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Является ли коммутация на блюдаемых главным отличием классической механики от квантовойv.

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???????? ???? ???????? ?????? ??? ???
?????? 3(11). ?????????, 2012.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
??? 530.1
ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ КОММУТАЦИЯ НАБЛЮДАЕМЫХ ГЛАВНЫМ ОТЛИЧИЕМ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ОТ КВАНТОВОЙ?
В.В. КИСИЛЬ
Факультет математики, Университет г. Лидс, Великобритания
kisilv@maths.leeds.ac.uk
В 1926 г. Дирак предположил, что квантовая механика может быть получена
из классической заменой единственного допущения. По его мнению, классическая механика определяется коммутативными величинами («c-числами»), в то
время как квантовая требует некоммутативных («q-чисел»). Остальные допущения являются общими для обоих теорий. В данной работе мы критически
пересматриваем предложение Дирака.
С этой целью представляем некоммутативную модель ???????????? механики с
ненулевой постоянной Планка. Это возможно благодаря использованию нильпотентной единицы ? такой, что ?2 = 0. Следовательно, решающую роль в построении квантовой теории выполняет мнимая комплексная единица.
Ключевые слова: квантовая механика, классическая механика, коммутационные соотношения Гейзенберга, наблюдаемая, интеграл по путям, группа Гейзенберга, комплексные числа, дуальные числа, нильпотентная единица
V.V. KIZIL. IS COMMUTATIVITY OF OBSERVABLES THE MAIN FEATURE, WHICH SEPARATE CLASSICAL MECHANICS FROM QUANTUM?
In 1926, Dirac stated that quantum mechanics can be obtained from classical theory
through a change in the only rule. In his view, classical mechanics is formulated
through commutative quantities (c-numbers) while quantum mechanics requires
noncommutative one (q-numbers). The rest of theory can be unchanged. In this
paper we critically review Dirac?s proposition.
We provide a natural formulation of classical mechanics through noncommutative
quantities with a non-zero Planck constant. This is done with the help of the
nilpotent unit ? such that ?2 = 0. Thus, the crucial role in quantum theory shall
be attributed to the usage of complex numbers.
Key words: quantum mechanics, classical mechanics, Heisenberg commutation
relations, observables, path integral, Heisenberg group, complex numbers, dual
numbers, nilpotent unit
?it was on a Sunday that the idea first occurred to me that ab?ba might correspond
to a Poisson bracket.
P.A.M. Dirac,
http://www.aip.org/history/ohilist/4575_1.html
(????? ??????????? ? ?? ??? ??????? ?????? ?????, ??? ab ? ba ?????
??????????????? ?????? ????????.
?.?.?. ?????)
1. ????????
????? ????? ???????????? ??????? ????????????? ?
?????????. ? ??????? ????? ?????????? ??????????
????????? ? ????? ??????? ????????? ??????.
? 1926 ?. ????? ???????????, ??? ?????????
???????? ????? ???? ???????? ?? ???????????? ??????? ????????????? ?????????, ??. [1]:
?there is one basic assumption of the classical theory which is false, and that if this
assumption were removed and replaced by
something more general, the whole of atomic
theory would follow quite naturally. Until quite
recently, however, one has had no idea of
?????? ??????????? ??????????? ???????? ?
?????????? ????????? ??????, ??????? ??????????
???????? ??????????????? ? ????????? ???????.
???? ?? ?????? ????? ??????? ? ??????????? ??????????? ?????????, ???????????? ??? ?????? ? ???? ?????????. ?????????????? ????????????? ????
?????????????????? ??? ???????????? ??????????
????? ????????????? ??????? (? ????? ???? ????
??????? ?? ?????????? ????). ?????? ??? ?????????
???????? ????????????? ?????????? ???????? ??
4
???????? ???? ???????? ?????? ??? ???. ?????? 3(11). ?????????, 2012
what this assumption could be.1
????? ???????????, ??? ??????????? ???????
????????? ? ?????????????? ???????????? ??????????? ??? ??????????? ?????????? ? ???????? ??????? [1]:
qr pr ? pr qr = ih.
(1)
????????? ??????, ??????????????? ? ?????? ??????? ?? ???????????, ??. [6], § 1.2, ????? ???????
?? «??????? ???????????», ??? ???? ?????????? ??
?????????? ?????? ?? [1]. ??? ????? ??????? ?? ????
??????????????? ?????????, ???????????? ? ???????????? ???????? ??????, ?? ??????? ??????? ??
???? ????????? ??????????????:
????????????? ??? ??????????? ????????? ????????????????? ??????? qr ? pr . ??????? ????? ????????? [1] ???????? ? ???, ??? ???????????? ???????? ???????????? ?????????????? ?????????? («c???????», ??? ?? ?? ??????), ? ?? ????? ??? ????????? ??????? ??????????????? («q-?????»). ????????? ????? ??????, ?? ?????????????? ???????????
?????????, ?? ??????? ?????????. ??? ? ????? ????
???????????? ? ????????? ?????? ?????? [2]:
The new mechanics of the atom introduced
by Heisenberg may be based on the assumption that the variables that describe a dynamical system do not obey the commutative law
of multiplication, but satisfy instead certain
quantum conditions.2
??? ?? ????? ?????? ???????????? ?????????? ? ?
????? ??????? ??????? ( [3], ???. 41, [4], ???. 11).
????? ?????? ?????? ???????? ??????? ???????????????, ???????? ????? ????????????? ??????????????? ??????. ????? ????, ???????????? ???????? «????????? ? ??? ???-?? ????? ???????????????» ???????????? ??????????? ???? ? ????????? ???????? ?? «?????? ??????????????? ? ???
?????????». ????????, ????? ?????? ???????? ?????? ??????????????? ??????? «????????? ?????????????» [5].
??????? ??????????? ????????, ????????????? ?? ????????????????? ???????? ????????? ?????????? ????????? ??????.
1. «???????? ????????? ????????????? ???????????? ??????????» [3], § 7, ???. 40.
2. «???????? ????????? ????? ??????????» [3],
§ 7, ???. 38.
?????? ?????????????, ??? ????? ??? ??????????? ????????? ????????, ????????? ???????????? ? ?? ?????????? ???????. ????? ????????
???? ????????, ??? ??????????? ?????? ????? ???? ???????????. ??? ????????? ????????? ????????
??????? ???? («?????? ?????????? ?????? ? ????????», ??? ??????? ??? ??????? ??????), ?? ????????
??????? ?????? ? ????????? ?????????. ??????? ????? ??????? ??????????? ?? ???? ???????????? ???????. ????????, ??? ??????????? ?????????? q ?
???????? p, ?????? ?????? ???? ??????????? ????????? q+p? ????? ??? ??Ч?/???? ???? ???? ???????
?????????? ???????? 5 ??? p+q ? ??????????? ???????, ????? ????? ????????? ??? ???????? ? ??????? ?
?????? ??? ??? ????? ??????? ?? ????????? ???????? ??????, ?? ????????????? ?????? ?? ??????????
? ?????????? ??????? ??????.
?????? ???????????????? ???????????, ????????? ?? ?? ?? ????, ????? ???????????? ? ??????? ??????, ?????????? ????????? ????????????,
??. ???????? [7], § 2-2, [8], § 1.1. ??? ?????? ????????? ??????????? ??? ????????????????? ???? ??
???????????? ?????????????? ??????. ????? ??????????? ?????????? ?????? (??????????? ??????????????? ?????????? ??????????) ?????????????
????? ???????????, ???????? ??????????????? ??????????? [7], § 2-2, c. 63:
2. «???????» ???????????
???????? ????????????? ? ???????????????
???????????, ????? ?????? ?????????, ????????
?? ????? ??????, ????????? [1]:
All one knows about q-numbers is that if z1
and z2 are two q-numbers, or one q-number
and one c-number, there exist the numbers
z1 + z2 , z1 z2 , z2 z1 , which will in general be qnumbers but may be c-numbers.3
????????????? ??? ????????????? (????????? ?
?????????? ????????????? ?????????????) ??????????, ??? ??????????? ???????? ?????????????? ?????????, ?????????? ???????. ?????, ???????? ??????? ???????????? ???????, ????? ? ??????????? ???? ????? ????????? ?????????? ????????????, ??? ?????? ? ?????????? ???????? ????????????? ????????? ???? ??????????? ??? ???????.
Because of Axiom III, expressions such as
A2 , A3 + A, 1 ? A, and eA all make sense
whenever A is an observable.4
??????, ???? A ?? ???????? ???????????? ?????????, ?? ????????? A3 + A ?? ????? ????? ???????
????????????? ? ???? ???????????.
???????, ?????????? ??????? ???? (??????????? ? ?????????????? ?????????) ?????????? ??
?????? ??????? ???????? ?????????? ??????, ??????? ????????? ??????????? ? ?????????????. ???
?????? ?????????, ?????? ????????? ??? ???????????. ????? ??????? ?????????? ?????????? ?????????????? ?????????, ??????? ?? ????? ???????? ?????????? ????????????.
1 «??????????? ???? ??????? ????????? ? ???????????? ??????, ??????? ???????, ? ???? ??? ????????? ??????? ??? ????????
???-?? ????? ?????, ??? ?????? ????? ?????????? ?? ???????????. ?????? ?? ????????? ??????? ????? ?? ??????????, ?????
??? ????? ???? ?????????».
2 «????? ???????? ?????, ???????????? ????????????, ????? ???? ???????? ?? ?????????, ??? ??????????, ???????????
???????? ???????, ?? ??????? ?????? ??????????????? ?????????, ?????? ????? ????????????? ????????? ????????? ????????????».
3 «???, ??? ?? ????? ? q-?????? ???, ???? z ? z ? ??? q-?????, ??? ???? q-????? ? ???? c-?????, ????? ?????????? ????????
1
2
z1 + z2 , z1 z2 , z2 z1 , ??????? ? ????? ?????? ???????? q-???????, ?? ????? ????????? ? c-???????».
4 «?????????? ??????? III, ????????? ????? A2 , A3 + A, 1 ? A ? eA ??? ????? ?????, ???? A ???????? ???????????».
5
???????? ???? ???????? ?????? ??? ???. ?????? 3(11). ?????????, 2012
3. ?????????????? ?????????????????
???????? ???????? ???????? ??? ??????? ?? ?????? ????????? ?????? ? ???????????????? ???????
~ ? 0. ??????? ????????? ?????????? ?????? ????????? ????? ????????? ?????????? ???? ? ??? ????????? ? ???????????? ????????. ? ?????????, ?????? ?????????????? ???????? «???????? ????? ??????? ??????, ? ??????? ~ = 1». ? ??????????, ?????????? ?????? ???????? ?? ?????? ??????, ??? ??
??????????? ???? ?????. ??????? ?????, ??? 1 ? ????????? ~ = 1 ?? ???????? ???????????? ????????,
?? ?????????? ????????? ? ???????????? ????????.
?????????????, ??????? ???????? ?? ????????? ????
?????????? ???????? ??????????? ???? ??????????
????????.
?????? ??????? ????? ???????? ??????????? ?????????? ????? ???????????? ?????????
??????. ?????????? ???????, ??? ?????????? ?????? [9] ????????? ????????? ??? ??????? ??????????
?????????????????, ?? ???????? ??????????? ????? ??? ????, ??? ? ?????? ? ???????? ??????? ??????????? ???????? ?????????? ????????? ????????????? ??????????? ???? (2) ????? ????. ? ???
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?? ????? ??????????? ??????? ??????.
???? ?? ????? ?????????? ?????? ??????????? ????? ? ??? ?? ???????????, ??? ??????? ??????????? ?????? ???? ?? ????????? ?????????? ???????. ???????????, ??????????? ???????????? ?????
???????????? ???????????? ????????????, ??????? ?????????? [A, B] = AB ? BA ?????? ?????????
??? ???????????? ??????? A ? B . ? ?????????, ?????????? (1) ?????? ?????????. ?? ??? ?? ?? ?????
??? ?????????? ????????? ?????????
????? ??????????, ??? ?????????????????
?????????? ??????? ?? ???????? ??????????? ???????????? ??? ????????? ????????? ??????: ??????
???????? ?????, ??????????? ??? ?????. ????????
?????????? ?????? ? ???????? ?? ?????, ???????? ????????? (? ????????????, ????? ??, ???????). ????? ??????? ????????????? ????????????
????????, ????????? ??????? ? ?????????? ??????? [9], ??????? ???????????? ?????? ?????? ? ?????
????????? ?????. ??????? ???? ?????????? ???????
??????? ????????? ???????????????, ?? ????????
????????????????? ?? ????.
????? ???? ??? ?????? ????????? ??????????????? ?????????? ??????? ?????? ?????????????
??????? [10]. ? ??? ????????????????? ??????????? ???? ?? ????????? 132?133 (§ 5-3) ? 194 (§ 7-3).
? ??????????, ?? ???????? 377 (§ 12-10) ??????????? ????????????????? ????????????, ?? ??? ?? ????????? ? ?????? ??????????. ????? ????, ?? ???????? 194 ??????????????, ??? ????????????????? ????????? ??????? ???????? ?????????? ??????? ?????????????? ?? ?????, ? ?? ?????????? ????????.
??? ?? ???????? ?????????????? ?????????? ????????? ??????, ???? ????????????????? ??
??? ?????? ????????? ????????????? ? [9] ?????????? ?????????? ??? ?????????? ????????? ?????????. ???? ???????? ??????? ??????????? ???????????? ???? ??? ???? x(t) ????? ????? ??????? ????????????????? ????????????. ?????????????? ????????? ??? ???? ???? ?? ????? ????? ? [10],(§ 2-15):
?[x(t)] = const · e
(i/~)S[x(t)]
,
4. ????????? ???????? ? ?????? ???????????
? ??????? ????????? ????????? ?????? ??
????? ???????????? ? ?????????????? ???????????? (1): ??? ? ???? ??????????? ???????, ??? ???
?????? ?????????, ?? ??? ???????? ????????????
????????? ??????. ?????????? ????? ????? ???????, ??? ??? ??????????? ???? ??????????? ?????????
??? ??????? ?? ?????? ??????????? [8, 11, 12]. ? ?????????? ?????? ?????? ????????? ?????? ??????????? H1 ?????????????? ?????????? ????????????? R3
? ????????? ?????????:
(s, x, y) ? (s? , x? , y ? ) =
= (s + s? + 21 ?(x, y; x? , y ? ), x + x? , y + y ? ),
(2)
??? S[x(t)] ? ???????????? ???????? ????? ???? x(t).
?????? ??? ?????? ???? (2) ????? ???? ?????????
?????5 ????? ????? ??????? a ? b, ?? ???????? ????????? ???????? K(a, b). ??? ???????? ???????? ?
???? ????? ?????????? ???????? ?????? ?????????
????????. ??????? ????????? (2) ????? ??????????
?? ???? ????????????? ????? ????????? ??????.
?? ???? ?? ???? ???-?? ????? ????? ?????
????????????????? ????????? (1) ? (2)? ?? ?????? ??????, ???. ??? ????? ????????? ????????????
????? ????????, ??? ???? ?????? ??? ????? ????????. ????????????? ? ??????? ?????????? (???????
??? ???????? ??????????????) ???:
1. ????????? ?????????? ?????? ~.
2. ?????? ??????? i.
?????????????, ?????????? ?????? ???? ??????????? ?????? ??????????????? ?????????? (???????????) ????????? ? ??? ??????? ???????? ??????????? ???? ???? ??????. ????? ????, ????????????
5 ??
(3)
??? ? ???????? ??????????????? ?????? ?? R2 [13],
§ 37:
?(x, y; x? , y ? ) = xy ? ? x? y.
(4)
?????, ??? ? ? ??????????? ?? ???????????, ?? ????? ??? ???? ?????? ?????????? ??????? ????????????? ? ???????? ?????????????.
?????? ??????????? ?????????????? ?????????? ?????????????????? ??????????????? ?????:
?(x, y; x? , y ? ) = ??(x? , y ? ; x, y). ????????? ????? ???? (s, 0, 0) ???????? ????? H1 . ??? ??????????? ????????? ???????????? ????????????? H1 ? ???????????????? ?????????????. ? ????? ????????????? ? ????? ?????? ?????? ??????????? ?????????? ?? ??????????? ????? ? ????????? ???????, ?.?.
?(s, 0, 0) = e2?i~s I ??? ?????????? ~ ?= 0.
?????, ?????? ??????? ??????-??? ??????? [8], § 1.5 ?????????????, ??? ??? ????????? ???????????? ????????????? ?????? H1 ? ????? ?????-
????? ?? ???????? ???????, ????? ??????? ????? ????????????? ?????????? ?????????? ??? ?????????.
6
???????? ???? ???????? ?????? ??? ???. ?????? 3(11). ?????????, 2012
???? ~ ???????? ????????????. ?? ????? ???????, ???
????? ?????????? ????????? ????????, ?????????????? ??????????? (1) (? ???????, ???????? ???????? ??????????), ???????? ???????????? ?????????
???????? ???????????.
? ?????????, ????? ????????? ????????????
????????????? H1 ???????????? ????????????????
?????????? ????????????? ? ???????????? L2 (R2 ):
?~ (s, x, y) : f (q, p) 7?
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2
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?1 ?????????? ????????????? ??????? ? ?????, ???
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17] ? ?????? ?????????? ???????????? ???????? ?
??? ??? ?? ????????? ? ????? ???????????? ?? ????? ?? ? ?????????????. ??????, ?? ?????? ??????????, ?????? ???????? ????? ??? ???? ???????? ?
??? ????? ???????????? ? ??????????? ?????? (?? ?
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?????????? ????????????? ??????? C ? ??????? 1, i, ? ? i?. ????? ?????????? ????????? ????????????? ??h ?????? ??????????? ? ???????????o C??????? ??????? ??????? [18, 19]:
(
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x .
????? R2 ????? ???? ????????????? ? ????????????
??????? ?????????????, ??? q ?????????? ?????????? ? ???????????????? ????????????, ? p ? ??????????????? ???????. ??????? f (q, p) ? (5) ???????????? ????????? ?????????? ??????? ??? ????????? ?? ??????? ????????????. ???????, ?? ????????? ? ????? ????????? ?????????????? ?????????? ?? ?????????????? ??? (???????????????? ????????????), ????????????? (5) ????? ?????????? ?
????? ????? ??????????? ?????????? [8, 12, 14]. ????,
??? ???? ???????? ????, ??? ????????????? ???????? ????????????.
????????????????? ??????????? ??????????????????? ???????? ?~ (0, x, 0) ? ?~ (0, 0, y) ? (5) ?
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1
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2
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????????? ?? ???????? ???????? ?? ??????? ????????????. ?????? ??????? ????? ????? ????? ??????????????? ??????:
? ????????????? (5) ???????????? (? ??????
????? [20], § 13.4) ????????????????? ?????????? ?~ (s, 0, 0) = e2?i~s ?????? ?????? H1 .
? ????????????? (7) ??????? ??????? ???????????? ?????????? ? ???????? ?????? ??h (s, 0, 0) =
e?hs = 1 + ?hs ?????? H1 , ??. [21]. (????????
????? ???????? ????????? ????????????? ????????????? ??????? ? ??????? {1, ?}.)
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h = 2? ~.
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???????????) ???????? ??? ??????????? ????? ???
?????????? ????? [8], § 2.1. ???????????? H? ?????????? ???????? ????????? ??????????? k? ????? ????????? ???????????:
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????? ?????????? ????????? ???????? ?? ?????? ????????? ???????????? ????????????? ?????? ??????????? ?????? ????????, ??. ???????? [8, 12, 15].
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2
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(8)
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??? ????????????? ??????? ?????????????? ?????????? ??? ????? ???? ?????????? ????? ?? ?????????? ? ??? ??????? [16], [22], § I.2(10), [23]. ??????????? ???????? ????? ????????? ????????? ?????
? ???????? ?????????????? ??????? ?????????????
????????????? ??????? ? [24].
5. ???????????? ?????????????????
?????? ?? ???????, ??? ? ????????? ?????? ??-?????????? ?????? ???????? ???????????
?????, ? ????? ?? ????????? ?????????? ??????, ??? ??????? ??????. ?????????, ?????????? ?????? ???????????? ???????? ? ????????? ?????????? ??????, ?? ? ??????? ????????????????? ???????. ?????? ?????? ??????? i ?? ????????? i2 =
7
???????? ???? ???????? ?????? ??? ???. ?????? 3(11). ?????????, 2012
????????????????? ??????????? ??? ?????????? ???????? ??h (0, x, 0) ? ??h (0, 0, y) ? ????????????? (7) ?????????????? ????:
???, ???????????, ????????? ?????????? ? ???????????? ????????, ???????????? ?????? ????????
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???????, ??? ? ?????????? ??????, ? ????????????? ??????? ??????????? ?? ??????????????
????????? (11), ?? ??? ????? ?????????????? ????
?????, ??? h ?= 0. ????? ??????????? ???????????? ?
????? ????????? ?????? ????? ?????????, ??????
???????? h ? ? ?????? ???????? ????????????? ?
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1. ????????????????? ?? ??????????? ????????
? ?????????????? ????????? ??????, ??? ??????????? ?????????? ??? ????????? ?????? ??????? ???????????.
2. ????????????????? ?? ???????? ?????????????
?????? ????????? ?????? ?? ????????????, ?????????? ??????????????? ?????? ???????????? ????????.
3. ????????? ?????????? ?????? ?????? ?????????? ? ???????????? ?????????. ??? ??????? ????????????? ????????????? ???????????????? ?????? ~ ? 0, ? ??????? ?????????
?????? ?????????? ? ????.
4. ??? ??????? ????????????? ?????????????
????????? ??????????? ??? ???????, ??? ???????????? ? ??????? ?????????? ???????
??????. ??????????? ????? ??????????? ??
????????? ?????, ??????? ??????? ?? ????????? ??????????? ? ????? ?????????? ???????????? ????? ???? ????????? ??????????
????????????.
5. ???????? ???? ? ?????????? ????? ???????????????????? ?????? ?????? ??????????? ?????? ???????, ??. (1) ? (2). ???????????? ???????? ????? ???? ???????? ??????? ?????? ??????? ?? ????????????? ?2 = 0 ? ?????????????? ???????????? (9).
???????, ??? ????????????????? ?????? ????? ?????? ???? ? ??????????? ??????, ?????? ??? ????????????? ?????????? ?????????? ??? ?????? ???????????? ?????? ????????. ?? ????????, ??? ????????? ???????????? ??????????? ???? ????? ????
??????????????? ? ? ???? ?????? ?????????? ? ???????? ????????? ?? ??????? ????????. ????? ???????, ?????????? ????? ????? ???????? ?? ????????
?? ????? ????????????/??????????????.
????????, ????? ???-???? ????, ???????????,
??? ???? ????? ???? ???? ?????????, ??????? ???????? ????????? ?????? ?? ????????????, ??. ???
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??? ? ????? ?????:
????????? ???????? ??????? ???????? ??
????????????? ?????? ??????? ??? ????????????? ????????????? ?????? ??????????? ? ?? ??????. ??? ?????? ?????? ??????? ?? ????????????? ???????? ???????????? ????????, ?????? ???
????????? ?????????? ?????? (?????????????????, ????????? ?????????? ??????, ???????????? ?????????, ??????????
?? ???????????) ???????? ???????????.
6. ??????????
?????????????
? ?????? ?????? ?? ?????????????? ?????????????? ????????? ????????? ? ???????????? ????????, ? ????? ???? ???????????????? ?????? i2 = ?1
? ?2 = 0 ? ???? ???????. ??? ????, ????? ??????? ???????????? ??????, ?????? ????????? ?????? ?????????? ???????????: ??????????????? ??????? j ??
????????? j2 = +1, ??. [19, 21, 25?29], ?????? ?? ?????????? ??????? ?? ????? ?????? ??????.
????????? ?????? ???????? ? ????????? ???????????:
????? ?????????? ?????????? ??????????
??????? Mathematical Intelligencer ?? ??????????? ?????, ??????? ???????? ??????? ???????? ?????????
? ?????? ?????? ? ?????????? ????????? ?????????? ????? ????????? ?????. ??? ????? ????????
????? ???????? ???, ??? ??????? ??????????? ?????? ? ????????????? ???? ??????. ? ????? ??????????
?????????? ??????? «???????? ???? ?? ??? ???»,
??????? ????????? ????????? (8) ??? ????????????? ????????????? ?????? ???????????. ??????? ???-
?h
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4?i
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d?X ?h · d?Y ?h ? d?Y ?h · d?X ?h = ?h.
(9)
??? ????????? ?????? ?? ?????????????? ??????????? ??????????? (1): ?????????? ??????? ?? ????
? ?????????????? ?????????? ??????. ???????????? ???????? ??????????? ? ?????? ?????? ??????? ?? ?????????????. ??????? ????? ?????????
?????????, ????? ?? ?????????????? ????????????? (7) ? ??????????????? ????? H?(x, y) ????????????? H(q, p):
?
H? =
H?(x, y) ??h (0, x, y) dx dy =
R2n
=H+
?h
2
(
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?H ?
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.
(10)
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k ? ??????? ?????????????????? ??????? ?? ??????? ???????????? ? ??????????? ????????? ???????? ? ?????????? ??????????? (6):
?h
dk?
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=
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.
dt
?p ?q
?q ?p
(11)
8
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