close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Эквиаффинные отображения.

код для вставкиСкачать
2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (543)
УДК 514.764.35
Т.В. ЗУДИНА, С.Е. СТЕПАНОВ, И.Г. ШАНДРА
ЭКВИАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Введение
Под аффинной дифференциальной геометрией многообразия согласно К. Номидзу [1], [2] понимают геометрию многообразия с эквиаффинной структурой (см. [3], [4] и библиографию к
ним).
При построении дифференциальной геометрии многообразий наряду с объектами этой теории, которыми являются многообразия, снабженные той или иной структурой, равноправную
роль играют отображения, сохраняющие эти структуры. Так в римановой геометрии это изометрии, а в аффинной дифференциальной геометрии многообразий | эквиаффинные отображения.
Материал данной статьи является продолжением [5], [6]. Метод классификации эквиаффинных отображений, используемый здесь, был применен авторами для классификации гармонических диффеоморфизмов [7].
1. Эквиаффинные структуры на дифференцируемом многообразии
1.1. Пусть M | связное дифференцируемое многообразие размерности n и L(M ) | расслоение над M линейных реперов со структурной группой GL(n; R), т. е. L(M ) | главное GL(n; R)расслоение над M ([8], с. 7; [9], с. 102). Обозначим через p M ассоциированное с L(M ) расслоение
дифференциальных p-форм на M со структурной группой GL(n; R).
G-структурой на многообразии M , где G | подгруппа Ли в GL(n; R), называется дифференцируемое главное G-подрасслоение G(M ) расслоения L(M ) ([8], с. 7; [9], с. 194). В списке
+
G-структур, приведенном в ([8], с. 12{22), первой стоит GL (n; R)-структура, которая определяется ориентацией многообразия M ([8], с. 13). С другой стороны ([10], с. 94), ориентация M |
это выбор класса эквивалентных нигде не обращающихся в нуль n-форм 2 n M , при этом
две такие n-формы 1 и 2 эквивалентны, если 1 = '
2 для некоторой ' : M ! (0; +1). Таким образом, GL+ (n; R)-структура есть класс эквивалентных нигде не обращающихся в нуль
n-форм.
Второй в этом списке G-структур стоит SL(n; R)-структура для подгруппы SL(n; R) +
GL (n; R). В свою очередь, каждая SL(n; R)-структура определяет на многообразии M класс
эквивалентных нигде не обращающихся в нуль n-форм 2 n M таких, что если 1 и 2 | две
n-формы SL(n; R)-структуры на M , то 1 = C 2 для некоторой постоянной C > 0 ([9], с. 196).
Поскольку многообразие M можно ориентировать так, чтобы нигде не обращающаяся в нуль
n-форма стала положительной ([9], с. 126), то положительной, в частности, можно сделать
и n-форму , определяемую SL(n; R)-структурой на M . На этом основании такую форму по
аналогии с (псевдо)римановым случаем называют элементом объема или плотностью многообразия (напр., [8], с. 13; [9], с. 242).
1.2. В соответствии с общей теорией ([8], с. 9) если G-структура G(M ) на многообразии M
интегрируема, то на многообразии M существует связность без кручения r, сводимая к G(M ).
Поскольку каждая SL(n; R)-структура интегрируема ([8], с. 13), то на многообразии M вместе
27
с SL(n; R)-структурой существует сводимая к ней линейная связность без кручения r, она
называется эквиаффинной ([11], с. 124; [12], с. 150) и характеризуется условием
r
= 0
(1.1)
для n-формы на M , порождаемой SL(n; R)-структурой. При наличии на многообразии M линейной связности, сводимой к SL(n; R)-структуре, эту структуру, как и саму связность, назовем
эквиаффинной [1], [2].
Наряду с (1.1) существует и второе условие, также характеризующее эквиаффинную связность. Чтобы его сформулировать, выберем для произвольной точки x 2 M окрестность U с
локальной системой координат x1 ; : : : ; xn и через ;ijk для i; j; k = 1; : : : ; n обозначим найденные
в ней коэффициенты линейной связности без кручения r. Тогда равенства
;ijk = @j 12:::n ;
(1.2)
где @j := @=@xj и 12:::n := (@1 ; @2 ; : : : ; @n ) | существенная компонента n-формы , выражают
необходимое и достаточное условие того, что связность r является эквиаффинной ([11], с. 124;
[12], с. 151).
Известна проблема, поставленная С. Черном ([9], с. 201), сопоставления каждой G-структуре
на дифференцируемом многообразии M однозначно определенной линейной связности, сводимой к G(M ). Поскольку равенства (1.2) задают n условий на n(n + 1)=2 коэффициентов ;ijk
связности r, то эквиаффинная связность не является однозначно определенной для заданной
на n-мерном многообразии SL(n; R)-структуры. Но есть частный вид эквиаффинной связности, которым является эквипроективная связность ([11], с. 125; [12], с. 169); ее коэффициенты
в специальной системе локальных координат на M имеют ([13], с. 74) вид ;ijk = j ki + k ji .
Сравнивая последние равенства с (1.2), приходим к следующему выводу.
Предложение 1.1. Для заданной на n-мерном многообразии SL(n; R)-структуры из эквиаффинных связностей эквипроективная является однозначно определенной (с точностью до
выбора специальной системы локальных координат) сводимой к SL(n; R) связностью.
2. Эквиаффинные отображения многообразий с SL(n; R)-структурами
2.1. Известно ([9], с. 194), что каждому диффеоморфизму f : M ! M n-мерных дифференцируемых многообразий с G-структурами отвечает изоморфизм расслоений fb : G(M ) ! G(M ),
определяемый равенством fb := ;1 f для естественных проекций : G(M ) ! M и
: G(M ) ! M . Если при этом fb(G(M )) = G(M ), то G-структуры многообразий называются изоморфными.
Поскольку диффеоморфизм f : M ! M связных ориентированных n-мерных многообразий
либо сохраняет, либо обращает ориентацию ([9], с. 47), то сохраняющему ориентацию диффеоморфизму f будет отвечать изоморфизм fb GL+ (n; R)-структур этих многообразий. Верно и
обратное. Другими словами, если и | две n-формы GL+ (n; R)-структур многообразий
M и M соответственно, то отображение fb будет изоморфизмом тогда и только тогда, когда
f = '
для некоторой ' : M ! (0; +1). Здесь f : p M ! p M | продолжение на расслоения дифференциальных форм транспонированного к касательному отображению f : TM ! TM
отображения f : T M ! T M .
В соответствии с общей теорией дадим
Определение 2.1. Диффеоморфизм f : M ! M n-мерных связных многообразий с эквиаффинными SL(n; R)-структурами называется эквиаффинным отображением, если отвечающее
ему отображение fb будет изоморфизмом SL(n; R)-структур этих многообразий.
Пусть f : M ! M | диффеоморфизм n-мерных многообразий с SL(n; R)-структурами и
и | две n-формы SL(n; R)-структур, заданных на многообразиях M и M соответственно. На основании приведенных выше рассуждений заключаем, что n-форма f будет формой
SL(n; R)-структуры многообразия M тогда и только тогда, когда f = C для некоторой
28
постоянной C > 0. Последнее равенство выражает необходимое и достаточное условие изоморфизма SL(n; R)-структур многообразий M и M . В результате будет справедливой
Теорема 2.1. Пусть M и M | два n-мерных связных многообразия с эквиаффинными
SL(n; R)-структурами и , | элементы объемов этих структур. Тогда существуют только три класса эквиаффинных отображений f : M ! M , которые уменьшают (для C < 1),
увеличивают (для C > 1) или сохраняют (эквиобъемные для C = 1) элемент объема многообразия M .
Заметим, что приведенная классификация зависит от выбора n-форм и | представителей SL(n; R)-структур многообразий M и M , а потому не имеет инвариантного характера.
Инвариантная классификация эквиаффинных отображений будет приведена в третьем параграфе данной статьи.
Эквиаффинное отображение f : M ! M многообразия с эквиаффинной SL(n; R)-структурой
назовем эквиаффинным преобразованием многообразия M . Целесобразно с ([8], с. 14) сравнить
Следствие 2.1. Если f : M ! M | эквиаффинное преобразование n-мерного многообразия
M с SL(n; R)-структурой, то f = для n-формы структуры с компактным носителем в
M.
Доказательство. Пусть f : M ! M | сохраняющее ориентацию отображение n-мерных
связных
ориентированных
многообразий и форма 2 n M имеет компактный носитель в M ,
R
R
тогда f = ([9], с. 246). В частности, если f | эквиаффинное отображение и , | две
M
M
R
R
n-формы SL(n; R)-структур на многообразиях M и M соответственно, то C = . Отсюда,
M
M
когда M = M и f | эквиаффинное преобразование, вытекает C = 1.
Для диффеоморфизма f : M ! M многообразий со связностями r и r введем тензор
деформации T = r ; r связности r в связность r равенством T (X; Y ) = rf X f Y ; f rX Y
для любых X; Y 2 TM .
Теорема 2.2. Для того чтобы диффеоморфизм f : M ! M
n-мерных многообразий с
эквиаффинными SL(n; R)-структурами был эквиаффинным отображением, необходимо и достаточно, чтобы тензор деформации T = r;r связности r в связность r был бесследовым,
т. е. trace T = 0.
Доказательство. При диффеоморфизме f для любой пары точек x 2 M и x = f (x) 2 M
можно выбрать такие окрестности U для x 2 U и U для x 2 U с локальными системами
координат x1 ; : : : ; xn и x1 ; : : : ; xn , что f : M ! M в этих окрестностях локально можно было
задать равенствами x1 = x1 ; : : : ; xn = xn ([10], с. 67). В этом случае говорят ([13], с. 47), что
многообразия M и M отнесены к общей по отношению к данному отображению f : M ! M
системе локальных координат x1 ; : : : ; xn . Пусть Tjik | компоненты тензора деформации T =
r ; r, найденные в общей по отношению к диффеоморфизму f : M !kM системе локальных
координат x1 ; : : : ; xn . Тогда на основании свойства (1.2) имеем Tjkk = ;jk ; ;kjk = @j ln 12:::n ;
@j ln 12:::n = @j ln[
12:::n =
12:::n ]. А потому равенства Tjkk = 0 и 12:::n = C 12:::n для постоянной
C > 0 равносильны.
Следствие 2.2. Диффеоморфизм f : M ! M многообразий с эквиаффинными SL(n; R)структурами будет эквиаффинным отображением тогда и только тогда, когда div X = div(f X )
для любого X 2 TM .
Доказательство. Пусть f : M ! M | диффеоморфизм многообразий с эквиаффинными
SL(n; R)-структурами, тогда для произвольного векторного поля X на M и поля X = f X на
M непосредственные вычисления приводят к равенству trace(r X ) = trace(rX ) + (trace T )X .
Если принять во внимание ([14], с. 259), что div X = trace(rX ) и div X = trace(r X ) в случае
эквиаффинных связностей r и r, то справедливость утверждения станет очевидной.
29
Следствие 2.3. Каждый диффеоморфизм f : M ! M многообразий с эквиаффинными
(n; R)-структурами представим локально в виде композиции f = f 00 f 0 некоторых эквиаффинного f 0 и проективного f 00 отображений.
Доказательство. В случае произвольного диффеоморфизма f : M ! M многообразий с эквиаффинными SL(n; R)-структурами тензор деформации T = r ; r допускает поточечное GL(n; R)-инвариантное разложение вида T = T 0 + T 00 со следовой компонентой
1 ( traceT IdM + IdM trace T ), которая совпадает с тензором деформации связностей
T 00 = n+1
при проективном отображении ([11], с. 126; [12], с. 166-167; [13], с. 72), и бесследовой компонентой
разложения T 0 = T ; T 00 . В результате диффеоморфизм f : M ! M локально представим в виде
композиции эквиаффинного отображения f 0 : M ! M 0 на некоторое n-мерное диффеоморфное
M -многообразие M 0 с SL(n; R)-структурой, определяемой локально ([12], с. 151) эквиаффинной
связностью r0 такой, что r0 = r + T 0 , и проективного отображения f 00 : M 0 ! M , с тензором
деформации T 00 , удовлетворяющим условию trace T 00 = trace T = grad[ln 12:::n =
12:::n ].
Выскажем одно важное соображение. Поскольку обратное к эквиаффинному отображению
и композиция эквиаффинных отображений являются эквиаффинными отображениями, то все
многообразия с эквиаффинными структурами и все их эквиаффинные отображения составляют
категорию ([9], с. 320-321).
SL
3. Эквиаффинные отображения псевдоримановых многообразий
3.1.
Рассмотрим n-мерное псевдориманово многообразие (M; g) со связностью Леви-Чивита
r. Другими словами ([9], с. 201), (M; g) | это дифференцируемое многообразие M с O(q)-
структурой, где (для произвольной точки x многообразия) q = gx | невырожденная квадратичная форма для E = Tx M c предписанной сигнатурой и O(q) | ортогональная группа, задаваемая формой q. При этом r является однозначно определенной линейной связностью без
кручения, сводимой к O(q).
В качестве n-формы рассмотрим дискриминантный
тензор ([12], с. 158), иначе ([9], с. 242),
p
основную плотность или элемент объема dV = j det gj псевдориманова многообразия
(M; g).
p
Очевидно, связность Леви-Чивита является эквиаффинной по отношению к dV = j det gj.
Введем другое n-мерное псевдориманово многообразие (M; g ) со связностью Леви-Чивита r
и диффеоморфизм f : (M; g) ! (M; g ).
Определение 3.1 ([5]). Диффеоморфизм f : (M; g ) ! (M; g ) псевдоримановых многообразий называется эквиаффинным отображением, если для любого X 2 TM выполняется равенство div X = div(f X ).
Построим пример эквиаффинного отображения псевдоримановых многообразий [6]. Для этоf g
e , поточечe) со связностью Леви-Чивита r
го введем n-мерное псевдориманово многообразие (M;
но конформное псевдориманову многообразию (M; g) со связностью Леви-Чивита r. Метрический тензор ge такого многообразия определяется из равенства ge = e2 g для некоторой заданной
на (M; g) гладкой функции . При этом тензор деформации Te = re ; r в общей по отношению
f системе координат x1 ; : : : ; xn имеет компоненты
к конформному диффеоморфизму fe : M ! M
([13], с. 112{116)
Teijk = ;e kij ; ;kij = i jk + j ik ; k ij
(3.1)
f g
e),
для символов Кристоффеля ;e kij связности Леви-Чивита псевдориманова многообразия (M;
k
kj
j = @j и = g j .
f g
e) ! (M; g ) определенного выше многообраРассмотрим проективное отображение f : (M;
f g
e) на псевдориманово многообразие (M; g ). Это возможно тогда и только тогда, когда в
зия (M;
общей по отображению f fe системе координат выполняются равенства ([13], с. 161{166)
T kij = ;kij ; ;e kij = i jk + j ik
30
(3.2)
для компонент тензора деформации T = r; re и
чае ge = e2 g, то j
=
следующим образом:
1
n+1
@j ln
r
det g ; n
j
det g
1 @j ln
j = n+1
r
det g . Поскольку в данном слуdet eg
. С учетом (3.1) равенства (3.2) можно переписать
;kij ; ;kij = (i + i )jk + (j + j )ik ; k gij :
А потому необходимое и достаточное условие trace T = 0 эквиаффинности отображения f :
(M; g) ! (M; g ) представляется в виде уравнений nj + (n + 1) j = 0 относительно неизвестной
функции . Очевидной является
f g
e) и проективного f :
Теорема 3.1. Композиция f = f fe конформного fe : (M; g ) ! (M;
f
e
(M; g) ! (M; g ) диффеоморфизмов является эквиаффинным отображением f : (M; g) ! (M; g )
псевдориманова многообразия (M; g) на псевдориманово многообразие
(M; g ), если метрика мноr
g
det
1
2
f g
e) определяется равенством g
e = e g для =
гообразия (M;
2n ln det g + const.
3.2. Проведем классификацию эквиаффинных отображений псевдоримановых многообразий. Для этого рассмотрим вещественное векторное пространство E размерности n 3 с невырожденной квадратичной формой q, которая определяет отождествление E с сопряженным E .
Каждое тензорное пространство над E есть пространство представления ортогональной группы
2
O(q ). Обозначим через S E вторую симметрическую степень E . Справедлива
Теорема 3.2 ([15]). Тензорное пространство
=(E ) = 2 E S 2E (a; b; c) = (a; c; b);
X
i=1;:::;n
(ei ; ei ; c) = 0
для ортонормированного относительно q базиса fe1 ; : : : ; em g и произвольного c 2 E разлагается
в ортогональную сумму трех неприводимых относительно действия ортогональной группы
O(q ) подпространств
=1(E ) = f 2 =(E ) j (a; b; c) = (b; a; c)g;
=2(E ) = f 2 =(E ) j (a; b; c) + (b; c; a) + (c; a; b) = 0g;
=3(E ) = f 2 =(E ) j (a; b; c) = (n2 + n ; 2);1 [(m + 1)23 (a)q(b; c) ; 23(b)q(a; c) ; 23(c)q(a; b)]g;
P
где 23 (c) =
(ei ; ei ; c).
i=1;:::;n
Обозначим через T M S 2 M ассоциированное с L(M ) тензорное расслоение на M со структурной группой O(q) и стандартным слоем E S 2 E .
Условие trace T = 0 на тензор деформации T = r ; r является необходимым и достаточным для того, чтобы диффеоморфизм f : M ! M многообразия (M; g) на многообразие (M; g )
был эквиаффинным. В окрестности U M с локальной системой координат x1 ; : : : ; xn этому
условию можно придать вид gij Tijk = 0 для ковариантных компонент Tijk тензора деформации
T , изучаемого здесь как сечение расслоения T M S 2 M . Следствием этого будет разложение
T в поточечно ортогональную сумму трех тензорных полей, соответствующих неприводимым
компонентам действия ортогональной группы O(q). Разложению T отвечает \грубая" классификация эквиаффинных отображений, когда к одному классу относятся все отображения, для
которых T | сечение одного из инвариантных подрасслоений =1 (TM ), =2 (TM ) и =3(TM ) или
одной из их прямых сумм. Пополним список классов еще одним, для которого T = r ; r является сечением подрасслоения =1 (TM ) \=2 (TM ) \=3 (TM ), т. е. когда T = 0. Такое отображение
носит название аффинного ([14], с. 212{216). Справедливо
31
Предложение 3.1. Инвариантным образом выделяются семь классов эквиаффинных отображений f : (M; g) ! (M; g ) псевдоримановых многообразий, для каждого из которых поле
T = r;r, рассматриваемое как сечение расслоения T M S 2 M = =1 (TM ) =2 (TM ) =3(TM ),
является сечением соответствующего поточечно инвариантного подрасслоения =1 (TM ),
=2(TM ) и =3(TM ), одной из их прямых сумм или же подрасслоения =1(TM )\=2 (TM )\=3 (TM ).
4. Геометрия одного класса эквиаффинных отображений псевдоримановых
многообразий
Изучим эквиаффинные класса =1 отображения из семи классов, перечисленных в предложении 3.1. Итак, пусть f 2 =1 . Это означает, что компоненты Tkij тензорного поля T = r;r
в дополнении к условию эквиаффинности отображения
4.1.
gki Tkij = 0
(4.1)
подчиняются еще и условиям симметрии вида
Tkij = Tikj :
(4.2)
Равенства (4.2) означают, что тензор деформации T симметричен по всем своим индексам,
поэтому равенства (4.1) выражают условия аполярности ([11], сс. 159, 161-164; [12], с. 180) тензоров T и g.
связность без кручения re , полагая re = r; T .
Определим на многообразии (M; g ) линейную
e
Поскольку r = r + T , то r = r + r =2 и, следовательно, r будет ([16], с. 133) средней
связностью пары r и re . Выбирая затем на (M; g ) в качестве невырожденной билинейной формы
пары связностей r и re тензор g, убеждаемся, что связности сопряжены ([12], с. 172-178) и, более
того, справедливо
Предложение 4.1. Диффеоморфизм f : (M; g ) ! (M; g ) псевдоримановых многообразий со
связностями Леви-Чивита r и r соответственно будет эквиаффинным класса =1 отображением тогда и только тогда, когда на многообразии (M; g ) существует линейная связность re
без кручения такая, что связность r является средней связностью сопряженной чебышевской
пары (r; g; re ).
Доказательство.
Поскольку для найденных в общей по отображению f системе локальных
координат x1 ; : : : ; xn коэффициентов ;ijk и ;e ijk связностей r и re выполняются равенства ;ijk =
;ijk + Tjki и ;e ijk = ;ijk ; Tjki , то уравнения @i gjk = glk ;lij + gjl ;e lki , характеризующие связности r
и re как сопряженную относительно g пару ([17]; [14], с. 53), обращаются в тождества тогда и
только тогда, когда выполняются соотношения (4.2). Для подобной пары принято (напр., [16],
с. 53) обозначение (r; g; re ).
Тензор деформации
Te = r ; re связности re в связность r определяется из равенства Te =
e
e
r ; r = 2r ; r + r = 2(r ; r) = 2T , а потому обращение в нуль чебышевской формы nte =
trace Te = 2 trace T поляритета g ([16], с. 58) равносильно соотношениям (4.1). Пара сопряженных
связностей (r; g; re ), чебышевская форма или, что то же самое, чебышевский вектор которой
равен нулю, называется чебышевской ([12], с. 175).
Предложение 4.2. Пусть f : (M; g ) ! (M; g ) | эквиаффинное класса =1 отображение
псевдоримановых многообразий и (M; g ) | многообразие постоянной кривизны K , тогда gij =
rirj ' + [n(n ; 1)];1 'Kgij , где функция ' находится как решение уравнения
' + [n(n ; 1)];1 'K traceg g = n.
32
Доказательство. На многообразии (M; g ) в общей по отображению f системе локальных
координат выполняются уравнения rk gij = ;Tjik ; Tijk , на основании которых условиям (4.2)
можно придать вид уравнений Кодацци ([12], с. 169)
ri gjk = rj gik :
(4.3)
при этом пара (r; g; re ) называется кодацциевой ([12], с. 182).
Известно ([12], с. 169), что решение уравнений Кодацци ri bjk = rj bik на многообразии M с
эквипроективной связностью r имеет вид bij = ri rj ' + (n ; 1);1 'Rij для дифференцируемой
функции ' на M . Поскольку псевдориманово многообразие (M; g ) с эквипроективной связностью Леви-Чивита r является ([12], с. 170) многообразием постоянной кривизны K , то Rij =
n;1 Kg ij и, следовательно, решение уравнений (4.3) имеет вид gij = ri rj ' + [n(n ; 1)];1 'Kg ij .
Эти уравнения представимы в виде gij = ri rj ' ; Tijk rk ' + [n(n ; 1)];1 'Kgij . Отсюда в соответствии с (4.1) и (4.2) получим уравнение ' + [n(n ; 1)];1 'K traceg g = n, ограничивающие
выбор функции '. В случае римановой метрики g оно носит название уравнения Пуассона.
1
n с парой со4.2. На n-мерном многообразии в системе локальных координат x ; : : : ; x
e
пряженных связностей (r; g; r) ассоциируются ([16], с. 62) кубическая форма Фубини{Пика
= Cijk dxi dxj dxk для Ckij = 2;1 Tekij , а с ней | инвариант Пика J = [n(n ; 1)];1 Ckij C kij , которые являются аналогами формы Фубини{Пика и инварианта Пика на двумерном многообразии
([11], с. 164).
Предложение 4.3. Если f : (M; g ) ! (M; g ) | эквиаффинное класса =1 отображение псевдоримановых многообразий, то
J = n(n1; 1) (Scal ; traceg Ric):
i
i
Доказательство. Пусть Rjkl и Rjkl | компоненты тензоров кривизны R и R, участвующих
в отображении f : (M; g) ! (M; g ) псевдоримановых многообразий, которые найдены в общей
по отношению к данному отображению системе локальных координат x1 ; : : : ; xn . Воспользуемся
i + rk T i ;rl T i + T i T m ; T i T m между компонентами
уравнениями связи ([12], с. 130) Rijkl = Rjkl
jl
jk km lj
lm kj
i и Ri . Сверткой по индексам i и k в левой и правой частях данных уравнений приходим к
Rjkl
jkl
новым уравнениям связи
k T m ; T k T m;
Rjl = Rjl + rk Tjlk ; rl Tjkk + Tkm
(4.4)
lj
lm kj
между компонентами Rjl и Rjl тензоров Риччи Ric и Ric многообразий. Свернем теперь левую
и правую части уравнений (4.4) с контравариантными компонентами gjl метрического тензора и воспользуемся равенствами (4.1) и (4.2). В результате получим равенство traceg Ric =
Scal ;n(n ; 1)J для скалярной кривизны Scal = Rjl gjl многообразия (M; g). Из него и последует
доказываемое равенство. В случае отображения f : (M; g) ! (M; g ) римановых многообразий
инвариант Пика J = [n(n ; 1)];1 kC k2 0, что равносильно неравенству traceg Ric Scal. А потому требование traceg Ric Scal для эквиаффинного класса =1 отображения f риманова многообразия (M; g) будет означать, что J = 0. Тогда автоматически T = 0 и как следствие rg = 0.
Согласно теореме П.А. Широкова [18] это приводит либо к локальной приводимости многообразия (M; g), либо к условию g = Cg для некоторой постоянной C . Последнее свидетельствует
о том, что отображение f | гомотетия. В свою очередь, строгое неравенство traceg Ric > Scal
вступает в противоречие с доказанным в предложении 4.3 равенством.
Следствие 4.1. Пусть f : (M; g ) ! (M; g ) | диффеоморфное отображение римановых многообразий.
1) Если traceg Ric Scal и f 2 =1 , то либо (M; g) | локально приводимое многообразие,
либо f | гомотетия;
2) если traceg Ric > Scal, то f 2= =1 .
33
В заключение заметим, что класс =3 эквиаффинных отображений был изучен авторами в
[19].
Литература
1. Nomizu K. What is ane dierential geometry? // Di. Geometry Meeting Univ. Muster 1982. {
Tagungsbericht, 1982. { P. 42{43.
2. Nomizu K. On completeness in ane dierential geometry // Geom. dedic. { 1986. { V. 20. { Є. 1.
{ P.43{49.
3. Симон У. К аффинной теории гиперповерхностей: калибровочно-инвариантные структуры
// Изв. вузов. Математика. { 2004. { Є 11. { С. 53{81.
4. Степанов С.Е. Теоремы исчезновения в аффинной, римановой и лоренцевой геометриях //
Фундаментальная и прикладная математика. { 2005. { Т. 11. { Є 1. { С. 35{84.
5. Stepanov S.E. The seven classes of equiane mappings of pseudo-Riemannian manifolds //
Abstracts of 9th International Conference on Dierential Geometry and Applications, Prague,
August 30 { September 3, 2004. { Czech Republic: Charles University in Prague, 2004. { P. 46{47.
6. Зудина Т.В. Пример эквиаффинного отображения // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 31, Материалы Четвертой молодежной научной школы-конференции \Лобачевские
чтения{2005". { Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 2005. { С. 74{76.
7. Степанов С.Е., Шандра И.Г. Семь классов гармонических диффеоморфизмов // Матем. заметки. { 2003. { Т. 74. { Вып. 5. { С. 752{761.
8. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. { М.: Наука, 1986. {
224 c.
9. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. { М.: Мир, 1975. { 352 c.
10. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. { М.: Мир, 1971.
{ 232 с.
11. Широков П.А., Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия. { М.: Физматлит,
1959. { 319 c.
12. Норден А.П. Пространства аффинной связности. { М.: Наука, 1976. { 432 c.
13. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. { М.: Наука, 1979. {
255 c.
14. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. { М.: Наука, 1981. {
344 c.
15. Степанов С.Е. О групповом подходе к изучению уравнений Эйнштейна и Максвелла // Теоретическая и математическая физика. { 1997. { Т. 111. { Є 1. { С. 32{43.
16. Simon U., Schwenk-Schellshmidt A., Viesel H. Introduction to the ane dierential geometry of
hypersurfaces. { Lecture Notes. { Tokyo: Science Univ. Tokyo Press, 1991. { 161 p.
17. Dillen F., Nomizu K., Vrancken L. Conjugate connections and Radon's theorem in ane dierential
geometry // Monatshefte Mathematik. { 1990. { V. 109. { P. 221{235.
18. Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров второго порядка в Riemann'овых пространствах // Изв. физ.-матем. о{ва, Казань. { 1925. { Т. 25. { С. 86{114.
19. Зудина Т.В., Степанов С.Е. Об одном классе эквиаффинных отображений // Дифференц.
геометрия многообразий фигур. { 2005. { Є 36. { С. 43{49.
Волжский филиал Московского
автодорожного института
Владимирский государственный
педагогический университет
Финансовая академия при
Правительстве Российской Федерации
Поступила
13.02.2006
34
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
195 Кб
Теги
эквиаффинные, отображений
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа