close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Эффективная факторизация в некоторых классах матриц-функций третьего порядка.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2008
Том 150, кн. 1
УДК 517.544
ЭФФЕКТИВНАЯ ФАКТОИЗАЦИЯ В НЕКОТОЫХ
КЛАССАХ МАТИЦ-ФУНКЦИЙ ТЕТЬЕО ПОЯДКА
С.Н. Киясов
Аннотация
Получено матричное представление для Hµ -непрерывной матрицы-ункции третьего
порядка, заданной на простом гладком замкнутом контуре. Выделены классы матрицункций, допускающих эективную акторизацию.
Ключевые слова:
голоморные ункции, акторизация матриц-ункций.
Пусть ? простой гладкий замкнутый контур, разбивающий плоскость комплексного переменного на две области D+ и D? (? ? D? ) . Под акторизацией
Hµ -непрерывной на ? матрицы-ункции (сокращенно м-) G(t) будем понимать
ее представление в виде G(t) = G+ (t)G? (t), t ? ? , где G(z) м- конечного порядка на бесконечности ([1?, с. 12), det G(z) 6= 0 в конечной части плоскости, а на
бесконечности порядок det G? (z) равен сумме порядков ?1 , ?2 , . . . , ?n строк м-
G? (z) . Эти числа называются частными индексами, а их сумма ? = ind det G(t)
суммарным индексом м- G(t) . Если на бесконечности сумма порядков строк
det G? (z) больше порядка на бесконечности самого определителя, то будем называть такое представление м- G(t) нормальным представлением в силу того, что
м-
X(z) = {G+ (z), z ? D+ ; [G? (z)]?1 , z ? D? }
является нормальной матрицей соответствующей однородной задачи линейного сопряжения и при помощи известного алгебраического алгоритма может быть приведена к канонической матрице [1, с. 30, 40?, а значит, акторизуется эективно.
В работе [2? в качестве приложения рассмотренных в ней сингулярных интегральных уравнений получено представление для Hµ -непрерывной на ? м-
второго порядка G(t) = kgij (t)k, i, j = 1, 2 , определитель которой ?(t) , а также
элемент g11 (t) не имеют нулей на контуре:
(1)
?
G(t) = G+
11 (t)G0 (t)G11 (t),
где
G+
11
+
g11
?
+ 2 =?
? +
g21
?+
g21 (g11
)
g11 P
+ + P Q
+
g11
g11
?
g11
?
?
?
?g11
?
G?
11 = ?
?
0
?
g11
Q
0
?
?
?
?+ ? ,
+
g11
? 2 ?
g12
??
g12 (g11
)
+ ? Q P
?
?
g11
g
?
g11
11
?
?,
?
??
?
g11
66
С.Н. КИЯСОВ
а м-
?
1
?
?
G0 = ? + 2
?
g21 (g11
)
Q Q
g11
?+
? 2
?
g12 (g11
)
P P
?
g11 ??
?
.
? 2 + 2 ?
?
g12 (g11 )
g21 (g11 )
1+ P P
Q Q
g11
??
g11
?+
+ ?
Здесь ? = ?+ ?? , g11 = g11
g11 акторизация на ? указанных ункций с индексами Коши ? и ?11 соответственно, а P и Q операторы P = [I + S]/2,
Q = [I ? S]/2 ( I единичный, S сингулярный операторы). Из представления
(1), в частности, получаем, что если отношение g21 /g11 есть предельное значение
на ? ункции, аналитической в D+ , либо отношение g12 /g11 предельное значение на ? ункции, аналитической в D? и исчезающей на бесконечности или
полином, степень которого l удовлетворяет неравенству
l + 2?11 ? ? < 0,
то м- G0 (t) становится треугольной и м- G(t) согласно результатам работы
[3?, в которой указан алгоритм построения канонической матрицы, акторизуется
эективно. Отметим, что можно указать явные ормулы для нормального представления треугольных м- второго порядка, но мы их получим ниже как частный
случай соответствующих представлений для треугольных м- третьего порядка.
Если все элементы gij (t) , i, j = 1, 2 , не имеют нулей на контуре, то, используя перестановочную матрицу, получим для G(t) еще три представления вида (1),
позволяющие сормулировать соответствующие утверждения о ее эективной
акторизации.
Полученные условия актически означают, что можно указать м- H + (t) соответственно H ? (t) , такие, что м- H + (t)G(t) или G(t)H ? (t) становятся треугольными.
Однако подобное (1) представление для м- третьего порядка позволяет получить, на наш взгляд, более содержательный результат.
Пусть G(t) = ||gij (t)||, i, j = 1, 2, 3, ?(t) = det G(t) 6= 0 Hµ -непрерывная
на ? м-, элементы gij которой, а также соответствующие им миноры Gij не
+ ?
?
обращаются в нуль на контуре. Пусть ? = ?+ ?? , gij = gij
gij , Gij = G+
ij Gij ,
i, j = 1, 2, 3 , акторизация указанных ункций с индексами Коши ?, ?ij и ? ij ,
i, j = 1, 2, 3 , соответственно. Непосредственно проверяется справедливость на ?
представления
?
??
??
g12 g13 ?
g11
0
0
1
0
0
1
?
??
??
g11 g11 ?
? g21
??
??
G33
?
?
?? 0
??
1
0
G32 ?
0
G = ? g11
(2)
??
? ?0
?
1
g
11
?
??
??
G33 ?
? g31 G23
??
?
?
1
0
0
0
0
1
g11 G33
G33
и представления
?
? ?
H = ?0 ?
0 0
?
µ
? ? = H +H ?,
?
(3)
ЭФФЕКТИВНАЯ ФАКТОИЗАЦИЯ В НЕКОТОЫХ КЛАССАХ. . .
67
в котором ? = ?+ ?? , ? = ? + ? ? , ? = ? + ? ? акторизация на на ? Hµ -непрерывных ункций ?, ?, ?, а
?
h
i ? ?
?
µ
?
+
+
+
?
P
?
P
Q
?
?
P
?
?
? + ? ? ?+ ? ?
?+ ? ?
?+ ? ?
?
?
?
?
+
?
H =?
(4)
?,
+
+
?
? P
?
? 0
+
?
? ?
?
?
0
0
?+
H? =
?
??
?
=?
?
??Q
?
?+ ? ?
0
??
0
0
??
Q
h
?
i
?
µ
?
?
?
Q
+
Q
?
Q
Q
+
?
?
?
+ ?
?+ ? ?
? + ? ? ?+ ? ?
?
? ? ?.
?
?
?
? Q
?+??
?
?
(5)
Представление (3)(5) есть, вообще говоря, нормальное представление Hµ непрерывной на ? треугольной м- H, позволяющее эективно построить ее
акторизацию. В частном случае µ = ? = 0 , ? = 1, миноры второго порядка,
стоящие в левом верхнем углу м- (3)(5), определяют нормальное представление
соответствующей м- второго порядка.
Пусть Fi,j,k , i, j, k = 1, 2, 3, i 6= j 6= k перестановочная матрица третьего
порядка: ( f1i = f2j = f3k = 1, а остальные элементы нулевые). При умножении
м- G слева на Fi,j,k первой становится строка м- G с номером i, второй с
номером j и третьей с номером k, а при умножении справа первым становится
столбец с номером i, вторым с номером j и третьим с номером k ( F1,2,3 = E,
где E единичная матрица). Очевидно, обратная к перестановочной матрице Fi,j,k
?
совпадает с транспонированной матрицей Fi,j,k .
Домножая м- H слева и (или) справа на соответствующую перестановочную
матрицу, получим нормальные представления для треугольных м- другого вида.
Факторизуя в (2) диагональную м-, записывая нормальные представления
треугольных м-, переставляя диагональные акторизационные множители с соседними множителями полученных нормальных представлений и вновь записывая
нормальные представления для полученных треугольных м-, после соответствующих объединений получим на ? представление
(6)
G(t) = H + (t)?(t)H ? (t),
в котором элементы м- соответственно равны
+
h+
11 = g11 ,
h+
21
+
h+
12 = h13 = 0,
+ 2 g21
G+
[g11 ]
g21
+
33
= g11 P
+ + P
Q
,
g11
g11
g11
G+
33
+
h+
31 = g11 P
h+
22 =
G+
33
+ ,
g11
h+
23 = 0,
+ 2 g31
G23
g21
G+
G23
[g11 ]
g21
33
?P
Q
+ +
P
P
Q
+
g11
G33
g11
G33
g11
g11
G+
33
+ + ?+
g G
g31
G23
g21
+ + P 11 +33 Q
?P
Q
?
?
g11
G33
g11
G33
+ 2 + 2 [G ]
G23
[g11 ]
g21
? P +33 + Q
Q
Q
,
G33
g11
g11 ?
G+
33
68
С.Н. КИЯСОВ
+ 2 G+
?+
G23
[G33 ]
G23
33
+ + P + +Q
,
= + P
G33
G33
g11
G33
g11 ?
? 2 [g11 ]
g12
P
,
?11 = 1, ?12 = P
g11
G?
33
h+
32
h+
33 =
?+
,
G+
33
? ?
g11
G33
g13
G32
g12
?13 = P
P
?Q
P
?
??
g11
G33
g11
? 2 ? 2 [G33 ]
G32
[g11 ]
g12
P
P
,
? Q ? ?P
G33
g11
g11 ?
G?
33
+ 2 ? 2 [g11 ]
g21
[G33 ]
G32
?21 = Q
Q
, ?22 = 1 + ?12 ?21 , ?23 = P ? ? P
+ ?21 ?13 ,
g11
G33
G+
g11 ?
33
?31 = Q
+ +
g11
G33
g31
G23
g21
Q
?
P
Q
?
?+
g11
G33
g11
+ 2 + 2 [G ]
G23
[g11 ]
g21
? P +33 + Q
Q
Q
,
G33
g11
g11 ?
G+
33
2
[G+
G23
33 ]
?32 = Q + + Q
+ ?12 ?31 ,
G33
g11 ?
? 2 + 2 G23
G32
[G ]
[G ]
?33 = 1 + ?13 ?31 + Q +33 + Q
P ?33 ? P
,
G33
G33
g11 ?
g11 ?
? 2 g12
G?
[g11 ]
g12
?
?
?
33
h?
=
g
,
h
=
g
Q
+
Q
P
,
11
11
12
11
?
g11
g11
g11
G?
33
h?
13
=
? 2 G32
g12
g13
G32
g12
G?
[g11 ]
33
P
?Q
P
+ ? Q
Q
+
g11
G33
g11
G33
g11
g11
G?
33
? ? g11 G33
??
g13
G32
g12
+ ?Q
P
?Q
P
?
??
g11
G33
g11
G33
? 2 ? 2 G32
[g11 ]
g12
[G33 ]
? Q ? ?P
P
P
,
G33
g11
g11 ?
G?
33
? 2 G?
G?
G32
??
[G33 ]
G32
?
?
33
33
= 0, h22 = ? , h23 = ? Q
+ ? Q ? ?P
,
G33
G33
g11
g11
G33
g11 ?
?
g11
Q
h?
21
?
h?
31 = h32 = 0,
h?
33 =
??
.
G?
33
ассмотрим частные случаи м- третьего порядка, для которых представление (6) позволяет получить нормальное представление, а значит, эективно построить ее акторизацию. Это, очевидно, будет возможным, если м- ?(t) будет
треугольной, либо станет таковой при умножении ее на перестановочные матрицы.
ЭФФЕКТИВНАЯ ФАКТОИЗАЦИЯ В НЕКОТОЫХ КЛАССАХ. . .
69
Пусть отношения g21 /g11 , g31 /g11 , G23 /G33 есть предельные значения на ?
ункций, аналитических в D+ . Тогда элементы ?21 , ?31 , ?32 м- ?(t) будут
равны нулю и она становится треугольной.
Пусть каждое из отношений g12 /g11 , g13 /g11 , G32 /G33 есть предельное значение на ? ункции, аналитической в области D? и исчезающей на бесконечности,
либо полином, степень которого l, m, или p удовлетворяет соответствующему
неравенству
l + 2?11 ? ? 33 < 0,
(7)
m + ?11 + ? 33 < 0,
p + 2?
33
? ?11 ? ? < 0.
(8)
(9)
Кроме того, если отношение g12 /g11 является полиномом степени l, а отношение
G32 /G33 есть предельное значение ункции, аналитической в D? , то порядок этой
ункции на бесконечности должен быть меньше ?l. В этом случае элементы ?12 ,
?13 , ?23 равны нулю, и м- ?(t) также будет треугольной.
Пусть отношения g21 /g11 , g31 /g11 являются предельными значениями на ?
ункций, аналитических в D+ , а отношение G32 /G33 есть предельное значение
ункции, аналитической в области D? и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого p удовлетворяют неравенству (9), тогда элементы ?21 ,
?31 , ?23 равны нулю, и м- ?(t) становится треугольной при домножении ее
слева и справа на перестановочную матрицу F1,3,2 . Поэтому представление (6)
принимает вид
?
?
G(t) = H + (t)F1,3,2 ?1 (t)F1,3,2 H ? (t),
(10)
в котором
?1 (t) = F1,3,2 ?(t)F1,3,2
есть треугольная м-.
Пусть каждое из отношений g12 /g11 , g13 /g11 является предельным значением
на ? ункции, аналитической в области D? и исчезающей на бесконечности, либо
полином, степень которого l или m удовлетворяет соответствующему неравенству
(7), (8). Пусть также порядок на бесконечности Q[G32 /G33 ] меньше ?l, если отношение g12 /g11 является полиномом степени l, а отношение G23 /G33 является
предельным значением на ? ункции, аналитической в области D+ . Тогда элементы ?12 , ?13 , ?32 м- ?(t) равны нулю, и мы снова приходим к представлению
(10).
Таким образом, оказывается справедливой
Теорема 1. Пусть G(t) = kgij (t)k, i, j = 1, 2, 3, ?(t) = det G(t) 6= 0 Hµ -непрерывная на ? м-, элемент g11 которой, а также соответствующие
элементам gij миноры Gij не обращаются в нуль на контуре. Пусть, далее,
+ ?
?
? = ?+ ?? , g11 = g11
g11 , Gij = G+
ij Gij , i, j = 1, 2, 3, акторизация указанных
ункций с индексами Коши ?, ?11 и ? ij , i, j = 1, 2, 3, соответственно. Если
выполняется одно из следующих условий:
отношения g21 /g11 , g31 /g11 , G23 /G33 есть предельные значения на ? ункций, аналитических в D+ ;
каждое из отношений g12 /g11 , g13 /g11 , G32 /G33 есть предельное значение на
? ункции, аналитической в области D? и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого l, m или p удовлетворяет соответствующему
неравенству (7)(9), причем если отношение g12 /g11 полином степени l, а
G32 /G33 предельное значение ункции, аналитической в D? , то порядок ее
на бесконечности меньше ?l;
70
С.Н. КИЯСОВ
отношения g21 /g11 , g31 /g11 предельные значения на ? ункций, аналитических в D+ , а отношение G32 /G33 предельное значение ункции, аналитической
в области D? и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого
p удовлетворяют неравенству (9);
каждое из отношений g12 /g11 , g13 /g11 есть предельное значения на ? ункции, аналитической в области D? и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого l или m удовлетворяет соответствующему неравенству
(7), (8) и порядок на бесконечности Q[G32 /G33 ] меньше ?l, если отношение
g12 /g11 полином степени l, а отношение G23 /G33 предельное значение ункции, аналитической в D+ .
Тогда акторизация м- G(t) сводится к акторизации треугольной м-.
ассматривая м- G1 = F1,3,2 G, G2 = GF1,3,2 , G3 = F1,3,2 GF1,3,2 и записывая
для них соответствующее представление (6), получим еще три представления для
м-:
?
?
?
?
G = F1,3,2 G1 = G2 F1,3,2 = F1,3,2 G3 F1,3,2 .
При помощи перестановочных матриц, подставляя вместо элемента g11 (t) м G(t) другие ее элементы (это можно сделать для каждого элемента четырьмя
различными способами), получим еще 32 представления вида (6), позволяющие
сормулировать аналогичные указанным в теореме условия ее эективной акторизации.
Summary
Eetive Fatorization of Some Classes of Third-Order Matrix-Funtions.
S.N. Kiyasov.
A matrix representation is derived for Hµ -ontinues third-order matrix-funtions whih are
dened at a simple smooth losed urve. Some lasses of matrix-funtions admitting eetive
fatorization are revealed.
Key words:
holomorphi funtions, fatorization of matrix-funtions.
Список литературы
1.
Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные
задачи. М.: Наука, 1970. 379 с.
2.
Киясов С.Н. Исследование разрешимости и оценки числа решений одного класса
сингулярных интегральных уравнений // Сиб. матем. журн. 2000. ќ 6. С. 1357
1362.
3.
Частные индексы краевой задачи имана с треугольной матрицей
второго порядка // Успехи матем. наук. 1956. Т. II, Вып. 3. C. 199202.
Чеботарев Н..
Поступила в редакцию
13.09.07
Киясов Сергей Николаевич
кандидат изико-математических наук, доцент
каедры диеренциальных уравнений Казанского государственного университета.
E-mail: Kiyasovmi.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
175 Кб
Теги
третьего, матрица, функции, факторизация, эффективные, некоторые, порядке, класса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа