close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численное решение задачи теплообмена при поперечном контакте фаз.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. ПИЩЕВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ, № 2−3, 2009
104
2
Kemerovo State University,
6, Krasnaya st., Kemerovo, 650043; fax: (384-2) 58-38-85, e-mail: inter@kemsu.ru
Technological system of plant extract production quality estimation methods has been proposed on basis of analytic hierarchy
process and fuzzy-set theory enabled to receive components production quality quantitative estimation without directly
quantitative terms.
Key words: extracts, quality estimation, technological system, hierarchy, decomposition, hierarchical synthesis, variegated
data.
66.061/542.61
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА
ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ КОНТАКТЕ ФАЗ
В.С. КОСАЧЕВ, Е.П. КОШЕВОЙ, А.Н. МИХНЕВИЧ, Н.А. МИРОНОВ
Кубан ский государ ственный технологический университет,
350072, г. Крас нодар, ул. Мос ков ская, 2; электрон ная поч та: intrel@kubstu.ru
Представлено обоснование численного решения дифференциальных уравнений описания теп лообмена при поперечном контакте фаз. Точность численного решения оценена сравнением его с аналитиче ским решением. Для достижения
приемлемой для техни че ских расчетов точно сти достаточно иметь 256 узлов по каждой координате разно стной схемы.
В этом случае средняя ошибка аппроксимации составит 0,1%, а величи на максимального отклонения численного ре шения от аналитиче ского – менее 0,4%.
Ключевые слова: те плообмен, поперечный контакт фаз, диффе ренци альные уравнения, чис ленное решение.
Для моделирования теплообмена при ступенчатом
и циклическом контакте фаз необходимо получить решение при исходном неравномерном распределе нии
температур. При исходном равномерном распределении температур возможно аналитиче ское решение [1],
которое с учетом уточнения [2] может использоваться
как эталонное при разработке численного решения.
Представим значения производных для температуры T1 выражения (11) из [1] в виде разностных схем:
 2T1 T1 T1
 0,


b
ab a
где a 
kY

M1 C p1
xи b
kX

(1)
y – переменные; k – коэффициент теп -
M2 Cp2


лопе редачи; x, y – на правления потоков; X, Y – координаты; M 1 , M 2 –
массовые расходы потоков; C p1, C p 2 – тепло емкости потоков.
В этом случае производные, входящие в это выражение, могут быть представлены через центральные
разности следующего вида:
d2
1
T1 a , b 
dadb
4 h2
T1a  1,b  1  T1a  1,b 1 
;

 T1a 1 ,b  1  T1a 1,b 1 
(2)
d
1
T1 (a, b ) 
(T1
 T1a1 , b );
da
2 h a 1 , b
(3)
d
1
T1 (a, b ) 
(T1
 T1a ,b 1 ).
da
2 h a ,b 1
(4)
Аналогичные аппроксима ции мо гут быть получены и на основе правых разностей:
d2
1
T1 (a, b )  2
dadb
h
T1 a 1 , b 1  T1a 1, b 
;


 T1

T

1a ,b

a ,b 1
(5)
1
d
T1 ( a , b )  (T1a 1 , b  T1a1 , b );
da
h
(6)
d
1
T1 ( a, b )  (T1a ,b 1  T1a ,b 1 ).
da
h
(7)
Используем представленные соотношения для численного интегрирования дифференциального уравнения (1). Начальная точка интегрирования разностной
схемы соответствует координатам сетки (a = 0) и
(b = 0). Для этой угловой точки уравнение (1) для безразмерной температуры примет вид

 1 Θ1a  1 , b  1  Θ1a  1 , b  Θ1a , b  1 K
K  0




 h 2  Θ1

a ,b





1


Θ
1
Θ
1
K



a
,
b


a  1 ,b

 h

 1
 Θ1a , b  1  Θ1a , b 


 h




1

 2 Θ11 , 1  Θ11 , 0  Θ10 , 1  Θ10, 0 K  0
h



1

  Θ11 , 0  Θ10 , 0 K

 h

 1

 Θ10, 1  Θ10 , 0 

 h



Смешанная производная по жидкой фазе в этой точке равна 1, первая производная по (b) рав на 0, а сама
функция 1. После подстановки этих значений в разностную схему этой точки имеем:
1
h2
Θ11,1  Θ11,0  Θ11, 0  1  0.
1
h
(8)
ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. ПИЩЕВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ, № 2−3, 2009
105
Из полученных соотношений выражаем значение
Θ11,1  1 h  h 2 
функции в точке (a = h) и (b = 0), что соответствует уз-

лу сетки Θ11,0:
1
1
Θ11,1  Θ11 ,0  Θ11,0 1  0 substitute,
2
h
h
1
1
Θ11,1  Θ11 ,0   1 1 Θ11,0 1  0 solve,
2
h
h
Θ11,0  h  1,
1
 Θ11,2  h 1 h 2 
h2
1
h  h 2   0 solve,
h
Θ11,2  h  1 2 h  h .
2
3
(13)
Это позволяет получить значения искомой функции
в следующих точках численного интегрирования:
Θ10,0  1; Θ10,1  1; Θ10,2  1; Θ11,0  1h;
(9)
Θ11,1  1 h  h ; Θ11,2  1 h  2 h  h .
2
и, с учетом найденного значения, в точке (a = h) и
(b = h), что соответствует узлу сетки Θ11,1:
2
3
(14)
Аналогичные выкладки дают возможность получить значения функции вдоль слоя по оси (b = h) для
очередного узла:
1
1
Θ11,1  Θ11,0  Θ11,0 1  0 substitute,
2
h
h
Θ10,0  1; Θ10,1  1; Θ10,2  1; Θ10,3  1; Θ11,0  1 h;
Θ11,0  1 h  h  1 solve,
Θ11,1  1 h  h 2 ; Θ11,2  1 h  2 h 2  h 3 ;
1
1
Θ11,1  2 Θ11,2  h  1 h 2  h  h 2  0. (10)
h
h
Таким образом, получим все значения функции в
Θ11,3  1 h  3 h 2  3h 3  h 4 .
Продолжая, получим
Θ10,0  1; Θ10,1  1; Θ10,2  1; Θ10,3  1; Θ10,4  1;
точках правой 4-точечной раз ностной схемы:
Θ10,0  1; Θ10,1  1; Θ11,0  1 h; Θ11,1  1 h  h 2 .(11)
Θ11,0  1 h; Θ11,1  1 h  h 2 ; Θ11,2  1 h  2 h 2  h 3 ;
Используем полученные значения для перехода в
Θ11,3  1 h  3 h 2  3h 3  h 4 ;
Θ11,4  h  1 4 h 2  6 h 3  4 h 4  h 5 .
точку (a = 0) и (b = h), что соответствует узлу сетки
Θ10,1:
Проведем оценку полученных значений при численном решении с шагом интегрирования h = 0,25,
сравнивая их с данными аналитического решения.
Связь между Θ1 и Θ2 можно определить из уравнений
(36) и (37) из работы [1], она имеет следующий вид:

 1 Θ1a  1 , b  1  Θ1a  1 , b  Θ1a , b  1 K
K  0
 


 h 2 Θ1
a ,b


 



 1 Θ1
1
Θ
K



a ,b


a 1, b
h



 1

 Θ1a , b  1  Θ1a , b 

 h



Θ2  Θ1e
дущих соотношений получим следующую разностную
схему:
(12)
Выра жая неизвестные значения функции в новых
1
1
Θ11,2  Θ11,1  Θ11,1  1  0 substitute,
2
h
h
N
Таблица
После подстановки граничных значений из преды-
узлах сетки из ранее найденных, получим
 ab
.

2
N  0  N !

Как видно из представленных данных (таблица),
численное решение несколько отличается от аналитической модели. Это объясняется достаточно большой
величиной выбранного шага интегрирования h, который при уменьшении должен приводить к снижению
ошибки разно стной схемы.
 1

 2 Θ11 ,2  Θ11 , 1  Θ10, 2  Θ10, 1 K  0
h



1

  Θ11 , 1  Θ10 , 1 K

h


 1

 Θ10 , 2  Θ10 , 1 

 h



1
1
Θ11, 2  Θ11,1  Θ11,1 1  0.
h
h2
 a  b 
Θ2анал(a,
числ
Значение
а
b=0
b = 0,25
b = 0,5
b = 0,75
0
1/1
1/1
1/1
1/1
1/1
0,25
0,779
0,750
0,823
0,813
0,858
0,859
0,886
0,895
0,908
0,921
b)/Θ2
(a, b)
B=1
Для определения зависимо сти ошибки разностной
схемы от величины шага был проведен расчет невязок
разностной схемы по сравнению с этой величиной.
Схема проверки представля ет собой расчет производных в узлах сетки по аналитической модели и по 4-точечной разно стной аппроксимации с последующим
вычислением абсолютных отклонений этих производных от дифференциального уравнения (1). Расчеты
ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. ПИЩЕВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ, № 2−3, 2009
106
1
for a  0..  1
h
1
for b  0..  1
h
1
era,b  2 Θ1a 1,b 1  Θ1a1,b  Θ1a,b 1 K K
Err :
(16)
h
1
  Θ1a 1,b  Θ1a,b K
h
1
  Θ1a,b 1  Θ1a,b 
h
er
Таким образом, выбранная 4-точечная схема позвопроизводились в среде MathCAD и оформлены в виде
программных модулей (15) и (16).
Вычисляя среднюю абсолютную невязку по мат рице ошибок (Err), задаваемой блоком (16), получили зависимость средней ошибки аппроксимации 4-точечной разностной схемы от значения шага интегрирования (рисунок). Данные, представленные на графике,
показыва ют, что для достижения приемлемой для технических расчетов точности достаточно иметь 256 узлов по каждой координате разностной схемы. В этом
случае средняя ошибка аппроксимации составит 0,1%,
а величина максимального отклонения разностной
схемы от аналитического решения не превышает 0,4%.

1
for i  0..
h

1

Θ1:   for j  0..
h

Θ1a i  h , j  h , 7
mt


i,j

mt
ляет аппроксимировать исходное дифференциальное
уравнение с достаточной точностью.
ВЫВОД
Разработано численное решение уравнения теплообмена при поперечном контакте фаз.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Hoffman A. Theoretical solution for the
cross-flow heat exchanger // Heat and Mass Transfer. –
2000. – 36. – P. 127–133.
2. Косачев В.С., Кошевой Е.П., Михневич
А.Н., Миронов Н.А. Зависимо сти для описания тепло-
(15)
обмена в слое // Изв. вузов. Пищевая технология. –
2008. – № 2–3. – С. 80–82.
Поступила 02.07.08 г.
NUMERICAL DECISION OF THE PROBLEM OF HEAT
EXCHANGE AT CROSS-SECTION CONTACT OF PHASES
V.S. KOSACHEV, E.P. KOSHEVOY, A.N. MIKHNEVICH, N.А. МIRONOV
Kuban State Technologycal University,
2, Moskovskaya st., Krasnodar, 350072; e-mail: intrel@kubstu.ru
The substantiation of the numerical decision of the differential equations of the description of heat exchange is submitted at
cross-section contact of phases. Accuracy of the numerical decision have estimated, having compared it with the analytical
decision. For achievement of accuracy comprehensible to technical calculations it is enough to have 256 units on each
coordinate разно стной circuits. In this case the average mistake of approximation will make 0,1 %, and the size of the maximal
deviation numerical decision from the analytical decision will not exceed 0,4%.
Key words: heat exchange, cross-section contact of phases, differential equations, numerical decision.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
133 Кб
Теги
контакты, теплообмена, решение, фаз, задачи, поперечно, численного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа