close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численное исследование задачи перевода космического аппарата на круговой орбите.

код для вставкиСкачать
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
УДК 629.197.2
О. К. Дударев, В. А. Охорзин
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ
ПЕРЕВОДА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
Приводятся результаты численного исследования задачи перевода космического аппарата на круговой орбите. Для решения задачи используется метод моментов Н. Н. Красовского. В ходе исследования получены следующие результаты: множество компромисса между расходом топлива и временем быстродействия; зависимости времени быстродействия от различных начальных отклонений по углу, эксцентриситету и периоду обращения. Результаты расчетов обработаны, и выведены простые зависимости для оценки минимально необходимого
времени управления в задаче перевода.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы для всех
векторов о = (о1 , о 2 ,..., о n ) выполнялось неравенство
Рассмотрим следующую задачу терминального управления динамической системой, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
?о ?
dx
= f ( x, u ), x(0) = x 0 , x(T ) = x k , x ? R m ,
dt
u ? R n , u ?U , t ? [0, T ] .
i
i =0
1
u n (t ) =
лn
i
n
i
?о
s?
dt )
i
s ? ?1
0
i
g i (t )
1
s?
.
(4)
g i (t ),
(5)
n
sign
i =0
?о
0
i
i =0
s?
n
?о
0 i =0
0
i
g i (t ) dt ,
(6)
а вектор о и число л n определяют по результату решения
следующей задачи: найти
(2)
tk
min ?
?
n
? о g (t )
0 i =0
i
i
s?
tk
dt = ?
s?
n
?о
0
i
0 i =0
при условии
n
?о л
i
i =0
g i (t ) dt = л n ? l ?s?
= 1.
i
(7)
(8)
Применение этого результата к решению терминальной задачи управления в системе с постоянными параметрами
.
x = Ax + Bu, x (0) = x0 , x (T ) = xk
(9)
основано на представлении движения линейной системы по формуле Коши:
tk
? x0 + e ? Atk xk = ? e ? A? Bu (?)d? .
(10)
0
Тогда вектор моментов вычисляют по начальным и
конечным условиям:
(11)
б = ? x0 + e ? At xk ,
в случае перевода в начало координат б = ? x0 . Векторы –
функции
(12)
G (?) = e ? A? B
являются собственными функциями динамической системы и представляют собой столбцы матрицы (12).
Уравнение (9) можно рассматривать как линейную
операцию
k
tk
ц u (h(ф)) = ? hT ( ф)u ( ф)dф ,
(13)
0
порожденную функцией u ( ф) в линейном пространстве ?{h( ф)} с нормой линейной операции с[ц u h(ф)] в сопряженном пространстве ?? {u ( ф)}. Норму с[ц u h( ф)] находят по условию максимума:
tk
n
? о g (t )
n
лn = ?
?0 1 0 0 ?
?0 0?
?3 0 2 0?
?
?
? , B = ?0 1? , x – отклонение
где A = ?
?1 0 ? 1
?0 ? 2 0 0 ?
?
?
?
?
?0 0?
?0 0 1 0 ?
от круговой орбиты по радиусу; x2 – отклонение по радиальной скорости; x3 – отклонение по угловой скорости; x4 – отклонение по углу; u1 – трансверсальное ускорение; u 2 – радиальное ускорение; u m – предельное значение ускорений. Все переменные – безразмерные, за
единицу длины принята высота геостационарной орбиты Rc = 42 164 км, за единицу времени взят период обращения КА на геостационарной орбите T = 24 ч.
Метод моментов Н. Н. Красовского является одним
из эффективных методов решения терминальной задачи
оптимального управления линейной динамической системой. Его преимущества связаны с тем, что решение
задачи сводится к минимизации выпуклой функции, размерность которой равна размерности уравнений движения, в результате чего не возникает необходимости решать краевую задачу, как в принципе максимума, или
иметь задачу большей размерности, как в методах параметрической оптимизации. Для решения задачи управления с помощью этого метода требуется лишь знание
собственных функций управляемой системы.
Суть проблемы моментов состоит в следующем. Пусть
даны n линейно-независимых функций g i (t ) , не равный
нулю вектор моментов б i , i = 1, 2, ..., n , функции u (t ) и число l > 0. Требуется найти условия существования функции
1 1
u n (t ) ? Ls (0, t k ) , + = 1 ,1 ? s ? ? , удовлетворяющей усs s?
ловиям
i
n
0 i =0
tk
х& = Ax + Bu, x (0) = x 0 , x(T ) = x k , x ? R 4 ,
? g (t )u (t )dt = б , i = 1, 2, ..., n, u (t ) ? l .
? l (?
i
Тогда
(1)
Линеаризация уравнений в окрестности круговой
орбиты дает следующую систему линейных дифференциальных уравнений [1]:
u ? R1 , u ? u m , t ?[0, T ] ,
tk
n
tk
(3)
с[h(ф)] = max ? hT ( ф)u (ф)dф .
u
0
35
0
(14)
Математика, механика, информатика
Для пространства Ls в (5) сопряженная норма равна
L . В других случаях ее нужно определять по условию
(14). В данной работе рассмотрены интенсивности управления ч (u ) и сопряженной нормы с[h( ф)] [2] (см. таблицу).
следованы зависимости времени быстродействия от различных начальных отклонений по углу от р 18 до 2р , по
эксцентриситету от 0,005 до 0,2 и по периоду обращения
0…3 600 с. Результаты расчетов были обработаны методом наименьших квадратов для определения простых зависимостей с целью оценки минимально необходимого
времени управления в задаче перевода. Полученные зависимости для начального угла и соответствие оценки по
??
формуле T = 1,15 ?
, где ?? – начальное отклонение по
um
углу; Т – время быстродействия, в сут. приведены на рис. 3.
s?
Ограничен модуль ускорения и моторное время
1
max ? | h (? ) | d?
6
max{ sup | u (? ) |, ? ? | u (? ) | d? }
0 ?? ?6
0
?
?
Ограничен модуль произвольно направленного ускорения и моторное время
6
H
2
H
1
max{ sup ? u E2 (? ), ? ? (? u E2 (? )) 2 d? }
0 ?? ?6 E =1
0 E =1
H
1
max ? (? u E2 (? )) 2 d?
?
?
E =1
при ? (?) = min ( 1 , T )
?
??[ 0 ,6 ]
Пусть в управляемой системе, описываемой (2), выб*
рана интенсивность ч 2 [u ] и определена норма с 2 [u ]
функции u (t ). Необходимо найти оптимальное управление u 0 (t ), переводящее систему из x 0 в x k с минимальной интенсивностью ч[u ].
Задача имеет решение, если существует число
с 0 [h 0 (ф)] > 0, где h 0 ( ф) – минимальная функция.Тогда
интенсивность управления ч[u 0 ] = 1 / с 0 и принцип максимума формулируется следующим образом:
Рис. 1
Т
Т
0
0
T 0
T
? [ h ( ф)] u ( ф) dф = max ? [ h ( ф)] u ( ф) dф,
0
0
u
где h 0 ( ф) – решение задачи на условный экстремум:
m
m
min с[h] = min с [? о i g i (ф)] = с ?? о i0 g i (ф)? = с[h 0 ] = с 0 ,
??i =1
??
о
о
i =1
m
при ? о i xi0 = ?1.
(15)
i =1
В случае отсутствия ограничений на расход топлива
оптимальное управление имеет следующий вид:
u (t ) =
1
m
? sign (h 0 (t )), h 0 (t ) = ? о i0 ? g i (t ).
с
i =1
0
(16)
Если ограничен модуль ускорения и время работы
1
двигателей величиной = Ta , то
л
T
ч[u ] = max{ sup | u ( ф) |, л ? | u ( ф) | dф},
0? ф?T
Рис. 2
0
с[h] = max ? | h( ф) | dф,
?
?
где ? – система отрезков на оси [0, T ] суммарной длиной ?.
Решение задачи предельного быстродействия определится по условию
с 0 (T ) =
1
.
um
(17)
Документ MathCAD (рис. 1) иллюстрирует решение задачи быстродействия для перевода КА, находящегося на геостационарной орбите, на угол р 12 рад, с управляющим
ускорением u = 0,001 и временем активного полета Ta = 10 .
Правый график получен путем численного интегрирования уравнений движения КА в ньютоновском поле (1) при
управлении из левого графика, полученного по результатам решения задачи моментов (17). Точность перевода характеризует достаточную точность линейной модели (2) в
задаче размещения КА на стационарной орбите.
В следующем документе MathCAD (рис. 2) показано
множество компромисса между расходом топлива и временем быстродействия для перевода КА на угол 15°.
Для исследования предельных по быстродействию
характеристик в задаче перевода КА были численно ис-
Рис. 3
36
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
Для оценки минимально необходимого времени перевода от начального эксцентриситета получена формула
(0,7 ? e + 38,6 ? e 4 )
T=
, а для начального отклонения по пеum
( ?T ? ?T 2 )
, коториоду обращения – формула T = 0,936
um
рая соответствует начальной орбите ниже геостационар(? ?T + ?T 2 )
ной, и формула T = 0,702
, адекватная орбиum
те выше геостационарной.
Библиографический список
1. Красовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский. М.: Наука, 1971.
2. Охорзин, В. А. Оптимальный по быстродействию
перевод ИСЗ на околокруговой орбите с трансверсальной
малой тягой / В. А. Охорзин // КИ. 1985. Т. ХХII. Вып. 6.
3. Охорзин, В. А. Векторная оптимизация в динамических системах управления / В. А. Охорзин, О. К. Дударев // Вестник Сибирской аэрокосмической академии
имени академика М. Ф. Решетнева: сб. науч. тр. / под ред.
проф. Г. П. Белякова / САА. Вып.1. Красноярск, 2000. С.
234–247.
O. K. Dudarev, V. A. Okhorzin
NUMERICAL RESEARCH OF THE SPACE VEHICLE TRANSFER PROBLEM
IN CIRCULAR ORBIT
There are results of numerical research of the space vehicle transfer problem in circular orbit in the article. For the
solution of a problem the method of the moments of N.N.Krasovsky is used. During research following results are
received: set of the compromise between propellant consumption and time of response; relations of time of response to
various initial deviations on an angle, an eccentricity and cycle time. Results of calculations are processed and deduced
simple relations for an estimation of minimally necessary time of control in a problem of transfer.
37
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
206 Кб
Теги
орбите, перевод, аппарата, круговой, исследование, задачи, космическое, численного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа