close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Цепи подчинения и их применение к моделированию процесса роста полостей.

код для вставкиСкачать
2006
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (525)
УДК 517.544
Е.А. ШИРОКОВА
ЦЕПИ ПОДЧИНЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
К МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРОЦЕССА РОСТА ПОЛОСТЕЙ
1. Определение и примеры
Цепью подчинения, следуя [1], будем называть однопараметрическое семейство регулярных
в области D C функций fF (z; t)g, z 2 D, t 2 [0; 1], если выполняются следующие условия:
1) z0 2 D, F (z0 ; t0 ) = F (z0 ; t00 ) 8t0 ; t00 2 [0; 1];
2) t1 ; t2 2 [0; 1], t1 < t2 , существует однолистная регулярная в D функция (z ), (z0 ) = z0 ,
(D) D, F (z; t1 ) = F ((z ); t2 ).
а) Пусть D | единичный круг, z0 = 0. Тогда семейство регулярных в единичном круге
функций fF (z; t)g, t 2 [0; 1], с нормировкой F (0; t) = 0, t 2 [0; 1], будет цепью подчинения, если
выполняется условие
0
Re z FFz0 > 0; jz j < 1; t 2 [0; 1];
t
(1)
согласно [2].
б) Пусть D | верхняя полуплоскость, z0 = 1. Тогда семейство регулярных в верхней полуплоскости функций fF (z; t)g, t 2 [0; 1], отображающих верхнюю полуплоскость в себя с нормировкой f (1; t) = 1, t 2 [0; 1], будет цепью подчинения, если выполняется условие
0
Im FFz0 > 0; Im z > 0; t 2 [0; 1];
t
согласно [3], [4].
Очевидно, что \листность" функций семейства с ростом параметра t не может убывать. Поэтому, если F (z; 1) однолистна в D, то однолистными являются все функции семейства, в том
числе и F (z; 0). На этом свойстве цепей подчинения основаны доказательства многих достаточных условий однолистности (напр., [5], [6]).
2. Получение подклассов класса
S
с использованием цепей подчинения
Применим условие последовательного подчинения (1) для получения достаточных условий
однолистности функций, регулярных в единичном круге и имеющих в окрестности нуля разложение f (z ) = z + a2 z 2 + , jz j < 1.
Частным случаем результата из [7] является
Лемма 1. Пусть регулярная при jz j < 1 функция p(z ), Re p(0) > 0, удовлетворяет неравенству
0 Re ap(z ) + z pp((zz)) > 0; jz j < 1; a > 0:
Тогда Re p(z ) > 0, jz j < 1.
49
([8]). Пусть функция f (z ) = z + a2 z 2 + регулярна при jz j < 1. Если существуют такие > 0, 2 R, c > 1 и такая регулярная при jz j < 1 функция f0(z ) = z + b2 z 2 + ,
что
Теорема 1
0
00 Re ( + i ; 1)z ff0 + 1 + z ff00
0
0
и выполняется неравенство
Re z
(f +i )0
cf0+i ; f +i
> 0; jz j < 1;
(2)
> 0; jz j < 1
(3)
(при выборе определенной ветви степени), то f (z ) однолистна при jz j < 1.
Заметим, что для однопараметрического семейства
F (z; t) = [(1 ; t)f (z )+i + tcf0 (z )+i ]1=(+i) ; t 2 [0; 1];
функция F (z; 1) = c1=(+i) f0 (z ) согласно [9] является однолистной спиралеобразной. Для доказательства однолистности f (z ) = F (z; 0) достаточно обеспечить выполнение неравенства (1) при
jzj < 1. В данном случае оно превращается в неравенство
+i 0
+i 0 Re (1 ; t)z (f (z ) ) + tcz (f0 (z ) ) > 0:
Доказательство.
cf0+i ; f +i
cf0+i ; f +i
Для выполнения последнего условия при всех t 2 [0; 1] необходимо и достаточно, чтобы при
jzj < 1 были справедливы неравенства (3) и
(
f0 (z )+i )0
Re z +i +i > 0:
(4)
;f
cf0
Покажем, что условия (2) и (3) обеспечивают выполнение неравенства (4). Обозначим
(f (z )+i )0
p(z )
z +0 i +i =
c
; 1;
cf0 ; f
имеем
(f (z )+i )0
cp(z )
p0
f0
f 00
z +i +i =
+
z ; ( + i ; 1)z 0 + 1 + z 00 :
c;1
p
f
f
cf0
;f
0
0
Следовательно, согласно (2) и (3)
p0
f0
f 00
Re c cp
+
z > Re ( + i ; 1)z 0 + 1 + z 00 > 0; jz j < 1:
;1 p
f0
f0
Применяя лемму 1, получим Re p(z ) > 0, jz j < 1, т. е. неравенство (4) выполняется. Таким образом, изучаемое семейство функций удовлетворяет условию (1), что и доказывает однолистность
всех функций семейства, в том числе и f (z ), jz j < 1.
([8]). Пусть для функции f (z ) = z + a2 z 2 + , регулярной при jz j < 1, и c > 1
справедливо неравенство
Теорема 2
0
f
Re z f ln(cz=f
(z )) > 0; jz j < 1:
Тогда функция f (z ) однолистна при jz j < 1, причем jf (z )j < c.
50
(5)
Доказательство.
Рассмотрим однопараметрическое семейство
cz t
; t 2 [0; 1];
f (z )
где ветвь у степени выбирается так, что ct 2 R+ . Имеем F (z; 0) = f (z ), F (z; 1) = cz . Условие
F (z; t) = f (z )
последовательной подчиненности (1) сводится к неравенству
1
f0
Re t ln(cz=f
+
(1
;
t)z
> 0; jz j < 1:
(z ))
f ln(cz=f (z ))
Последнее неравенство выполняется при всех t 2 [0; 1], если выполняются условия (5) и
Re[ln(cz=f (z ))] > 0; jz j < 1:
(6)
Покажем, что условие (5) обеспечивает выполнение неравенства (6). Действительно, обозначим
p;1 (z ) = ln(cz=f (z ));
тогда (5) запишется
0
Re p + z pp > 0:
Отсюда, применяя лемму 1, убедимся в выполнении условия последовательного подчинения (1),
т. е. в однолистности f (z ). Кроме того, из (6) следует jf (z )j < c, jz j < 1.
3. Получение подклассов класса
С целью дальнейшего применения к моделированию роста полостей в вязких телах рассмотрим семейство бесконечных последовательно вложенных друг в друга односвязных областей Dt , t 2 [0; 1]. Пусть каждая область Dt является образом внешности единичного круга
E ; = f j j > 1g при отображении регулярной при 1 > j j > 1 функцией z = !(; t) с простым
полюсом в бесконечно удаленной точке, непрерывной при j j 1. Будем считать все функции
!(; t) дифференцируемыми по t при всех t 2 [0; 1] и j j 1. Прежде всего, установим, когда при
любых t 2 [0; 1] области Dt однолистны и Dt2 Dt1 при t1 < t2 , t1 ; t2 2 [0; 1].
Рассмотрим семейство функций
1
e ) =
; jej < 1; 2 [0; 1]:
(;
e
;
1
! ( ; 1 ; )
e )
Очевидно, что для образов D0 единичного круга jej < 1 при отображениях функциями (;
справедливо D0 1 D0 2 при 1 < 2 тогда и только тогда, когда Dt2 Dt1 при t1 < t2 . Кроме
того, области D0 будут однолистными тогда и только тогда, когда однолистны Dt . Для вновь
введенного семейства регулярных в единичном круге функций, переводящих нуль в нуль, можно
применить принцип последовательного подчинения П.П. Куфарева [2], использованный в примере a): если для семейства регулярных по e при jej < 1 и дифференцируемых по при 2 [0; 1]
функций (;e ) таких, что (0; ) = 0, справедливо неравенство
0~
e
Re 0 > 0; jej < 1; 2 [0; 1];
e ).
причем функция (;e 1) однолистна, то однолистны все функции семейства (;
Нетрудно проверить справедливость равенства
0~ !0
e 0 = 0 :
!t
51
Таким образом, получили условие однолистности для функций, аналитических при j j > 1 и
с простым полюсом в бесконечно удаленной точке: если функция !(; 0) однолистна и при всех
j j > 1, t 2 [0; 1] выполняется неравенство
!0
Re !0 > 0;
t
(7)
то все функции этого семейства !(; t) однолистны.
В качестве примера рассмотрим получение достаточных условий однолистности функции с
помощью включения ее в параметрическое семейство. Аналогом леммы 1 является
Лемма 2. Пусть функция p( ) аналитична при j j > 1, Re p(1) > 0 и пусть выполняется
неравенство
p0 ( ) Re ap( ) ; p( ) > 0; j j > 1; a > 0:
Тогда справедливо неравенство Re p( ) > 0, j j > 1.
Приведенное утверждение становится очевидным, если заметить, что оно сводится к лемме 1
заменой = 1=z .
Теорема 3. Пусть функция h( ) аналитична при j j > 1 и имеет простой полюс в бесконечности, в окрестности которой справедливо представление h( ) = c + O(1), c > 1. Если
существуют такое > 0 и такая аналитическая при j j > 1 функция h0 ( ), h0 ( ) = + O(1),
с простым полюсом в бесконечности, что
0
Re ( + 1) hh0
0
и выполняется неравенство
;
h000 1 + h0 > 0; j j > 1;
0
0 Re h(hh h;0 h ) > 0; j j > 1;
0
(8)
(9)
то h( ) однолистна при j j > 1.
Доказательство. Для однопараметрического семейства
!(; t) = [(1 ; t)h0 ( ); + th( ); ];1=
неравенство (7) можно записать в виде
h00 h
h0 h0 +
t
> 0:
h0 (h ; h0 )
h(h ; h0 )
Для выполнения последнего условия при всех t 2 [0; 1] необходимо и достаточно, чтобы при всех
j j > 1 были справедливы неравенства (9) и
0 Re h (hh0 h; h ) > 0:
(10)
0
0
Re (1 ; t)
Покажем, что условие (8) совместно с (9) обеспечивают выполнение неравенства (10). Обозначим
h00 h
= p( ):
h0 (h ; h0 )
Функция p( ) аналитична при j j > 1, Re p(1) = c =(c ; 1) > 0. Имеем
h0 h
h0 h00 p0
0 = ;( + 1) 0 + 1 + 00 + p( ) ; :
h(h ; h0 )
h0
h0
p
52
Следовательно, согласно (9) и (8)
0
0
00 Re p ; pp > Re ( + 1) hh0 ; 1 + hh00
0
0
> 0; j j > 1:
Применяя лемму 2, получим Re p( ) > 0; j j > 1, т. е. неравенство (10) выполняется. Таким
образом, изучаемое семейство функций удовлетворяет условию (7). Теперь для доказательства
однолистности всех функций семейства (и функции h( ) в том числе) достаточно показать, что
функция h0 ( ) однолистна при j j > 1.
Для функции p( ) = h00 =h0 неравенство (8) примет вид Re[p( ) ; p0=p] > 0, j j > 1.
Применяя лемму 2, убеждаемся в том, что условие (8) обеспечивает принадлежность функции
h0 ( ) известному классу звездообразных функций | подклассу однолистных функций [10].
Аналогично доказывается
Теорема 4. Пусть функция h( ) аналитична при j j > 1 и имеет простой полюс в бесконечности, в окрестности которой справедливо представление h( ) = c + O(1), c > 1. При
выполнении неравенства
0
Re h h > 0; j j > 1;
h ln (11)
функция h( ) однолистна при j j > 1.
Доказательство.
Рассмотрим однопараметрическое семейство
h( ) t
; t 2 [0; 1];
!(; t) =
где ветвь у степени выбирается так, что ct 2 R+ . Имеем !(; 1) = h( ), !(; 0) = . Условие
последовательной вложимости соответствующих областей (7) сводится к неравенству
0
Re t h h + (1 ; t) 1 h > 0; j j > 1:
h ln ln Это неравенство выполняется при всех t 2 [0; 1], если выполняется условие (11) и неравенство
Re[p( )] > 0; j j > 1;
с p( ) = 1= ln h . Выполнение последнего неравенства обеспечивает условие (11), записанное в
виде
0
Re p ; pp > 0:
Теперь, применяя лемму 2, убеждаемся, что условие последовательного вложения областей (7)
выполняется. В совокупности с однолистностью функции !(; 0) = , j j > 1, это дает однолистность всех функций семейства, в том числе и !(; 1) = h( ).
4. Применение семейств последовательно вложенных областей
для моделирования процесса роста полостей в вязких телах
Рассмотрим плоскую задачу определения напряжений в бесконечном вязком теле с непрерывно расширяющейся полостью. Пусть области, занимаемые телом, представляют собой семейство последовательно вложенных друг в друга областей Dt , t 2 [0; 1], о которых шла речь
53
выше. В [11] задача определения напряжений в таких областях сводится к определению семейств аналитических в E ; с полюсами в 1 функций f (; t) и g(; t) с заданным поведением в
окрестности 1
f (; t) = ;(t) + O(1);
(12)
g(; t) = ;0 (t) + O(1);
где
!0 (1; t)
;(t) = 4 [11 (t)j1 + 22 (t)j1 ];
!0 (1; t)
;0 (t) = 4 [11 (t)j1 ; 22 (t)j1 ]:
В терминах этих функций вектор граничных усилий представим в виде
!(; t) 0
F (; t) = ;i f (; t) + 0
f + g(; t) :
(13)
=exp(i)
! (; t)
Пусть (u;_ v_ ) | вектор скорости материальной частицы. Тогда он имеет следующее представление с использованием введенных функций [11]:
2(u;_ v_ ) = f (; t) ; !0(; t) f0 ; g(; t);
(14)
! (; t)
где 2 | коэффициент сдвиговой вязкости. На границах полостей движение материальной частицы, соответствующее фиксированному значению параметра , с ростом t приведет к получению траектории L = f!(exp(i); t), t 2 [0; 1]g. Следовательно, на границе (u;_ v_ ) = !t0 (; t),
т. е. скорость движения материальной частицы совпадает с кинетической скоростью. Последнее
обеспечивает согласно (14) граничное соотношение
!(; t) 0
0
2!t (exp(i); t) = f (; t) ; 0
f ; g(; t) :
(15)
=exp(i)
! (; t)
Таким образом, если задать параметрическое семейство функций !(; t), !(1; t) = 1,
t 2 [0; 1]; отображающих E ; на семейство последовательно вложенных областей Dt , t 2 [0; 1], и
изменение компонент напряжений в бесконечности 11 (t)j1 , 22 (t)j1 , то из условия (15), аналогичного граничному условию основных задач теории упругости, можно найти функции f (; t),
g(; t). В случае, когда !(; t) | рациональная дробь, нетрудно так же, как в [12], получить
точное решение. Теперь, зная граничные значения функций f (; t), g(; t), легко определить с
помощью (13) те граничные напряжения, при наличии которых и развиваются полости, дополняющие Dt , t 2 [0; 1], до плоскости.
Приведем пример развития полости с гладкой границей в полость с границей, имеющей касп.
Рассмотрим семейство
6 ( + 1)
!(; t) =
(3 ; 1)t + 6 (1 ; t) ; j j > 1; t 2 [0; 1]:
Имеем h0 ( ) !(; 0) = + 1 | однолистная в E ; функция, отображающая внешность единичного круга на плоскость с круговым вырезом, причем
h00 h000 1 > 0; j j > 1:
Re 2 h ; 1 + h0 = Re ;
+
1
0
0
Кроме того, функции h( ) !(; 1) и h0 ( ) связывает соотношение
0
1 > 0; j j > 1:
Re h(hh;h0h ) = Re ;
+
1
0
54
Следовательно, для построенного однопараметрического семейства выполняются условия теоремы 3, и, значит, области, получаемые отображением E ; при помощи функций семейства,
однолистны и последовательно вложены друг в друга. Иначе говоря, полости, дополняющие
эти области до плоскости, имеют простые границы и расширяются с ростом параметра t. Заметим еще, что h0 (1) = 0. Это свидетельствует о наличии каспа на границе области, последней в
семействе. Решим для этого семейства задачу нахождения функций (12) по краевому условию
(15).
В данном случае краевое условие (15) может быть записано в виде
1
Re f ( ) ; f0 (; t) ; g( ) =exp(i) = 12 Re 3 (2 ; t)2 + g0 (; t) =exp(i) ;
Im f ( ) + f0 (; t) + g( ) =exp(i) = 12 Im ; 3 (21; t)2 + g0 (; t) =exp(i) ;
где
[6 ; (3 + 1)t]2 ( + 1)f 0 ( )
f0 (; t) =
;
(6 ; 3t ; t)f(2 + 1)[6 ; (3 + 1)t] ; 3 ( + 1)(2 ; t)g
[2 + 4(2 ; t);1 ] 2 + [1 ; t2 (2 ; t);2 =3] :
g0 (; t) =
[6 ; (3 + 1)t]2
Восстанавливая мероморфные функции по граничным значениям их действительной или мнимой частей, получим
; ; ;0 + C 1 ; 0 ; C ; 0 ;
1
0
+
g
(
;
t
)
+
(;
;
;
)
;
f ( ) ; f0(; t) ; g( ) = 12
3 (2 ; t)2 0
; 0
1 ; 0
0
1
; + ; ; C 1 ; 0 ; C ; 0 ;
f ( ) + f0(; t) + g( ) = 12 ;
+
g0 (; t) + (; + ;0 ) +
2
3 (2 ; t)
; 0
1 ; 0
;
1
где 0 = 6t ; 3. Последние два соотношения дают
;0
; 0
f ( ) = 12g0 (; t) + ; + ; C
1 ; 0 ;
1
g( ) = f ( ) ; f0(; t) ; 12
+
g
(
;
t
)
;
3 (2 ; t)2 0
0
;(; ; ;0) + ; ; ; ; C 1;; 0 + C 1;;0 :
(16)
0
0
Теперь подберем неизвестный пока коэффициент C так, чтобы функция g( ) из (16) была аналитичной, приравнивая нулю коэффициент при ( ; 0 );1 в выражении (16) для g( ).
В результате подсчетов получим
16t(2 ; t)(3 ; t)(2t ; 3)
3t [45(16 ; 20t + 8t2 ; t3 ) +
C= 3
2
[4t (2 ; t) + 3(2t ; 3) (t ; 3)(11t ; 21)] 32(2 ; t)6
0 t2 ;
2
3
+ 6t ; 6t + t ] + ; ; 9(2 ; t)2 : (17)
Теперь вектор граничных усилий в любой точке = exp(i) согласно (13) может быть вычислен
по формуле
4 ei ; 12ig (ei ; t) ; 2i;ei ; i;0 e;i + iC ei ; (6=t ; 3) ;
F (; t) = i
0
(2 ; t)2
1 ; ei (6=t ; 3)
где C из (17).
Рассмотрим случай ; = ;0 = 0, что соответствует отсутствию напряжений в бесконечности.
55
Согласно [13] вектор граничных усилий связан с вектором напряжений (Xn ; Yn ), действующим на границу области со стороны внешней нормали, с помощью соотношения
F 0 (; t)
Xn (; t) + iYn (; t) = 0 i :
(18)
j! (e ; t)j
Проследим за точками на изменяющихся с ростом t контурах, соответствующими значениям
параметров = 0 и = . При = 0 получим с ростом t точки, движущиеся вправо, причем
последняя при t = 1 становится вершиной каспа. При = имеем точки, остающиеся на месте
с ростом t. Нетрудно заметить, что Yn (0; t) Yn (; t) 0, t 2 [0; 1]. Учитывая, что !0 (1; 1) = 0,
а значит, lim
X (0; t) = 1 согласно (18), сделаем вывод о том, что процесс образования каспа
t!1 n
так же, как в случае упругих тел, связан с обращением в бесконечность компоненты вектора
напряжений.
Литература
 die Subordination analytischer Funktionen // J. Reine und Angew. Math. {
1. Pommerenke C. Uber
1965. { Є 218. { P. 159{173.
2. Куфарев П.П. Теорема о решениях одного дифференциального уравнения // Учен. зап. ТГУ.
Изд-во ТГУ. { Томск, 1947. { Є 5. { С. 20{21.
3. Широкова Е.А. О применении метода площадей к построению параметрических семейств
однолистных функций. { Казан. ун-т. { Казань, 1977. { 16 с. { Деп. в ВИНИТИ 5.05.1977,
Є 1792-77.
4. Куфарев П.П., Соболев В.В., Спорышева Л.В. Об одном методе исследования экстремальных задач для функций, однолистных в полуплоскости // Тр. ТГУ. Изд-во ТГУ. { Томск,
1968. { Є 200. { С. 142{164.
5. Becker J. Lownersche Dierentialgleichung und quasikonform fortsetzbare schlicht Funktionen //
J. Reine und Angew. Math. { 1972. { Є 255. { P. 23{43.
6. Базилевич И.Е. Об одном случае интегрируемости в квадратурах уравнения Левнера{
Куфарева // Матем. сб. { 1955. { Т. 37. { Є 3. { С. 471{476.
7. Eenigenburg P.T., Miller S.S., Mocanu P.T., Reade M.O. On a Briot{Bouquet dierential
subordination // Rev. Roum. math. pures et appl. { 1984. { V. 29. { Є 7. { P. 567{573.
8. Широкова Е.А. О расширении подкласса функций Базилевича и о свойствах интеграла Бернарди. { Казан. ун-т. { Казань, 1977. { 8 с. { Деп. в ВИНИТИ 12.09.1977, Є 3623-77.
9. Eenigenburg P.T., Miller S.S., Mocanu P.T., Reade M.O. On a subclass of Bazilevic functions //
Proc. Amer. Math. Soc. { 1974. { V. 45. { Є 1. { P. 88{93.
10. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // УМН. { 1975. { Т. 30. { Вып. 4. { С. 3{60.
11. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. { М.: Наука, 1974. { 640 с.
12. Shirokova E.A., Ivan'shin N.A. The exact solution of the plane elasticity problems for the airfoil
crack with two cusps // Mech. Res. Com. { 1998. { V. 25. { Є 2. { P. 179{182.
13. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.
Основные уравнения. Плоская теория упругости. Кручения и изгиб. { М.: Наука, 1966. {
707 с.
Казанский государственный
университет
Поступила
04.02.2004
56
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
165 Кб
Теги
моделирование, процесс, применению, роста, полостей, подчинения, цепи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа