close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Центральные элементы и инварианты в модулярных алгебрах Ли.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 7 (482)
УДК 512.571
Н.А. КОРЕШКОВ
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ИНВАРИАНТЫ
В МОДУЛЯРНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
В алгебрах Ли над полем нулевой характеристики имеет место следующий результат: кольцо
инвариантов S L симметрической алгебры S (L) алгебры Ли L изоморфно как L-модуль центру
Z (U ) универсальной обертывающей алгебры U (L). В данной работе доказывается некоторый
аналог этого утверждения для модулярных алгебр Ли, определенных над простым полем Fp .
А именно, для некоторого расширения Lb алгебры Ли L показано, что существует изоморфизм
LZ-модулей ! кольца частичных инвариантов SbL симметрической алгебры S (Lb ) и некоторого
подкольца Zb в центре Z (Ub ) универсальной обертывающей алгебры Ub = U (Lb ). (Здесь LZ |
Z-форма алгебры Ли L.) Кроме того, используя то, что кольцо инвариантов S L алгебры L
получается редукцией в характеристику p кольца частичных инвариантов SbL и изоморфизм
!; : Zb ! SbL, имеем равенство S L = Fp Z !; (Zb ).
Пусть L | алгебра Ли, определенная над простым полем Fp , с базисом f ; : : : ; fm, т. е. fi fj =
m
P
dijk fk , dijk 2 Fp , i; j = 1; : : : ; m. Рассмотрим свободный Z-модуль LZ = Ze Zem,
1
1
1
k
1
m
=1
который превратим в антикоммутативную алгебру, полагая ei ej = aijk ek , где aijk 2 Z и
k
1F Z aijk = dijk , 1 i < j m. Если i > j , то положим ei ej = ;ej ei , а ei ei = 0 для i = j .
Тогда Fp Z LZ, рассматриваемая как алгебра над Fp , изоморфна L.
Обозначим через Zb [X ] факторалгебру Z[X ]=pX Z[X ], а через Lb | тензорное произведение
Z-модулей Zb [X ] Z LZ. Tогда Lb является свободным Zb [X ]-модулем c базисом ebi = 1bZX ei ,
P
=1
p
[
i = 1; : : : ; m. Превратим его в алгебру над Zb [X ], полагая ebi ebj = Xb e\
i ej , где e\
i ej =
m
m
P
k
=1
]
aijk ebk ,
если ei ej = aijk ek , i; j = 1; : : : ; m. В дальнейшем через ba будем обозначать 1bZX a для
k
любого a 2 LZ.
Обозначим через J (a; b; c) = (ab)c + (bc)a + (ca)b якобиан трех элементов в любой алгебре.
Тогда в силу условий, определяющих умножение в алгебре LZ, J (ei ; ej ; ek ) 0(mod pLZ). Отсюда
следует, что J (ebi ; ebj ; ebk ) = 0 в Lb , поскольку, с одной стороны, любое произведение (ebr ebs ) ebt
принадлежит Xb Z LZ, а с другой pXb = 0 в Zb [X ]. Поэтому Lb | алгебра Ли, являющаяся
свободным Zb [X ]-модулем ранга m. Будем называть ее Zb [X ]-формой алгебры L.
Заметим, что алгебра L, изоморфная, как отмечено выше, алгебре Fp ZLZ и, рассматриваемая
как кольцо Ли, является гомоморфным образом кольца Ли Lb относительно композиции двух
морфизмов вида
P
[
=1
]
2
b
: Lb ! Fp Z L;
(gb) = 1F Z gb; gb 2 Lb ;
: Fp Z Lb = Fp[X ] Z LZ ! Fp Z LZ = L; (f (x) g) = f (1) g; f (x) 2 Fp [X ]; g 2 LZ:
p
22
Используем некоторые обозначения, связанные с симметрической и универсальной обертывающими алгебрами. Пусть H | алгебра Ли, являющаяся свободным K -модулем, где K |
коммутативное кольцо с единицей. Тензорную алгебру K -модуля H обозначим через T (H ), где
i
z
}|
{
T (H ) = i
T (H ), Ti (H ) = H K K H , при i = 0, T (H ) = K . Тогда симметрическую ал i
гебру S (H ) K -модуля H реализуем как факторалгебру T (H )=IS , где IS | идеал тензорной
алгебры T (H ), порожденный элементами h h0 ; h0 h, h; h0 2 H , а универсальную обертывающую U (H ) | как факторалгебру T (H )=IU , где IU | идеал T (H ), порожденный элементами
h h0 ; h0 h ; h h0 .
Если B = fhi ; i 2 I g | базис K -модуля H , то S (H ) = n Sn, и базис K -модуля Sn состоит
из мономов hr1 hr2 : : : hr , r r rn , hr 2 B . Элемент s, принадлежащий Sn , будем
называть однородным степени n.
В алгебре U (H ) имеется фильтрация, определяемая K -модулями Un (H ), которые порождаются мономами h h : : : hm , m n, hi 2 H . По этой фильтрации строится ассоциированная градуированная алгебра gr U (H ) = n U n (H ), где U n (H ) = Un (H )=Un; (H ), n 0, U; (H ) = 0.
Подалгебру S H (H ) = fs 2 S (H ); Da s = 0 8a 2 H g симметрической алгебры S (H ), где
Da | дифференцирование алгебры S (H ), являющееся продолжением оператора ad a, называют
кольцом инвариантов алгебры H .
Обозначим через Tb, Sb и Ub соответственно тензорную, симметрическую и универсальную
b
b
обертывающую алгебры для Lb . Естественные гомоморфизмы из Tb в Sb = T=I
S и в Ub = T=I
U
обозначим через ' и соответственно. Из вышеприведенных определений следует, что 'n = 'jTb
и n = jTb | это гомоморфизмы Zb [X ]-модулей из Tbn в Sbn и в Ubn . Пусть n | каноническое
отображение из Ubn на Ubn =Ubn; . В силу теоремы Пуанкаре{Биркгоффа-Витта (см. [1]) имеет
место изоморфизм Ubn =Ubn; = Sbn . Поэтому, отождествляя Ubn =Ubn; и Sbn, будем считать, что n
| гомоморфизм Zb [X ]-модулей
из Ubn на Sbn . Кроме того, легко P
убедиться [2], что 'n = n n .
P
b
Поскольку Z[X ] = Z Fp Xb j , то Tb = (Z Z T (LZ)) (Fp Xb j Z T (LZ)), где T (LZ) |
j
j
тензорная алгебра Z-модуля LZ. Более того, т. к. T (LZ) = n Tn (LZ), то Tb = j
Tb , где
n n;j
Tbn;j = Fp Xb j Z Tn (LZ), j 1, а
0
0
0
n
1
1
2
k
2
(
)
(
)
1
0
1
n
n
1
1
1
1
1
0
0
0
Tn; = Z Z Tn(LZ) = i ;:::;i 2I Z(ebi1 Z ebi2 Z Z ebi ); I = f1; 2; : : : ; mg:
1
Рассмотрим Z-подмодуль T n; в Tbn; , порожденный элементами Sym(ebi1 ; : : : ; ebi ), ik 2 I , где
X
Sym(ebi1 ; : : : ; ebi ) =
y y n y e ; r = 1; : : : ; n:
0
n
n
0
0
n
2Sn
n
(1)
(
)
r = ir
Здесь Y = fy ; y ; : : : g | базис свободного Z-модуля Z[Y ] со счетным числом образующих,
произведение yj1 yj | элемент тензорной алгебры T (Z[Y ]), а Sn | симметрическая
группа подстановок n-й степени.
Обозначим через S n; и U n; образы T n; в симметрической и универсальной обертывающей
алгебрах при гомоморфизмах ' и соответственно. Легко видеть, что S n; | свободный Zмодуль с базисом из элементов n!ebi1 ebi2 : : : ebi , i i in , ik 2 I , а гомоморфизм ' задает
изоморфизм Z-модулей T n; и S n; . Ограничение гомоморфизма ' на T n; в дальнейшем будем
обозначать через 'n . Соответственно, ограничение на T n; обозначим через n , а ограничение
на U n; | через n. Поскольку 'n | биекция из T n; на S n; и 'n = n n , то n и n также
биекции.
Пусть La | оператор левого умножения в алгебре LZ, т. е. La b = a b, a; b 2 LZ. Обозначим
через La его продолжение на Lb : La (f (Xb ) b) = f (Xb ) a b, f (Xb ) b 2 Lb . В частности, La (bb) =
1
2
n
0
0
0
0
n
0
1
2
0
0
0
0
0
23
0
ad
b, где bb = 1bZX b 2 Lb . Дифференцирование, продолжающее оператор La на тензорную
алгебру T (Lb ), обозначим через Da . Поскольку
Da (bb cb ; cb bb) = ad
b cb ; cb ad
b + bb ad
c ; cb ad
b 2 IS
при a; b; c 2 LZ, то существует продолжение дифференцирования Da на алгебру Sb, обозначаемое
в дальнейшем Das . Соответственно, для любых a; b; c 2 LZ имеем
Da (bb cb ; cb bb ; bb cb) = Da(bb cb ; cb bb ; Xb bd
c) =
= ad
b cb ; cb ad
b ; Xb ((a\
b) c) + bb (ad
c) ; ad
c bb ; Xb (b \
(a c)) + Xb Jb(a; b; c);
где Jb(a; b; c) = (a\
b) c + (b \
c) a + (c\
a) b. Поскольку Jb(a; b; c) = pdb для некоторого d 2 LZ,
то Xb Jb(a; b; c) = 0 и, следовательно, Da Iu Iu . Поэтому существует продолжение Dau оператора
Da на алгебру Ub .
В силу определения операторов Das и Dau выполняются соотношения Das ' = 'Da , Dau = Da .
n
P
Кроме того, Da T n; T n; , т. к. Da Sym(ebi1 ; : : : ; ebi ) = Sym(ebi1 ; : : : ; a\
ei ; : : : ; ebi ). Следоваj
тельно, Das ' = 'Da , Dau = Da . Поэтому и n согласовано с дифференцированиями Das , Dau :
Das n = n Dau , т. к. n = 'n ;n .
Определим аналоги кольца инвариантов в S n; и в U n; . А именно, положим S Ln; = fc 2 S n; ,
Das c = pc , 9c 2 S n; 8a 2 LZg, U Ln; = fd 2 U n; , Dau d = pd , 9d 2 U n; 8a 2 LZg.
Из согласованности действия операторов Das , Dau с биекцией n следует, что n задает изоморфизм Z-модулей U Ln; и S Ln; . Рассматривая U Ln; и S Ln; как LZ-модули относительно действия
операторов Dau , Das , a 2 LZ, получим, что n задает изоморфизм LZ-модулей.
Заметим, что в алгебре Ub выполняется соотношение Xb ad
b = abbb ; bbab, a; b 2 LZ. СледовательL
но, U n; = fd 2 U n; , [ab; d] = 0 8a 2 LZg. Но элементы ab; a 2 LZ являются образующими алгебры
Ub . Поэтому Zbn = U Ln; содержится в центре Z (Ub ) универсальной обертывающей алгебры Ub .
Как ранее для тензорной алгебры, рассмотрим разложение Sb = n j
Sb , где Sbn;j = Fp Xb j Z
n;j
Sn(LZ), j 1, а Sbn; = Z Z Sn(LZ). Назовем кольцом частичных инвариантов множество SbL =
SbL , где Sbn;L = fsb 2 Sbn; , Das sb = psb , 9sb 2 Sbn; 8a 2 LZg.
n n;
Отображение Z-модулей n : Sbn; ! S n; , определяемое на базисных элементах правилом
n(ebi1 : : : ebi ) = n!ebi1 : : : ebi , i i in, является изоморфизмом Z-модулей и перестановочно с операторами Das . Следовательно, n задает изоморфизм LZ-модулей Sbn;L и S Ln; , а
!n = ;n n | изоморфизм Sbn;L и Zbn . Соответственно, отображение ! = n !n задает изоморP
физм SbL = n Sbn;L и Zb = Zbn .
[
]
0
0
n
j
=1
n
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
n
1
n
1
0
0
2
0
0
1
0
0
0
n
0
0
Итак, доказана
L | алгебра Ли над простым полем Fp , Lb { ее Zb [X ]-форма. Тогда отоbL -кольца частичных инвариантов симметричебражение ! задает изоморфизм LZ-модулей S
b = S (L
b ) и подкольца Z
b в центре Z (U
b ) универсальной обертывающей алгебры
ской алгебры S
b
b
U = U (L).
Укажем теперь на связь между кольцом Zb и кольцом инвариантов S L . Пусть s =
P
i1 ;:::;i fi1 : : : fi , i1 ;:::;i 2 Fp , | однородный степени n элемент, принадлежащий кольцу
i1 ;:::;i 2I
P
инвариантов S L симметрической алгебры S (L). Рассмотрим элемент sb = i1 ;:::;i ebi1 : : : ebi 2
Sbn; , i1 ;:::;i 2 Z, причем 1F i1 ;:::;i = i1 ;:::;i для любого коэффициента i1 ;:::;i , участвующего
Теорема 1. Пусть
0
n
n
n
n
0
0
n
p
n
n
n
n
24
n
в определении элемента s , т. е. 1F sb = s . Более того, sb 2 Sbn;L , т. е. Fp Z Sbn;L = SnL. Обозначим
через b изоморфизм LZ-модулей !; , где ! | введенный выше изоморфизм ! : SbL ! Zb . Тогда
получим следующее утверждение.
b | ее Z
b [X ]-форма. Тогда S L =
Теорема 2. Пусть L | алгебра Ли над простым полем Fp , L
Fp Z bZb , где S L | кольцо инвариантов симметрической алгебры S (L), Zb = P U Ln; | кольцо
n
b = ! ; | изоморфизм
b , содержащееся в центре Z (U
b ), частичных инвариантов алгебры U
0
0
p
0
0
0
0
1
0
0
1
LZ-модулей Zb и SbL.
В качестве примера рассмотрим случай гамильтоновой алгебры H n . Алгебру Ли L = H n
определим как факторалгебру O n кольца многочленов Fp [x ; : : : ; x n ] по идеалу, порожденному
элементами xpi ; 1, i = 1; : : : ; 2n, и умножением
2
2
f g =
n
1
2
2
(@i f )(@n i g) ; (@i g)(@n i f ); f; g 2 O n ;
X
+
i
+
2
=1
@i | продолжение @x@ на O n .
Обозначим через x() = x1 : : : xn2 , 0 i < p, i 2 Z, базисные элементы алгебры H n.
2
i
n
1
2
2
Умножение в выбранном базисе имеет вид
n
x() x( ) =
X
i
di (; )x( + ; i );
=1
i n i
где i = (0; : : : ; 1i ; 0; : : : ; n1 i; : : : ; 0), di (; ) = i (; )1F , i (; ) = i n i , = ( ; : : : ; n ),
= ( ; : : : ; n ), а координаты вектора + ; i вычисляются по модулю p.
Пусть LZ | свободный Z-модуль с базисом e(), 2 P = f = ( ; : : : ; n ), 0 i < p,
i
2 Zg. Превратим его в алгебру над Z, полагая
p
+
1
+
1
2
+
2
1
e() e( ) =
n
X
i
2
i (; )e( + ; i );
=1
где, как и выше, координаты вектора + ; i вычисляются по модулю p.
Обозначим через Mr (a) множество решений сравнения x + x + + xr a(mod p), где a =
(a ; : : : ; a n ) 2 P , xi 2 P , причем два решения ( ; : : : ; r ) и (0 ; : : : ; 0r ) считаем одинаковыми,
если одно получается из другого перестановкой компонент. Это сравнение равносильно системе
сравнений вида
xj + xj + + xjr aj (mod p); j = 1; : : : ; n;
где 0 xji < p, i = 1; : : : ; r, 0 aj < p. P
Рассмотрим элементы wr (a) =
Sym(eb( ); : : : ; eb(r )), r 1. В силу ранее вве1 ;:::; 2M a
денных обозначений wr (a) 2 T r; . Тогда
1
1
2
2
1
1
1
2
1
(
r)
r( )
0
Db wr (a) =
r
1 ;:::;r 2Mr a j
(
n
2
XX
X
)
( )
=1
i
i (b; j ) Sym(eb( ); : : : ; eb(j + b ; i ); : : : ; eb(r )):
1
=1
Если набор (0 ; : : : ; 0r ) такой, что 0j = j + b ; i , 0t = t ; b + i , 0k = k , k 6= j; t, то в
результате применения дифференцирования Db к моному eb(0 ) : : : eb(0r ) получим в качестве одного из слагаемых моном eb( ) : : : eb(j + b ; i ) : : : eb(r ). Объединяя в вышеприведенной формуле
1
1
1
25
симметризаторы с подобными мономами, получим
Db wr (a) =
=
n
2
X
X
1 ;:::;r 2Mr a i
(
)
( )
i (b; + + r + (r ; 1)i )
1
=1
n
r
X
j
Sym(eb( ); : : : ; eb(j + b ; i ); : : : ; eb(r )):
1
=1
Если a (1 ; r)(mod p), где = i , a 2 P , то Db wr (a) = pw , w 2 T r; . Следовательно,
i
sr (a) = 'wr (a) 2 S Lr; , sbr (a) = r sr (a) 2 Sbr;L , 1F Z sbr (a) = sr (a) 2 S L (L), где a (1 ; r)(mod p).
Соответственно, ur (a) = wr (a) 2 U Lr; ZU (Lb ), причем, как показано в теоремах 1 и 2,
;r sr (a) = ur (a) и 1F Z r gr ur (a) = sr (a).
P
1
1
0
=1
1
0
0
!
p
0
1
1
p
!
Литература
1. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. { М.: Мир, 1969. { 375 с.
2. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. { М.: Мир, 1978. { 407 с.
Казанский государственный
Поступили
университет
первый вариант
13:10:1997
27:08:2001
окончательный вариант
26
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
148 Кб
Теги
элементы, модулярных, алгебра, инвариантов, центральной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа