close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Характеристический принцип локального экстремума для одного уравнения гиперболического типа и его применение.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (479)
УДК 517.956
В.Ф. ВОЛКОДАВОВ, Ю.А. ИЛЮШИНА
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА
ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА И ЕГО
ПРИМЕНЕНИЕ
1. Задача Гурса
Уравнение
uxy +
x+y
uy = 0; 0 < < 1;
(1.1)
рассмотрим на множестве G = G; [ G+, где
G; = f(x; y) j ;h < x < 0;
;x < y < hg; G = f(x; y) j 0 < x < h; 0 < y < h ; xg:
+
Подобно тому, как это сделано в ([1], с. 67{68), в данной статье методом Римана для уравнения (1.1) в областях G; и G+ доказаны следующие утверждения.
Теорема 1. Если
u(x; h) = !(x) 2 C[;h;0] \ C(1;h;0) ;
1
u(0; y) = '(y) 2 C[0;
h] ;
(1.2)
(1.3)
!(0) = '(h) = 0, то задача Гурса в области G; для уравнения (1:1) с данными (1:2), (1:3) имеет
единственное решение
u(x; y) = !(x) ;
при этом
Z h
y
'0 (s)s (x + s); ds;
(1.4)
u(x; y) 2 C (G; ).
Теорема 2. Если
1
u(x; 0) = (x) 2 C[0;h] \ C(0;
h) ;
(1.5)
(0) = '(0) = 0, то задача Гурса в области G+ для уравнения (1:1) с данными (1:3), (1:5) имеет
единственное решение
u(x; y) = (x) ;
при этом
Z y
0
'0 (s)s (x + s); ds;
u(x; y) 2 C (G+ ).
13
(1.6)
2. Характеристический принцип локального экстремума
Пусть
@ Zx
v; (x; y) =
(x ; t);1 (;t)r1 u(t; y)dt;
@x ;y
где 0 < 1 < 1, 1 < r1 , функция u(t; y) определяется формулой (1.4).
u(x; y) 2 C (G; ) такова, что u(0; y) = '(y) достигает наибольшего
(наименьшего отрицательного) значения в точке , 0 < < h, при этом
u(x; h) 0, где u(x; h) определяется формулой (1:2), то x!lim
v; (x; ) < 0 (> 0).
0;0
Лемма 1. Если функция
положительного
Доказательство.
v; (x; y) =
Пользуясь формулой (1.4), находим
Z x
Z h
@ Z x
!(t)(x ; t);1 (;t)r1 dt ; (x ; t);1 (;t)r1 dt '0 (s)s (t + s); ds : (2.1)
@x ;y
;y
y
Первое слагаемое выражения, стоящего в скобках, интегрируем по частям, полагая U = !(t),
V = V (x; t) =
Z x
t
(x ; s);1 sr1 ds:
(2.2)
Во втором слагаемом в скобках равенства (2.1) меняем порядок интегрирования. Получим
Z x
;y
(x ; t);1 (;t)r1 dt
Z h
y
'0 (s)s (t + s); ds =
Z h
y
'0 (s)s ds
Z x
;y
(x ; t);1 (;t)r1 (t + s); dt: (2.3)
Интеграл (2.2) и внутренний интеграл в правой части формулы (2.3) вычисляем заменами
s = t + (x ; t)z , t = ;y + (x + y)z соответственно. Результаты вычислений дают
1
x ; t
1;1
r
1
V (x; t) = ;
1 ; 1 (x ; t) (;t) F 1; ;r1 ; 2 ; 1 ; ;t ;
Z x
(x ; t);1 (;t)r1 (t + s); dt =
= 1 ;1 1
;y
x + y x + y
yr1 (x + y)1;1 (s ; y); F1 1; ;r1 ; ; 2 ; 1 ;
;
:
y
y;s
(2.4)
(2.5)
Из равенств (2.2){(2.5) находим
v; (x; y) =
@ 1
x + y
!(;y)(x + y)1;1 yr1 F 1; ;r1 ; 2 ; 1 ;
+
@x 1 ; 1
y
Z x
1
x;t
0
r
1;1
1
+ 1;
! (t)(;t) (x ; t) F 1; ;r1 ; 2 ; 1 ;
;t dt ;
1 ;y
Z h
; 1 ;1 (x + y)1;1 yr1 '0 (s)s(s ; y);F1 1; ;r1 ; ; 2 ; 1; x +y y ; xy +; ys ds :
y
1
Применяя формулы \сокращенного" дифференцирования
d c;1
z F (a; b; c; pz ) = (c ; 1)z c;2 F (a; b; c ; 1; pz );
dz
d c;1
z F1 (a; b; b0 ; c; pz; qz ) = (c ; 1)z c;2 F1 (a; b; b0 ; c ; 1; pz; qz );
dz
14
где p и q не зависят от z , доказанные Волкодавовым В.Ф., и тождества ([2], сс. 73, 232)
;(c);(c ; a ; b) ;
F (a; b; c; 1) =
;(c ; a);(c ; b)
;(c);(c ; a ; b) F (a; b0 ; c ; b; z ); c ; a ; b > 0;
F1 (a; b; b0 ; c; 1; z ) =
;(c ; a);(c ; b)
находим
1
lim v; (x; y) = r ; 1
1
x!0;0
yr1 ;1
Z h
y
y
'0 (s)F r1 ; 1 ; ; r1 ; 1 + 1; ds ;
s
; !(;y)yr ; ;
1
По условию леммы
1
yr1 ;1
Z h
Z
1
0
;y
!0 (t)(;t)r1 ;1 dt : (2.6)
y
'0 (s)F r1 ; 1 ; ; r1 ; 1 + 1; ds:
lim v; (x; y) = r ; (2.7)
s
y
1
1
Пусть '(y) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения
в точке , 0 < < h. Пользуясь ;тождеством ('(t) ; '())0 = '0 (t), в равенстве (2.7) проинтегрируем по частям, полагая U = F r1 ; 1 ; ; r1 ; 1 + 1; ys . Получим
x!0;0
1
lim v; (x; ) = ; r ; 1
1
x!0;0
r1 ;1 '( )F
r1 ; 1 ; ; r1 ; 1 + 1; +
h
Z h
1
+ r ;
r1 ;1 +1 ('(s) ; '( ))s;2 F r1 ; 1 + 1; + 1; r1 ; 1 + 2; ds:
1 + 1
s
1
Из этого равенства следуют утверждения леммы.
Пусть
@ Z h;y
(t ; x);2 tr2 u(t; y)dt;
v+ (x; y) =
@x x
где 0 < 2 < 1, 2 < r2 , функция u(t; y) определяется формулой (1.6). Подобно тому, как при
доказательстве леммы 1 получено выражение (2.6), находим
2
lim v+ (x; y) = r ; (h ;
2
2
x!0+0
y)r2 ;2
Z y
0
'0 (s)s (s + h ; y); F
+ (h ; y)(h ;
h;y 1; ; r2 ; 2 + 1; s + h ; y ds +
y)r2 ;2
;
Z h;y
0
0 (t)tr2 ;2 dt :
(2.8)
С использованием равенства (2.8) аналогично лемме 1 доказывается
Лемма 2. Если u(x; y ) 2 C (G+ ) такова, что u(0; y ) = '(y ) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке , 0 < < h, при этом
u(x; 0) 0, где u(x; 0) определяется формулой (1:5), r2 ; 2 > , то x!lim
v+ (x; ) > 0 (< 0).
0+0
3. Единственность и существование решения задачи
2 для уравнения (1.1)
Задача 2 . На множестве G найти решение u(x; y ) 2 C (G+ \ G; ) уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям (1.3), (1.4) и условию сопряжения
lim v (x; y) = b(y) x!lim
v+ (x; y);
(3.1)
x!0;0 ;
0+0
где b(y) | заданная функция, x!lim
v; (x; y) и x!lim
v+ (x; y) определяются формулами (2.6) и
0;0
0+0
(2.8) соответственно.
15
Теорема 3. Если
b(y) 2 C(0;h), b(y) > 0, r2 ; 2 > и существует решение задачи
2 , то
оно единственное.
Доказательство теоремы проводится методом от противного с применением лемм 1 и 2.
1
Теорема 4. Если функция ! (x) подчиняется условию теоремы 1,
(x) 2 C[0;
h] , (h) = 0,
ri ; i ; > 1, i = 1; 2, b(y) b (b > 0, b | const), то существует единственное решение
задачи 2 .
Доказательство. Принимая во внимание формулы (2.6), (2.8) и условие сопряжения (3.1),
приходим к уравнению относительно неизвестной функции '0 (y)
1
r1 ; 1
; r ;2b (h ; y)r2;2
2
2
yr1 ;1
Z y
0
Z h
y
y
'0 (s)F r1 ; 1 ; ; r1 ; 1 + 1; ds ;
'0 (s)s (s + h ; y); F
1
1
s
h;y 1; ; r2 ; 2 + 1; s + h ; y ds = g(y); (3.2)
Z
0
!0 (t)(;t)r1 ;1 dt +
r1 ; 1 ;y
b2 Z h;y 0 r2 ;2
b2
r
2 ;2
+ r ; (h ; y)(h ; y)
; r ;
(t)t
dt:
2
2
2
2 0
g(y) =
r1 ; 2
!(;y)yr1 ;1 +
Пусть '0 (t) | решение уравнения (3.2). При выполнении условий теоремы обе части этого
тождества продифференцируем по y, применив при этом тождество ([2], с. 111)
d c;1
z (1 ; z )b;c+1 F (a; b; c; z ) = (c ; 1)z c;2 (1 ; z )b;c F (a ; 1; b; c ; 1; z ):
dz
В результате дифференцирования тождества (3.2) придем к уравнению
'0 (y) =
Z h
0
K (y; s) =
'0 (s)K (y; s)ds + f (y);
(3.3)
(
K1 (y; s); 0 s y;
K2 (y; s); y s h;
b2
(
h ; y)r2 ;2 ;1 y; s (s + h ; y); ; K2 (y; s) = ; 1 yr1 ;1 ;;1 (s ; y) s; ;
a(y)
a(y)
b2 ;
h;y
a(y) = ;1 B (r1 ; 1 ; 1 ; )yr1 ;1 ; ;
h (h ; y)r2 ;2 F 1; ; r2 ; 2 + 1;
;
r2 ; 2
h
K1 (y; s) = ;
1 y; [ !(;y)yr1 ;1 ;1 ; b (h ; y)(h ; y)r2 ;1 ;1 ]:
1
2
a(y)
При выполнении условий данной теоремы a(y); f (y) 2 C[0;h], при этом a(y) < 0, y 2 [0; h]. Нетрудно видеть, что K (y; s) | ограниченная функция в [0; h; 0; h] и имеет одну линию конечного
разрыва, т. е. по определению является регулярным ядром ([3], с. 19). В ([3], с. 39{55) доказаны существование и единственность решения уравнения (3.3). Это решение записывается через
резольвенту
f (y) = ;
'0 (y) = f (y) +
Z h
0
R(y; s; 1)f (s)ds;
которую ввиду громоздкости не приводим ([3], с. 54).
Из существования и единственности решения уравнения (3.3) следует существование решения задачи 2 . Теорема 4 доказана.
16
Литература
1. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера{Пуассона{Дарбу.
Учеб. пособие по спецкурсу \Уравнения математической физики". { Куйбышев: Изд-во Куйбышевск. гос. пед. ун-та, 1984. { 80 с.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция.
Функция Лежандра. { М.: Наука, 1965. { 294 с.
3. Привалов И.И. Интегральные уравнения. { М.: Гостехиздат, 1937. { 248 с.
Самарский государственный
Поступила
28.02.2001
педагогический университет
17
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
134 Кб
Теги
типа, уравнения, характеристических, локального, одного, применению, принципы, гиперболическое, экстремума
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа