close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Эффективное условие проскальзывания в задаче о течении вязкой жидкости над структурированной поверхностью.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том ХХII
удк
1991
М1
629.7.01 5.3.062.4
532.526.5
ЭФФЕКТИВНОЕ УСЛОВИЕ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ
В ЗАДАЧЕ О ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОй ЖИДКОСТИ
НАД СТРУКТУРИРОВАННОй ПОВЕРХНОСТЬЮ
М. А.
Брутян, П. Л. Краnuвскuй, Н. Н. Славнов
в рамках уравненнй Стокса рассмотрено течение вязкой жндкости
над структурированной поверхностью. Предполагая мнкроструктуру попе­
речной, а ее размеры малыми по сравнению с раССТОЯНI1МИ между сосед­
ними элементами, показано, что суммарный эффект сводится к замене условия
прилипания на структурированной поверхности эффективным условнем про­
скальзывания на гладкой поверхности. В простейших случаях. структуриро­
вания (круглые выемки или выпук.лости) коэффициенты проскальзывания
вычислены точно.
Рассмотрим задачу о сдвиговом течении вязкой несжимаемой жидкости
над структурированной прверхностью. Под структурированной поверхностью
понимается поверхность с двумя характерными размерами: размером микро­
структуры а (т. е. размером элемента неплоской части границы) и расстоянием
между соседними элементами d. В общем случае исследование этой задачи,
аналитическое или численное, чрезвычайно затруднительно. В целом ряде
прикладных задач, например, в задачах управления течением, характерный
размер микроструктуры а очень мал в том смыле, что вычисленное по нему
число Рейнольдса Re оказывается малым [1]. Поэтому в дальнейшем будем
предполагать, что рассматриваемое течение описывается уравнениями Стокса.
Предположим дополнительно, что элементы мнкроструктуры достаточно далеко
расположены друг от друга, т. е. а/d 4:.. 1. Даже в этих предположениях сдвиго­
вое течение около единичного элемента микроструктуры произвольной формы
может быть определено только численно [2]. Одним из немногих исклю�ений
является течение около выемки или выпуклости круглой формы, расположенной
перпендикулярно направлению внешнего течения. В этом случае удается по­
строить точное решение [3], которое имеет вид
1 2
"'=тУ - х
х=
ch ; - cos 1"]
Q2
g
=
g
(s, 1"])
sin
sh
[
s
sin2 Тl o (sh SТl cos ТI - s ch SТl sin ТI) +
sh2 S1Jo -
s2 sin2 1Jo
_
ТI
ТI
] cos s'Gds '
ch sn
sh sn
(JО
+ (sh �Тlo ch SТlo - s siп
72
.
Тlo cos Тlo) sh SТl siп ТI.
(1)
Здесь 'i'-функция тока, (х, у) -декартовы координаты, (�, '1) -биполярные
координаты. Жидкость расположена в верхней полуплоскости у� о и 8 круговой
выемке х'2 + (у - actgТJO? = a2cosec2ТJo, где л � ТJo � 2 л . Биполярные коорди­
наты связаны с декартовыми стандартным образом:
asin 'IJ
у = ch �-cos 'IJ
а sh �
х= сh�-соs'lJ'
(2)
'
так что плоская граница течения у=О, Ixl�a в новых координатах описывается
соотношением ТJ =О, а круглая граница течения-ТJ = '10 (.В обоих случаях00 < � < 00 ) . Геометрия области течения показана на рис. 1. Отметим, что реше­
ние (1) описывает достаточно сложное течение, которое при 110 � 110, �o;::::
;:::: 1,36л оказывается отрывным. Другие интересные особенности этого течения
изучены в работах [3, 4].
Рис.
I
Вернемся теперь к задаче о течении над поверхностью с микрогеометрией
в виде круглых поперечных выемок с учетом всех сделанных выше предполо­
жений. Для определения суммарного эффекта от структурирования нужно,
следуя работе [5], определить характер течения вдали от единичной выемки, а
затем просуммировать по всей системе элементов. Решение первой задачи
сводится, как это следует из соотношения (2) , к определению асимптотики
(1) при �_O, '1-0. Несложный, но громоздкий анализ показывает, что
1(110)
=
�OO
s
о
( Sh 2slJo - s sin2110 - 2-ch �
ds.
sh
ns
sh2 slJo - s2 sin2 110
ns
(3)
Физический смысл вторичного течения (3) становится очевидным в полярных
координатах. Вдали от выемки полярные и биполярные координаты связаны
соотношением
�
2а
1;--сОS
r
е,
2а . е
при
SIП
11 - r
r /а -
00 ,
(4)
так что из (3) и (4) получаем
(5)
Таким образом, вторичное течение вдали от выемки оказывается радиальным.
В случае бесконечной решетки одинаковых выемок pa�MepOM 2а и периодом
2d скорость вторичного течения на больших расстояних у-:::Р d направлена
вдоль оси х и стремится к постоянной величине. В самом деле, эта скорость
представляет собой сумму вторичных скоростей типа (5) и в рассматриваемом
случае легко определяется путем замены суммы на интеграл
73
и = - 2Ja-
(6)
Таким образом, суммарный эффект структурирования поверхности сводится
к замене условия прилипания условием проскальзывания
( и - � :� ) Iу-о =0.
(7)
Поскольку единицы размерности были выбраны так, что ди/ ду=1 в сдвиговом
течении, из соотношений (6) и (7) находим коэффициент проскальзывания
(8)
Осталось определить J (f]o). В частных случаях этот интеграл вычисляется
аналитически. При f]о=Л из соотношений (3) находим J (л)=О в полном
соответствии с интуицией -стенка при f]o=Л является плоской. В случае
f]о=2л ПРИХQДИМ к задаче о сдвиговом течении над перфорированной пло­
скостью. Из соотношений (3) следует
f ch 2лs ch лs
J (2л) = 2 ) s sh 2лs - sh лs ds=
о
(
)
1
-
(9)
"8'
так что �=ла2/16d в полном соответствии с результатом работы [5]. Рас­
смотрим теперь обратный предельный случай выпуклости большой высоты
h/a-:» 1, где
sin 1\}
1 - cos 1\}
(10)
h= а -,-----
Асимптотический анализ соотношений (3) при h/a-:» 2, т. е. f]o-+O, показывает,
что основной вклад в интеграл вносит область s= О (f];;-l) . Вводя новую
переменную 2sf]o= t и отбрасывая экспоненциально малые члены, приведем
интеграл (3) к виду
sin 2ТJo
shl - 1
1 (
2_1\}-".
J= _ _ ) 1
�
2 о ch/ - I -- sirr 1\)
2
т6
00
---
_____
(2
__
(lI)
1 dl.
--
Используя соотношения (1О) и (11), получим окончательную асимптотическую
формулу для коэффициента �:
�
f
(
Ао =) 1
где
А,=
а· ·
1r r
a ' Z
= -л 16dl Ао +А1 т +Az т +.
� Ao+4r t(
о
о
( )
sh 1-1
(2
ch 1-1 --
-
�,
( )
.
.]
1 dl= 11,60707 ...,
(2 \
\ ( �' Sh :-t -}
(2
(2
cht- I - T)
cht - I - T)
sh/ - t
(12)
,
2.
dt
=
- 1'32508 ...'
так что в пределе h/a-+oo коэффициент � не зависит от размера а в полном
соответствии с физическим смыслом задачи.
74
J
1,0
0,5
Рис. 2
При произвольной глубине выемки (выпуклости) коэффициент проскальзы­
вания элементарно определяется численно. Результаты расчета представлены
на рис. 2, ИЗ которого видно, что в случае выемки (h<O) происходит
эффективное проскальзывание, а в случае выпуклости (h >0) имеет место
эффективное притормаживание: Сравнительный анализ результатов расчета
и асимптотической формулы (12) показал хорошее соответствие уже при
h/а:;:::2у_
Из вывода формулы (8) понятно, что она справедлива и в более общем
случае, когда размеры микроструктуры и расстояние между соседними вы­
емками непостоянны. При этом a2/d в формуле (8) следует заменить усреднен­
ным значением (а2/d). Можно рассмотреть еще более сложный случай,
когда структурирована только часть поверхности. В этом случае в точке (х, у)
(0 у) скорость приблизительно равна
=
=
,
sin 2� + sin 261\
Ja- I
�+61u=- 2d\
2
l'
где структурированным предполагается отреЗОК-Хl�Х�Х2, а через 6А! обозна­
чены величины arctg (Xk/Y), k
1, 2. Впрочем, в этой ситуации вdзникает также
эффективная вертикальная скорость
=
!I :\
[1= Jci (cos2� cos26 = �!I
1) 2d \ .4 +!I- if +
·
4d
!lJ
Определим в заключение область применимости полученных результатов.
Основным предположением является малость числа Рейнольдса, вычисленного
по характерному размеру элемента микрогеометрии:
а- du
Re=-у
v
1.
Многочисленные примеры медленных течений показывают, что стоксово при­
ближение обычно хорошо работает и вне области применимости, вплоть
до Re -- 1. Уточнение приближения Стокса, сделанное с помощью метода
сращиваемых асимптотических разложений, зачастую хорошо описывает тече­
ние вплоть до Re -- 1 О (см., например, классическую задачу обтекания сферы
[6], где согласие с экспериментом наблюдается до Re � 60 ) .
Оценка числа Re в перспективных устройствах отсоса, когда микро­
геометрця на крыле создается с помощью лазера и размеры отверстий имеют
порядок 10 микрон, дает значение Re,...., 1, так что изложенные результаты,
вероятно, качественно правильны. Дальнейшее уточнение, связанное с учетом
конечности числа Re, должно проводиться методом сращиваемых асимптоти­
ческих разложений. При этом устраняется и внутренний недостаток, присущий
почти всем стоксовым течениям -неравномерная пригодность решения. В рас75
сматриваемом случае отброшенные конвективные члены вдали от выемки
(,�d) имеют порядок UU,,_,-I, в то время как вязкие vL\u-Rе-I,-з.
Поэтому необходимое условие применимости стоксова приближения vL\u�ии"
нарушается на расстояниях ,/а- Re -1/2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сиижеиие вязкостиого треиия.-М.: Машииостроеиие, 1984.
g d о n J. L. Stokes flow in arbitrary two·dimensional domains:
shear flow over ridges апд cavities.-J. F 1uid МесЬ., 1985, vo1. 1 59.
3. O'N е i 1 1 М. Е. Оп the separation of а slow linear shear flow from
а cylindrica\ ridge or through in а plane.-ZAMP, 1977, vol. 28.
4. S т i t h S. Н. А note оп drag reduction in separated Stokes flows.­
ZAMP, 1988, vol. 38.
5. Б Р У т я и М. А., К р а п и в с к и й П. Л. Течеиие вязкой жидкости
иад перфорироваииой граиицей при малых числах РеЙиольдса. - Изв.
АН СССР, МЖГ. 1986, .N'2 5.
6. В а н .Д а й к М. Методы возмущеиий в мехаиике жидкости. М.:
Мир, 1967.
2. Н i
Рукопись поступила 2б/ХII
1989
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
204 Кб
Теги
условия, над, эффективного, проскальзывания, поверхности, структурирования, вязкой, задачи, жидкости, течение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа