close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численное решение систем уравнений леонтьевского типа.

код для вставкиСкачать
2003
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (495)
УДК 517.983
Г.А. СВИРИДЮК, С.В. БРЫЧЕВ
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА
Пусть L и M | квадратные матрицы порядка n. Линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
Lu_ = Mu + f
(0.1)
будем называть системой леонтьевского типа, если det L = 0, а det M 6= 0. Название обусловлено тем обстоятельством, что при некоторых дополнительных условиях система (0.1) моделирует
межотраслевую экономику \затраты{выпуск" с учетом запасов [1]. Нас интересует численное
решение задачи Коши
u(0) = u0
(0.2)
для системы (0.1).
Необходимо отметить, что уже сейчас существуют численные алгоритмы решения систем вида (0.1), реализованные в виде программного продукта для ЕС ЭВМ [2]. Однако они очень сложны и труднодоступны. Существующие достаточно простые и надежные алгоритмы [3] пригодны
только в случае det L 6= 0. Наш подход основан на результатах для относительно p-радиальных
операторов и порождаемых ими вырожденных сильно непрерывных полугрупп. Основы этой
теории были заложены в [4], а затем развиты в [5], [6].
В статье строится численный алгоритм для решения задачи (0.1), (0.2), который используется для изучения примера Леонтьева из [1].
Все рассмотрения будут проводиться в вещественных пространствах, но при изучении спектральных вопросов вводится их естественная комплексификация. Все контуры ограничивают
области, лежащие слева при движении против часовой стрелки. Символы I и O обозначают
соответственно единичный и нулевой операторы, области определения которых ясны из контекста.
1. Аналитическое решение задачи Коши
Следуя [7], рассмотрим L-резольвентное множество
L(M ) = f 2 C : det(L ; M ) 6= 0g
и L-спектр L (M ) = C n L (M ) матрицы M . Нетрудно показать [7], что либо L (M ) = ;, либо
L-спектр матрицы M состоит из конечного множества точек. Кроме того, заметим, что множества L(M ) и L (M ) не изменяются при переходе к другим базисам. Поэтому изложение удобно
вести на языке теории линейных операторов.
Пусть U и F | конечномерные линеалы, U = F = Rn ; линейные операторы L; M : U ! F.
L
Определение 1.1. Оператор M называется L-регулярным, если (M ) 6= ;.
Работа выполнена при частичной поддержке Министерства образования Российской Федерации, шифр
PD02-1.1.-82.
46
Замечание 1.1. Нетрудно видеть, что L-регулярный оператор M является (L; )-ограниченным оператором, причем точка 1 является несущественной особой точкой L-резольвенты
L ; M оператора M [7]. Поэтому оператор M будет сильно (L; p)-радиальным, где число
p 2 f0g [ N указывает порядок полюса в точке 1 L-резольвенты оператора M [5]. При этом
устранимая особая точка считается полюсом порядка нуль.
Замечание 1.2. Если в системе (0.1) det M = 0 и оператор M L-регулярен, то подстановкой
u = et v, где 2 L(M ), систему (0.1) нетрудно привести к системе леонтьевского типа.
Лемма 1.1 ([7]). Пусть оператор M L-регулярен. Тогда интегралы
Z
Z
P = 21i RL (M )d; Q = 21i LL (M )d
(1.1)
;
;
задают проекторы P : U ! U, Q : F ! F.
Здесь замкнутый контур ; C ограничивает область, содержащую L (M ), а RL (M ) = (L ;
;
M ) 1 L и LL(M ) = L(L ; M );1 называются соответственно правой и левой L-резольвентами
оператора M .
Положим ker P = U0 , Im P = U1 , ker Q = F0 , Im Q = F1. Через Lk (Mk ) обозначим сужение
оператора L (M ) на Uk , k = 0; 1.
Теорема 1.1 ([7]). Пусть оператор M L-регулярен. Тогда
(i) операторы Lk ; Mk : Uk ! Fk , k = 0; 1;
(ii) существуют операторы M0;1 : F0 ! U0 , L;1 1 : F1 ! U1 .
Пусть вектор f 2 F, а оператор M L-регулярен. Как нетрудно видеть, множество
Mf = fu 2 U : (I ; Q)(Mu + f ) = 0g
образует аффинное многообразие в пространстве U, причем
u 2 Mf , u0 = ;M0;1 f 0 ;
где u0 2 U0 , а f 0 2 F0.
Теорема 1.2 ([7]). Пусть оператор M
L-регулярен, тогда для любых векторов f 2 F и
u0 2 Mf существует единственное решение задачи (0:1), (0:2), которое имеет вид
Zt
u(t) = ;M0;1f 0 + U tu0 + Rsfds; t 2 R:
0
Здесь
Z
;C
Z
U t = 21i RL(M )et d; Rt = 21i (L ; M );1 et d;
;
;
(1.2)
1:1.
t
0
Замечание 1.3. Семейство fU : t 2 R g образует аналитическую группу с единицей U = P .
Проектор Q будет единицей для другой аналитической группы
Z
1
t
F = 2i LL (M )et d;
(1.3)
;
а контур
такой же, как в лемме
которая понадобится в дальнейшем.
Замечание 1.4. Как нетрудно убедиться, решение u(t) 2 Mf при всех t 2 R . Поэтому множество Mf носит название фазового пространства системы (0.1) [7].
В дальнейшем потребуется один результат из теории матриц [8].
47
Определение 1.2. Матричный пучок L ; M называется регулярным, если существует число 2 C такое, что det(L ; M ) 6= 0.
L ; M регулярен. Тогда существуют такие неA и B порядка n, что
A(L ; M )B = diagfNn1 ; Nn2 ; : : : ; Nnk ; Il ; Sl g;
где N = G ; I , G | жорданова клетка порядка , n1 + n2 + + nk + l = n, 2 C .
Замечание 1.5. Как нетрудно видеть, пучок L ; M регулярен точно тогда, когда оператор
M L-регулярен.
Теорема 1.3. Пусть матричный пучок
особенные матрицы
2. Алгоритм решения задачи Коши
Пусть U и F | конечномерные линеалы, dim U = dim F; операторы L; M : U ! F, причем
оператор M L-регулярен. Пусть точки q 2 L (M ), q = 0; 1; : : : ; p. Оператор-функции
p
p
Y
Y
L
L
L
R(;p) (M ) = Rq (M ); L(;p) (M ) = LLq (M )
q=0
q=0
называются соответственно правой p-резольвентой и левой p-резольвентой оператора M относительно оператора L (по-другому, правой (L; p)-резольвентой и левой (L; p)-резольвентой
оператора M ).
L
L
Теорема 2.1 ([5]). Пусть точки q ; q 2 (M ), q = 0; 1; : : : ; p. Тогда Im R(;p) (M ) =
L
L
L
Im R(;p) (M ), Im L(;p) (M ) = Im L(;p) (M ).
Напомним, что в случае L-регулярности оператора M в точке 1 может быть только полюс
порядка p 2 f0g [ N L-резольвенты оператора M .
Теорема 2.2. Пусть
p | порядок полюса L-резольвенты оператора M
в точке
1
. Тогда
(i) ker R(L;p) (M ) Im R(L;p) (M ) = U;
(ii) ker LL(;p) (M ) Im LL(;p) (M ) = F.
Доказательство. (i) В силу теоремы 2.1 доказательство достаточно провести для некоторого числа 2 L (M ). Из теоремы 1.3 получаем
(RL (M ))p+1 = B fO n1 ; O n2 ; : : : ; O nk ; (Il ; Sl );(p+1) gB ;1 :
Отсюда
dim ker(RL (M ))p+1 = dim ker R(L;p) (M ) = n1 + n2 + + nk ;
dim Im(RL (M ))p+1 = dim Im R(L;p) (M ) = l;
причем l + n1 + n2 + + nk = n.
(ii) Доказывается аналогично.
Положим ker R(L;p) (M ) = U0, Im R(L;p) (M ) = U1 , ker LL(;p) (M ) = F0 , Im LL(;p) (M ) = F1 , где p
| порядок полюса в точке 1 L-резольвенты оператора M . Обозначим через Lk (Mk ) сужение
оператора L (M ) на Uk , k = 0; 1.
Следствие 2.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.2. Тогда
(i) операторы Lk ; Mk : Uk ! Fk , k = 0; 1;
(ii) существуют операторы M0;1 : F0 ! U0 , L;1 1 : F1 ! U1 .
48
Утверждение (i) следует из очевидных соотношений LR(L;p) (M ) =
= LL(;p) (M )M [6].
Для доказательства (ii), пользуясь теоремой 1.3, предъявим в явном виде операторы M0;1 =
;
1
B fIn1; In2; : : : ; Ink; O l gA;1 , L;1 1 = B ;1fO n1 ; O n2 ; : : : ; O nk ; IlgA;1 .
Замечание 2.1. Совпадение в обозначениях теоремы 1.2 и следствия 2.1 не случайно, что
будет продемонстрировано в дальнейшем.
Доказательство.
LL(;p) (M )L,
MR(L;p) (M )
p | порядок полюса в точке 1 L-резольвенты оператора M . Тогда
(i) klim
(kRL (M ))p+1 = P ;
(2.1)
!1 k
(ii) klim
(kLL (M ))p+1 = Q;
(2.2)
!1 k
где проекторы P и Q определены формулами (1:1).
Доказательство. (i) Обозначим через Pl квадратную матрицу порядка n, в правом нижнем
углу которой расположена единичная матрица порядка l, а остальные элементы равны нулю.
Теорема 2.3. Пусть
В силу теоремы 1.3
B ;1PB = diag O n1 ; O n2 ; : : : ; O nk ;
1 Z (I ; S );1 d = P :
l
2i ; l l
С другой стороны,
B ;1(kRkL(M ))p+1 B = B ;1 diagfO n1 ; O n2 ; : : : ; O nk ; (Il ; k;1 Sl );(p+1) gB = Pl :
Утверждение (ii) доказывается аналогично.
Замечание 2.2. В численных расчетах всегда необходимо знать, с какого числа k 2 N можно начинать считать приближенные проекторы P и Q. Рассмотрим многочлен det(L ; M ) =
a0 n + a1 n;1 + + n. Поскольку a0 = det L, коэффициент a1 состоит из слагаемых, каждое из которых есть произведение определителя одного из миноров матрицы L порядка n ; 1
на число, : : : , коэффициент ak состоит из слагаемых, каждое из которых есть произведение определителя одного из миноров матрицы L порядка n ; k на число, : : : , коэффициент
an = det(;M ), то многочлен det(L ; M ) имеет порядок не больший, чем rank L. Итак, пусть
det(L ; M ) = aq n;q + + an , где aq 6= 0, q rank L. Тогда при
n
X
k > ja1 j
jak j + 1
q k=q+1
нельзя оказаться даже вблизи точки L-спектра оператора M .
Теорема 2.4. Пусть
p | порядок полюса в точке 1 L-резольвенты оператора M . Тогда
(2.3)
(i) klim
((L ; k(p t+ 1) M );1 L)k(p+1) = U t ;
!1
(ii) klim
(L(L ; k(p t+ 1) M );1 )k(p+1) = F t ;
(2.4)
!1
fU t : t 2 Rg fF t : t 2 Rg
(1:2) и (1:3) соответственно.
Доказательство. (i) Обозначим через S квадратную матрицу порядка n, в правом нижнем
углу которой находится матрица Sl , а остальные элементы | нули. Тогда
Z
B ;1U tB = diag O n1 ; O n2 ; : : : ; O nk ; 21i (Il ; Sl );1 et d = etS :
;
где группы
и
определены формулами
49
С другой стороны,
;1 k(p+1)
;(p+1) B = B ;1 diag O n1 ; O n2 ; : : : ; O nk ; Il ; k(p t+ 1) Sl
B:
B ;1 L ; k(p t+ 1) M L
Отсюда
;1 k(p+1)
t
lim L ; k(p + 1) M L
=
k!1
;k(p+1) t
B ;1 = BetS B ;1 = U t :
= klim
B diag O n1 ; O n2 ; : : : ; O nk ; Il ; k(p + 1) Sl
!1
Утверждение (ii) доказывается аналогично.
Замечание 2.3. Так же, как и в замечании 2.2, рассмотрим многочлен
det((p + 1)L ; tM ) = aq tq n;q (p + 1)n;q + + tn an ;
где aq 6= 0, q rank L. Тогда при
8
n
X
1
>
n;k
>
если jtj < 1;
>
< jaq j(p + 1)n;q k=q+1 jak j(p + 1) + 1;
k>>
n
X
1
>
jak j(p + 1)n;k jtjk + 1; если jtj 1;
>
: jaq j jtjq (p + 1)n;q
k=q+1
нельзя оказаться даже вблизи точки L-спектра оператора M .
Доказательства следующих двух теорем аналогичны доказательствам двух предыдущих,
поэтому они опускаются.
p | порядок полюса в точке 1 L-резольвенты оператора M . Тогда
;1 k(p+1);1 ; 1
t
t
L ; k(p + 1) M = Rt;
(2.5)
lim L ; k(p + 1) M L
k!1
t
где семейство операторов fR : t 2 R g определено формулой (1:2).
Теорема 2.6. Пусть p | порядок полюса в точке 1 L-резольвенты оператора M и су;1 : F ! U. Тогда
ществует оператор M
;1 k(p+1)
Zt
t
t
;
s
;
1
R ds = klim
M L L ; k(p + 1) M
; klim
M ;1 (kLLk (M ))(p+1) :
(2.6)
!1
!1
0
Замечание 2.4. Поскольку порядок полюса в точке 1 L-резольвенты оператора M не может быть больше dim U [7], то в численных расчетах по формулам (2.1){(2.6) p можно заменить
на n.
Теорема 2.5. Пусть
Замечание 2.5.
При численных расчетах по формулам (2.5) и (2.6) необходимо учитывать
замечания 2.1 и 2.2.
Теперь все готово для решения задачи (0.1), (0.2).
Теорема 2.7. Пусть существует оператор
и любого вектора
M ;1 : F ! U. Тогда для любого вектора f 2 F
u0 2 U такого, что
; klim
(I ; (kRkL (M ))n+1 )u0 = klim
M ;1 (In ; (kLLk (M ))n+1 )f;
!1 n
!1
50
(2.7)
существует единственное решение задачи
u(t) = klim
!1
t
L ; k(n + 1) M
;1 k(n+1)
L
(0:1), (0:2), которое имеет вид
u0 +
t M ;1 k(n+1) f ; M ;1f: (2.8)
;1 L L ;
+ klim
M
!1
k(n + 1)
Доказательство непосредственно вытекает из теорем 2.3{2.6. Отметим лишь, что (2.7) задает
фазовое пространство Mf системы (0.1), а формула (2.8) совпадает с формулой теоремы 1.2.
Замечание 2.6.
Поскольку все наши построения основаны на формуле
t k
lim
1 + k = et ;
k!1
то ожидать оценок сходимости лучших, чем const k;1 , не приходится. Однако при расчете
конкретных примеров такая сходимость вполне удовлетворительна.
3. Пример Леонтьева
Пусть матрицы L и M имеют вид
2 7 1 21 3
20 200
66 201 103
7
L = 4 100 200 258 75 ;
0 0 0
23
66 ;47
M = 4 25
;4
15
;1
5
10304189
11996000
;2
5
;11
3
20
;70836357 7
7
119960000 5
13
15
:
Если переобозначить L = B , M = I ; A, то матрицы B и A почти совпадут с матрицами из
классического примера [1]. Слово \почти" означает, что элементы m22 и m23 подобраны специ22 и ;3 на
ально с целью упростить вычисления и отличаются от приведенных в примере чисел 25
5
величины
;252291 ; m = ;3 ; 1139643 :
m22 = 22
;
(3.1)
23
25 11996000
5 119960000
Найдем L-спектр оператора M L (M ) = f0; 2; 2; 7g. Именно для того, чтобы точки L-спектра
оператора M были рациональными числами, сделаны поправки (3.1). Точки L-спектра оператора M в исходном примере иррациональны и отличаются от найденных чуть больше, чем на
одну сотую. Итак, оператор M L-регулярен.
Найдем фазовое пространство системы (0.1)
Mf = fu 2 U : 4u1 + 6u2 = 13u3 + 15f3 g:
Был проведен расчет для задачи (0.1), (0.2) по теоремам 1.2 и 2.6.
В настоящее время по предложенному алгоритму авторами разработан
программный продукт для расчета экономики коммунального хозяйства малых городов. Авторы выражают благодарность главе администрации г. Еманжелинска Ю.Я. Горбунову за предоставленную возможность реализовать теоретические результаты на практике.
Замечание 3.1.
51
Литература
1. Леонтьев В. Межотраслевая экономика. { М.: Экономика, 1997. { 324 c.
2. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. { Новосибирск: Наука, 1988. { 157 c.
3. Павлов Б.В., Родионова О.Е. Численное решение систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Журн. вычисл. матем. и матем.
физ. { 1994. { Т. 34. { Є 4. { C. 622{627.
4. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами // Докл. РАН. { 1994. { Т. 337. { Є 5. { С. 581-584.
5. Федоров В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно p-радиальными операторами // Докл. РАН. { 1996. { Т. 351. { Є 3. { С. 316{318.
6. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ.
{ 2000. { Т. 12. { Є 3. { С. 173{200.
7. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // УМН. { 1994. { Т. 49. { Вып. 4. {
С. 47{74.
8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. { 4-е изд. { М.: Наука, 1988. { 536 c.
Челябинский государственный
Поступили
университет
первый вариант
01:02:2001
20:11:2001
окончательный вариант
52
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
171 Кб
Теги
типа, решение, уравнения, система, леонтьевского, численного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа