z ) = ∫ (1 − t )
t h(
β −1 k
k)
( tz ) dt .
Поэтому:
0
π
1
π
∫ ψ ( ρ e ) dθ ≤ ∫ (1 − t ) ∫
(k )
iθ
−π
β
∫ (
Так как
k)
−π
0
π
h(
)
C
h ρ eiϕ dϕ ≤
(t ρ e ) dθ dt .
iθ
( 0 < ρ < 1) , то
(1 − ρ )
β
π
1
1− t)
(
(k )
iθ
∫−π ψ ( ρ e ) dθ ≤ C ∫0 (1 − ρt )α +k dt . Следовательно,
−π
π
(
)
(k )
iθ
∫ ψ ρ e dθ ≤
−π
1,∞
β −α +1 ,
функция ψ ∈ B
α
C
(1 − ρ )
1,∞
β −α +1
а B
.
k − β +α −1
По известной теореме (см. [9], с. 198), так как
1
⊂ H , то ψ ( z ) =
2π
1
π
ψ ( eiθ )
∫ (1 − e z )dθ .
−π
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
− iθ
Поэтому

 1
h ( z ) = Re 
 2π
( )
∫ 1− e z
(
)
ψ eiθ
π
− iθ
−π


β +1 dθ  .


 1
u ( z ) = ∫∫ log Aβ ( z ,ζ ) d µ (ζ ) + Re 
D
 2π
1
Так как ψ ∈ H и
1
2π
то
∫
−π
( )
1
d
θ
=
β
+
1
∫
− iθ
2π
z)
−π (1 − e
( )
∫ 1− e z
(
)
− iθ
−π
1
d
θ
=
β +1
2π
если
u ∈ SHα ( D ) ,
то
ψ eiθ dθ 
β +1  , т.е. верно представление (3).
1 − e −iθ z

(
ψ ( eiθ )
π
ψ eiθ
π
1
2π
π
Итак,
)
π
∫ ψ ( e )dθ = C (ψ ) ,
iθ
0
−π
( ) ( )dθ − C (ψ ) .
∫ 1− e z
(
)
π
ψ eiθ + ψ eiθ
β +1
− iθ
−π
0
Следовательно, ψ - вещественнозначная функция, кроме того, мера µ удовлетворяет
условию теоремы по лемме 3.
2) Перейдем к доказательству достаточности. Оно следует непосредственно из
предыдущего пункта и леммы 4.
Пусть функция u допускает представление (3). Покажем, что u ∈ SHα ( D ) .
Учитывая сказанное ранее, остается установить, что

 1
h ( z ) = Re 
 2π
( )
∫ 1− e z
(
)


d
θ
∈ SH α ( D ) , где ψ ( eiθ ) ∈ B1,β −∞α +1 .

+
1
β
− iθ
−π

Для этого приведем лемму из работы [3]: если u ( z ) - гармоническая в D и
π
ψ eiθ
v ( z ) - гармонически сопряжена с u , v ( 0 ) = 0 , то из
π
∫ (
u re
−π
iϕ
) dϕ ≤
A
(1 − r )
Воспользуемся
α
, α > 0, 0 ≤ r < 1 вытекает
π
∫ ( )
v reiϕ dϕ ≤
−π
следствием
из
f ∈ H1 , v ( 0 ) = 0, u ( eiϕ ) ∈ Bγ1,∞
этой
(γ
леммы:
Пусть
> 0 ) , тогда f ( eiϕ ) ∈ Bγ1,∞ .
C ( A)
.
(1 − r )
f ( z ) = u ( z ) + iv ( z ) ,
α
Из этого вытекает: ψ = ψ 1 + ψ 2 , ψ 1 ∈ H , ψ 2 ∈ H .
1
1
g ( z) =
2π
1
2π
π
∫
−π
( )
∫ 1− e z
(
)
π
−π
ψ eit
− it
1
β +1 dt =
2π
π
∫
−π
1
( )
(1 − e z )
∆ t2ψ eiθ
− it
β +1
( )
dt + 2ψ eiθ − ψ ( 0 ) .
π π ∆ 2ψ e iθ
π
(
)
t
1
1
1
iθ
g ( re ) dθ ≤ 2 ∫ ∫
dtd
θ
+
ψ
e
d
θ
+
(
)
4π −π −π 1 − e −it z β +1
π −∫π
2π
iθ
π
1
iθ
Так как ψ ( 0 ) ≤ ∫ ψ ( e ) dθ , то
π −π
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
π
∫ ψ ( 0 ) dθ .
−π
1
2π
π
π π
∆t2ψ ( eiθ )
∫ g ( re ) dθ ≤ C ∫ ∫ 1 − e
iθ
−π
−π −π
− it
r
β +1
π
dtdθ ≤ C1 ∫
−π
t
β −α +1
− it
1− e r
h ( z ) = Re { g ( z )} .
β +1
dt ≤
C
(1 − r )
α
,
Теорема доказана.
In the paper a characterization of some classes of subharmonic functions in the unit disk having sedate growth near
the unit circle is obtained.
The key words: subharmonic function, characteristic of Nevanlinna, potential, harmonic function.
Список литературы
1. Хейман У. Субгармонические функции / У. Хейман, П. Кеннеди // М.: Мир. 1980.
2. Джрбашян, М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М.
Джрбашян // Сообщ. Института матем. и мех. АН Арм. ССР. Вып. 2. 1948.
3. Shamoyan, F.A., Shubabko, E.N. Parametrical representations of some classes of
holomorphic functions in the disk // Operator Theory: Advanced and Applications. Vol. 113,
2000.
4. Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и Характеризация
нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста / Ф.А. Шамоян // Известия
АН Арм. ССР, математика, т. 13, №5. С. 405-422, 1978.
5. Сакс, С. Теория интеграла / С. Сакс // М.: изд-во Факториал-Пресс. С. 496. 2004.
6. Кусис. П. Введение в теорию пространств H p . Пер. с англ. П. Кусис // М.: Мир.
1984.
7. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных / Л.И.
Ронкин // Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука». 1971.
8. Ландкоф, Н.С. Основы современной теории потенциала / Н.С. Ландкоф // М.:
«Наука». 1966.
9. Трибель Х. Теория функциональных пространств / Х. Трибель // М.: Мир. 1980.
Об авторе
О.В. Охлупина – асс. Брянской государственной инженерно-технологической
академии, helga131081@yandex.ru
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа